7.2.2 复数的乘、除运算-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第二册同步练测（人教A版2019）

因为BC=AO,所以BC所表示的复数为-3-2i (2)因为CA=0A-oc, 所以CA所表示的复数为(3+2i)一(-2+4i)=5-2i. (3)因为对角线OB=OA+AB=OA+oc, 所以OB所表示的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i, 故|OB=√12+62=√37. [跟踪训练] 2.解析(1)解法一：一z。对应的向量为OA-OB,由题 图知OA-OB=(-2,-2),所以z?一z?=-2-2i. 解法二：由题意，知x?=-2-i,z2=i,所以z?—z?=-2 —2i.故选B. (2) A √ z?一2,=1+i-1-2i=— 由题意得O(0,0),A(1,1),B(1,2),因为四 B × 边形OABC为平行四边形，所以C(0,1),所 以zg=i,点C位于虚轴上 +y如图，21,Z2,z3对应的向量C √ 2 B Oc=OB,OA-0c=CA, ik A 即z?+z?=z2,z?一z?I= D √ IAC -1 o 1 分别为OA,OB,oc,则OA+ c 答案(1)B(2)ACD 探究三 [例3] [解] 解法一：设z?=a+bi,z?=c+di(a,b,c, d∈R), 由题设知 a2+b2=1,c2+d2=1,(a+c)2+(b+d)2=2. 又∵(a+c)2+(b+d)2=a2+2ac+c2+b2+2bd+d2, ∴2ac+2bd=0. ∵z?一z?l2=(a—c)2+(b—d)2 =a2+c2+b2+d2—(2ac+2bd)=2, ∴|z?一z?|=√2. 解法二：作出z,z。对应的向量Oz,oz?, 使OZ?+0z?=0z. ∵|z?I=|z?|=1,又0Z?,0Z?不共线(若OZ?,0Z?共线， 则|z?十z?|=2或0与题设矛盾), ∴平行四边形0Z?ZZ?为菱形.又|z?+z?I=√2, ∴∠Z?0Z?=90°, 即四边形0Z?ZZ?为正方形，故|z?一z?|=√2. [跟踪训练] 3.解 解法一：设z?=a+bi,z,=c十di(a,b,c,d∈R). ∵|z?l=|z?I=|z?-z?I=1, ①∴a2+b2=c2+d2=1, (a-c)2+(b-d)2=1. ② 由①②得2ac+2bd=1. ∴|z?+z?I=√(a+c)2+(b+d)2 = √a2+c2+b2+d2+2ac+2bd=√3. 解法二：设O为坐标原点， 2?,≈2,z?十z?对应的点分别为A,B,C. ∵z?I=|z?I=|z?-z?|=1, ∴△OAB是边长为1的正三角形， ∴四边形OACB是一个内角为60°,边长为1的菱形，且 z?+z?|是菱形的较长的对角线OC的长， ∴|z?+z?|=|OC| = √|OA|2+|AC|2-2|OA||AC|cos 120°=√3. 7.2.2 复数的乘、除运算 【自主学习探新知】 知识点 1.(ac—bd)+(ad+bc)i 2.z2≈1 z?(z?z?) ?+xz。3.c+d+s?+d 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] [解](1)(1-i)(1+i)+(-1+i) =1—i2-1+i=1+i. (2)(2—i)(—1+5i)(3-4i)+2i =(-2+10i+i—5i2)(3—4i)+2i =(3+11i)(3-4i)+2i =(9-12i+33i—44i2)+2i =53+21i+2i=53+23i. [跟踪训练] 1.解析(1)(1—i)2—(2-3i)(2+3i)=1-2i+i2—(4— 9i2)=—13-2i. (2)因为z=(1-i)(a+i)=a+1+(1-a)i, 所以它在复平面内对应的点为(a+1,1-a). 又此点在第二象限， {a-a>0,所以 解得a<-1,所以选BCD. 答案(1)D(2)BCD 探究二 (1)+i=(3+i)(1-)=4-2i=2-i.[例2] [解析]( (2)∵z(2—i)=11+7i, ∴2=2-7i=(2-7(2++)=15525=3+5i. [答案](1)D(2)A [跟踪训练] 2-i=(2+(2(2-=2+i,则25(i为虚数(1):2.解析 单位)的共轭复数是2—i. (2)因为z(1+2i)=i(1+z),所以z(1+i)=i,所以z= 1+=(1+(1-=12=2+2i. 答案(1)A (2)A 探究三 [例3] [解](1)因为x2+5=0,所以x2=-5. 又因为(√5i)2=(一√5i)2=-5, 所以x=±√5i,所以方程 x2+5=0的根为±√5i. (2)解法一：因为x2+4x+6=0,所以(x+2)2=—2. 因为(√2i)2=(一√2i)2=-2, 所以x+2=√2i或x+2=—√2i, 即x=-2+√2i或-2-√2i, 所以方程 x2+4x+6=0的根为x=-2±√2i. 解法二：由x2+4.x+6=0知△=42—4×6=—8<0, 所以方程x2+4.x+6=0无实数根。在复数范围内， 设方程x2+4x+6=0的根为x=a+bi(a,b∈R且b≠0), 则(a+bi)2+4(a+bi)+6=0, 所以 a2+2abi—b2+4a+4bi+6=0, 整理得(a2-b2+4a+6)+(2ab+4b)i=0, {2ab+4b=a0+6=0,所以 {2a-4=0a+6=0,又因为b≠0,所以 解得a=-2,b=±√2. 所以x=-2±√2i, 即方程 x2+4x+6=0的根为x=-2±√2i. 17 [跟踪训练] 3.解 设x=x。是方程的实根，代入方程并整理得(x3+ k.x?+2)+(2x?+k)i=0. 由复数相等的条件得x3+kx,+2=2x?+k=0, k=-2,2(k-222解得 ∴方程的实根为x=√2或一√2, 相应的k的值为k=-2√2或2√2. 7.3* 复数的三角表示 7.3.1 复数的三角表示式 7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 【自主学习探新知】 知识点一 1.r(cos 0+isinθ) 辐角 r(cos 0+isin θ) 知识点二 1.r?r?[cos(?+0?)+isin(θ?+0?)] 积 和 2.1[cos(0?-O?)+isin(θ-θ?)] 商 差 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] [解](1)r=√W3)2+12=2, 所以 cos o=3 对应的点在第一象限，所以arg(√3+i)=6, 所以3+i=2(cos 6+isin 6). (2)r=√12+(-1)2=√2, 所以cos0=2, arg(1-i)=4,对应的点在第四象限，所以 所以1-i=√2(cos4+isin). [例2] [解析] z=√3(sin23+icos) =√3sin3+√3icos23 =√3×3+i√3×(-1)=3- [答案] D [跟踪训练] cos θ=3,与z=√3-i对应1.解析 (1)因为r=2,所以 的点在第四象限，所以arg(3-i)=16~, 所以z=√3-i=2(cos16"+isin16m). (2)z=√2(cos4-isin4) =√2×cos 4-i√2×sin 4=1-i. 答案(1)D(2)1-i 探究二 [例3] [解](1)2(cos2s+isinr)×√3(cos56+ isin5)=2√3(cos3z+isin)=-2√3i. (2)原式=3√2[cos(160°-25°)+isin(160°-25°)] =3√2(cos 135°+isin 135°) =3√2(一+2;) =-3+3i. [跟踪训练] 2.解(1)原式=30[cos(18°+54°+108°)+isin(18°+ 54°+108°)]=30(cos 180°+isin 180°)=—30. (2)原式=2[cos(4-3)+isin(4-3)] =2(cos32+isin13)=-2(cos z+isin查). 探究三 [例4] [解] 因为3-√3i=2√3(3-1) =2√3(cos m+isinπ), 所以2√3(cos6π+isin6π)×(cos3+isin3) =2√3[cos(m+g)+isin(m+3)] =2√3(cos 6π+isin6π) =2√3(cos 6+isin6)=3+√3i, 2√3(cos m+isin1π)×[cos(-弯)+isin(-g)] =2√3[cos(”-g)+isin(”-g)] =2√3(cos2m+isin3m)=-2√3i. 故把复数3-√3i对应的向量按逆时针旋转3得到的复 数为 3+√3i,按顺时针旋转得到的复数为-2√3i. [跟踪训练] 17+233.解 =(7+23)(7-13)=1+43=2(osg+ism号), 02-2,∴∠Z?OZ=3且 设|OZ?I=k,|0Z?I=2k(k>0), 由余弦定理得|Z?Z?I2=k2+(2k)2-2k·2k·cos3=3k2, ∴|Z?Z?I=√3k.又k2+(√3k)2=(2k)2, 3∴△OZ?Z?为有一锐角为 的直角三角形. [牛刀小试] D ∵z=e=cos 0+isinθ,∴(z+1)(z-i)=(cos θ+ 1+isin O)(cos 0- isin 0—i)= cos20— isin 0cos 0— icos θ+cos θ—isin θ-i+ isin θcos θ+sin20+sin θ= (cos θ+sin 0+1)-i(cos θ+sin θ+1).∵f(z)=|(z十 1)(z—i)|, ∴f(z)=√(cos 0+sinθ+1)2+[-(cos 0+sinθ+1)]2 =√2Ccos0+sin o+12=√2[zsin(0+4)+1], 当sin(o+4)=1时，f(z)取得最大值， 即当θ+4=2+2kπ,k∈Z,即θ=4+2kπ,k∈Z时， f(z)取最大值， z=2+i,z=2-2i此时 18 ?高中数学·必修 第二册 易错 将复数与对应向量弄错 而导致复数求错警示 [典例] 已知在复平面内，A(1,0),B(2,1), C(-1,3),并且CD=AB,求CD及点D 对应的 复数. → — [错解] 设CD,AB及点D 对应的复数分别是 ≈1,z2和z?. 因为AB=(2,1)—(1,0)=(1,1), 所以AB对应的复数z?=1+i. 又因为CD=AB,所以CD对应的复数x?=1+i, 即点D对应的复数z?=1+i. [错解分析] 错解中将点 D对应的复数与CD 对应的复数混为一谈.只有当向量的起点在坐 标原点时，终点对应的复数才和向量对应的复 数相等. [正解] 设点 A,B,C,D对应的复数分别是 21,≈2,之3,≈4, 则z?=1,z?=2+i,z?=-1+3i,→ 所以AB对应的复数为z?一z?=1+i. 又因为CD=AB=1+i, 所以CD对应的复数为1+i. 又因为CD对应的复数为z4一z?, 所以z4一z?=1+i. 所以z4=1+i+z?=1+i+(-1+3i)=4i. 所以点D对应的复数是4i. 误区警示[l---------------------------- 复数z=a+bi(a,b∈R)在复平面内的对应点是 Z(a,b),对应的向量是0z=(a,b).在复数中，“数” “点”“向量”这三者之间的对应不能弄错。 提示上请完成《素能提升训练》训练十六 7.2.2 复数的乘、除运算 [学习任务] 1.结合多项式的乘法了解复数的乘法法则. 2.理解共轭复数的概念. 3.能进行复数的除法以及分母实数化. 自主学习探新知 知识点 复数的乘法与除法 1.复数的乘法法则 设z?=a+bi,z?=c+di(a,b,c,d∈R),则 21z2=(a+bi)(c+di)= . 2.复数乘法的运算律 对任意复数≈1,≈2,z?∈C,有 交换律 21≈2=_ 续表 结合律 (z?≈2)z?= 分配律 z?(z?+z?)=_ 3.复数代数形式的除法法则 (a+bi)÷(c+di)=c+di=- (a,b,c,d∈R,且 c+di≠0). 互动探究解疑难 要点归纳 重难寒破 探究一 复数代数形式的乘法运算 [例1] 计算下列各题. (1)(1—i)(1+i)十(—1+i); (2)(2—i)(—1+5i)(3—4i)十2i. 规律方法|l----- 1.两个复数代数形式乘法的一般方法 (1)首先按多项式的乘法展开. (2)再将i2换成—1. (3)然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代 数形式。 2.常用公式 (1)(a+bi)2=a2—b2+2abi(a,b∈R). (2)(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a,b∈R). (3)(1±i)2=±2i. 形 第七章 复 数 跟踪训练 1.(1)计算：(1-i)2—(2—3i)(2+3i)= ( ) A.2-13i B.13+2i C.13—13i D.—13—2i (2)(多选)若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应 的点在第二象限，则实数 a的值可以是( ) A.1 B.—2 C.—3 D.—4 探究二 复数代数形式的除法运算 (1)+=[例2]( ( ) A.1+2i B.1-2i C.2+i D.2—i (2)若复数z满足z(2—i)=11+7i(i为虚数单 位),则z为 ( ) A.3+5i B.3-5i C.—3+5i D.—3-5i 规律方法|l--------------------- 1.两个复数代数形式的除法运算步骤 (1)首先将除式写为分式. (2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数. (3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化 为复数的代数形式。 2.常用公式 (1)1=-i.(2)=i.(3)=-i. 跟踪训练 2-;(i为虚数单2.(1)(江苏靖江高一下期末)复数 位)的共轭复数是 ( ) A.2—i B.2+i C.-2+i D.—2—i (2)若复数z满足z(1+2i)=i(1+z),则z= ( ) B.2-2A.1+2 C.1+i D.1—i 探究三 在复数范围内解方程 [例3] (链接教材第 79 页例6)在复数范围内解 下列方程. (1)x2+5=0; (2)x2+4.x+6=0. 规律方法I|----------------------- 在复数范围内，实系数一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的求解方法 (1)求根公式法 ,c=-b±2G-4ac;①当△≥0时， ,c=-b±√=⑥=4aoi,②当△<0时， (2)利用复数相等的定义求解 设方程的根为x=m+ni(m,n∈R),将此代入方 程ax2+bx+c=0(a≠0),化简后利用复数相等的定义 求解. 跟踪训练 3.已知关于x的方程x2+(k+2i)x+2+ki=0有 实根，求这个实根及实数k的值. 易错 对虚数单位i的性质和乘方的运 算把握不准确而得出错误的结论警示 计算(1+i)?(1-i)”(n∈N*).[典例] [错解] 原式=(1-i()"= (-2i)3i”=8i"+1, 当 n=1时，原式=-8, 当 n=2时，原式=—8i, 当 n=3 时，原式=8, 当 n=4时，原式=8i. [错解分析] 上面的解答没有真正理解 n∈N* 的含义，只是用了四个特殊整数代替了所有整 数，犯了用特殊代替一般的错误. [正解] 原式=(1-)°(±)"=(-2i)3"=8i2+ (k为非负整数). -|误区警示|l--- 虚数单位i的正整数次幂的周期性：i"=1,im+1= i,i4“+2=-1,i4”+3=—i.在进行与虚数单位i的正整数 次幂有关的运算时，必须注意周期性的使用. 提示专请完成《素能提升训练》训练十七 45