7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第二册同步练测（人教A版2019）

?高中数学·必修 第二册 易错对复数与复平面中的向量的一 警示 一对应关系理解不到位致错 [典例] 在复平面内，向量OA表示的复数为1+i, 将向量OA向右平移1个单位长度后，再向上平 移2个单位长度，得到向量0A’,则向量OA对 应的复数是 → [错解] 由题意知OA=(1,1),将向量OA向右 平移1个单位长度，再向上平移2 个单位长度 后，得到向量OA',则OA?=(2,3),从而向量 OA对应的复数是2+3i. [错解分析] 本解法中忽略了向量作平移变换 后，两个向量仍然相等，因此两向量对应的复数 不变. [正解] 向量OA平移后得到向量o'A3,则OA =OA?,因而向量OA所对应的复数是1+i. 误区警示[----------- (1)向量平移后，所得向量的坐标不变。 (2)向量的横坐标、纵坐标分别是其对应复数的实 部与虚部。 提示、请完成《素能提升训练》训练十五 7.2 复数的四则运算 7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义 [学习任务 1.结合加减运算法则了解复数代数形式的加、减运算法则. 2.结合向量的加减运算明确复数代数形式的加、减运算的几何意义. 自主学习探新知 知识点 复数的加法、减法 1.复数的加、减法运算法则 设z?=a+bi,z?=c+di(a,b,c,d∈R),则z?+z?= _,21-z?= 2.复数加法的运算律 (1)交换律：?+z?= _; (2)结合律：(z?+z?)+z?=——— 3.复数加、减法的几何意义 (1)如图，设在复平面内复数 广2?(cA) zz,z?对应的向量分别为 OZ,OZ?,以OZ,0Z?为邻边 Z?(a,b) 作平行四边形，则与z十z? 0 对应的向量是0Z,与z-z? 对应的向量是_ ; (2)复平面内的两点Z?(x?,y?),Z?(x?,y?)之间的距离 IZ,Z?I=1ZZ?I=√(x?-x)2+(y?-y)2. 互动探究解疑难 要点归纳 重难寒破 探究一 复数的加、减运算 [例1] 计算：(1)(-2+3i)+(5—i); (2)(-1+√2i)+(1+√2i); (3)(a+bi)—(2a-3bi)—3i(a,b∈R). 规律方法|l----------------- 复数的加、减运算的技巧 (1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相 加减。 (2)把i看作一个字母，类比多项式加减中的合并 同类项。 42 第七章 复 数 跟踪训练 1.计算下列各题. (1)(3—2i)—(10—5i)+(2+17i); (2)(1-2i)一(2—3i)+(3-4i)一(4—5i)十⋯十 (2 017—2 018i). 探究二 复数加、减运算的几何意义 [例 2] (链接教材第 77 页练习 2 y B C<题)如图 所 示，在 平行 四 边 形 OABC中，顶点 O,A,C分别表示 A 0 0,3+2i,-2+4i.求：一→ → (1)AO所表示的复数，BC所表示的复数； —→ (2)对角线CA所表示的复数； (3)对角线OB所表示的复数及OB的长度. Ⅱ规律方法|Ⅱ 运用复数加、减运算的几何意义应注意的问题 向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形 法则是复数加法、减法几何意义的依据，利用加法“首 尾相接”和减法“指向被减数”的特点，在三角形内可求一→ 得第三个向量及其对应的复数，注意向量AB对应的复 数是zp-zA(终点对应的复数减去起点对应的复数). 跟踪训练 2.(1)如图，在复平面内，复数z1,z?对应的向量分 y别是OA,OB,则复数z?-z2 2= ( ) 1B A.—1+2i -2 A -4 oi 2 B.—2—2i -1 C.1+2i -2 D.1—2i (2)(多选)在复平面内有一个平行四边形 OABC,点O为坐标原点，点 A对应的复数为z1 =1+i,点 B对应的复数为z2=1+2i,点C对应 的复数为z?,则下列结论正确的是 ( ) A.z?一z2=—i B.点C位于第二象限 C.z?十z?=z2 D.|z?-z?I=|ACI 探究三 复数加减运算的综合应用 [例3] 设z?,z?∈C,已知|z?I=|z2I=1, z?+z?|=√2,求|z?-z?|. 规律方法| 与复数模有关的几个常见结论 在复平面内，之1,z2对应的点为A,B,z?十z2对应 的点为C,0为坐标原点. (1)四边形 OACB为平行四边形. (2)若|z?+z?I=|z?一z|,则四边形OACB为 矩形. (3)若|z?I=|z2|,则四边形OACB为菱形. (4)若|z?I=|z?|且|z?+z?I=|z?—z?|,则四边形 OACB为正方形. 跟踪训练 3.已知|z?l=|z?I=|z?一z?l=1,求|z?+z?|. 43 ?高中数学·必修 第二册 易错 将复数与对应向量弄错 而导致复数求错警示 [典例] 已知在复平面内，A(1,0),B(2,1), C(-1,3),并且CD=AB,求CD及点D 对应的 复数. → — [错解] 设CD,AB及点D 对应的复数分别是 ≈1,z2和z?. 因为AB=(2,1)—(1,0)=(1,1), 所以AB对应的复数z?=1+i. 又因为CD=AB,所以CD对应的复数x?=1+i, 即点D对应的复数z?=1+i. [错解分析] 错解中将点 D对应的复数与CD 对应的复数混为一谈.只有当向量的起点在坐 标原点时，终点对应的复数才和向量对应的复 数相等. [正解] 设点 A,B,C,D对应的复数分别是 21,≈2,之3,≈4, 则z?=1,z?=2+i,z?=-1+3i,→ 所以AB对应的复数为z?一z?=1+i. 又因为CD=AB=1+i, 所以CD对应的复数为1+i. 又因为CD对应的复数为z4一z?, 所以z4一z?=1+i. 所以z4=1+i+z?=1+i+(-1+3i)=4i. 所以点D对应的复数是4i. 误区警示[l---------------------------- 复数z=a+bi(a,b∈R)在复平面内的对应点是 Z(a,b),对应的向量是0z=(a,b).在复数中，“数” “点”“向量”这三者之间的对应不能弄错。 提示上请完成《素能提升训练》训练十六 7.2.2 复数的乘、除运算 [学习任务] 1.结合多项式的乘法了解复数的乘法法则. 2.理解共轭复数的概念. 3.能进行复数的除法以及分母实数化. 自主学习探新知 知识点 复数的乘法与除法 1.复数的乘法法则 设z?=a+bi,z?=c+di(a,b,c,d∈R),则 21z2=(a+bi)(c+di)= . 2.复数乘法的运算律 对任意复数≈1,≈2,z?∈C,有 交换律 21≈2=_ 续表 结合律 (z?≈2)z?= 分配律 z?(z?+z?)=_ 3.复数代数形式的除法法则 (a+bi)÷(c+di)=c+di=- (a,b,c,d∈R,且 c+di≠0). 互动探究解疑难 要点归纳 重难寒破 探究一 复数代数形式的乘法运算 [例1] 计算下列各题. (1)(1—i)(1+i)十(—1+i); (2)(2—i)(—1+5i)(3—4i)十2i. 规律方法|l----- 1.两个复数代数形式乘法的一般方法 (1)首先按多项式的乘法展开. (2)再将i2换成—1. (3)然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代 数形式。 2.常用公式 (1)(a+bi)2=a2—b2+2abi(a,b∈R). (2)(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a,b∈R). (3)(1±i)2=±2i. 形 (2)设方程的实数根为x=m, 则3m2-2m-1=(10-m-2m2)i, 0-2-0解得a=11或a=-号. [跟踪训练] 3.解析 (1)若m=1,则z?=3-3i=z?. (m-4=+-13=3’得m=1,所以m=1是若z?=z?,则 =z?的充要条件。 (2)设(x?,y?)是方程组的实数解.由已知及复数相等，-得< 由①②得 b=2,代入③④得 所以实数 a,b的值分别为1,2. 答案(1)C (2)1,2 7.1.2 复数的几何意义 【自主学习探新知】 知识点一 1.Z(a,b) 知识点二 1.(1)模 模(2)|z|或| a+bi (3)√a2+b2 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] [解] 复数 z=(m2-2m-8)+(m2+3m-10)i 的实部为m2—2m-8,虚部为m2+3m-10. (1)由题意得m2-2m-8=0, 解得m=—2或 4. (2)由题意，(m2—2m—8)(m2+3m—10)<0, ∴2<m<4或-5<m<-2. [跟踪训练] 1.解析(1)由复数z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对 m-1<0,解得-3<m<1.应的点在第四象限，可得 故选 A. (2)复数z?=2-ai(a∈R)对应的点的坐标为(2,-a), y=3x+4上，故-a=3+4,解得 a=该点在直线： —2,所以复数 z?=—2+2i,它对应的点的坐标为(—2, 2),在第二象限，故选B. 答案(1)A (2)B 探究二 [例2] [解析](1)由复数的几何意义， 可得0Z=(5,-4),0Z?=(-5,4), 所以OZ+oz?=(5,-4)+(-5,4)=(0,0), 所以Oz+0Z?对应的复数为0. (2)由复数的几何意义，得OA=(2,-3),OB=(-3, 2),BA=OA-OB=(2,-3)-(-3,2)=(5,-5),一→ 所以BA对应的复数是5-5i. [答案](1)C(2)D [跟踪训练] 2.C 由题知，点 A(1,2),B(-2,1),C(0,0)。设点 D的坐 标为(x,y),则有AD=(x-1,y-2),BC=(2,-1).又 因为四边形 ABCD为平行四边形，所以AD= BC,即 y=1,{3-2=21,得{ 所以点 D(3,1),其对应的复数 为3+i.故选C. 探究三 [例3] [解析] 由题意可得x+axi=2+yi,结合复数相 a=2,等的充要条件可知 则x=y=2.故|x+yi|=|2+ 2i|=√4+4=2√2.故选A. [答案] A [例4] [解](1)解法一：|z|=2 说明复数z在复平面 内对应的点Z到原点的距离为2,这样的点Z的集合是 以原点O为圆心，2为半径的圆。 解法二：设z=a+bi(a,b∈R),由|z|=2,得a2+b2=4. 故点Z对应的集合是以原点O为圆心，2 为半径的圆。 (2)不等式1≤|z|≤2可以转化 y {|3≤2为不等式组 不等式|z|≤2的解集是圆|z|=2 o及该圆内部所有点的集合. 1% 12 x 不等式|z|≥1 的解集是圆 |z|=1及该圆外部所有点的 集合. 这两个集合的交集，就是满足条件1≤|z|≤2 的点的集 合，如图中的阴影部分，故所求点的集合是以O为圆心， 以1和 2 为半径的两圆所夹的圆环，并且包括圆环的 边界. [跟踪训练] 3.解析 (1)由z=8+6i,得z=8—6i,∴|=|= √82+(-6)2=10. z=1+3i,则|x|=1,故A错误；对于(2)对于 A,取 B,AB=OB-OA=(-3,4)-(6,5)=(-9,-1),故 AB对应的复数为一9-i,故 B错误；对于C,取z=i,但 i2=-1,z2+1=i2+1=0,故 C错误；对于 D,复数z对 应的点所构成的图形面积为π×2—π×1=π,故 D 正确。 答案(1)D(2)ABC 7.2 复数的四则运算 7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义 【自主学习探新知】 知识点 1.(a+c)+(b+d)i(a—c)+(b—d)i 2.(1)z,+z?(2)z?+(z+z?)3.(1)Z?Z 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] [解](1)(-2+3i)+(5-i) =(-2+5)+(3-1)i=3+2i. (2)(-1+√2i)+(1+√2i)=(-1+1)+(√2+√2)i =2√2i. (3)(a+bi)—(2a-3bi)-3i=(a-2a)+(b+3b-3)i =—a+(4b—3)i. [跟踪训练] 1.解 (1)原式=(3-10+2)+(-2+5+17)i= —5+20i. (2)原式=(1-2+3-4+⋯+2 015-2 016+2 017)+ (—2+3-4+5—⋯-2 016+2 017—2 018)i=1 009— 1 010i. 探究二 [例2] [解](1)因为0-(3+2i)=-3-2i, 所以AO所表示的复数为-3-2i. 16 因为BC=AO,所以BC所表示的复数为-3-2i (2)因为CA=0A-oc, 所以CA所表示的复数为(3+2i)一(-2+4i)=5-2i. (3)因为对角线OB=OA+AB=OA+oc, 所以OB所表示的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i, 故|OB=√12+62=√37. [跟踪训练] 2.解析(1)解法一：一z。对应的向量为OA-OB,由题 图知OA-OB=(-2,-2),所以z?一z?=-2-2i. 解法二：由题意，知x?=-2-i,z2=i,所以z?—z?=-2 —2i.故选B. (2) A √ z?一2,=1+i-1-2i=— 由题意得O(0,0),A(1,1),B(1,2),因为四 B × 边形OABC为平行四边形，所以C(0,1),所 以zg=i,点C位于虚轴上 +y如图，21,Z2,z3对应的向量C √ 2 B Oc=OB,OA-0c=CA, ik A 即z?+z?=z2,z?一z?I= D √ IAC -1 o 1 分别为OA,OB,oc,则OA+ c 答案(1)B(2)ACD 探究三 [例3] [解] 解法一：设z?=a+bi,z?=c+di(a,b,c, d∈R), 由题设知 a2+b2=1,c2+d2=1,(a+c)2+(b+d)2=2. 又∵(a+c)2+(b+d)2=a2+2ac+c2+b2+2bd+d2, ∴2ac+2bd=0. ∵z?一z?l2=(a—c)2+(b—d)2 =a2+c2+b2+d2—(2ac+2bd)=2, ∴|z?一z?|=√2. 解法二：作出z,z。对应的向量Oz,oz?, 使OZ?+0z?=0z. ∵|z?I=|z?|=1,又0Z?,0Z?不共线(若OZ?,0Z?共线， 则|z?十z?|=2或0与题设矛盾), ∴平行四边形0Z?ZZ?为菱形.又|z?+z?I=√2, ∴∠Z?0Z?=90°, 即四边形0Z?ZZ?为正方形，故|z?一z?|=√2. [跟踪训练] 3.解 解法一：设z?=a+bi,z,=c十di(a,b,c,d∈R). ∵|z?l=|z?I=|z?-z?I=1, ①∴a2+b2=c2+d2=1, (a-c)2+(b-d)2=1. ② 由①②得2ac+2bd=1. ∴|z?+z?I=√(a+c)2+(b+d)2 = √a2+c2+b2+d2+2ac+2bd=√3. 解法二：设O为坐标原点， 2?,≈2,z?十z?对应的点分别为A,B,C. ∵z?I=|z?I=|z?-z?|=1, ∴△OAB是边长为1的正三角形， ∴四边形OACB是一个内角为60°,边长为1的菱形，且 z?+z?|是菱形的较长的对角线OC的长， ∴|z?+z?|=|OC| = √|OA|2+|AC|2-2|OA||AC|cos 120°=√3. 7.2.2 复数的乘、除运算 【自主学习探新知】 知识点 1.(ac—bd)+(ad+bc)i 2.z2≈1 z?(z?z?) ?+xz。3.c+d+s?+d 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] [解](1)(1-i)(1+i)+(-1+i) =1—i2-1+i=1+i. (2)(2—i)(—1+5i)(3-4i)+2i =(-2+10i+i—5i2)(3—4i)+2i =(3+11i)(3-4i)+2i =(9-12i+33i—44i2)+2i =53+21i+2i=53+23i. [跟踪训练] 1.解析(1)(1—i)2—(2-3i)(2+3i)=1-2i+i2—(4— 9i2)=—13-2i. (2)因为z=(1-i)(a+i)=a+1+(1-a)i, 所以它在复平面内对应的点为(a+1,1-a). 又此点在第二象限， {a-a>0,所以 解得a<-1,所以选BCD. 答案(1)D(2)BCD 探究二 (1)+i=(3+i)(1-)=4-2i=2-i.[例2] [解析]( (2)∵z(2—i)=11+7i, ∴2=2-7i=(2-7(2++)=15525=3+5i. [答案](1)D(2)A [跟踪训练] 2-i=(2+(2(2-=2+i,则25(i为虚数(1):2.解析 单位)的共轭复数是2—i. (2)因为z(1+2i)=i(1+z),所以z(1+i)=i,所以z= 1+=(1+(1-=12=2+2i. 答案(1)A (2)A 探究三 [例3] [解](1)因为x2+5=0,所以x2=-5. 又因为(√5i)2=(一√5i)2=-5, 所以x=±√5i,所以方程 x2+5=0的根为±√5i. (2)解法一：因为x2+4x+6=0,所以(x+2)2=—2. 因为(√2i)2=(一√2i)2=-2, 所以x+2=√2i或x+2=—√2i, 即x=-2+√2i或-2-√2i, 所以方程 x2+4x+6=0的根为x=-2±√2i. 解法二：由x2+4.x+6=0知△=42—4×6=—8<0, 所以方程x2+4.x+6=0无实数根。在复数范围内， 设方程x2+4x+6=0的根为x=a+bi(a,b∈R且b≠0), 则(a+bi)2+4(a+bi)+6=0, 所以 a2+2abi—b2+4a+4bi+6=0, 整理得(a2-b2+4a+6)+(2ab+4b)i=0, {2ab+4b=a0+6=0,所以 {2a-4=0a+6=0,又因为b≠0,所以 解得a=-2,b=±√2. 所以x=-2±√2i, 即方程 x2+4x+6=0的根为x=-2±√2i. 17