7.1.2 复数的几何意义-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第二册同步练测（人教A版2019）

?高中数学·必修 第二册 易错 对纯虚数的概念把握不准致错 警示 [典例] 复数z=(m2+5m+6)+(m2-2m—15)i 是纯虚数，则实数m的值为 [错解] 由z为纯虚数，得m2+5m+6=0,解得 m=-2或m=—3.故实数 m的值为-2或—3. [错解分析] 造成错解的原因是忽略了“纯虚 数的虚部不能为0”这一条件，从而产生增解 m=-3. [正解] 由z为纯虚数，得 m2-2m-15+0,解得m=-2.故实数m的值 为一2. -误区警示||- 利用复数的分类求参数时，要先确定构成实部、虚 部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求 解.要特别注意复数 z=a+bi(a,b∈R)为纯虚数的充 分必要条件是a=0且b≠0,二者缺一不可. 提示↓请完成《素能提升训练》训练十四 7.1.2 复数的几何意义 [学习任务_ 1.通过实例了解复平面的点与复数一一对应关系. 2.通过复平面，把复数与向量建立起紧密的联系. 3.通过向量的模表示复数的模. 自主学习探新知 知识点一 复平面及复数的几何意义 1.复平面：复数z=a+bi(a,b∈R)可以用直角坐标 平面内的一个点 来表示，如图： 复平面 (实轴)b Z:a+bi o a 虚轴) 2.复数的几何意义 一一对应 复数=a+bi 对应一一 复平面内的点Z(a,b) 平面向量O2 —一对应 知识点二 复数的模及共轭复数 1.复数的模 (1)定义：向量OZ的 叫做复数≈=a+bi (a,b∈R)的 或绝对值； (2)记法：复数 z=a+bi的模记为 ; (3)公式：|z|=|a+bi|= (a, b∈R). 2.共轭复数 (1)定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反 数时，这两个复数叫做互为共轭复数； (2)表示：若z=a+bi,a,b∈R,则共轭复数z=a —bi. 互动探究解疑难 要点归纳 重难窘破 探究一 复数与复平面内点的关系 [例1] (链接教材第71页例2)在复平面内，若复 数z=(m2—2m—8)+(m2+3m—10)i对应 的点： (1)在虚轴上； (2)在第二、四象限； 分别求实数 m的取值范围. :4 第七章 复 数 规律方法[------------------------------- 利用复数与复平面内点的对应关系解题的步骤 (1)找对应关系：复数的几何表示法即复数 z=a +bi(a,b∈R)可以用复平面内的点Z(a,b)来表示，是 解决此类问题的根据； (2)列出方程：此类问题可寻求复数的实部与虚部 应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解。 [提醒] 复数与复平面内的点是一一对应关系， 因此复数可以用点来表示. 跟踪训练 1.(1)已知复数z=(m+3)十(m—1)i(m∈R)在复 平面内对应的点在第四象限，则实数 m的取值 范围是 ( ) A.(-3,1) B.(-1,3) C.(1,十一) D.(—0,—3) (2)已知复数z?=2—ai(a∈R,i为虚数单位)对 y=gx+4上，则复数z?=a+2i应的点在直线 对应的点在 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 探究二 复数与复平面内的向量的关系 [例2](1)向量OZ?对应的复数是5-4i,向量OZ? 对应的复数是-5+4i,则OZ?+OZ?对应的复数 是 ( ) A.—10+8i B.10—8i 2—31,—3+21,那么向量BA对应的复数是() A.—5+5i B.—5—5i C.5+5i D.5—5i 规律方法Ⅱ 复数与平面向量的对应关系 (1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面 向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向 量对应的复数.反之复数对应的点确定后，从原点引出 的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量. (2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般 以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复 平面内的点、向量之间的转化. 跟踪训练 2.在复平面内，平行四边形 ABCD的3个顶点 A, B,C对应的复数分别是1+2i,-2+i,0,则点 D 对应的复数是 ( ) A.3—i B.—1+3i D.—3—iC.3+i 探究三 复数的模 角度1 复数模的计算 [例3] 已知i为虚数单位，(1+i)x=2+yi,其中 x,y∈R,则|x+yi|= ( ) A.2√2 D.√2B.2 C.4 角度2 复数模的几何意义 [例4] 设z∈C,且z在复平面内对应点Z,试说 明满足下列条件的点Z的集合是什么图形. (1)|z|=2; (2)1≤|z|≤2. 规律方法[1---------------------------------------- 解决复数的模的几何意义的问题，应把握两个关 键点：一是|z|表示点Z到原点的距离，可依据|z|满足 的条件判断点Z的集合表示的图形；二是利用复数的 模的概念，把模的问题转化为几何问题来解决. 跟踪训练 3.(1)(广东汕头期中)已知复数 z=8+6i,则|2|= ( ) A.4 B.6 C.8 D.10 (2)(多选)(河北沧州高一期中)关于复数，下列 说法错误的是 ( ) A.若|z|=1,则z=±1或士i B.复数6+5i与-3+4i分别对应向量OA与OB, 则向量AB对应的复数为9+i C.若z是复数，则z2+1>0 D.若复数≈满足1≤|≈|<√2,则复数≈对应的 点所构成的图形面积为π 41 ?高中数学·必修 第二册 易错对复数与复平面中的向量的一 警示 一对应关系理解不到位致错 [典例] 在复平面内，向量OA表示的复数为1+i, 将向量OA向右平移1个单位长度后，再向上平 移2个单位长度，得到向量0A’,则向量OA对 应的复数是 → [错解] 由题意知OA=(1,1),将向量OA向右 平移1个单位长度，再向上平移2 个单位长度 后，得到向量OA',则OA?=(2,3),从而向量 OA对应的复数是2+3i. [错解分析] 本解法中忽略了向量作平移变换 后，两个向量仍然相等，因此两向量对应的复数 不变. [正解] 向量OA平移后得到向量o'A3,则OA =OA?,因而向量OA所对应的复数是1+i. 误区警示[----------- (1)向量平移后，所得向量的坐标不变。 (2)向量的横坐标、纵坐标分别是其对应复数的实 部与虚部。 提示、请完成《素能提升训练》训练十五 7.2 复数的四则运算 7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义 [学习任务 1.结合加减运算法则了解复数代数形式的加、减运算法则. 2.结合向量的加减运算明确复数代数形式的加、减运算的几何意义. 自主学习探新知 知识点 复数的加法、减法 1.复数的加、减法运算法则 设z?=a+bi,z?=c+di(a,b,c,d∈R),则z?+z?= _,21-z?= 2.复数加法的运算律 (1)交换律：?+z?= _; (2)结合律：(z?+z?)+z?=——— 3.复数加、减法的几何意义 (1)如图，设在复平面内复数 广2?(cA) zz,z?对应的向量分别为 OZ,OZ?,以OZ,0Z?为邻边 Z?(a,b) 作平行四边形，则与z十z? 0 对应的向量是0Z,与z-z? 对应的向量是_ ; (2)复平面内的两点Z?(x?,y?),Z?(x?,y?)之间的距离 IZ,Z?I=1ZZ?I=√(x?-x)2+(y?-y)2. 互动探究解疑难 要点归纳 重难寒破 探究一 复数的加、减运算 [例1] 计算：(1)(-2+3i)+(5—i); (2)(-1+√2i)+(1+√2i); (3)(a+bi)—(2a-3bi)—3i(a,b∈R). 规律方法|l----------------- 复数的加、减运算的技巧 (1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相 加减。 (2)把i看作一个字母，类比多项式加减中的合并 同类项。 42 (2)设方程的实数根为x=m, 则3m2-2m-1=(10-m-2m2)i, 0-2-0解得a=11或a=-号. [跟踪训练] 3.解析 (1)若m=1,则z?=3-3i=z?. (m-4=+-13=3’得m=1,所以m=1是若z?=z?,则 =z?的充要条件。 (2)设(x?,y?)是方程组的实数解.由已知及复数相等，-得< 由①②得 b=2,代入③④得 所以实数 a,b的值分别为1,2. 答案(1)C (2)1,2 7.1.2 复数的几何意义 【自主学习探新知】 知识点一 1.Z(a,b) 知识点二 1.(1)模 模(2)|z|或| a+bi (3)√a2+b2 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] [解] 复数 z=(m2-2m-8)+(m2+3m-10)i 的实部为m2—2m-8,虚部为m2+3m-10. (1)由题意得m2-2m-8=0, 解得m=—2或 4. (2)由题意，(m2—2m—8)(m2+3m—10)<0, ∴2<m<4或-5<m<-2. [跟踪训练] 1.解析(1)由复数z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对 m-1<0,解得-3<m<1.应的点在第四象限，可得 故选 A. (2)复数z?=2-ai(a∈R)对应的点的坐标为(2,-a), y=3x+4上，故-a=3+4,解得 a=该点在直线： —2,所以复数 z?=—2+2i,它对应的点的坐标为(—2, 2),在第二象限，故选B. 答案(1)A (2)B 探究二 [例2] [解析](1)由复数的几何意义， 可得0Z=(5,-4),0Z?=(-5,4), 所以OZ+oz?=(5,-4)+(-5,4)=(0,0), 所以Oz+0Z?对应的复数为0. (2)由复数的几何意义，得OA=(2,-3),OB=(-3, 2),BA=OA-OB=(2,-3)-(-3,2)=(5,-5),一→ 所以BA对应的复数是5-5i. [答案](1)C(2)D [跟踪训练] 2.C 由题知，点 A(1,2),B(-2,1),C(0,0)。设点 D的坐 标为(x,y),则有AD=(x-1,y-2),BC=(2,-1).又 因为四边形 ABCD为平行四边形，所以AD= BC,即 y=1,{3-2=21,得{ 所以点 D(3,1),其对应的复数 为3+i.故选C. 探究三 [例3] [解析] 由题意可得x+axi=2+yi,结合复数相 a=2,等的充要条件可知 则x=y=2.故|x+yi|=|2+ 2i|=√4+4=2√2.故选A. [答案] A [例4] [解](1)解法一：|z|=2 说明复数z在复平面 内对应的点Z到原点的距离为2,这样的点Z的集合是 以原点O为圆心，2为半径的圆。 解法二：设z=a+bi(a,b∈R),由|z|=2,得a2+b2=4. 故点Z对应的集合是以原点O为圆心，2 为半径的圆。 (2)不等式1≤|z|≤2可以转化 y {|3≤2为不等式组 不等式|z|≤2的解集是圆|z|=2 o及该圆内部所有点的集合. 1% 12 x 不等式|z|≥1 的解集是圆 |z|=1及该圆外部所有点的 集合. 这两个集合的交集，就是满足条件1≤|z|≤2 的点的集 合，如图中的阴影部分，故所求点的集合是以O为圆心， 以1和 2 为半径的两圆所夹的圆环，并且包括圆环的 边界. [跟踪训练] 3.解析 (1)由z=8+6i,得z=8—6i,∴|=|= √82+(-6)2=10. z=1+3i,则|x|=1,故A错误；对于(2)对于 A,取 B,AB=OB-OA=(-3,4)-(6,5)=(-9,-1),故 AB对应的复数为一9-i,故 B错误；对于C,取z=i,但 i2=-1,z2+1=i2+1=0,故 C错误；对于 D,复数z对 应的点所构成的图形面积为π×2—π×1=π,故 D 正确。 答案(1)D(2)ABC 7.2 复数的四则运算 7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义 【自主学习探新知】 知识点 1.(a+c)+(b+d)i(a—c)+(b—d)i 2.(1)z,+z?(2)z?+(z+z?)3.(1)Z?Z 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] [解](1)(-2+3i)+(5-i) =(-2+5)+(3-1)i=3+2i. (2)(-1+√2i)+(1+√2i)=(-1+1)+(√2+√2)i =2√2i. (3)(a+bi)—(2a-3bi)-3i=(a-2a)+(b+3b-3)i =—a+(4b—3)i. [跟踪训练] 1.解 (1)原式=(3-10+2)+(-2+5+17)i= —5+20i. (2)原式=(1-2+3-4+⋯+2 015-2 016+2 017)+ (—2+3-4+5—⋯-2 016+2 017—2 018)i=1 009— 1 010i. 探究二 [例2] [解](1)因为0-(3+2i)=-3-2i, 所以AO所表示的复数为-3-2i. 16