7.1.1 数系的扩充和复数的概念-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第二册同步练测（人教A版2019）

第七章 复 数 复数的概念7.1 三g AI伴学助手 直两答冠 配度答案 全情理 查补缺 7.1.1 数系的扩充和复数的概念 [学习任务] 1.在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程 中的作用. 2.在实际问题中感受人类理性思维的作用以及数与现实的联系. 3.理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件. 自主学习探新知 知识点一 复数的有关概念 1.复数 (1)定义：形如 (a,b∈R)的数叫做复 数，其中i叫做_ _,满足i2= . 复数 a+bi的实部是 ,虚部是__ ; (2)表示方法：复数通常用字母z表示，即z=a+ bi(a,b∈R). 2.复数集 (1)定义： 所构成的集合C={a+bi|a,b ∈R}叫做复数集； (2)表示：通常用大写字母 表示. 知识点二 复数的分类 1.对于复数z=a+bi(a,b∈R)而言， (1)z为实数?b=0; (2)z为虚数?b≠0; (3)2为纯虚数?(6≠0. 2.集合表示 复数集 虚数集 实数集纯虚 数集 知识点三 复数相等 设 a,b,c,d都是实数，那么 a+bi=c+di-___ 互动探究解疑难 要点归纳 重难窘破 探究一 复数的概念 [例1] 写出下列复数的实部和虚部，并判断它们 是实数，虚数，还是纯虚数. ①2+3i;②-3+i;③√2+i;④π;⑤一√3i ⑥0. -规律方法[----------------------------- 复数概念的几个关注点 (1)复数的代数形式：若z=a+bi,只有当 a,b∈R 时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是 bi,而是b; (2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复 数，实数和虚数是复数的两大构成部分； (3)如果两个复数都是实数可以比较大小，否则是 不能比较大小的。 3 第七章 复 数 跟踪训练 1.下列命题： ①若a∈R,则(a+1)i是纯虚数； ②若(x2—1)+(x2+3x+2)i(x∈R)是纯虚数， 则x±1; ③两个虚数不能比较大小. 其中正确命题的序号是 探究二 复数的分类 [例2](链接教材第69 页例1)当m为何实数时， z=mm-3-?+(m2-2m-15)i.复数： (1)是虚数； (2)是纯虚数. 变式训练 1.(变设问)本例中条件不变，当 m为何值时，z为 实数? 2.(变设问)本例中条件不变，当 m为何值时， z>0. Ⅱ规律方法l 解决复数分类问题的方法与步骤 (1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为a+ bi(a,b∈R)的形式，以确定实部和虚部； (2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实 部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数 形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可； (3)下结论：设所给复数为z=a+bi(a,b∈R). ①z为实数?b=0;②z为虚数?b≠0;③z为纯虚 数?a=0且b≠0. 跟踪训练 z=m3+m-?+(m2-2.实数 m取什么值时，复数 2m)i是 (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数. 探究三 复数的相等及应用 [例3] (1)已知 x2—y2+2xyi=2i,求实数x,y 的值； (2)关于x的方程3x2-2x-1=(10-x-2x2)i 有实根，求实数 a的值. 规律方法|1--------------------- 复数相等问题的解题技巧 (1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实 部相等列方程组求解. (2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数 问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问 题实数化思想的体现。 跟踪训练 3.(1)若z?=(m2+m+1)+(m-4)i(m∈R),z?= 3-3i,则m=1是z?=z?的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)已知关于 x,y的方程组 (+)-20-+0--有实数解，则 实数a,b的值分别为 39 ?高中数学·必修 第二册 易错 对纯虚数的概念把握不准致错 警示 [典例] 复数z=(m2+5m+6)+(m2-2m—15)i 是纯虚数，则实数m的值为 [错解] 由z为纯虚数，得m2+5m+6=0,解得 m=-2或m=—3.故实数 m的值为-2或—3. [错解分析] 造成错解的原因是忽略了“纯虚 数的虚部不能为0”这一条件，从而产生增解 m=-3. [正解] 由z为纯虚数，得 m2-2m-15+0,解得m=-2.故实数m的值 为一2. -误区警示||- 利用复数的分类求参数时，要先确定构成实部、虚 部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求 解.要特别注意复数 z=a+bi(a,b∈R)为纯虚数的充 分必要条件是a=0且b≠0,二者缺一不可. 提示↓请完成《素能提升训练》训练十四 7.1.2 复数的几何意义 [学习任务_ 1.通过实例了解复平面的点与复数一一对应关系. 2.通过复平面，把复数与向量建立起紧密的联系. 3.通过向量的模表示复数的模. 自主学习探新知 知识点一 复平面及复数的几何意义 1.复平面：复数z=a+bi(a,b∈R)可以用直角坐标 平面内的一个点 来表示，如图： 复平面 (实轴)b Z:a+bi o a 虚轴) 2.复数的几何意义 一一对应 复数=a+bi 对应一一 复平面内的点Z(a,b) 平面向量O2 —一对应 知识点二 复数的模及共轭复数 1.复数的模 (1)定义：向量OZ的 叫做复数≈=a+bi (a,b∈R)的 或绝对值； (2)记法：复数 z=a+bi的模记为 ; (3)公式：|z|=|a+bi|= (a, b∈R). 2.共轭复数 (1)定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反 数时，这两个复数叫做互为共轭复数； (2)表示：若z=a+bi,a,b∈R,则共轭复数z=a —bi. 互动探究解疑难 要点归纳 重难窘破 探究一 复数与复平面内点的关系 [例1] (链接教材第71页例2)在复平面内，若复 数z=(m2—2m—8)+(m2+3m—10)i对应 的点： (1)在虚轴上； (2)在第二、四象限； 分别求实数 m的取值范围. :4 λ=AP=9,.AD=3..AB=4,AC=3,2BAC= 90°,∴BC=5.设CD=x,∠CDA=0,则 BD=5-x, ∠BDA=π一 0.∴根据 余 弦 定 理 可 得 cos O= AD2ACpcAC=g,cos(x-0)=AD2AB·BAB =6(5-°)?.cosθ+ cos(n-0)=0,晋+ 856(5-)=0,解得x=8,∴CD的长度为 .当m= 0时，Pá=3PC,C,D重合，此时CD的长度为0;当m =2时，PA=3PB,B,D重合，此时 PA=12,不合题 意，舍去. (2)号或0[5,3]答案(1) 4.解(1)由AB·AC=4AM·BC,得 AB·Ac=4.AB+AC.(Ac-AB). 2+B-a=2Gb2-己),即362+a2=5&.由余弦定理可得 cosC=2+a-由余弦定理可得 d+6-(s2+号)_+ =5+5≥52, 2当且仅当b=√2a时取等号，所以 cosC的最小值为 (2)由于S=a2=2absinC,从而a=2bsinC. 又3b2+a2=5c2,结合余弦定理可得 5a2+号b2=a2+b2-2abcos C, 即告a2+号b2-2abcos C=0, 将a=2bsinC代入，得 专(2sinc)2+号-2×1 sin Ccos C=0, 即亏sin2C-sin Ccos C+号=0, 从而3sin2C—5sin Ccos C+2cos2C=0. 又 cos C≠0,则3tan2C-5tan C+2=0, 解得 tan C=1或 tanC=3. 5.解(1)在△AOB中，由余弦定理，得 AB=√R2+R3-2R·Rcos(B+P)=2RsinB+B. 因为△AOB是等腰三角形，所以∠OAB=一(R+B). (2)在△ABC中，∠BAC=π-a?-m-(2+B)=- a?+B+B, 同理∠ABC=π-a?-m-(R+B)=2-a?+B+, 所以∠ACB=π-∠BAC-∠ABC=a?+a?一β?一β. 由正弦定理得 (2-a+8±a)-ma+a-A-A5 故BC-ABsm(2-a+- Ar(-B-) 2Ra-A-B-a) 第七章 复 数 7.1 复数的概念 7.1.1 数系的扩充和复数的概念 【自主学习探新知】 知识点一 1.(1)a+bi 虚数单位 -1 a b 2.(1)全体复数(2)C 知识点三 a=c且b=d 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] [解] ①的实部为2,虚部为3,是虚数； 12②的实部为-3,虚部为 ,是虚数； ③的实部为√2,虚部为1,是虚数； ④的实部为π,虚部为0,是实数； ⑤的实部为0,虚部为一√3,是纯虚数； ⑥的实部为0,虚部为0,是实数. [跟踪训练] 1.解析 对于①,当a=-1时，(a+1)i=0为实数，①错 a2+3=+2≠0,误；对于②,由纯虚数定义知 解得x= 1,②错误；对于③,实数可以比较大小，虚数不可以比较 大小，③正确。故答案为③. 答案 ③ 探究二 {m2-32m-15≠0,[例2] [解](1)当 即m≠5且m≠-3时，z是虚数。 -560(2)当< 即 m=3或-2 时，2是纯虚数。 [变式训练] {m+-32m0-15=0,即m=5时，z是实数。1.解 当 2.解 因为z>0,所以z为实数， -5-0解得m=5.需满足 [跟踪训练] m≠02m=0,2.解(1)当 即m=2 时，复数z是实数。 {m≠0,m≠0(2)当 即 m≠0且 m≠2 时，复数 之是 虚数。 m-2m-,(3)当 ’即m=-3时，复数z是纯虚数. 探究三 [例3] [解](1)∵x2-y2+2xyi=2i, (2=2-0, {3=1'或{{9==1,解得 15 (2)设方程的实数根为x=m, 则3m2-2m-1=(10-m-2m2)i, 0-2-0解得a=11或a=-号. [跟踪训练] 3.解析 (1)若m=1,则z?=3-3i=z?. (m-4=+-13=3’得m=1,所以m=1是若z?=z?,则 =z?的充要条件。 (2)设(x?,y?)是方程组的实数解.由已知及复数相等，-得< 由①②得 b=2,代入③④得 所以实数 a,b的值分别为1,2. 答案(1)C (2)1,2 7.1.2 复数的几何意义 【自主学习探新知】 知识点一 1.Z(a,b) 知识点二 1.(1)模 模(2)|z|或| a+bi (3)√a2+b2 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] [解] 复数 z=(m2-2m-8)+(m2+3m-10)i 的实部为m2—2m-8,虚部为m2+3m-10. (1)由题意得m2-2m-8=0, 解得m=—2或 4. (2)由题意，(m2—2m—8)(m2+3m—10)<0, ∴2<m<4或-5<m<-2. [跟踪训练] 1.解析(1)由复数z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对 m-1<0,解得-3<m<1.应的点在第四象限，可得 故选 A. (2)复数z?=2-ai(a∈R)对应的点的坐标为(2,-a), y=3x+4上，故-a=3+4,解得 a=该点在直线： —2,所以复数 z?=—2+2i,它对应的点的坐标为(—2, 2),在第二象限，故选B. 答案(1)A (2)B 探究二 [例2] [解析](1)由复数的几何意义， 可得0Z=(5,-4),0Z?=(-5,4), 所以OZ+oz?=(5,-4)+(-5,4)=(0,0), 所以Oz+0Z?对应的复数为0. (2)由复数的几何意义，得OA=(2,-3),OB=(-3, 2),BA=OA-OB=(2,-3)-(-3,2)=(5,-5),一→ 所以BA对应的复数是5-5i. [答案](1)C(2)D [跟踪训练] 2.C 由题知，点 A(1,2),B(-2,1),C(0,0)。设点 D的坐 标为(x,y),则有AD=(x-1,y-2),BC=(2,-1).又 因为四边形 ABCD为平行四边形，所以AD= BC,即 y=1,{3-2=21,得{ 所以点 D(3,1),其对应的复数 为3+i.故选C. 探究三 [例3] [解析] 由题意可得x+axi=2+yi,结合复数相 a=2,等的充要条件可知 则x=y=2.故|x+yi|=|2+ 2i|=√4+4=2√2.故选A. [答案] A [例4] [解](1)解法一：|z|=2 说明复数z在复平面 内对应的点Z到原点的距离为2,这样的点Z的集合是 以原点O为圆心，2为半径的圆。 解法二：设z=a+bi(a,b∈R),由|z|=2,得a2+b2=4. 故点Z对应的集合是以原点O为圆心，2 为半径的圆。 (2)不等式1≤|z|≤2可以转化 y {|3≤2为不等式组 不等式|z|≤2的解集是圆|z|=2 o及该圆内部所有点的集合. 1% 12 x 不等式|z|≥1 的解集是圆 |z|=1及该圆外部所有点的 集合. 这两个集合的交集，就是满足条件1≤|z|≤2 的点的集 合，如图中的阴影部分，故所求点的集合是以O为圆心， 以1和 2 为半径的两圆所夹的圆环，并且包括圆环的 边界. [跟踪训练] 3.解析 (1)由z=8+6i,得z=8—6i,∴|=|= √82+(-6)2=10. z=1+3i,则|x|=1,故A错误；对于(2)对于 A,取 B,AB=OB-OA=(-3,4)-(6,5)=(-9,-1),故 AB对应的复数为一9-i,故 B错误；对于C,取z=i,但 i2=-1,z2+1=i2+1=0,故 C错误；对于 D,复数z对 应的点所构成的图形面积为π×2—π×1=π,故 D 正确。 答案(1)D(2)ABC 7.2 复数的四则运算 7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义 【自主学习探新知】 知识点 1.(a+c)+(b+d)i(a—c)+(b—d)i 2.(1)z,+z?(2)z?+(z+z?)3.(1)Z?Z 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] [解](1)(-2+3i)+(5-i) =(-2+5)+(3-1)i=3+2i. (2)(-1+√2i)+(1+√2i)=(-1+1)+(√2+√2)i =2√2i. (3)(a+bi)—(2a-3bi)-3i=(a-2a)+(b+3b-3)i =—a+(4b—3)i. [跟踪训练] 1.解 (1)原式=(3-10+2)+(-2+5+17)i= —5+20i. (2)原式=(1-2+3-4+⋯+2 015-2 016+2 017)+ (—2+3-4+5—⋯-2 016+2 017—2 018)i=1 009— 1 010i. 探究二 [例2] [解](1)因为0-(3+2i)=-3-2i, 所以AO所表示的复数为-3-2i. 16