6.3.5 平面向量数量积的坐标表示-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第二册同步练测（人教A版2019）

由于AB与AC,AD有共同的起点A, 所以A,B,C,D四点共线， 因此直线AB与CD重合. 探究三 [例3] [解](1)由题得AB=(ax,1),CD=(4,x). ∵AB//CD,∴x2=4, 解得x=±2.→→ (2)由(1)得当AB与CD共线时，x=±2. ①当x=2时，A(2,0),B(4,1),C(2,2),D(6,4). ∴.BC=(-2,1),AB=(2,1),∴AB与BC不平行， ∴A,B,C三点不共线. ∴点 A,B,C,D不在一条直线上. ②当x=-2时，A(-2,0),B(-4,1),C(2,-2),D(6,-4). .BC=(6,-3),AB=(-2,1), ∴.BC=-3AB,∴AB//BC. ∵AB和BC有公共点B,∴A,B,C三点共线。 同理可得AB//CD,∴BC//CD.— 又BC和CD有公共点C,∴B,C,D三点共线. ∴A,B,C,D四点在一条直线上. 综上，当x=2 时，点A,B,C,D不在一条直线上；当x= -2 时，点A,B,C,D在一条直线上. [跟踪训练] 3.解 由题意知，AB=OB-OA=(-1,-2),Ac=0c- OA=(a-3,b-1). (1)因为A,B,C三点共线，所以AB//AC, 所以一(b-1)—(-2)×(a-3)=0,所以b=2a-5. (2)因为AC=-3AB, 所以(a-3,b-1)=-3(-1,-2)=(3,6), {6-3=6, {6=7,所以 解得 所以点C的坐标为(6,7). 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 【自主学习探新知】 知识点(1)x?x?+y?y?乘积的和(2)x2+y? √x?+yi(3)x?x?+y?y? ④简+·+ 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] [解析](1)a2—(a-b)·b=a2-a·b+b2= 25—(—4+6)+5=28. (2)由AC=AB+AD=(1,-2)+(2,1)=(3,-1), 得AD·AC=(2,1)·(3,-1)=5. [答案](1)C(2)A [跟踪训练] 1.解析(1)a·(a+b)=(1,-1)·(3,3)=3-3=0. (2)由向量a=(1,2),b=(m,1),b·(a+b)=3,得(m, 1)·(m+1,3)=3,所以m2+m=0,解得m=0或m= -1.当 m=0时，b=(0,1),a·b=2,所以向量a在向量 b上的投影向量为|alcos(a,b>=bb=(0,2);当 m=—1时，b=(-1,1),a·b=1,所以向量 a在向量b b=Ibb上的投影向量为| a | cos<a,b)· =(-2,2). 答案(1)B (2)BC 探究二 [例2] [解析](1)因为a//b,所以1×y-2×(-2)=0, 解得y=-4,从而3a+b=(1,2),|3a+b|=√5. (2)由BC=Ac-AB=(1,t-3),|BC|=√12+(t-3)2= 1,得t=3,则AB·BC=(2,3)·(1,0)=2×1+3×0= 2.故选C. [答案](1)A (2)C [跟踪训练] 2.解析 (1)原式=2a2-3a·b=2×(16+9)-3×(-4+6) =50—6=44. (2)由题意可设AB=λa(a>0), 所以AB=(2λ,3λ).又|AB|=2√13, 所以(2λ)2+(3λ)2=(2√13)2,解得λ=2(λ=-2舍去). 所以AB=(4,6).又 A(1,-2),所以 B(5,4). 答案(1)44 (2)(5,4) 探究三 [例3] [解析](1)当a与b共线时，2k-1=0,k=1, 此时 a,b方向相同，夹角为0°,所以要使 a与b的夹角 为锐角，则有a·b>0且a,b不同向，由a·b=2+k>0 得k>-2,且k≠2 (-2,2)u,即实数k的取值范围是( (2,+0),,故选B. (2)设点D的坐标为(x,y),则AD=(x-2,y+1), BC=(-6,-3),BD=(x-3,y-2). ∵点D在直线 BC上，即 BD与BC共线， ∴存在实数λ,使BD=λBC, 即(x-3,y-2)=λ(-6,-3), x-2=-3.∴x-3=2(y-2), ①即x-2y+1=0. 又∵AD⊥BC,∴AD·BC=0, 即(x-2,y+1)·(-6,-3)=0, ∴-6(x-2)-3(y+1)=0, 即2x+y-3=0. ② y=1,即D点坐标为(1,1),AD=(-1,2),由①②可得 ∴|ADI=√(-1)2+22=√5. 综上，|AD|=√5,D(1,1). [答案](1)B(2)见解析 [变式训练] 1.解 当a与b共线时，-2k-1=0,k=-2, 此时 a与b方向相反，夹角为180°, 所以要使 a与b的夹角为钝角， 则有a·b<0,且a与b不反向。 由 a·b=-2+k<0得k<2, 由a与b不反向得k≠-2, 7 (-,-1)u(-2,2).所以k的取值范围是( cos4=ab=后?+1+2.解 即-?+k k=-3或3.整理得3k2—8k—3=0,解得 [跟踪训练] 3.解析(1)设向量 a,b的夹角为0.因为(a+b)⊥b,则(a 十b)·b=a·b+b2=0,所以|a|·|b|cos 0+|b|2=0, 则4×2cos0+4=0,解得 cos0=-2,所以0=3 (2)解法一：由向量λa+b与a-2b垂直，得(λa+b)· (a-2b)=0.因为a=(-3,2),b=(-1,0),所以λa+b =(一3λ—1,2λ),a—2b=(-1,2),所以(λa+b)·(a— 2b)=(一3λ-1)×(一1)+2λ×2=0,即3λ+1+4λ=0, 解得λ=-7. 解法二：因为a=(-3,2),b=(-1,0),所以a2=13,b2 =1,a·b=3.又向量λa+b与a—2b垂直，所以(λa+ b)·(a-2b)=0,即 λa2+(1-2λ)a·b-2b2=13λ+ a=-号.3(1-2λ)-2=7λ+1=0,解得 答案(1)C(2)B [牛刀小试] 解 令向量m=(x+2,y),n=(2,-1),2x-y=t. 由|m·nl≤Iml|n|,得|2(x+2)-yl≤√(x+2)2+y ·√5=√5,即|t+4|≤√5,解得—4-√5≤t≤√5-4. 故2x—y的最大值是√5-4. 6.4 平面向量的应用 6.4.1 平面几何中的向量方法 6.4.2 向量在物理中的应用举例 【自主学习探新知】 知识点 1.(1)平面几何问题(2)向量运算 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] [证明] 解法一：由已知得四边形 AECD为正方 形，设AE=a,AD=b. (1)∵DE=AE-AD=a-b,CB=EB-EC=a-b, ∴.DE=CB,∴DE//CB,即 DE//BC. (2)连接DM,MB,DM=DC+CM=a-2b,MB=ME +EB=-2b+a,:DM=MB.又DM与MB有公共点 M,∴D,M,B三点共线。 4y解法二：如图所示，以E为原 点，AB所在直线为x轴，ECD 所在直线为y 轴建立平面直 角坐标系，(在建立平面直角 坐标系时，要尽可能使更多 A的点落在坐标轴上，使更多 的线与x轴、y轴平行)连接MB,MD. c M E B 令|AD|=1,则|DC|=1,|AB|=2.∵CE⊥AB,且 AD =DC,∴四边形 AECD为正方形，∴可求得各点的坐 标分别为 E(0,0),B(1,0),C(0,1),D(-1,1). (1)∵ED=(-1,1)-(0,0)=(-1,1),BC=(0,1)- (1,0)=(-1,1),∴ED=BC,∴ED//BC,即DE//BC. (2)∵M为EC的中点，∴M(o,2),∴MD=(-1,1) -(0,2)=(-1,2),MB=(1,0)-(0,2)= (1,-1),:MD=-MB,:Mb//MB.又MD与MB 有公共点M,∴D,M,B三点共线。 [跟踪训练] 1.证明∵∠CDA=∠DAB=90°,AB//CD, CD=DA=2AB 故可设AD=e?,DC=e?,le?I=le?|, 则AB=2e?,∴AC=AD+DC=e?+e?, BC=AC-AB=(e?+e?)-2e?=e?-e?. 而AC·BC=(e?+e?)·(e?-e?) =e?-e2=|e?I2-|e?I2=0, ∴AC⊥BC,即 AC⊥BC. 探究二 [例2] [解](1)设AB=a,AC=b, 则AD=AB+BD=AB+gBC=AB+1(Ac-AB) =3AB+3Ac=3a+3b. ∴.|AD|2=AD2=(3a+3b)=4a2+2×2a·b+ gb3=4×9+2×2×3×3×cos 120°+1×9=3, ∴AD=√3. (2)设∠DAC=0,则向量AD与AC的夹角为0. -裔(s+) +3a?-×9+号38×-0=0 ∴0=90°,即∠DAC=90°% [跟踪训练] 2.解 设AD=a,AB=b, 则BD=a-b,AC=a+b,而|BD|=|a-b =√a2-2a·b+b2=√1+4-2a·b=√5-2a·b=2, 所以5-2a·b=4,所以a·b=2. 又|ACl2=|a+bl2=a2+2a·b+b2=1+4+2a·b=6, 所以|AC|=√6,即 AC=√6. 探究三 [例3] [解](1)如图，设AB表示水流的速度，AD表示 渡船的速度，AC表示渡船实际垂直过江的速度. 因为AB+AD=AC, 所以四边形 ABCD为平行四边形. 8 第六章 平面向量及其应用 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 [学习任务] 1.掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算. 2.会运用向量坐标运算求解与向量垂直、夹角等相关问题. 3.分清向量平行与垂直的坐标表示. 自主学习探新知 知识点 平面向量数量积的坐标表示 若 a=(x?,y?),b=(x?,y?),a与b的夹角为 0.则 (1)a·b= ,即两个向量的数量积等 于它们对应坐标的 _; (2)|al2= ,或|al= _; (3)a⊥b→_ =0; (4)若 a,b为非零向量，则 cos θ= = 互动探究解疑难 要点归纳 重难实破 探究一 数量积的坐标运算 [例1](1)已知a=(-4,3),b=(1,2),则a2—(a— ( )b)·b= A.8 B.3+√5 C.28 D.32 (2)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形 ABCD 是平行四边形，AB=(1,-2),AD=(2,1),则AD· AC= ( ) A.5 B.4 C.3 D.2 规律方法[------------------- 数量积坐标运算的两条途径 进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算 法则和运算性质.解题时通常有两条途径：一是先将各 向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数 量积的运算律将原式展开，再依据已知计算. 跟踪训练 1.(1)(湖南长沙期末)已知a=(1,-1),b=(2,4), 则a·(a+b)= ( ) A.—1 B.0 C.1 D.2 (2)(多选)已知向量 a=(1,2),b=(m,1),且向 量b满足b·(a+b)=3,则向量a在向量b上的投 影向量为 ( ) A.(0,1) B.(0,2) D.(-√2,2)c.(-2,2) 探究二 向量模的坐标表示 [例2](1)设平面向量a=(1,2),b=(-2,y),若 a//b,则|3a+b|= ( ) A.√5 B.√6 D.√26C.√17 I (2)已知AB=(2,3),AC=(3,t),|BC|=1,则 AB·BC= ( ) A.—3 B.—2 C.2 D.3 Ⅱ规律方法|l- 求向量的模的两种基本策略 (1)字母表示下的运算：利用|a|2=a2,将向量模 的运算转化为向量与向量的数量积的问题。 (2)坐标表示下的运算：若a=(x,y),则a·a=a2 =|al2=x2+y2,于是有|a|=√x2+y2. 跟踪训练 2.(1)若a=(-4,3),b=(1,2),则2|a|2—3a·b=_ (2)已知点 A(1,-2),若向量AB与a=(2,3)同向， AB|=2√13,则点B的坐标是 探究三 向量夹角和垂直问题 [例3](1)(链接教材第34 页例10)已知向量a= (2,1),b=(1,k),且 a与b的夹角为锐角，则实 数k的取值范围是 ( ) A.(—2,十) B.(-2,2)u(2,+c) C.(一0,—2) D.(—2,2) 21 ?高中数学·必修 第二册 (2)已知在△ABC 中，A(2,—1),B(3,2), C(-3,-1),AD为 BC边上的高，求|AD|与点 D的坐标. 变式训练 1.(变条件)若将本例(1)中的条件“a=(2,1)”改为 “a=(—2,1)”,“锐角”改为“钝角”,求实数 k的 取值范围。 2.(变条件)若将本例(1)中的条件“钝角”改为 “4”,求k的值。 Ⅱ规律方法I 利用数量积的坐标运算求两向量夹角的步骤 (1)利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这 两个向量的数量积； (2)利用|a|=√x2+y2计算出这两个向量的模； oso=√+·Vs+(3)由公式 直接求出 cos 0的值； (4)在[0,π]内，由 cosθ的值求角0. 跟踪训练 3.(1)已知向量 a,b满足|a|=4,|b|=2,(a+b) b,则向量a,b的夹角为 ( ) c. D.6B.弯A.6 (2)已知a=(-3,2),b=(-1,0),若向量λa+b 与a-2b垂直，则实数λ的值为 ( ) A. B.-7 c.? D.-? 教材 a·b|≤|a||b|的应用 拓展 已知向量a=(x?,y?),b=(x?,y?),0是a与b 的夹角. 根据平面向量数量积及向量模的坐标表示，我 们可以得到|a·b|≤|a||b|,即|a·b|=|x?x?+ y?y?I≤√x3+yi√x2+y?(x?x?+ y?y?)2≤ (x3+y2)·(x2+y2). 下面讨论向量共线的条件： (1)当向量a与b同向时，0=0°,a·b=|a||b =√x2+yi√x2+y?; 当向量a与b反向时，0=180°,a·b=—|a||b =-√x2+yi√x2+y?. oso=3+可知，若θ=0°,(2)由 则 cos θ=1,则有x?x?+y?y?=√x2+yi√x2+y?; 若θ=180°,则 cos θ=-1,则有 x?x?+y?y?= 一√x2+yí·√x2+y?.利用上述结论可以判断两 向量a=(x?,y?),b=(x?,y?)是否共线. 不等式(x?x?+y?y?)2≤(x3+yí)(x2+y2)有 着非常广泛的应用，由此还可以推广到一般(柯西 不等式); (a?·b?+a?·b?+⋯+a。·b)2≤(a2+ a2+⋯+a2)(b2+b2+⋯+b2). 问题探究 [典例] 已知实数x,y满足x+y-4=0,求 x2十 y2的最小值. [解] 令向量m=(x,y),n=(1,1), ∵m·n|≤|m||n|,∴|x+yl≤√x2+y2·√2, 即2(x2+y2)≥(x+y)2=16,∴x2+y2≥8, 故 x2+y2的最小值为8. □牛刀小试 已知实数x,y满足(x+2)2+y2=1,求2x—y的 最大值. 提示、请完成《素能提升训练》训练九 22