6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第二册同步练测（人教A版2019）

第六章 平面向量及其应用 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示 [学习任务] 1.掌握数乘向量的坐标运算法则. 2.理解用坐标表示两向量共线的充要条件. 3.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线，并掌握三点共线的判断方法. 自主学习探新知 知识点一 平面向量数乘的坐标运算 若a=(x,y),λ∈R,则：λa= _.实数 与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量 的 知识点二 平面向量共线的坐标表示 设a=(x?,y?),b=(x?,y?),其中 b≠0.向 量a,b(b≠0)共线的充要条件是 互动探究解疑难 要点归纳 重难寒破 探究一 平面向量数乘运算的坐标表示 [例1] 已知a=(-1,2),b=(2,1),求： (1)2a+3b;(2)a-3b;(3)?a-3b. (2)已知 A(2,1),B(0,4),C(1,3),D(5,-3),判 断AB与CD是否共线.如果共线，它们的方向是 相同还是相反? Ⅱ规律方法|l 平面向量坐标的线性运算的方法 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、 差及向量数乘的运算法则进行. (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向 量的坐标，然后再进行向量的坐标运算. (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行. 跟踪训练 1.(1)已知向量a=(5,2),b=(一4,-3),若c满足 ( )3a—2b+c=0,则c= A.(—23,—12) B.(23,12) C.(7,0) D.(—7,0) (2)已知M(3,-2),N(-5,-1),MP=2MN, 则P点坐标为 探究二 向量共线的判定 [例2](1)已知向量a=(1,2),b=(λ,1),若(a+ 2b)//(2a-2b),则λ的值为 ( ) A. B.s D.2C.1 规律方法Il----------------------- 向量共线的判定方法 (1)利用向量共线定理，由a=λb(b≠0)推出a//b. (2)利用向量共线的坐标表达式x?y?—x?y?=0直 接求解。 跟踪训练 2.已知四点坐标 A(-1,1),B(1,5),C(-2,-1), D(4,11),请判断直线 AB与CD是否平行? 19 ?高中数学·必修 第二册 探究三 向量共线的综合应用 [例3] 已知点 A(x,0),B(2x,1),C(2,x), D(6,2x). (1)求实数x的值，使向量AB与CD共线； (2)当向量AB与CD共线时，点A,B,C,D是否在 一条直线上? Ⅱ规律方法l 两向量共线的坐标表示的应用 (1)已知两向量的坐标判定两向量共线.联系平面 几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等 几何问题.要注意区分向量的共线、平行与几何中的共 线、平行. (2)已知两向量共线，求点或向量的坐标、参数的 值.要注意方程思想的应用，向量共线的条件、向量相 等的条件等都可作为列方程的依据。 跟踪训练 3.(辽阳高一期末)在平面直角坐标系中，0为坐标 原点，OA=(3,1),OB=(2,-1),OC=(a,b). (1)若 A,B,C三点共线，求a,b的关系式； ——) (2)若AC=-3 AB,求点C的坐标. 易错 混淆向量相等与向量的模相等 警示 [典例] 已知线段 AB的端点分别为 A(x,5), B(-2,y),C(1,1)是直线 AB上的点，且有 |AC|=2|BC|,求x,y的值. [错解] 由|AC|=2|BC|,可知AC=2 BC. 又∵AC=(1-x,1-5)=(1-x,-4), 2 BC=2(1+2,1-y)=(6,2-2y), a=3.5,{-4=2-2y,解得 [错解分析] 错解中的主要错误是把向量的相 等与向量的模的相等混淆，因为|AC|=2|BC 与AC=2 BC的含义是不一样的，前者为模之间 的关系，后者是向量之间的关系，前者是后者的 必要条件.当A,B,C三点共线时，由|AC|= 2|BC|可得到AC=±2 BC. [正解] 由|AC|=2|BC|,且C在直线AB上， 得AC=±2 BC. 由题意，得AC=(1-w,1-5)=(1-x,-4), 2 BC=2(1+2,1-y)=(6,2-2y). ①当AC=2 BC时，有{-4=2-2y,=-.解得 {-4=-2+2.②当AC=-2 BC时，有 =-1.解得 y=35, x=-1.或<结合①②可知< Ⅱ误区警示ll--⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 两向量相等需要两向量的模相等且方向相同.两 向量的模相等，两向量的方向可能相同也可能不同.此 类题目需要根据未知点的位置判断.当未知点位于两 已知点所在直线上时，两个向量的模有某种数量关系， 其方向可能相同也可能不同；当未知点位于两已知点 之间的线段上时，这两个向量方向是相同还是相反，需 要根据已知条件进行判定，当点位置不确定时，要分情 况讨论。 提示、请完成《素能提升训练》训练八 20 → 当a=OA时，均有a=(x,y),所以②错误，③正确。 [答案](1)A (2)①③ [跟踪训练] 1.解 由图形可知，OA=6i+2j,OB=2i+4j,AB= —4i+2j, 它们的坐标表示为 OA=(6,2),OB=(2,4),AB=(-4,2). 探究二 [例2] [解] 由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c= (1,8). (1)a+b—c=(5,-5)+(-6,-3)一(1,8)=(-2, —16). (2)设O为坐标原点。 ∵CM=OM-OC=c, ∴OM=c+OC=(1,8)+(-3,-4)=(-2,4), ∴.M(-2,4).又∵CN=ON-oC=b, ∴ON=b+OC=(-6,-3)+(-3,-4)=(-9,-7), ∴N(一9,—7), ∴.MN=(-9,-7)-(-2,4)=(-7,-11). [跟踪训练] 2.解析 (1)解法一：设C(x,y),则AC=(x,y-1)= (-4,—3), 所以(=-2, 所以BC=(-4,-2)-(3,2)=(-7,-4).故选A. 解法二：AB=(3,2)—(0,1)=(3,1), BC=Ac-AB=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).故 选 A. (2)a+b=(-1,2)+(3,-5)=(2,-3), a—b=(—1,2)—(3,-5)=(一4,7). 答案(1)A (2)见解析 探究三 [例3] [解] 设点P的坐标为(x,y), 则AP=(x,y)—(2,3)=(x-2,y-3), AB+AC=(5,4)—(2,3)+(5λ,7λ) =(3,1)+(5λ,7λ)=(3+5λ,1+7λ). ∵AP=AB+AC,且AB与AC不共线， :{3-3=3+5a,(y=4+5a. (1)若点P在第一、三象限角平分线上，则 5+5λ=4十 7λ,∴λ=2. (4+5a<0,a<-1.(2)若点P在第三象限内，则 [变式训练] 解 由题意知(y=4+7λ, ①当点P在x轴上时，y=4+7a=0,∴a=-4. ②当点P在y轴上时，x=5+5λ=0,∴λ=-1. [跟踪训练] 3.C 设点D(m,n),则由题意得(4,3)=(m,n-2),解得 m=5,即点D(4,5),故选C. 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示 【自主学习探新知】 知识点一 (λx,λy) 相应坐标 知识点二 a?y?—x?y?=0 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] [解](1)2a+3b=2(-1,2)+3(2,1) =(-2,4)+(6,3)=(4,7). (2)a-3b=(-1,2)-3(2,1) =(-1,2)一(6,3)=(一7,-1). (3)2a-3b=2(-1,2)-3(2,1) =(-2,1)-(3,3)=(-6,3). [跟踪训练] 1.解析 (1)由3a-2b+c=0,∴c=-3a+2b=-3(5,2)十 2(-4,-3)=(-23,-12),∴c=(-23,-12). (2)设P(x,y),∴MP=(x-3,y+2),MN=(-8,1), +2--由MP=2Mi,得=-,故P(-1,-3).解得 (2)(-1,-2)答案(1)A 探究二 [例2] [解析](1)解法一：由题意得 a+2b=(1,2)+2(λ,1)=(1+2λ,4), 2a-2b=2(1,2)-2(λ,1)=(2—2λ,2). ∵(a+2b)//(2a-2b), λ=2.∴2(1+2λ)-4(2-2λ)=0,解得 解法二：假设a,b不共线，则由(a+2b)//(2a-2b)可得 a+2b=μ(2a-2b), :{2=-2n方程组显然无解， ∴a+2b与2a-2b不共线，这与(a+2b)//(2a-2b)矛盾， 二假设不成立,a,b共线,2 λ=2.,解得 (2)共线且方向相反.理由如下： AB=(0,4)-(2,1)=(-2,3), CD=(5,-3)-(1,3)=(4,-6),→ ∵(—2)×(—6)-3×4=0,∴AB,CD共线 又∵CD=-2AB,∴AB,CD方向相反. 综上，AB与CD共线且方向相反. [答案](1)A (2)共线且方向相反(见解析) [跟踪训练] 2.解 不平行.理由如下： 因为AB=(1,5)—(-1,1)=(2,4), AD=(4,11)—(-1,1)=(5,10), AC=(-2,-1)-(-1,1)=(-1,-2), 所以AB=-2 AC,AD=-5 AC. 所以AB//AC//AD. 6 由于AB与AC,AD有共同的起点A, 所以A,B,C,D四点共线， 因此直线AB与CD重合. 探究三 [例3] [解](1)由题得AB=(ax,1),CD=(4,x). ∵AB//CD,∴x2=4, 解得x=±2.→→ (2)由(1)得当AB与CD共线时，x=±2. ①当x=2时，A(2,0),B(4,1),C(2,2),D(6,4). ∴.BC=(-2,1),AB=(2,1),∴AB与BC不平行， ∴A,B,C三点不共线. ∴点 A,B,C,D不在一条直线上. ②当x=-2时，A(-2,0),B(-4,1),C(2,-2),D(6,-4). .BC=(6,-3),AB=(-2,1), ∴.BC=-3AB,∴AB//BC. ∵AB和BC有公共点B,∴A,B,C三点共线。 同理可得AB//CD,∴BC//CD.— 又BC和CD有公共点C,∴B,C,D三点共线. ∴A,B,C,D四点在一条直线上. 综上，当x=2 时，点A,B,C,D不在一条直线上；当x= -2 时，点A,B,C,D在一条直线上. [跟踪训练] 3.解 由题意知，AB=OB-OA=(-1,-2),Ac=0c- OA=(a-3,b-1). (1)因为A,B,C三点共线，所以AB//AC, 所以一(b-1)—(-2)×(a-3)=0,所以b=2a-5. (2)因为AC=-3AB, 所以(a-3,b-1)=-3(-1,-2)=(3,6), {6-3=6, {6=7,所以 解得 所以点C的坐标为(6,7). 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 【自主学习探新知】 知识点(1)x?x?+y?y?乘积的和(2)x2+y? √x?+yi(3)x?x?+y?y? ④简+·+ 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] [解析](1)a2—(a-b)·b=a2-a·b+b2= 25—(—4+6)+5=28. (2)由AC=AB+AD=(1,-2)+(2,1)=(3,-1), 得AD·AC=(2,1)·(3,-1)=5. [答案](1)C(2)A [跟踪训练] 1.解析(1)a·(a+b)=(1,-1)·(3,3)=3-3=0. (2)由向量a=(1,2),b=(m,1),b·(a+b)=3,得(m, 1)·(m+1,3)=3,所以m2+m=0,解得m=0或m= -1.当 m=0时，b=(0,1),a·b=2,所以向量a在向量 b上的投影向量为|alcos(a,b>=bb=(0,2);当 m=—1时，b=(-1,1),a·b=1,所以向量 a在向量b b=Ibb上的投影向量为| a | cos<a,b)· =(-2,2). 答案(1)B (2)BC 探究二 [例2] [解析](1)因为a//b,所以1×y-2×(-2)=0, 解得y=-4,从而3a+b=(1,2),|3a+b|=√5. (2)由BC=Ac-AB=(1,t-3),|BC|=√12+(t-3)2= 1,得t=3,则AB·BC=(2,3)·(1,0)=2×1+3×0= 2.故选C. [答案](1)A (2)C [跟踪训练] 2.解析 (1)原式=2a2-3a·b=2×(16+9)-3×(-4+6) =50—6=44. (2)由题意可设AB=λa(a>0), 所以AB=(2λ,3λ).又|AB|=2√13, 所以(2λ)2+(3λ)2=(2√13)2,解得λ=2(λ=-2舍去). 所以AB=(4,6).又 A(1,-2),所以 B(5,4). 答案(1)44 (2)(5,4) 探究三 [例3] [解析](1)当a与b共线时，2k-1=0,k=1, 此时 a,b方向相同，夹角为0°,所以要使 a与b的夹角 为锐角，则有a·b>0且a,b不同向，由a·b=2+k>0 得k>-2,且k≠2 (-2,2)u,即实数k的取值范围是( (2,+0),,故选B. (2)设点D的坐标为(x,y),则AD=(x-2,y+1), BC=(-6,-3),BD=(x-3,y-2). ∵点D在直线 BC上，即 BD与BC共线， ∴存在实数λ,使BD=λBC, 即(x-3,y-2)=λ(-6,-3), x-2=-3.∴x-3=2(y-2), ①即x-2y+1=0. 又∵AD⊥BC,∴AD·BC=0, 即(x-2,y+1)·(-6,-3)=0, ∴-6(x-2)-3(y+1)=0, 即2x+y-3=0. ② y=1,即D点坐标为(1,1),AD=(-1,2),由①②可得 ∴|ADI=√(-1)2+22=√5. 综上，|AD|=√5,D(1,1). [答案](1)B(2)见解析 [变式训练] 1.解 当a与b共线时，-2k-1=0,k=-2, 此时 a与b方向相反，夹角为180°, 所以要使 a与b的夹角为钝角， 则有a·b<0,且a与b不反向。 由 a·b=-2+k<0得k<2, 由a与b不反向得k≠-2, 7