6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第二册同步练测（人教A版2019）

?高中数学·必修 第二册 问题探究 [例1] 如图所示，OM//AB,点 PP在由射线 OM、线段 OB 及 M AB的延长线围成的阴影区域 内(不含边界)运动，且OP= 0 -2OA+mOB,,求实数 m的取值范围。 B A 0<-[提示] 由平面向量等和线的结论可知 <m<3.+m<1,所以- [例2] 如图所示，设 D,E分别为 A △ABC的边 AB,BC上的点，且有 AD=1AB,BE=÷BC,若DE= λ? AB+λ? AC(λ?,λ?∈R),求λ+λ? 的值. D/ B EC [提示] 过点A作AF=DE,设 AF,BC的延长 A线交于点H,易知AF=FH, ∴DE业1AH,即 DE 为 D/ \F △ABH的中位线，从而λ?+λ? B H=2. E C □牛刀小试 如图所示，在边长为2 的正六 边形 ABCDEF中，动圆Q的 E D Q 半径为1,圆心在线段CD(含 F 端点)上运动，P是圆Q上及 其内部的动点，设向量AP= A B mAB+nAF(m,n∈R),则m+n的取值范围是 ( ) A.(1,2) B.[5,6] C.[2,5] D.[3,5] 提示请完成《素能提升训练》训练六 6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示 [学习任务] 1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示. 2.掌握两个向量的和、差的坐标运算法则. 自主学习探新知 知识点一 平面向量的正交分解及坐标表示 1.平面向量正交分解的定义 把一个向量分解为两个 的向量，叫做把 向量作正交分解。 2.平面向量的坐标表示 (1)基底：在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴 方向相同的两个 分别为i,j,取{i,j}作 为 . (2)坐标：对于平面内的任意一个向量 a,由平面 向量基本定理可知，有且只有一对实数x,y,使 得a= .这样，平面内的任一向量a都可 由x,y唯一确定，则有序数对(x,y)叫做向量 a 的坐标. (3)坐标表示：a=(x,y). (4)特殊向量的坐标：i= _,j= _.0=(0,0). 知识点二 平面向量加、减运算的坐标表示 设向量 a=(x?,y?),b=(x?,y?),λ∈R,则有 下表： 文字描述 符号表示 两个向量和的坐标分别 a+b=(x?+x?,y? 加法 等于这两个向量相应坐 +y?) 标的 两个向量差的坐标分别 a-b=(x?—x?,y? 减法 等于这两个向量相应坐 -y?) 标的 一个向量的坐标等于表示 已知 A(x?,y?), 重要 此向量的有向线段的_____ → 结论 _的坐标减去 的坐标 B(x?,y?),则 AB 16 ℃ 第六章 平面向量及其应用 互动探究解疑难 要点归纳 重难寒破 探究一 平面向量的坐标表示 [例1] (1)(链接教材第 29 页例3)已知向量 a在 射线y=x(x≥0)上，且起点为坐标原点 O,又|a| =√2,分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位 向量{i,j}作为基底，则向量a的坐标为 ( ) A.(1,1) B.(—1,—1) C.(√2,√2) D.(一√2,-√2) (2)如图所示，在平面直角坐标 y 系中，i,j分别为与两个坐标轴 AGs,y) /a j正方向同向的单位向量，OA,a o 是平面内的向量，且 A点坐标 为(x,y),则下列说法正确的是 .(填序号) ①向量a可以表示为a=mi+nj; ②只有当a的起点在原点时a=(x,y); ③若a=OA,则终点A 的坐标就是向量a的 坐标. 探究二 平面向量的坐标运算 [例2] 已知点 A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4), 设AB=a,BC=b,CA=c,且CM=c,CN=b. (1)求a+b—c; → (2)求点M,N的坐标及向量MN的坐标. -Ⅱ规律方法|l- 求解平面向量的坐标运算时，要注意向量的起点 坐标和终点坐标，避免运算错误. 规律方法|l--------------------- 求点坐标和向量坐标的常用方法 (1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐 标原点的位置向量的坐标； (2)在求一个向量时，可以先求出这个向量的起点 坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到 该向量的坐标. 跟踪训练 1.如图，取与x轴、y轴同向 的两个单位向量i,j作为 基底，分别用i,j表示OA, OB,AB,并求 出它们的 坐标. y 4 3 2J 1 B A o11 2 3 4 5 6 跟踪训练 2.(1)已知点 A(0,1),B(3,2),向量AC=(-4,-3), 则向量BC= ( ) A.(—7,—4) B.(7,4) C.(—1,4) D.(1,4) (2)已知向量a,b的坐标分别是(-1,2),(3,-5), 求a+b,a—b的坐标. 探究三 平面向量坐标运算的应用 [例 3] 已知点A(2,3),B(5,4),AC=(5λ,7λ).若 AP=AB+AC(X∈R),试求λ为何值时； (1)点P在第一、三象限的角平分线上； (2)点P在第三象限内. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯-1 ?高中数学·必修 第二册 变式训练 (变设问)若本例条件不变，点P在坐标轴上，求 λ的值. 规律方法[-------------- 坐标形式下向量相等的条件及其应用 (1)条件：相等向量的对应坐标相等； (2)应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以 建立相等关系，由此可以求出某些参数的值或点的 坐标. 跟踪训练 3.已知四边形 ABCD的三个顶点A(0,2),B(一1, -2),C(3,1),且BC=AD,则顶点D的坐标为 ( ) A.(2,2) B.(2,-1) C.(4,5) D.(1,3) 易错 忽视四边形的种类而丢解 警示 [典例] 已知平行四边形的三个顶点的坐标分别 为(-1,0),(3,0),(1,—5),求第四个顶点的 坐标. [错解] 设 A(一1,0), 2 1B(3,0),C(1,—5),D(x, A B oi-4-3-2± 2 3y),如图. 23∵四边形 ABCD是平行 -4四边形，∴AB=DC. cD -5 ∵AB=(3,0)—(-1,0)=(4,0), DC=(1,-5)-(x,y)=(1-x,-5-y), ∴(4,0)=(1-x,-5-y), “{0=-5-,, =-5,解得 ∴点D的坐标为(-3,-5). [错解分析](1)该解错因是思维定式，认为平 行四边形只是如图所示中的这一种情形，由此在 解题中丢掉了另外两种情形. (2)若平行四边形 ABCD的三个顶点A,B,C的 坐标分别为(—1,0),(3,0),(1,—5),求点D的 坐标，就只有一种情况.本题题目中给出了平行 四边形的三个顶点，并没有规定顺序，就可能有 ABCD?,ACD?B,ACBD?三种情形，如正解中的 图所示. [正解] 如图所示，设 A(-1,0),B(3,0),C(1, —5),D(x,y). ①若平行四边形为ABCD,则AD?=BC. ∵AD?=(x+1,y),BC=(-2,-5), a=-5,2∴由AD?=BC,得 =-3.解得 ∴D?(-3,-5). ②若平行四边形为 ACD?B,则AB=CD?. ∵AB=(4,0),CD?=(x-1,y+5). v+5=0, u=-5.D?(5,-5).解得 5 4 D 3 2 A B41 -4-3-2 0i 2 -1 A -2 -3 -4 D -5| C D? ③若平行四边形为ACBD?,则AD?=CB. ∵AD?=(x+1,y),CB=(2,5), :0-5-2 -5.D.(1,5).解得 综上所述，平行四边形第四个顶点坐标为(-3, —5)或(5,—5)或(1,5). 误区警示[l------------ 已知平面图形的部分顶点坐标求其他未知顶点的 坐标时，应注意题中是否给定了顶点顺序，考虑顶点位 置的不同情况，避免漏解. 提示专请完成《素能提升训练》训练七 18 (2)不正确.由平面向量基本定理可知λ,μ唯一确定。 (3)正确。平面α内的任一向量a 可表示成λe?+pe2的 形式，反之也成立. (4)不正确。结合向量加法的平行四边形法则易知，当 λe?和pe?确定后，其和向量λe?+pe2便唯一确定。 [跟踪训练] 1.解 能。理由如下： 设存在实数λ,使c=λd, 则2a—b=λ(3a-2b), 即(2—3λ)a+(2λ-1)b=0. 由于向量a,b不共线， 所以2-3λ=2λ-1=0,这样的λ是不存在的， 从而c,d不共线，{c,d}能作为基底。 探究二 [例2] [解](1)∵AB=4DC, :.Dc=4AB. 又E,F分别是AB,BC的中点， ∴EF=2Ac=2(AD+DC)=2(AD+4AB) =ga+2b. (2)∵D,0,E三点共线， :.Do=kDE=k(DA+AE)=k(DA+1AB) =k DA+2kDC. k=3.又A,O,C三点共线，∴k+2k=1,解得) :.Do=3D,oE=3DE=3(DA+AE) =3(DA+1AB)=-3AD+3AB=3a-3b, ∴.oF=0E+EF=3a-3b+ga+_b=24a-言b. [跟踪训练] 2.解 易得AN=3Ac=gb,AM=1AB=2a, 由N,E,B三点共线可知，存在实数m使AE=mAN+ (1-m)AB=3mb+(1-m)a. 由C,E,M三点共线可知，存在实数n使AE=nAM+ (1-n)AC=2m+(1-n)b. 所以言mb+(1-m)a=-ma+(1-n)b, 由于{a,b}为基底，--解得所 所以AE=号a+ b.以 探究三 [例3] [解] 设BM=e,CN=e?,则AM=AC+CM= —3e?-e?, BN=BC+CN=2e?+e?. ∵A,P,M和B,P,N分别共线， ∴存在实数λ,μ使得AP=λAM=-λe?-3xe?, BP=pBN=2/e?+pe?. 故BA=BP+PA=BP-AP=(x+2x)e?+(3λ+μ)e?. 而BA=BC+CA=2e?+3e?,由平面向量基本定理， {3+A=3,得 解得< ∴AP=4AM,BP=号B, ∴AP:PM=4:1,BP:PN=3:2. [跟踪训练] 3.解(1)因为CD=2 DB,AE=EC, 所以AC=AB+BC=AB+3 BD=AB+3(AD-AB) =-2AB+3AD,BE=BA+AE=-AB+ AC =-AB+2(BC-BA)=-2AB+2BC =-2AB+1×3BD=-2AB+1×3(AD-AB) =-2AB+-Ab. (2)证明：由AM=-2AB+4AC, 可得AM=-1AB+4×2AE=-1AB+3AE, 所以2 AM=-AB+3 AE,即AE-AB=2(AM-AE), 所以BE=2 EM,所以BE,EM共线. 又BE与EM有公共点E,所以 B,M,E三点共线。 [牛刀小试] C 如图所示，设AP?=mAB+nAF,由等和线的结论， 得m+n=AG=AB=2,,即为m+n的最小值. E P? D F A Py B G H 同理，设AP?=m AB+nAF,由等和线的结论，得m十 n=AB=5,即为m+n的最大值. 综上所述，m+n的取值范围是[2,5].故选C. 6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示 【自主学习探新知】 知识点一 1.互相垂直 2.(1)单位向量 基底 (2)xi+yji(4)(1,0)(0,1) 知识点二 和 差 终点 起点(x?—x?,y?-y?) 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] [解析] (1)由题意，a=(√2 cos 45°)i+ (√2sin 45°)j=i+j=(1,1). (2)由平面向量的基本定理知，有且只有一对实数m,n, 使得a=mi+nj,所以①正确。 5 → 当a=OA时，均有a=(x,y),所以②错误，③正确。 [答案](1)A (2)①③ [跟踪训练] 1.解 由图形可知，OA=6i+2j,OB=2i+4j,AB= —4i+2j, 它们的坐标表示为 OA=(6,2),OB=(2,4),AB=(-4,2). 探究二 [例2] [解] 由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c= (1,8). (1)a+b—c=(5,-5)+(-6,-3)一(1,8)=(-2, —16). (2)设O为坐标原点。 ∵CM=OM-OC=c, ∴OM=c+OC=(1,8)+(-3,-4)=(-2,4), ∴.M(-2,4).又∵CN=ON-oC=b, ∴ON=b+OC=(-6,-3)+(-3,-4)=(-9,-7), ∴N(一9,—7), ∴.MN=(-9,-7)-(-2,4)=(-7,-11). [跟踪训练] 2.解析 (1)解法一：设C(x,y),则AC=(x,y-1)= (-4,—3), 所以(=-2, 所以BC=(-4,-2)-(3,2)=(-7,-4).故选A. 解法二：AB=(3,2)—(0,1)=(3,1), BC=Ac-AB=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).故 选 A. (2)a+b=(-1,2)+(3,-5)=(2,-3), a—b=(—1,2)—(3,-5)=(一4,7). 答案(1)A (2)见解析 探究三 [例3] [解] 设点P的坐标为(x,y), 则AP=(x,y)—(2,3)=(x-2,y-3), AB+AC=(5,4)—(2,3)+(5λ,7λ) =(3,1)+(5λ,7λ)=(3+5λ,1+7λ). ∵AP=AB+AC,且AB与AC不共线， :{3-3=3+5a,(y=4+5a. (1)若点P在第一、三象限角平分线上，则 5+5λ=4十 7λ,∴λ=2. (4+5a<0,a<-1.(2)若点P在第三象限内，则 [变式训练] 解 由题意知(y=4+7λ, ①当点P在x轴上时，y=4+7a=0,∴a=-4. ②当点P在y轴上时，x=5+5λ=0,∴λ=-1. [跟踪训练] 3.C 设点D(m,n),则由题意得(4,3)=(m,n-2),解得 m=5,即点D(4,5),故选C. 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示 【自主学习探新知】 知识点一 (λx,λy) 相应坐标 知识点二 a?y?—x?y?=0 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] [解](1)2a+3b=2(-1,2)+3(2,1) =(-2,4)+(6,3)=(4,7). (2)a-3b=(-1,2)-3(2,1) =(-1,2)一(6,3)=(一7,-1). (3)2a-3b=2(-1,2)-3(2,1) =(-2,1)-(3,3)=(-6,3). [跟踪训练] 1.解析 (1)由3a-2b+c=0,∴c=-3a+2b=-3(5,2)十 2(-4,-3)=(-23,-12),∴c=(-23,-12). (2)设P(x,y),∴MP=(x-3,y+2),MN=(-8,1), +2--由MP=2Mi,得=-,故P(-1,-3).解得 (2)(-1,-2)答案(1)A 探究二 [例2] [解析](1)解法一：由题意得 a+2b=(1,2)+2(λ,1)=(1+2λ,4), 2a-2b=2(1,2)-2(λ,1)=(2—2λ,2). ∵(a+2b)//(2a-2b), λ=2.∴2(1+2λ)-4(2-2λ)=0,解得 解法二：假设a,b不共线，则由(a+2b)//(2a-2b)可得 a+2b=μ(2a-2b), :{2=-2n方程组显然无解， ∴a+2b与2a-2b不共线，这与(a+2b)//(2a-2b)矛盾， 二假设不成立,a,b共线,2 λ=2.,解得 (2)共线且方向相反.理由如下： AB=(0,4)-(2,1)=(-2,3), CD=(5,-3)-(1,3)=(4,-6),→ ∵(—2)×(—6)-3×4=0,∴AB,CD共线 又∵CD=-2AB,∴AB,CD方向相反. 综上，AB与CD共线且方向相反. [答案](1)A (2)共线且方向相反(见解析) [跟踪训练] 2.解 不平行.理由如下： 因为AB=(1,5)—(-1,1)=(2,4), AD=(4,11)—(-1,1)=(5,10), AC=(-2,-1)-(-1,1)=(-1,-2), 所以AB=-2 AC,AD=-5 AC. 所以AB//AC//AD. 6