6.3.1 平面向量基本定理-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第二册同步练测（人教A版2019）

6.2.4 向量的数量积 【自主学习探新知】 知识点一 非零向量 ∠AOB=0(1)0≤0≤π (2)同向 反向(3)垂直 alb 知识点二 1.非零 |a||b|cos0 a·b a·b=|al|blcosθ 0 2.垂线 A,B?垂线 OM 知识点三 1.(1)|a|cos θ(2)a·b=0(3)|al|b 一|a||b|(4)≤ 2.(1)b·a (2)λ(a·b)=a·(λb) (3)a·c+b·c 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] [解](1)a·b=|a||b|cos 120°=2×3× (-2)=-3. (2)a2—b2=|a|2—|b|2=4-9=-5. (3)(2a—b)·(a+3b)=2a2+5a·b-3b2=2|a|2+ 5|a||b|cos 120°-3|b|2=8-15-27=-34. (4)| a+b|= √(a+b)2= √a2+2a·b+b2= √4—6+9=√7. A ,AD=2(AB+[例 2] [解析] 如图， AC,AE=3AC,距=BA+AE= E 3Ac-AB,则AD·BE=2(AB+B CD AC)·(3A-AB)=1×(3IAC|2-IABI2- 3AB·Ac)=2×(3-1-3 cos60°)=-4 [答案] A [跟踪训练] 1.解析 (1)如图，过点 A作AD⊥ A BC,垂足为 D. 因为AB=AC, BD=-BC=2, B D所以 所以|BAlcos∠ABC=|BD|=÷IBCl=1×4=2. 所以BA·BC=|BAIIBClcos∠ABC=2×4=8. ℃ (2)①a在b方向上的投影为 la|cos 120°=10×(-2)=-5. ②(a-2b)·(a+b)=a2+a·b-2a·b-2b2 =a2-a·b-2b2=|a|2-|a||b|cos 120°-2|b|2 =100-10×4×(-2)-2×42=88. ③(a-b)2=a2-2a·b+b2=|a|2-2|a||b|cos 120°+|bl2 =100-2×10×4×(-2)+42=100+40+16=156. 答案(1)8(2)见解析 探究二 [例3] [解析](1)由题意知，(m+n)2=m2+n2+2|m ·Inlcos =1+sinfos =1+ sin6=1+4 =5,∴Im+nl=5. (2)∵|a|=1,|b|=2,且|a+b|=|a-b|,∴alb, ∴a·b=0,故|2a+b|=√4a2+4a·b+b2=√4+4= 2√2. [答案](1)C(2)B [跟踪训练] 2.解析 (1)因为|a+2b|2=(a+2b)2 =|a|2+2|a||2b|cos 60°+(2|b)2 =22+2×2×2×1+22=4+4+4=12, 所以|a+2b|=√12=2√3. (2)因为|2a+b|=√10,所以(2a+b)2=10, 所以4a2+4a·b+b2=10. 又因为向量a与b的夹角为45°且|a|=1, 所以4×12+4×1×1b|×2+lb2=10, 整理得|b|2+2√2|b|-6=0, 解得|b|=√2或|b|=-3√2(舍去). 答案(1)2√3(2)见解析 探究三 [例4] [解析](1)∵e?+ke?与ke?+e?的夹角为锐角， ∴(e?+ke?)·(ke?+e?)=ke2+ke2+(k2+1)e?·e? =2k>0,∴k>0. 当k=1时，e?+ke,=ke?+e?,它们的夹角为0,不符合 题意，舍去. 综上，k的取值范围为k>0且k≠1. a-46):(7a-2)=0,(2)由已知条件得 {a2-30a.b+86=0, ①即 ② ②一①得23b2—46a·b=0, ∴2a·b=b2,代入①得 a2=b2, ∴|a|=|b|,设a,b的夹角为0, o-8ib-“-1 ∵O∈[0,π],∴0=3· [答案](1)(0,1)U(1,十)(2)见解析 [变式训练] 解 ∵e?+ke?与ke?+e?的夹角为钝角， ∴(e?+ke?)·(ke?+e?)=ke2+ke2+(k2+1)e?·e? =2k<0, ∴k<0. 当k=-1时，e?+ke,与ke?+e?方向相反，它们的夹角 为π,不符合题意，舍去. 综上，k的取值范围是k<0且k≠-1. 6.3 平面向量基本定理及坐标表示 6.3.1 平面向量基本定理 【自主学习探新知】 知识点 1.不共线 任一 有且只有一对 λ?e?+λ?e? 【互动探究解疑难】 探究一 e?=-fe?,从而向[例1] [解](1)正确。若λ≠0,则 量e?,e?共线，这与 e,e?不共线相矛盾，同理可说明 μ=0. 4 (2)不正确.由平面向量基本定理可知λ,μ唯一确定。 (3)正确。平面α内的任一向量a 可表示成λe?+pe2的 形式，反之也成立. (4)不正确。结合向量加法的平行四边形法则易知，当 λe?和pe?确定后，其和向量λe?+pe2便唯一确定。 [跟踪训练] 1.解 能。理由如下： 设存在实数λ,使c=λd, 则2a—b=λ(3a-2b), 即(2—3λ)a+(2λ-1)b=0. 由于向量a,b不共线， 所以2-3λ=2λ-1=0,这样的λ是不存在的， 从而c,d不共线，{c,d}能作为基底。 探究二 [例2] [解](1)∵AB=4DC, :.Dc=4AB. 又E,F分别是AB,BC的中点， ∴EF=2Ac=2(AD+DC)=2(AD+4AB) =ga+2b. (2)∵D,0,E三点共线， :.Do=kDE=k(DA+AE)=k(DA+1AB) =k DA+2kDC. k=3.又A,O,C三点共线，∴k+2k=1,解得) :.Do=3D,oE=3DE=3(DA+AE) =3(DA+1AB)=-3AD+3AB=3a-3b, ∴.oF=0E+EF=3a-3b+ga+_b=24a-言b. [跟踪训练] 2.解 易得AN=3Ac=gb,AM=1AB=2a, 由N,E,B三点共线可知，存在实数m使AE=mAN+ (1-m)AB=3mb+(1-m)a. 由C,E,M三点共线可知，存在实数n使AE=nAM+ (1-n)AC=2m+(1-n)b. 所以言mb+(1-m)a=-ma+(1-n)b, 由于{a,b}为基底，--解得所 所以AE=号a+ b.以 探究三 [例3] [解] 设BM=e,CN=e?,则AM=AC+CM= —3e?-e?, BN=BC+CN=2e?+e?. ∵A,P,M和B,P,N分别共线， ∴存在实数λ,μ使得AP=λAM=-λe?-3xe?, BP=pBN=2/e?+pe?. 故BA=BP+PA=BP-AP=(x+2x)e?+(3λ+μ)e?. 而BA=BC+CA=2e?+3e?,由平面向量基本定理， {3+A=3,得 解得< ∴AP=4AM,BP=号B, ∴AP:PM=4:1,BP:PN=3:2. [跟踪训练] 3.解(1)因为CD=2 DB,AE=EC, 所以AC=AB+BC=AB+3 BD=AB+3(AD-AB) =-2AB+3AD,BE=BA+AE=-AB+ AC =-AB+2(BC-BA)=-2AB+2BC =-2AB+1×3BD=-2AB+1×3(AD-AB) =-2AB+-Ab. (2)证明：由AM=-2AB+4AC, 可得AM=-1AB+4×2AE=-1AB+3AE, 所以2 AM=-AB+3 AE,即AE-AB=2(AM-AE), 所以BE=2 EM,所以BE,EM共线. 又BE与EM有公共点E,所以 B,M,E三点共线。 [牛刀小试] C 如图所示，设AP?=mAB+nAF,由等和线的结论， 得m+n=AG=AB=2,,即为m+n的最小值. E P? D F A Py B G H 同理，设AP?=m AB+nAF,由等和线的结论，得m十 n=AB=5,即为m+n的最大值. 综上所述，m+n的取值范围是[2,5].故选C. 6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示 【自主学习探新知】 知识点一 1.互相垂直 2.(1)单位向量 基底 (2)xi+yji(4)(1,0)(0,1) 知识点二 和 差 终点 起点(x?—x?,y?-y?) 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] [解析] (1)由题意，a=(√2 cos 45°)i+ (√2sin 45°)j=i+j=(1,1). (2)由平面向量的基本定理知，有且只有一对实数m,n, 使得a=mi+nj,所以①正确。 5 ?高中数学·必修 第二册 6.3 平面向量基本定理及坐标表示 6.3.1 平面向量基本定理 [学习任务] 1.了解平面向量基本定理及其意义. 2.了解向量基底的含义.在平面内，当一组基底确定后，会用这组基底来表示其他向量. 自主学习探新知 知识点 平面向量基本定理 1.定理：如果e?,e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的 _向量 a, 实数λ1,入2,使a= 2.基底：若e?,e?不共线，我们把{e?,e?}叫做表示 这一平面内所有向量的一个基底. 互动探究解疑难 要点归纳 重难实破 探究一 平面向量基本定理的理解 [例1] 如果{e?,e?}是平面α内所有向量的一组 基底，λ,μ是实数，判断下列说法是否正确，并说 明理由. (1)若λ,μ满足λe?+pe?=0,则λ=μ=0; (2)对于平面α内任意一个向量a,使得a=λe?+ pe2成立的实数λ,μ有无数对； (3)线性组合λe?+pe?可以表示平面α内的所有 向量； (4)当λ,μ取不同的值时，向量λe?+μe2可能表 示同一向量. 规律方法I------------------------- 对基底的理解 (1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个 向量是否共线。若共线，则不能作基底，反之，则可作 基底。 (2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一 个向量都可以由这组基底唯一线性表示出来.设向量 a与b是平面内两个不共线的向量，若x?a+y?b=x?a +y?b,则x?=x2且y?=y?. [提醒] 一个平面的基底不是唯一的，同一个向 量用不同的基底表示，其线性表示是不同的。 跟踪训练 1.若向量 a,b不共线，则c=2a—b,d=3a-2b,试 判断{c,d}能否作为基底. 探究二 用基底表示向量 [例2](江西赣州期末)在梯形 ABCD中，AB= 4 DC,E,F分别是AB,BC的中点，AC与DE相 交于点O,设AB=a,AD=b.(1)用a,b表示EF; (2)用a,b表示OF. D C F A- E 14 B 第六章 平面向量及其应用 Ⅱ规律方法|I 用基底表示向量的方法 将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基 本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待 求向量不断进行转化，直至可用基底表示为止；另一种 是通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向 量的唯一性求解。 跟踪训练 2.如图所示，在△ABC中，M是 C AN=3AcAB的中点，且 N E/ A2BN与CM相交于点E,设AB M =a,AC=b,试用基底{a,b}表示向量AE. B 探究三 平面向量基本定理的应用 [例3] 如图，在△ABC中，点 M是 BC的中点，点N在 AC 上，且 AN=2NC, AM与 BN相交于点P,求AP: PM与BP:PN的值. B A p M N C 规律方法|l------- 若直接利用基底表示向量比较困难时，可设出目 标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后 利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出 目标向量(一般需建立两个不同的向量表达式),再根 据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或 方程组即得。 跟踪训练 3.(河南南阳高一期末)如图所示，在△ABC中， CD=2 DB,AE=EC. A (1)用AB,AD表示AC,BE; E (2)若点M满足AM=-1ABB +4AC,,求证 B,M,E三点共线. CD 教材 平面向量中的“等和线” 拓展 平面向量的一个基底{OA,OB}及任一向量 OC,由平面向量基本定理知存在唯一一对实数λ,μ ∈R,使得OC=λOA+μOB.如果点C在直线AB 上，或在平行于 AB的直线上，则有λ+μ=k(定 值),反之也成立.我们把直线 AB以及与直线 AB 平行的直线称为“等和线”. 对于等和线，有如下结论： (1)当等和线恰为直线 AB时，k=1; (2)当等和线在点 O和直线 AB之间时，k∈ (0,1); (3)当直线 AB在点O与等和线之间时，k∈ (1,+); (4)当等和线过点O时，k=0; (5)若两等和线关于点O对称，则定值k?与k? 互为相反数； (6)定值k的绝对值与等和线到点O的距离成 正比. 15 ?高中数学·必修 第二册 问题探究 [例1] 如图所示，OM//AB,点 PP在由射线 OM、线段 OB 及 M AB的延长线围成的阴影区域 内(不含边界)运动，且OP= 0 -2OA+mOB,,求实数 m的取值范围。 B A 0<-[提示] 由平面向量等和线的结论可知 <m<3.+m<1,所以- [例2] 如图所示，设 D,E分别为 A △ABC的边 AB,BC上的点，且有 AD=1AB,BE=÷BC,若DE= λ? AB+λ? AC(λ?,λ?∈R),求λ+λ? 的值. D/ B EC [提示] 过点A作AF=DE,设 AF,BC的延长 A线交于点H,易知AF=FH, ∴DE业1AH,即 DE 为 D/ \F △ABH的中位线，从而λ?+λ? B H=2. E C □牛刀小试 如图所示，在边长为2 的正六 边形 ABCDEF中，动圆Q的 E D Q 半径为1,圆心在线段CD(含 F 端点)上运动，P是圆Q上及 其内部的动点，设向量AP= A B mAB+nAF(m,n∈R),则m+n的取值范围是 ( ) A.(1,2) B.[5,6] C.[2,5] D.[3,5] 提示请完成《素能提升训练》训练六 6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示 [学习任务] 1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示. 2.掌握两个向量的和、差的坐标运算法则. 自主学习探新知 知识点一 平面向量的正交分解及坐标表示 1.平面向量正交分解的定义 把一个向量分解为两个 的向量，叫做把 向量作正交分解。 2.平面向量的坐标表示 (1)基底：在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴 方向相同的两个 分别为i,j,取{i,j}作 为 . (2)坐标：对于平面内的任意一个向量 a,由平面 向量基本定理可知，有且只有一对实数x,y,使 得a= .这样，平面内的任一向量a都可 由x,y唯一确定，则有序数对(x,y)叫做向量 a 的坐标. (3)坐标表示：a=(x,y). (4)特殊向量的坐标：i= _,j= _.0=(0,0). 知识点二 平面向量加、减运算的坐标表示 设向量 a=(x?,y?),b=(x?,y?),λ∈R,则有 下表： 文字描述 符号表示 两个向量和的坐标分别 a+b=(x?+x?,y? 加法 等于这两个向量相应坐 +y?) 标的 两个向量差的坐标分别 a-b=(x?—x?,y? 减法 等于这两个向量相应坐 -y?) 标的 一个向量的坐标等于表示 已知 A(x?,y?), 重要 此向量的有向线段的_____ → 结论 _的坐标减去 的坐标 B(x?,y?),则 AB 16 ℃