6.2.4 向量的数量积-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第二册同步练测（人教A版2019）

第六章 平面向量及其应用 6.2.4 向量的数量积 [学习任务] 1.掌握平面向量的数量积的定义. 2.理解平面向量的数量积的几何意义. 3.了解向量的数量积与实数的乘法的区别. 自主学习探新知 知识点一 向量的夹角 定义：已知两个 a,b,O是平面上的任意 一点，作OA=a,OB=b,则 _(0≤0≤π) 叫做向量a与b的夹角(如图所示),也常用<a, b>表示.其中： B b (1)向量 a与b的夹角的范围是 00; a A (2)当θ=0时，a与b ;当θ=π时， a与b ; (3)如果a与b的夹角是,我们说 a与b 乙 ,记作_ 知识点二 向量的数量积 1.定义：已知两个 向量a与b,它们的夹角 为0,我们把数量 叫做向量a与b的数 量积(或内积),记作 ,即 规定：零向量与任一向量的数量积为 2.投影向量：如图①,设 a,b是两个非零向量，AB =a,CD=b,我们考虑如下的变换：过AB的起点 A和终点B,分别作CD所在直线的 ,垂 足分别为 A?,B?,得到A?B?,我们称上述变换为 向量a向向量b投影， 叫做向量a在向 量b上的投影向量. A a B b CA, B?D 图① 0 a M M?Nb 图② 如图②,我们可以在平面内任取一点O,作0M= a,ON=b.过点M作直线ON的 _,垂足 为M,则 就是向量a在向量b上的投 影向量. 知识点三 向量的数量积的性质及运算律 1.向量数量积的性质 设 a,b是非零向量，它们的夹角是θ,e是与 b方向相同的单位向量，则 (1)a·e=e·a= ; (2)a⊥b? ; (3)当a与b同向时，a·b= ;当a与b 反向时，a·b= .特别地，a·a=|al2 或|a|=√a·a; (4)|a·bl_ |a||b|. 2.向量数量积的运算律 (1)a·b= (交换律); (2)(λa)·b= (结合律); (3)(a+b)·c= (分配律). 11 ?高中数学·必修 第二册 互动探究解疑难 要点归纳 重难实破 探究一 向量数量积的运算 角度1 向量数量积的简单计算 [例1] 已知|a|=2,|b|=3,a与b的夹角为 120°,求： (1)a·b;(2)a2—b2;(3)(2a—b)·(a+3b); (4)|a+b|. ②(a-2b)·(a+b); ③(a-b)2. Ⅱ规律方法|l 求向量的数量积的两个关键点 求向量的数量积时，需明确两个关键点：相关向量 的模和夹角.若相关向量是两个或两个以上向量的线 性运算，则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘 法的相关公式进行化简. 角度2 平面几何图形中的向量数量积的计算 [例2](河南郑州月考)在边长为1 的正三角形 ABC中，设BC=2 BD,CA=3CE,则AD·BE= ( ) A.-4 B.4 c.-4 D.5 规律方法|l- 解决平面几何图形中的向量数量积问题的基本思路 解决平面几何图形中的向量数量积问题，要充分 利用图形特点及其含有的特殊向量，这里的特殊向量 主要指具有特殊夹角或已知长度的向量.对于以图形 为背景的向量数量积的题目，解题时要充分把握图形 的特征。 探究二 向量模的有关计算 ,Iml=[例3] (1)已知向量 m,n的夹角为 sin24,In|=cos24,则Im+n|= ( ) A.3 c.5B.4 D.5 (2)(江苏扬州月考)若平面向量 a,b满足|a|= 1,|b|=2,且|a+b|=|a-b|,则|2a+b|等于 ( ) A.√2 B.2√2 C.2 D.8 -Ⅱ规律方法|Ⅱ 求向量的模的常见思路及方法 (1)求模问题一般转化为求模平方，与向量数量积 联系，并灵活应用a2=|a|2,勿忘记开方. (2)a·a=a2=|a|2或|al=√a2,此性质可用来 求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互 转化。 (3)一些常见的等式应熟记，如(a±b)2=a2± 2a·b+b2,(a+b)·(a-b)=a2-b2等. 跟踪训练 2.(1)已知向量 a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1, 则|a+2b|= (2)已知向量a与b夹角为45°,且|a|=1,|2a十 b|=√10,求|b|. 跟踪训练 1.(1)已知等腰△ABC的底边BC长为4,则BA· BC= (2)已知|a|=10,|b|=4,a与b的夹角θ= 120°.求： ①a在b方向上的投影向量； 12 第六章 平面向量及其应用 探究三 与向量垂直、夹角有关的问题 [例4](1)已知 e?与e?是两个互相垂直的单位 向量，若向量e?+ke?与 ke?+e?的夹角为锐角， 则k的取值范围为 (2)已知非零向量a,b满足a+3b与7a-5b互 相垂直，a-4b与7a-2b互相垂直，求a与b的 夹角. 变式训练 (变条件)将例4(1)中的条件“锐角”改为“钝角” 其他条件不变，求k的取值范围. -|规律方法I----------------------- 1.求向量夹角的基本步骤 计算a·b及|a|,|bl 二 计算cos0=1ab 三 借助θ∈[0,π],求出0值 2.向量垂直问题的处理思路 解决与垂直相关题目的依据是alb?a·b= 0,利用数量积的运算代入，结合与向量的模、夹角相 关的知识解题。 易错 警示 处理参数问题时忽视 向量共线的特殊情况 [典例] 设两个向量e?,e?满足|e?|=2,|e?I=1, e?,e?的夹角为60°,若向量 2te?+7e?与e?+te? 的夹角θ为钝角，求实数t的取值范围. [错解] 由向量2te?+7e?与e?+te?的夹角θ为钝 cos o=2e+7ge+ei<0,角，得 ∴(2te?+7e?)·(e?+te?)<0,化简得2t2+15t+ 7<0. 解得-7<i<-1. [错解分析](2te?+7e?)·(e?+te?)<0包括了 向量2te?+7e?和e?+te2的夹角为180°的情况， 即两向量方向相反的情况，故应排除这种情况. [正解] 由向量2te?+7e?与e?+te?的夹角θ为钝 coso=22e+7e?le+e2<0,角，得( ∴(2te?+7e?)·(e?+te?)<0. 化简，得22+151+7<0.解得-7<i<-2. 当向量2te?+7e?与e?+te?的夹角为180°时，也 有(2te?+7e?)·(e?+te?)<0,但此时夹角不是 钝角. 设2te?+7e?=λ(e?+te?),λ<0,-则 ∴所求实数t的取值 (-7,--24)u(-N24,-1).范围是( Ⅱ误区警示|l-- 由两向量的夹角求参数的取值范围时，一般利用 以下结论：对于非零向量a,b,0∈ 0,2)=a·b>0;0 ∈[2,π]?a·b<0 提示上请完成《素能提升训练》训练五 13 6.2.4 向量的数量积 【自主学习探新知】 知识点一 非零向量 ∠AOB=0(1)0≤0≤π (2)同向 反向(3)垂直 alb 知识点二 1.非零 |a||b|cos0 a·b a·b=|al|blcosθ 0 2.垂线 A,B?垂线 OM 知识点三 1.(1)|a|cos θ(2)a·b=0(3)|al|b 一|a||b|(4)≤ 2.(1)b·a (2)λ(a·b)=a·(λb) (3)a·c+b·c 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] [解](1)a·b=|a||b|cos 120°=2×3× (-2)=-3. (2)a2—b2=|a|2—|b|2=4-9=-5. (3)(2a—b)·(a+3b)=2a2+5a·b-3b2=2|a|2+ 5|a||b|cos 120°-3|b|2=8-15-27=-34. (4)| a+b|= √(a+b)2= √a2+2a·b+b2= √4—6+9=√7. A ,AD=2(AB+[例 2] [解析] 如图， AC,AE=3AC,距=BA+AE= E 3Ac-AB,则AD·BE=2(AB+B CD AC)·(3A-AB)=1×(3IAC|2-IABI2- 3AB·Ac)=2×(3-1-3 cos60°)=-4 [答案] A [跟踪训练] 1.解析 (1)如图，过点 A作AD⊥ A BC,垂足为 D. 因为AB=AC, BD=-BC=2, B D所以 所以|BAlcos∠ABC=|BD|=÷IBCl=1×4=2. 所以BA·BC=|BAIIBClcos∠ABC=2×4=8. ℃ (2)①a在b方向上的投影为 la|cos 120°=10×(-2)=-5. ②(a-2b)·(a+b)=a2+a·b-2a·b-2b2 =a2-a·b-2b2=|a|2-|a||b|cos 120°-2|b|2 =100-10×4×(-2)-2×42=88. ③(a-b)2=a2-2a·b+b2=|a|2-2|a||b|cos 120°+|bl2 =100-2×10×4×(-2)+42=100+40+16=156. 答案(1)8(2)见解析 探究二 [例3] [解析](1)由题意知，(m+n)2=m2+n2+2|m ·Inlcos =1+sinfos =1+ sin6=1+4 =5,∴Im+nl=5. (2)∵|a|=1,|b|=2,且|a+b|=|a-b|,∴alb, ∴a·b=0,故|2a+b|=√4a2+4a·b+b2=√4+4= 2√2. [答案](1)C(2)B [跟踪训练] 2.解析 (1)因为|a+2b|2=(a+2b)2 =|a|2+2|a||2b|cos 60°+(2|b)2 =22+2×2×2×1+22=4+4+4=12, 所以|a+2b|=√12=2√3. (2)因为|2a+b|=√10,所以(2a+b)2=10, 所以4a2+4a·b+b2=10. 又因为向量a与b的夹角为45°且|a|=1, 所以4×12+4×1×1b|×2+lb2=10, 整理得|b|2+2√2|b|-6=0, 解得|b|=√2或|b|=-3√2(舍去). 答案(1)2√3(2)见解析 探究三 [例4] [解析](1)∵e?+ke?与ke?+e?的夹角为锐角， ∴(e?+ke?)·(ke?+e?)=ke2+ke2+(k2+1)e?·e? =2k>0,∴k>0. 当k=1时，e?+ke,=ke?+e?,它们的夹角为0,不符合 题意，舍去. 综上，k的取值范围为k>0且k≠1. a-46):(7a-2)=0,(2)由已知条件得 {a2-30a.b+86=0, ①即 ② ②一①得23b2—46a·b=0, ∴2a·b=b2,代入①得 a2=b2, ∴|a|=|b|,设a,b的夹角为0, o-8ib-“-1 ∵O∈[0,π],∴0=3· [答案](1)(0,1)U(1,十)(2)见解析 [变式训练] 解 ∵e?+ke?与ke?+e?的夹角为钝角， ∴(e?+ke?)·(ke?+e?)=ke2+ke2+(k2+1)e?·e? =2k<0, ∴k<0. 当k=-1时，e?+ke,与ke?+e?方向相反，它们的夹角 为π,不符合题意，舍去. 综上，k的取值范围是k<0且k≠-1. 6.3 平面向量基本定理及坐标表示 6.3.1 平面向量基本定理 【自主学习探新知】 知识点 1.不共线 任一 有且只有一对 λ?e?+λ?e? 【互动探究解疑难】 探究一 e?=-fe?,从而向[例1] [解](1)正确。若λ≠0,则 量e?,e?共线，这与 e,e?不共线相矛盾，同理可说明 μ=0. 4