6.2.3 向量的数乘运算-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第二册同步练测（人教A版2019）

(2)由 a—b—c=a—(b+c),如图②, A 以OB,OC为邻边，作口OBEC,连接 a0bOE,则OE=OB+OC=b+c,连接AE, 则EA=0A-oE=a-(b+c)=a- b—c. cB C E 图② 探究三 [例3] [解] 因为四边形 ACDE是平行四边形， 所以CD=AE=c,BC=AC-AB=b-a, 故BD=BC+CD=b-a+c. [变式训练] 1.解 BE=AE-AB=c-a,CE=AE-AC=c-b. 2.解 因为四边形 ACDE是平行四边形， 所以CD=AE=c,BC=Ac-AB=b-a, BD=BC+CD=b-a+c. 「跟踪训练] 示 1 3.解(1)DB=DE+EA+AB=d+e+a=a+d+e (2)DB=CB-CD=-BC-CD=-b-c. (3)EC=EA+AB+BC=a+b+e. (4)EC=-CE=-(CD+DE)=-c-d. 6.2.3 向量的数乘运算 【自主学习探新知】 知识点一 1.(1)向量 λa (2)①|λl|a| ②相同 相反 0 —a 知识点二 唯一一个 b=λa 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] [解] (1)①原式=4a+4b—3a+3b—8a= —7a+7b. ②原式=5a-4b+c—6a+4b-2c=-a-c. ③原式=3(4a-3b+3b-3a+4b) =3(5a-2b)=5a-86. (2)原式=3a-b-a+3b+2b-a =(3-1-1)a+(-1+3+2)b=-5a+5b =-5(3i+2j)+5(2i-j) =(-5+3)i+(-3-3)i=-5i-5j. [跟踪训练] 1.解(1)原式=(5-3+4)a+(-3-3+15)b=0. (2)原式=2ma—na—mb—m(a—b)+n(a—b)=2ma — na—mb—ma+mb+na—nb=ma—nb. 探究二 [例2] [解](1)证明：∵AB=OB-OA=(3a+b)- (2a—b)=a+2b, 而BC=0c-OB=(a-3b)-(3a+b) =—(2a+4b)=-2 AB, ∴AB与BC共线，且有公共点B, ∴A,B,C三点共线. (2)∵8a+kb与ka+2b共线， ∴存在实数λ,使得 8a+kb=λ(ka+2b), 即(8一λk)a+(k—2λ)b=0. a与b不共线， :{k-2λ=0,解得λ=±2, ∴k=2λ=±4. [跟踪训练] 2.解 设存在k∈R,使得A,B,D三点共线， ∵DB=CB-CD=(e?+3e?)-(2e?—e?)=-e?+4e?, AB=2e?+ke? 又∵A,B,D三点共线， ∴存在λ∈R,使AB=λDB, ∴2e?+ke?=λ(-e?+4e?), :{k=4x,二k=-8, ∴存在实数k=-8,使得 A,B,D三点共线。 探究三 [例3] [解] ∵B,C,D三点共线，且CD=2BD, ∴.BD=3BC. 解法一：AD=AB+BD=AB+-BC=AB+3(AC- AB)=3AB+3AC=3a+gb. 解法二：∵AD-AB=BD=3BC=1(AC-AB), ∴AD=AB+3(Ac-AB)=3AB+3AC=3a+gb [变式训练] 解 解法一：如图，∵BC=Ac- A AB,又CD=BD, :AD=AB+BD=AB+1BC=B D AB+1(AC-AB)=1AB+-AC=(a+b). 解法二：如图，以 AB,AC为邻 A 边作口ABEC,则AE=AB+AC. ∵CD= BD,∴D 是 AE 的 B<中点. D ∴Ab=_AE=2(AB+AC) E =2(a+b). C C [跟踪训练] 3.解 因为BM=3BC=?BA =号(oA-OB)=g(a-b), 所以OM=0B+BM=b+ga-言b=ga+5b. C=3cb=1ob,因为 所以ON=0c+CN=2oD+?ob =3OD=3(OA+0B)=3(a+b). MN=0N-oM=2(a+b)-1a-6b=2a-gb 3 第六章 平面向量及其应用 6.2.3 向量的数乘运算 [学习任务] 1.了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义. 2.理解并掌握向量数乘的运算律，会进行向量的数乘运算. 3.理解并掌握两向量共线的性质及判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关向量共 线问题. 自主学习探新知 知识点一 向量的数乘运算及运算律 1.向量的数乘 (1)定义：一般地，我们规定实数λ与向量a 的积 是一个 _,这种运算叫做向量的数乘，记 作_ . (2)规定 ①|λa|= ; ②当λ>0时，λa的方向与a 的方向 _;当λ<0时，λa的方向与a 的方向 _;当λ=0时，λa= ;(-1)a= 2.向量数乘的运算律 设λ,μ为实数，那么 (1)λ(pa)=(λμ)a; (2)(λ+μ)a=λa+pa; (3)λ(a+b)=λa+λb. 特别地，我们有(一λ)a=—(λa)=λ(一a), λ(a—b)=λa—λb. 知识点二 共线向量定理 向量a(a≠0)与 b共线的充要条件是：存在 ___实数λ,使 互动探究解疑难 要点归纳 重难实破 探究一 向量的线性运算 [例1](1)计算： ①4(a+b)-3(a-b)—8a; ②(5a-4b+c)-2(3a-2b+c); ③3[(4a-3b)+sb-4(Ga-7b)] (sa-b)-(2)设向量a=3i+2j,b=2i—j,求 (a-3b)+(2b-a). 跟踪训练 1.化简下列各式： (1)专(a-b)-3(2a+4b)+5(2a+13b); (2)(2m—n)a— mb—(m— n)(a—b)(m,n为 实数). 规律方法I1---------------------------- 向量线性运算的基本方法 (1)类比方法：向量的数乘运算可类似于代数多项 式的运算.例如实数运算中的去括号、移项、合并同类 项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样 适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看 作是向量的系数. (2)方程方法：向量也可以通过列方程来解，把所求 向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算 过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算. 探究二 向量共线的判定及应用 [例 2] 设 a,b是不共线的两个非零向量. (1)若OA=2a-b,OB=3a+b,Oc=a-3b,求 证：A,B,C三点共线； (2)若8a+kb与ka+2b共线，求实数k的值. 9 ?高中数学·必修 第二册 规律方法[---------------------------- 1.证明或判断三点共线的方法 (1)一般来说，要判定 A,B,C三点是否共线，只需看是 否存在实数λ,使得AB=λAC(或BC=λAB等)即可. (2)利用结论：若A,B,C三点共线，O为直线外一点 台存在实数x,y,使OA=xOB+yOC且x+y=1. 2.利用向量共线求参数的方法 判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共 线定理寻求唯一的实数λ,使得a=λb(b≠0).而已 知向量共线求λ,常根据向量共线的条件转化为相 应向量系数相等求解.若两向量不共线，必有向量的 系数为零，利用待定系数法建立方程，从而解方程求 得λ的值. 跟踪训练 2.设两个非零向量e?,e?不共线，已知AB=2e?+ke?, CB=e?+3e?,CD=2e?-e?.问：是否存在实数k,使 得 A,B,D三点共线，若存在，求出k的值；若不存 在，请说明理由. 探究三 用已知向量表示未知向量 [例3] (链接教材第14 页例6)在△ABC中，已知 D是BC上的点，且CD=2BD,设AB=a,AC= b,试用a和b表示AD. A B D C 变式训练 (变条件)若将本例中的“CD=2BD”改为“CD= BD”,你能用两种方法解答吗? Ⅱ规律方法|l 用已知向量表示其他向量的两种方法 (1)直接法 画图 结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平 行四边形中 表示 结合向量的三角形法则或平行四边形法则及向 量共线定理用已知向量表示未知向量 (2)方程法：当直接表示比较困难时，可以先利用 三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已 知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程. 跟踪训练 3.如图所示，四边形 OADB是以 B M 向量OA=a,OB=b为邻边的 b/ 平行四边形.又 OD与AB 相 o aBM=3BC,CN交于点C,且 =1CD,试用a,b表示OM,ON,MN. Nc A 易错 忽视向量共线的方向导致错误 警示 [典例] 设两向量 e?,e?不共线，若向量2te?+7e? 与向量e?+te?共线，求实数t的值. [错解]∵向量 2te?+7e?与向量 e?+ te? 共线， ∴存在实数λ,使得2te?+7e?=λ(e?+te?), t=4即2t=λ,且7=λt,解得 [错解分析] 忽视两非零向量反向共线的情况 而漏掉一解. [正 解]∵向量 2te?+7e?与向量 e?+ te? 共线， ∴存在实数λ,使得2te?+7e?=λ(e?+te?), t=±×1.即2t=λ,且7=λt,解得； ±√24故所求实数t的值为 误区警示[l------------- 注意两非零向量共线应分同向与反向两种情况. 提示、请完成《素能提升训练》训练四 10 D