6.2.2 向量的减法运算-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第二册同步练测（人教A版2019）

D(1)在平面内任取一点O,作OA=a, OB=b; oc=a(2)作平行四边形AOBC,则 +b; E c b Co (3)再作向量OD=c; a A(4)作平行四边形CODE, 则OE=OC+c=a+b+c. 即OE即为所求. 探究二 [例2][解]、(1)BC+AB=AB+BC=AC. (2)DB+CD+BC=BC+CD+DB=(BC+CD)+ DB=BD+DB=0. (3)AB+DF+CD+BC+FA=AB+BC+CD+DF+ FA=AC+CD+DF+FA=AD+DF+FA=AF+ FA=0. [跟踪训练] 2.解(1)①CD+BC+AB =(AB+BC)+CD=AC+CD=AD. ②MN+PQ+NR+RP =(MN+NR)+(RP+PQ)=MR+RQ=MQ. (2)①AB+CD=AB+AF=AO. ②AB+AF+BC=Ao+BC=AO+0p=AD. ③OC+OD+EF=0c+0D+0A=0c. 答案(2)①AO ②AD ③OC 探究三 [例3][解](1)如图①,用OA表示河水的流速，OB表示 该人在静水中游泳的速度。以OA,OB为邻边作平行四边 形OACB,则OC为此人游泳的实际速度.在Rt△OAC中， |OA|=4,|AC|=|OB|=4√3,所以|oc|= √1oAl3+1AclP=8,tan∠AOc=I0dl=√5,所以 ∠AOC=60°??此人实际前进的速度的大小为8 km/h, 方向与水流方向的夹角为60°% Bq C B' C' o A 0′ A 图②图① (2)如图②,用OA'表示河水的流速，OB′表示此人在静 水中游泳的速度，以O'A',OB′为邻边作平行四边形 O'A'℃'B',则OC?表示此人实际游泳的速度.所以有 σci=√1OB|2-1OA|2=4√2,所以tan∠BO'c′--,所以∠B′O′℃≈35.26??此人应朝与 水流方向成125.26°角的方向游，实际前进的速度的大 小为4√2 km/h. [跟踪训练] → 3.解 如图所示，设AB,BC分别是直升机 的位移，则AC表示两次位移的合位移， 即AC=AB+BC. 在Rt△ABD中， 北 C B A D 东 IDB|=20 km,AD|=20√3 km. 在Rt△ACD中，ACl=√ADl2+1DCl2=40、3 km, ∠CAD=60°, 即此时直升机位于A地北偏东30°方向，且距离A 地40√3 km处. [牛刀小试] 解 根据题意画出示意图如图，用 北 B(乙) A,B,C,D分别表示甲、乙、丙、丁四—→ 名射手的位置，则球的位移为AB+ A CBC+CD=AD,故球的最终位移为 (甲) (丙)东 AD,依题意知△ABC为正三角形， D(丁) 故|AB|=|BC|=AC=2 m. 又因为∠ACD=45°,CD=√2 m,所以∠ADC=90°, 所以△ACD为等腰直角三角形，所以|AD|=√2 m. 6.2.2向量的减法运算 【自主学习探新知】 知识点一1.相等 相反 知识点二1.相反2.a—b 3.终点终点 【互动探究解疑难】 探究一 [例1][解](1)解法一：原式=AB+MB+BO+OM= (AB+BO)+(OM+MB)=AO+OB=AB. 解法二：原式=AB+MB+BO+OM =AB+(MB+BO)+OM=AB+MO+OM =AB+0=AB. (2)解法一：原式=DB-DC=CB. 解法二：原式=AB-(AD+DC)=AB-AC=CB. [跟踪训练] 1.解(1)解法一：OA-OD+AD=DA+AD=0. 解法二：0A-OD+AD=0A+AD-OD=0D-OD=0. (2)AB+DA+BD-BC-CA=AB+DA+BD+CB+ AC=(AB+BD)+(AC+CB)+DA=AD+AB+ DA=AD+DA+AB=0+AB=AB. 探究二 [例2][解]解法一：如图①所示，在平面内任取一点 O,作OA=a,AB=b, 则OB=a+b,再作OC=c,则CB=a+b-c. C a+b-c Bc a+b a+ba+b-cbB 0<o ca b a A C4 图① 图② 解法二：如图②所示，在平面内任取一点O, 作OA=a,AB=b,则OB=a+b,再作CB=c,连接OC, 则OC=a+b—c. [跟踪训练] 4 2.解(1)以OB,OC为邻边作□OBDC,如 图①,连接OD,AD,则OD=OB+0c= b b+c, AD=OD-OA=b+c-a. B C D 图① 2 (2)由 a—b—c=a—(b+c),如图②, A 以OB,OC为邻边，作口OBEC,连接 a0bOE,则OE=OB+OC=b+c,连接AE, 则EA=0A-oE=a-(b+c)=a- b—c. cB C E 图② 探究三 [例3] [解] 因为四边形 ACDE是平行四边形， 所以CD=AE=c,BC=AC-AB=b-a, 故BD=BC+CD=b-a+c. [变式训练] 1.解 BE=AE-AB=c-a,CE=AE-AC=c-b. 2.解 因为四边形 ACDE是平行四边形， 所以CD=AE=c,BC=Ac-AB=b-a, BD=BC+CD=b-a+c. 「跟踪训练] 示 1 3.解(1)DB=DE+EA+AB=d+e+a=a+d+e (2)DB=CB-CD=-BC-CD=-b-c. (3)EC=EA+AB+BC=a+b+e. (4)EC=-CE=-(CD+DE)=-c-d. 6.2.3 向量的数乘运算 【自主学习探新知】 知识点一 1.(1)向量 λa (2)①|λl|a| ②相同 相反 0 —a 知识点二 唯一一个 b=λa 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] [解] (1)①原式=4a+4b—3a+3b—8a= —7a+7b. ②原式=5a-4b+c—6a+4b-2c=-a-c. ③原式=3(4a-3b+3b-3a+4b) =3(5a-2b)=5a-86. (2)原式=3a-b-a+3b+2b-a =(3-1-1)a+(-1+3+2)b=-5a+5b =-5(3i+2j)+5(2i-j) =(-5+3)i+(-3-3)i=-5i-5j. [跟踪训练] 1.解(1)原式=(5-3+4)a+(-3-3+15)b=0. (2)原式=2ma—na—mb—m(a—b)+n(a—b)=2ma — na—mb—ma+mb+na—nb=ma—nb. 探究二 [例2] [解](1)证明：∵AB=OB-OA=(3a+b)- (2a—b)=a+2b, 而BC=0c-OB=(a-3b)-(3a+b) =—(2a+4b)=-2 AB, ∴AB与BC共线，且有公共点B, ∴A,B,C三点共线. (2)∵8a+kb与ka+2b共线， ∴存在实数λ,使得 8a+kb=λ(ka+2b), 即(8一λk)a+(k—2λ)b=0. a与b不共线， :{k-2λ=0,解得λ=±2, ∴k=2λ=±4. [跟踪训练] 2.解 设存在k∈R,使得A,B,D三点共线， ∵DB=CB-CD=(e?+3e?)-(2e?—e?)=-e?+4e?, AB=2e?+ke? 又∵A,B,D三点共线， ∴存在λ∈R,使AB=λDB, ∴2e?+ke?=λ(-e?+4e?), :{k=4x,二k=-8, ∴存在实数k=-8,使得 A,B,D三点共线。 探究三 [例3] [解] ∵B,C,D三点共线，且CD=2BD, ∴.BD=3BC. 解法一：AD=AB+BD=AB+-BC=AB+3(AC- AB)=3AB+3AC=3a+gb. 解法二：∵AD-AB=BD=3BC=1(AC-AB), ∴AD=AB+3(Ac-AB)=3AB+3AC=3a+gb [变式训练] 解 解法一：如图，∵BC=Ac- A AB,又CD=BD, :AD=AB+BD=AB+1BC=B D AB+1(AC-AB)=1AB+-AC=(a+b). 解法二：如图，以 AB,AC为邻 A 边作口ABEC,则AE=AB+AC. ∵CD= BD,∴D 是 AE 的 B<中点. D ∴Ab=_AE=2(AB+AC) E =2(a+b). C C [跟踪训练] 3.解 因为BM=3BC=?BA =号(oA-OB)=g(a-b), 所以OM=0B+BM=b+ga-言b=ga+5b. C=3cb=1ob,因为 所以ON=0c+CN=2oD+?ob =3OD=3(OA+0B)=3(a+b). MN=0N-oM=2(a+b)-1a-6b=2a-gb 3 ?高中数学·必修 第二册 教 材 平面向量求和中三角形法则 的推广拓展 2018年 7月18日，在加拿大蒙特利尔举行的 机器人世界杯比赛，在最终决赛中，中国浙江大学 队以4:0的比分战胜了美国卡耐基梅隆大学队， 获得了冠军.机器人在赛场上能“多人协作”进行断 球、传球，能够做出假动作迷惑对手，还可以通过人 工智能技术对球场局势进行相应的判断. 在比赛过程中，中国浙江大学队的机器人甲采 用迂回战术带球射门，行走的路线如图①,从点 A 开始绕灰色区域走一圈，最终骗过对方队员，成功 踢进一球，这名射手激动地跳起了如图②所示的正 多边形舞，跳舞的方式是从点P开始，沿正东方向 行进1米，逆时针方向转变α度，继续按直线向前行 进1米，再逆时针方向转变α度，按直线向前行进1 米，⋯⋯,最终回到起点. A 乙 B ED 甲 丙c p 了 图③图① 图② 成功踢入一球后，甲、乙、丙、丁四名射手按图 ③的路线组织传球，又进了一球.最终中国浙江大 学队踢进4球，以4:0的成绩获得了机器人足球世 界杯冠军! 问题探究 [例1] 当α=45°时，请画出射手的跳舞轨迹，并说 明跳多少步时位移为零，请作图说明(假设机器 人跳1步为1米). [提示] 射手的跳舞轨迹为如 图所示的正八边形，其中边长为 1 m,跳 8步时，射手回到起点， 所以当射手跳8n(n∈N“)步时， 射手的位移为零. 1m [例2] 要使射手能回到出发点，跳舞时设定的α 应满足什么条件? [提示] 要使射手能回到出发点，只需射手的位 移为零.按上述方式作图，则所作图形是内角为 180°—α的正多边形，由多边形的内角和定理可 a=36°,且得 n(180°—α)=(n-2)·180°,解得 a=36°,且nn≥3,n∈N”.故α应满足的条件为 ≥3,n∈N*. 牛刀小试 甲、乙、丙、丁四名射手按下列路线组织传球：甲机 器人按北偏东30°的方向将球传2 m给机器人乙， 然后机器人乙按南偏东 30°的方向将球传 2 m给 机器人丙，机器人丙再按西南方向传√2 m给机 器人丁，利用向量加法求出球的位移向量，并确 定此向量模的大小. 提示专请完成《素能提升训练》训练二 6.2.2 向量的减法运算 [学习任务] 1.理解相反向量的含义，能用相反向量说出向量相减的意义. 2.掌握向量减法的运算及其几何意义，能熟练地进行向量的加减运算. 3.能将向量的减法运算转化为向量的加法运算. 自主学习探新知 知识点一 相反向量 1.定义：与向量 a 长度 ,方向 的 向量，叫做a的相反向量. 2.性质 (1)对于相反向量有：a+(—a)=0; (2)若 a,b互为相反向量，则 a=— b,a十 b=0; (3)零向量的相反向量仍是零向量. 知识点二 向量的减法 1.定义：a—b=a+(一b),即减去一个向量相当于 6 第六章 平面向量及其应用 加上这个向量的 向量. 2.作法：在平面内任取一点O, B 作OA=a,OB=b,则BA= _,如图所示. a-b b 0 a A 3.几何意义：a-b可以表示为从向量b的 __指向向量a的_ _的向量. 互动探究解疑难 要点归纳 重难实破 探究一 向量的减法运算 [例1] 化简下列各式： (1)(AB+MB)+(-OB-MO); (2)AB-AD-DC. 探究二 向量减法及其几何意义 [例2] (链接教材第12 页例3)如图，已知向量a, b,c不共线，求作向量 a+b—c. a b c 规律方法| 向量减法运算的常用方法 可以通过相反向量，把向量减法的 运算转化为加法运算 常用方法 运用向量减法的三角形法则，此时要注意两个向量要有共同的起点 引入点0,逆用向量减法的三角形 法则，将各向量起点统一 跟踪训练 1.化简： (1)OA-OD+AD; (2)AB+DA+BD-BC-CA. Ⅱ规律方法Ⅱ (1)作两向量的差的步骤： 移 平移向量使之共起点 连 连接两向量的终点，方向指向被减向量 (2)求两个向量的减法可以通过转化为向量的加 法来进行，如 a—b,可以先作一b,然后用加法a+ (—b)即可； (3)向量减法的三角形法则对共线向量也适用。 跟踪训练 2.如图所示，0为△ABC内一点，OA=a,OB=b,0 =c,求作： (1)向量 b+c—a; A (2)向量a-b—c. o B c---- 7 ?高中数学·必修 第二册 探究三 用已知向量表示其他向量 [例3] 如图所示，四边形 ACDE是平行四边形，B 是该平行四边形内一点，且AB=a,AC=b,AE一→一→ =c,试用向量 a,b,c表示向量CD,BC,BD. C b ,A a cB D2 E 变式训练 1.(变设问)本例条件不变，试用向量 a,b,c表示 BE与CE. 2.(变条件)本例中的条件“点 B是该平行四边形 ACDE 内一点”若换成“点 B是该平行四边形 ACDE外一点”,其他条件不变，其结论又如 何呢? 规律方法l 用已知向量表示某向量的步骤 第一步 观察各向量的位置 第二步 寻找(或作)相应的平行四边形或三角形 第三步 运用法则找关系 第四步 化简得结果 跟踪训练 3.如图所示，解答下列各题： Ed De c A< ca B b (1)用a,d,e表示DB; (2)用b,c表示DB; (3)用a,b,e表示EC; (4)用c,d表示EC. 易错 错误使用向量的减法法则 警示 [典例] 如图，已知表示一点 O 到平行四边形 ABCD 的三个 A 顶点 A,B,C的向量分别为 r?,r?,r?,则OD= (用 r?,r?,r3表示). D B r3 r?r 0 [错解] 因为OD=Oc+CD,CD=BA=OB -OA, 所以OD=Oc+OB-OA=r?+r?-r?. [错解分析] 错误地使用了向量的减法法则. [正解] 因为OD=0c+CD,CD=BA=OA -OB, 所以OD=0c+OA-OB=r?+r-r?. 误警示||-- 已知起点与终点的多个平面向量的加、减运算，可 以灵活运用向量加法的运算律，遵循“首尾相接”的原 则即可。 ---- 提示、请完成《素能提升训练》训练三 8 C