6.2.1 向量的加法运算-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第二册同步练测（人教A版2019）

?高中数学·必修 第二册 6.2 平面向量的运算 6.2.1 向量的加法运算 [学习任务] 1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的几何意义及其运算律. 2.掌握向量加法运算法则，能熟练地进行加法运算. 3.了解数的加法与向量的加法的联系与区别. 自主学习探新知 知识点一 向量加法的定义及其运算法则 1.向量加法的定义：求两个向量 的运算，叫做 向量的加法. 2.向量求和的法则 已知_ _向量a,b,在平面内任取一点 A,作AB=_ _,BC= ,则向 量 , 三角形 法则 C ba+b A a B 叫做a与b的和，记作_ 即a+b=AB+BC=AC 续表 B a以同一点O为起点的两 b a+b 个已知 向量 a,b,作 ba平行四边 OA= ,OB=0 A 形法则 ,以OA,OB为邻边作口OACB, 则对角线上的向量OC=a+b c 3.向量a,b的模与a+b的模之间的关系：|a+b ≤ ,当且仅当a,b 时等号 成立. 4.对于零向量与任意向量 a,我们规定：a +0=0 +a=a. 知识点二 向量加法的运算律 交换律 结合律 a+b=_ a+(b+c)= 互动探究解疑难 要点归纳 重难窘破 探究一 求作向量的和 [例1](链接教材第8 页例1)(1)如图①,用向量 加法的三角形法则作出 a+b; (2)如图②,用向量加法的平行四边形法则作出 a+b. b a b a 图① 图② Ⅱ规律方法Ⅱ 1.向量求和的注意点 (1)三角形法则对于两个向量共线时也适用； (2)两个向量的和向量仍是一个向量； (3)平行四边形法则对于两个向量共线时不适用. 2.利用三角形法则的注意点 要注意两向量“首尾顺次相连”,其和向量为“起点指 向终点”的向量. 3.利用平行四边形法则的注意点 利用平行四边形法则要注意两向量“共起点”,其和 向量为共起点的“对角线”向量. 4 第六章 平面向量及其应用 跟踪训练 1.如图，已知向量a,b,c,求作和向量a+b+c. c b a 探究二 向量的加法及运算律 [例2] 化简： (1)BC+AB; (2)DB+CD+BC; (3)AB+DF+CD+BC+FA. 探究三 向量加法的实际应用 [例3] 已知某人在静水中游泳的速度的大小为 4√3 km/h,河水的流速的大小为4 km/h,现此人 在河中游泳. (1)如果他垂直游向河对岸，那么他实际沿什么 方向前进?实际前进的速度的大小为多少? (2)他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的 方向前进?实际前进的速度的大小为多少? 参考数据：tan 35.26°≈√2 Ⅱ规律方法Ⅱ一 利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤 表示 用向量表示实际问题中既有大小又有方向 的量 运算 利用平行四边形法则或三角形法则求向量 的和，并用直角三角形等知识解决问题 作答 根据题意作答 规律方法|l 向量加法运算的几个注意点 (1)解决该类题目要灵活应用向量加法运算律，注 意各向量的起、终点及向量起、终点字母排列顺序，特 别注意勿将0写成0; (2)运用多边形法则进行向量加法求和时，在图中 表示“首尾相接”时，其和向量是从第一个向量的起点 指向最后一个向量的终点. 跟踪训练 3.一架救援直升机从 A地沿北偏东60°方向飞行了 40 km到达 B地，再由 B地沿正北方向飞行40 km 到达C地，求此时直升机与A地的相对位置. 跟踪训练 2.(1)化简或计算： ①CD+BC+AB; ②MN+PQ+NR+RP. (2)如图，在正六边形 AB- CDEF 中，O 是 其 中 心.则： E F o ①AB+CD= ; ②AB+AF+BC= c+oo+ A D B C ---- 5 ?高中数学·必修 第二册 教 材 平面向量求和中三角形法则 的推广拓展 2018年 7月18日，在加拿大蒙特利尔举行的 机器人世界杯比赛，在最终决赛中，中国浙江大学 队以4:0的比分战胜了美国卡耐基梅隆大学队， 获得了冠军.机器人在赛场上能“多人协作”进行断 球、传球，能够做出假动作迷惑对手，还可以通过人 工智能技术对球场局势进行相应的判断. 在比赛过程中，中国浙江大学队的机器人甲采 用迂回战术带球射门，行走的路线如图①,从点 A 开始绕灰色区域走一圈，最终骗过对方队员，成功 踢进一球，这名射手激动地跳起了如图②所示的正 多边形舞，跳舞的方式是从点P开始，沿正东方向 行进1米，逆时针方向转变α度，继续按直线向前行 进1米，再逆时针方向转变α度，按直线向前行进1 米，⋯⋯,最终回到起点. A 乙 B ED 甲 丙c p 了 图③图① 图② 成功踢入一球后，甲、乙、丙、丁四名射手按图 ③的路线组织传球，又进了一球.最终中国浙江大 学队踢进4球，以4:0的成绩获得了机器人足球世 界杯冠军! 问题探究 [例1] 当α=45°时，请画出射手的跳舞轨迹，并说 明跳多少步时位移为零，请作图说明(假设机器 人跳1步为1米). [提示] 射手的跳舞轨迹为如 图所示的正八边形，其中边长为 1 m,跳 8步时，射手回到起点， 所以当射手跳8n(n∈N“)步时， 射手的位移为零. 1m [例2] 要使射手能回到出发点，跳舞时设定的α 应满足什么条件? [提示] 要使射手能回到出发点，只需射手的位 移为零.按上述方式作图，则所作图形是内角为 180°—α的正多边形，由多边形的内角和定理可 a=36°,且得 n(180°—α)=(n-2)·180°,解得 a=36°,且nn≥3,n∈N”.故α应满足的条件为 ≥3,n∈N*. 牛刀小试 甲、乙、丙、丁四名射手按下列路线组织传球：甲机 器人按北偏东30°的方向将球传2 m给机器人乙， 然后机器人乙按南偏东 30°的方向将球传 2 m给 机器人丙，机器人丙再按西南方向传√2 m给机 器人丁，利用向量加法求出球的位移向量，并确 定此向量模的大小. 提示专请完成《素能提升训练》训练二 6.2.2 向量的减法运算 [学习任务] 1.理解相反向量的含义，能用相反向量说出向量相减的意义. 2.掌握向量减法的运算及其几何意义，能熟练地进行向量的加减运算. 3.能将向量的减法运算转化为向量的加法运算. 自主学习探新知 知识点一 相反向量 1.定义：与向量 a 长度 ,方向 的 向量，叫做a的相反向量. 2.性质 (1)对于相反向量有：a+(—a)=0; (2)若 a,b互为相反向量，则 a=— b,a十 b=0; (3)零向量的相反向量仍是零向量. 知识点二 向量的减法 1.定义：a—b=a+(一b),即减去一个向量相当于 6 A1伴学助手 在线答是 墨同步课堂讲义 日拥言N原日 北第六章 平面向量及其应用 y 东-400 6.1 平面向量的概念 C D. 300 【自主学习探新知】 200 知识点一 1.大小 方向 2.(1)起点 终点 3.大小 t0o A知识点二 1.0 0 2.1个单位 3.相等 相同 a=b B 4.相同 相反 a//b -500-400-300-200-100 100200 =100【互动探究解疑难】 探究一 =200 [例1] [解析] 两个有共同起点，且长度相等的向量， 它们的方向不一定相同，终点也不一定相同，B选项 错误；当b=0时，a与c可能不共线，故C选项错误； 两个单位向量平行也可能反向，则不相等，故 D选项 错误，A正确。故选 A. (2)由题意可知 CD//AB且CD=AB=200,所以四边 形ABCD是平行四边形，则|DA|=|BC|=100√13. [跟踪训练] 3.解(1)根据相等向量的定义，所作向量与向量a平行， 且长度相等.如图中的b即为所作向量。[答案] A [跟踪训练] Bb 1.ABD 向量AB//CD包含AB所在的直线与CD所在的 直线平行和重合两种情况，故 A 错误；相等向量不仅要 求长度相等，还要求方向相同，故 B错误；C显然正确； 共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直 线互相平行的向量，故 D错误。 42.5A (2)c如图所示.由平面几何知识可知所有这样的向量c 的终点的轨迹是以A为圆心，半径为√5的圆.探究二 [例2] [解] 如图所示，满足与AC平行且长度为2√2的 向量有AF,FA,EC,CE,GH,HG,j,方，共8个. 6.2 平面向量的运算 D J C 6.2.1 向量的加法运算 H 【自主学习探新知】F 1 E 知识点一 1.和 2.非零 a b AC a+b a b 3.|a|+|b| 方向相同 知识点二 b+a (a+b)+c A G B [变式训练] 【互动探究解疑难】1.解 与向量AC同向且长度为2√2的向量占与向量AC 平行且长度为2√2的向量中的一半，共4个. 探究一 [例1] [解](1)在平面内任取一点O,作OA=a,AB=2.解 题图中每个小正方形的对角线所在的向量中，与向 量AO方向相同的向量与其相等，共有8个. b,再作向量OB,则OB=a+b. B[跟踪训练] a+b 2.解析(1)由相等向量的定义知①正确；平行且模相等 的两个向量也可能方向相反，②错误；方向不相同且长 度相等的两个向量是不相等向量，③错误；相等向量只 要求长度相等、方向相同，而表示两个向量的有向线段 的终、起点不要求相同，④错误. b 0 a (2)在平面内任取一点O,作OA=a,OB=b,以OA,OB 为邻边作口OACB,则OC=a+b. 0a A(2)因为四边形ABCD是平行四边形，四边形 ABDE是 矩形，所以AB//EC,AB=ED=DC.①AB=ED=DC. ②与AB共线的向量有ED,Dc,Ec,BA,DE,Cb,CE. a+bb b B ℃ [跟踪训练]答案(1)B(2)见解析 1.解 解法一：可先作a+c,再作(a+c)十 C b,即a+b+c.如图，首先在平面内任取 b 一点O,作向量OA=a,接着作向量AB=0 B 探究三 [例3] [解](1)根据题意可知，点B在坐标系中的坐 标为(-200,0).因为点D在点B的正北方，点C在点 D的正西方，所以 BD⊥AB,CD⊥BD. cac,则得向量OB=a+c,然后作向量BC= 又|CB|=100√13,|CD|=200,所以|DB|=300,即 b,则向量OC=a+b+c为所求. A 解法二：三个向量不共线，用平行四边形法则来做。 如图， D,C两点在坐标系中的坐标分别为(—200,300), (-400,300)。作出AB,BC,CD,DA如图所示. 1 D(1)在平面内任取一点O,作OA=a, OB=b; oc=a(2)作平行四边形AOBC,则 +b; E c b Co (3)再作向量OD=c; a A(4)作平行四边形CODE, 则OE=OC+c=a+b+c. 即OE即为所求. 探究二 [例2][解]、(1)BC+AB=AB+BC=AC. (2)DB+CD+BC=BC+CD+DB=(BC+CD)+ DB=BD+DB=0. (3)AB+DF+CD+BC+FA=AB+BC+CD+DF+ FA=AC+CD+DF+FA=AD+DF+FA=AF+ FA=0. [跟踪训练] 2.解(1)①CD+BC+AB =(AB+BC)+CD=AC+CD=AD. ②MN+PQ+NR+RP =(MN+NR)+(RP+PQ)=MR+RQ=MQ. (2)①AB+CD=AB+AF=AO. ②AB+AF+BC=Ao+BC=AO+0p=AD. ③OC+OD+EF=0c+0D+0A=0c. 答案(2)①AO ②AD ③OC 探究三 [例3][解](1)如图①,用OA表示河水的流速，OB表示 该人在静水中游泳的速度。以OA,OB为邻边作平行四边 形OACB,则OC为此人游泳的实际速度.在Rt△OAC中， |OA|=4,|AC|=|OB|=4√3,所以|oc|= √1oAl3+1AclP=8,tan∠AOc=I0dl=√5,所以 ∠AOC=60°??此人实际前进的速度的大小为8 km/h, 方向与水流方向的夹角为60°% Bq C B' C' o A 0′ A 图②图① (2)如图②,用OA'表示河水的流速，OB′表示此人在静 水中游泳的速度，以O'A',OB′为邻边作平行四边形 O'A'℃'B',则OC?表示此人实际游泳的速度.所以有 σci=√1OB|2-1OA|2=4√2,所以tan∠BO'c′--,所以∠B′O′℃≈35.26??此人应朝与 水流方向成125.26°角的方向游，实际前进的速度的大 小为4√2 km/h. [跟踪训练] → 3.解 如图所示，设AB,BC分别是直升机 的位移，则AC表示两次位移的合位移， 即AC=AB+BC. 在Rt△ABD中， 北 C B A D 东 IDB|=20 km,AD|=20√3 km. 在Rt△ACD中，ACl=√ADl2+1DCl2=40、3 km, ∠CAD=60°, 即此时直升机位于A地北偏东30°方向，且距离A 地40√3 km处. [牛刀小试] 解 根据题意画出示意图如图，用 北 B(乙) A,B,C,D分别表示甲、乙、丙、丁四—→ 名射手的位置，则球的位移为AB+ A CBC+CD=AD,故球的最终位移为 (甲) (丙)东 AD,依题意知△ABC为正三角形， D(丁) 故|AB|=|BC|=AC=2 m. 又因为∠ACD=45°,CD=√2 m,所以∠ADC=90°, 所以△ACD为等腰直角三角形，所以|AD|=√2 m. 6.2.2向量的减法运算 【自主学习探新知】 知识点一1.相等 相反 知识点二1.相反2.a—b 3.终点终点 【互动探究解疑难】 探究一 [例1][解](1)解法一：原式=AB+MB+BO+OM= (AB+BO)+(OM+MB)=AO+OB=AB. 解法二：原式=AB+MB+BO+OM =AB+(MB+BO)+OM=AB+MO+OM =AB+0=AB. (2)解法一：原式=DB-DC=CB. 解法二：原式=AB-(AD+DC)=AB-AC=CB. [跟踪训练] 1.解(1)解法一：OA-OD+AD=DA+AD=0. 解法二：0A-OD+AD=0A+AD-OD=0D-OD=0. (2)AB+DA+BD-BC-CA=AB+DA+BD+CB+ AC=(AB+BD)+(AC+CB)+DA=AD+AB+ DA=AD+DA+AB=0+AB=AB. 探究二 [例2][解]解法一：如图①所示，在平面内任取一点 O,作OA=a,AB=b, 则OB=a+b,再作OC=c,则CB=a+b-c. C a+b-c Bc a+b a+ba+b-cbB 0<o ca b a A C4 图① 图② 解法二：如图②所示，在平面内任取一点O, 作OA=a,AB=b,则OB=a+b,再作CB=c,连接OC, 则OC=a+b—c. [跟踪训练] 4 2.解(1)以OB,OC为邻边作□OBDC,如 图①,连接OD,AD,则OD=OB+0c= b b+c, AD=OD-OA=b+c-a. B C D 图① 2