6.1 平面向量的概念-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第二册同步练测（人教A版2019）

第六章 平面向量及其应用 6.1 平面向量的概念 [学习任务_ 1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念. 2.理解向量的几何表示，理解单位向量、零向量的概念。 3.理解两个向量相等的含义以及共线向量的概念. e AI伴学助手 直质答冠 配章答案 全梳理 补缺 自主学习探新知 知识点一 向量的定义与表示 1.定义：既有 又有 的量叫做 向量. 2.表示方法 (1)几何表示法：用以 A为 、B为____一→ 的有向线段记作AB; (2)字母表示法：在印刷时，用黑体小写字母 a, b,c,⋯表示向量，手写时，可写成带箭头的小写 字母a,b,c,⋯. 3.向量的模：向量的 叫做向量的长度(或 模),如 a,AB的模分别记作|a|,|AB|. 知识点二 特殊向量 1.零向量：长度为 的向量叫做零向量，记作 2.单位向量：长度等于 长度的向量，叫 做单位向量. 3.相等向量：长度 且方向 的向量 叫做相等向量.用有向线段表示的向量 a与b相 等，记作 4.平行向量或共线向量：方向 或 的非零向量叫做平行向量，也叫做共线向量.向 量a与b平行，记作 _.规定：零向量与任 意向量平行. 互动探究解疑难 要点归纳 重难实破 探究一 向量的有关概念 跟踪训练 1.(多选)下列说法不正确的是 ( )[例1] 下列说法正确的是 ( ) A.向量AB//CD就是AB所在的直线平行于CD 所在的直线 A.向量AB与向量BA的长度相等 B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的 终点相同 B.长度相等的向量叫做相等向量 C.零向量与任一向量平行C.若a//b,b//c,则a//c D.共线向量是在一条直线上的向量D.若两个单位向量平行，则这两个单位向量 相等 探究二 相等向量与共线向量 Ⅱ规律方法|l- [例2] 如图，四边形 ABCD是边长为3的正方 gD形，把各边三等分后，共有16个交 点，从中选取两个交点作为向量的 起点和终点，则与AC平行且长度为 A B 求解向量的相关概念问题的关键 把握好概念的内涵与外延，对于一些似是而非的 概念一定要分辨清楚.有向线段是向量的表示形式，并 不等同于向量.单位向量只是从模的角度定义的，与方 向无关.零向量的模为零，方向则是任意的。 1 ?高中数学·必修 第二册 2√2的向量有哪些?(在图中标出相应字母，写 出这些向量) 变式训练 1.(变设问)本例中，与向量AC同向且长度为2√2的 向量有几个? 2.(变设问)本例中，如图，与向量AO相等的向量有 多少个? D C o A B Ⅱ规律方法Ⅱ-------- 相等向量与共线向量的判断 (1)如果两个向量所在的直线平行或重合，那么这 两个向量是共线向量. (2)共线向量不一定是相等向量，但相等向量一定 是共线向量。 (3)非零向量共线具有传递性，即向量 a,b,c为非 零向量，若a//b,b//c,则可推出a//c. 跟踪训练 2.(1)下列关于向量的命题中，正确的个数是( ) ①长度相等、方向相同的两个向量是相等向量； ②平行且模相等的两个向量是相等向量； ③若a≠b,则|a|≠|b|; ④两个向量相等，则它们的起点与终点相同. A.0 B.1 C.2 D.3 (2)如图所示，四边形 ABCD是平行四边形，四 边形 ABDE是矩形，在以各顶点为起点和终点 的非零向量中，写出(不含 AB): A B ①与向量AB相等的向量； ②与向量AB共线的向量. E CD 探究三 向量的表示及应用 [例3] 如图，某人从点 A出发，向西走了200 m 后到达点 B,然后沿北偏西一定角度的某方向行 走了100√13 m后到达点C,最后向东走了 200 m后到达点D,发现点D在点B的正北方. (1)作出AB,BC,CD,DA; (2)求DA的模. 北 4y 东 400 300 200 100 A 100200-500-400-300-200--100 400 =200 2 第六章 平面向量及其应用 规律方法Il----------------------------- 关于向量的表示及应用 (1)用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定 方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点. (2)利用向量的相等，可以证明线段相等或直线平 行，但证明直线平行时，除证明向量平行外还需说明两 向量所在的直线无公共点. 跟踪训练 3.在如图的方格纸上，已知向量a, 每个小正方形的边长为1. B (1)试以 B为起点画一个向量b,使 b=a; (2)在图中画一个以 A为起点的向量c,使|c|= √5,并说出向量c的终点的轨迹是什么。 易错 忽视零向量 警示 [例1] 已知向量 a,b,c满足a//b,b//c,则 a与c 一定平行吗? [错解] 一定平行. 因为a//b,所以向量a与向量b具有相同或相反 方向； 又因为b//c,所以向量c与向量b具有相同或相 反方向。 所以向量 a与向量c具有相同或相反方向，故 a //c. [正解] 分两种情况说明： ①当向量 b=0时，向量a与向量c 均为非零向 量，不能保证 a//c. ②当向量 b≠0时，若向量 a,c中有一个为0或 两者都为0,则一定有 a//c;若向量 a,c均不为 0,因为a//b,所以向量a与向量b具有相同或相 反方向； 又因为b//c,所以向量c与向量b具有相同或相 反方向. 所以向量a与向量c 具有相同或相反方向，故 a //c. 综上所述，当向量 b≠0时，向量 a与c平行；当 向量b=0时，向量a与c不一定平行. Ⅱ误区警示|l- 求解有关向量问题时，要注意题目中的向量能否为 零向量.零向量是特殊的向量，方向是任意的.零向量的 起点与终点是同一点，故不能用有向线段表示出来. 易错 混淆两向量相等、平行和模 警示 相等的区别 [例 2] 给出下列三个说法：①若|a|=0,则a=0; ②若|a|=|b|,则a=b;③若a//b,则|a|=|b|. 其中，说法正确的有 ( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 [解析] ①忽略了0与0的区别，正确的应是a =0;②混淆了两个向量的模相等与两个向量相 等，两个向量的模相等，只能说明它们的长度相 等，它们的方向并不确定；③两个非零向量平行， 可以得出它们的方向相同或相反，未必得到它们 的模相等.故选 A. [答案] A -误区警示[l-------- 两个向量的模相等，则它们的长度相等，方向不确 定；两向量相等，则它们的长度相等，方向相同. 两个非零向量平行，则它们的方向相同或相反，长 度不确定。 提示、请完成《素能提升训练》训练一 3 A1伴学助手 在线答是 墨同步课堂讲义 日拥言N原日 北第六章 平面向量及其应用 y 东-400 6.1 平面向量的概念 C D. 300 【自主学习探新知】 200 知识点一 1.大小 方向 2.(1)起点 终点 3.大小 t0o A知识点二 1.0 0 2.1个单位 3.相等 相同 a=b B 4.相同 相反 a//b -500-400-300-200-100 100200 =100【互动探究解疑难】 探究一 =200 [例1] [解析] 两个有共同起点，且长度相等的向量， 它们的方向不一定相同，终点也不一定相同，B选项 错误；当b=0时，a与c可能不共线，故C选项错误； 两个单位向量平行也可能反向，则不相等，故 D选项 错误，A正确。故选 A. (2)由题意可知 CD//AB且CD=AB=200,所以四边 形ABCD是平行四边形，则|DA|=|BC|=100√13. [跟踪训练] 3.解(1)根据相等向量的定义，所作向量与向量a平行， 且长度相等.如图中的b即为所作向量。[答案] A [跟踪训练] Bb 1.ABD 向量AB//CD包含AB所在的直线与CD所在的 直线平行和重合两种情况，故 A 错误；相等向量不仅要 求长度相等，还要求方向相同，故 B错误；C显然正确； 共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直 线互相平行的向量，故 D错误。 42.5A (2)c如图所示.由平面几何知识可知所有这样的向量c 的终点的轨迹是以A为圆心，半径为√5的圆.探究二 [例2] [解] 如图所示，满足与AC平行且长度为2√2的 向量有AF,FA,EC,CE,GH,HG,j,方，共8个. 6.2 平面向量的运算 D J C 6.2.1 向量的加法运算 H 【自主学习探新知】F 1 E 知识点一 1.和 2.非零 a b AC a+b a b 3.|a|+|b| 方向相同 知识点二 b+a (a+b)+c A G B [变式训练] 【互动探究解疑难】1.解 与向量AC同向且长度为2√2的向量占与向量AC 平行且长度为2√2的向量中的一半，共4个. 探究一 [例1] [解](1)在平面内任取一点O,作OA=a,AB=2.解 题图中每个小正方形的对角线所在的向量中，与向 量AO方向相同的向量与其相等，共有8个. b,再作向量OB,则OB=a+b. B[跟踪训练] a+b 2.解析(1)由相等向量的定义知①正确；平行且模相等 的两个向量也可能方向相反，②错误；方向不相同且长 度相等的两个向量是不相等向量，③错误；相等向量只 要求长度相等、方向相同，而表示两个向量的有向线段 的终、起点不要求相同，④错误. b 0 a (2)在平面内任取一点O,作OA=a,OB=b,以OA,OB 为邻边作口OACB,则OC=a+b. 0a A(2)因为四边形ABCD是平行四边形，四边形 ABDE是 矩形，所以AB//EC,AB=ED=DC.①AB=ED=DC. ②与AB共线的向量有ED,Dc,Ec,BA,DE,Cb,CE. a+bb b B ℃ [跟踪训练]答案(1)B(2)见解析 1.解 解法一：可先作a+c,再作(a+c)十 C b,即a+b+c.如图，首先在平面内任取 b 一点O,作向量OA=a,接着作向量AB=0 B 探究三 [例3] [解](1)根据题意可知，点B在坐标系中的坐 标为(-200,0).因为点D在点B的正北方，点C在点 D的正西方，所以 BD⊥AB,CD⊥BD. cac,则得向量OB=a+c,然后作向量BC= 又|CB|=100√13,|CD|=200,所以|DB|=300,即 b,则向量OC=a+b+c为所求. A 解法二：三个向量不共线，用平行四边形法则来做。 如图， D,C两点在坐标系中的坐标分别为(—200,300), (-400,300)。作出AB,BC,CD,DA如图所示. 1