8.1.2 样本相关系数-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步练测（人教A版2019）

?高中数学·选择性必修 第三册 8.1.2 样本相关系数 AU早手 在线答证 答起 至面 补缺 [学习任务] 1.结合实例，会通过相关系数比较多组成对数据的相关性. 2.了解样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系. 自主学习探新知 课前预习 双基落实 知识点 样本相关系数 1.样本相关系数计算公式 对于变量x和变量y,设经过随机抽样 获得的成对样本数据为(x?,y?),(x?,y?), ⋯,(x,,yn),其中x?,x2,⋯,x,和y?,y2, ⋯,y。的均值分别为x和y,将数据以(x,y) 为零点进行平移，得到平移后的成对数据为 (x?-x,y-),(x?-x,y?-y),⋯,(x,-x, y?-y),则变量x和变量 y的样本相关系数 g- 2.样本相关系数的意义 样本相关系数r可以反映两个随机变量 之间的线性相关程度：r的符号反映了相关关 系的正负性；|r|的大小反映了两个变量线性 相关的程度，即成对样本数据在直角坐标系 中所对应的散点集中于一条直线的程度，因 此用成对样本数据中变量x和变量y的样本 相关系数r这一数据特征估计总体的相关系 数，从而了解两个变量之间的相关程度. 3.样本相关系数的性质 (1)|r|≤1; (2)当r>0时，称成对样本数据正相关；当 r<0时，称成对样本数据负相关； (3)当|r|越接近于1时，成对样本数据的线 性相关程度越强； 当|r|越接近于0时，成对样本数据的线性 相关程度越弱.特别是，当|r|=1时，说明成 对样本数据都落在一条直线上. 试一试 1.下面对相关系数r描述正确的是 ( ) A.r>0表明两个变量负相关 B.r>1表明两个变量正相关 C.r只能大于零 D.|r|越接近于0,两个变量相关关系越弱 2.(多选)下面的各图中，散点图与相关系数 r 符合的是 ( ) y y y y r=0-1<r<0r=-1 r=0.5. 0 0 0 x 0 A B C D 3.(陕西咸阳高二期中)甲、乙、丙、丁四位同学 分别对一组变量进行线性相关试验，并分别 计算出相关系数 r,则线性相关程度最高的 是 ( ) 甲 乙 丙 丁 r 0.87 0.91 0.58 0.83 A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 4.(河南五市联考)变量x与y相对应的一组 数据为(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5, 4),(13,5);变量 u与v相对应的一组数据 为(10,5),(11.3,4),(11.8,3),(12.5,2), (13,1).r?为变量x与y的样本相关系数， r?为变量 u与v的样本相关系数，则( ) A.r?<r?<0 B.r?<0<r? C.0<r?<r? D.r?=r? 82 x 第八章 成对数据的统计分析 互动探究解疑难 要点归纳 重难突破 探究一 线性相关性的检验 [例1] 现随机抽取了某中学高一10名在校 学生，他们入学时的数学成绩x(分)与入学 后第一次考试的数学成绩y(分)如下： 学生号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 120 117108 104 103 110104 105 99 108 y 84 64 84 68 69 68 69 46 57 71 请问：这10名学生的两次数学成绩是否具 有线性相关关系? 探究二 判断线性相关的强弱 [例 2] 为利于分层教学，某学校根据学生的 情况分成了 A,B,C三类，经过一段时间的 学习后在三类学生中分别随机抽取了1个 学生的5次考试成绩，其统计表如下： A类 第x次 1 2 3 4 5 分数y(满分150) 145 83 95 72 110 2(a-a2=10,J2a-02·√a(-5 ≈180; B类 第x次 1 2 3 4 5 分数y(满分150) 85 93 90 76 101 Ⅱ规律方法|Ⅱ- 利用相关系数r判断线性相关关系，需要应用 公式计算出 r 的值，由于数据较大，需 要借助计 算器。 言(a-a)2=10,Jaca-o2·√2(?2 ≈60; C类 第x次 1 2 3 4 5 分数y(满分150) 85 92 101100 112 跟踪训练 1.假设关于某种设备的使用年限x(年)与所支 出的维修费用y(万元)有如下统计资料： 2 3 4 5 6x y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 2ay?= x2=90,2v2=140.78,已知 112.3. (1)求x,y; (2)对x,y进行线性相关性检验. 2(a-a2=10,√aa-2·√2-)2 ≈63; 经计算已知 A,B的相关系数分别为 r?= —0.45,r?=0.25.请计算出 C类学生的 (x;,y;)(i=1,2,3,4,5)的相关系数，并通过 数据的分析回答抽到的哪类学生学习成绩 最稳定(结果保留两位有效数字，|r|越大认 为成绩越稳定). 附湘关数- ⋯⋯⋯⋯⋯3 ?高中数学·选择性必修 第三册 规律方法|Ⅱ 当r>0时，表明成对样本数据正相关；当r<0时，表 明成对样本数据负相关.r的绝对值越接近于1,表明两个 变量的线性相关性越强.r的绝对值越接近于0,表明两个 变量之间几乎不存在线性相关关系.通常|r|大于0.75 时，认为两个变量有很强的线性相关性。 跟踪训练 2.(陕西武功月考)某食品加工厂新研制出一 种袋装食品(规格：500 g/袋),下面是近六个 月每袋的出厂价格(单位：元)与销售量(单 位：万袋)的对应关系表： 月份序号 1 2 3 4 5 6 每袋的出厂 10.5 10.9 11 11.5 12 价格x(元) 12.5 月销售量y(万袋) 2.2 2 1.9 1.8 1.5 1.4 (1)计算该食品加工厂这六个月内这种袋装 食品平均每袋的出厂价格、平均月销售量和 平均月销售收入； (2)求每袋的出厂价格与月销售量的样本相 关系数(精确到0.01); (3)若|r|≥0.75,则认为相关性很强，试判 断该食品加工厂研制的袋装食品每袋的出 厂价格与月销售量是否有较强的相关性. 附：样本相关系数 a--~ 0.57. 易错 未能明辨相关系数的意义致错 警示 [典例] 下列现象的线性相关程度最强的是 ( ) A.某商店的职工人数与商品销售额之间的 相关系数为0.87 B.流通费用率与商业利润率之间的相关系 数为一0.94 C.商品销售额与商业利润率之间的相关系 数为0.51 D.商品销售额与流通费用率之间的相关系 数为0.81 [错解] A [错因分析] 这类题易错误地认为r的值 越接近1,相关程度越强，从而误选 A. [正解] B -I误区警示|l--- 线性相关程度指的是相关系数r的绝对值接近1 的程度，相关系数r的绝对值越接近1,则线性相关程 度越强. 84 第八章 成对数据的统计分析 随堂巩固促应用 验证反馈 迁移运用 1.(多选)关于回归分析，下列说法正确的是 ( ) A.在回归分析中，变量间的关系若是非确定性 关系，那么因变量不能由自变量唯一确定 B.线性相关系数可以是正的也可以是负的 C.在回归分析中，如果 r2=1或r=±1,说 明x与y 之间完全线性相关 D.样本相关系数r∈(—1,1) 2.(山东菏泽期末)对四组不同数据进行统计， 获得如图所示的散点图，对它们的样本相关 系数进行比较，正确的是 ( ) 怨8 6 5 10 15 20 2530 35 器能 p10 15 20 25 30 35 ②样本相关系数?①样本相关系数 4.为了对 2020 年某校月考成绩进行分析，在 60分以上的全体同学中随机抽取 8位，他们 的数学、物理成绩对应如下表： 学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 数学成绩x 68 72 78 81 85 88 91 93 物理成绩y 70 66 81 83 79 80 92 89 用变量y与x的样本相关系数 r(精确到0.01) 说明物理成绩y与数学成绩x的线性相关程 度的强弱，并说明它们的变化趋势特征. 参考数据：2ax.y?=52 957, √22-82√2y-8y2≈545.82. 父分以 器号Q � 10 15 20 25 30 35 ③样本相关系数r? � 10 15 20 25 30 35 ④样本相关系数r? A.r?<r?<0<r?<r? B.r?<r?<0<r?<r? C.r?<r?<0<r?<r? D.r?<r?<0<r?<r? 3.(天津)调查某种群花萼长度和花瓣长度如 图①,所得数据如图②所示.其中样本相关 系数 r=0.824 5,下列说法正确的是( ) 花瓣长度 花萼长度 图① 图② A.花瓣长度和花萼长度没有相关性 B.花瓣长度和花萼长度呈负相关 C.花瓣长度和花萼长度呈正相关 D.若从样本中抽取一部分，则这部分的样本 相关系数一定是0.824 5 提示、请完成《素能提升训练》训练二十 85 知沸点随气压的升高而升高，所以沸点与气压呈正相 关，沸点与海拔高度呈负相关；由于两个散点图中的点 都成线性分布，所以沸点与海拔高度、沸点与气压的相 关性都很强，故 B,C,D正确，A错误. 【随堂巩固促应用】 1.BCD 在 A中，由于取b为自变量，因变量是判别式△ =b2-4ac,判别式与b是函数关系，两者不是相关关系； 一般来说，光照时间越长，果树亩产量越高；降雪量越 大，交通事故发生率越高；施肥量越多，粮食亩产量越 高，所以 B,C,D是相关关系。故选BCD. 2.BD A选项中学生的学籍号与学生的数学成绩，两个 变量无相关关系；B选项中坚持每天吃早餐的人数与患 胃病的人数，两个变量具有负相关关系；C选项中气温 与冷饮销售量，两个变量具有正相关关系；D选项中变 量x和变量y 对应的成对数据关于均值平移后的散点 [成对数据(x?,y?),(x?,y?),⋯,(x,,y。),以(x,y)为零 点平移，即均值平移后的散点坐标为(x?—x,y?-y), (x?-x,y?-y),⋯,(x,-x,y。-y)]大多数分布在第二 象限、第四象限，则变量x和变量y具有负相关关系。综 上可知，两个变量呈负相关的是 B,D. 3.解析 (1)由题图①可知，在甲、乙两人中，本次考试的 语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是乙.(2)因 为同一个人的总成绩是不会变的，在题图②中丙是从右 往左数第5个点，即丙的总成绩为班里倒数第5,所以在 题图①中从右往左数第 5个点表示的就是丙，可知这个 点的位置比题图②中丙的位置高，所以语文名次更“靠 后”,即丙同学本次考试的数学成绩更靠前. 答案(1)乙(2)数学 4.解 散点图是分析变量相关关系的重要工具.作出散点 图如图： 身高120 110 100 90 80- 70- 0- 1 2 5634 年龄 由图可见，具有线性相关关系，且是正相关. 8.1.2 样本相关系数 【自主学习探新知】 试一试 1.D 因 r>0表明两个变量正相关，故 A错误；又因 r∈ [-1,1],故 B,C错误；两个变量之间的相关系数r的绝 对值越接近于1,表明两个变量的线性相关性越强，r的 绝对值越接近于0,表示两个变量之间的线性相关性越 弱，故 D正确。 2.ACD 因为相关系数r的绝对值越接近1,线性相关程 度越高，且r>0时正相关，r<0时负相关，故观察各选 项，易知B不符合，A,C,D均符合，故选 ACD. 3.B 因为相关系数|r|越大，线性相关程度就越强，所以 线性相关程度最高的是乙.故选B. 4.B 由变量 x与y 相对应的一组数据为(10,1), (11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5),可得变量x与y 正相关，因此r?>0;由变量u与v相对应的一组数据为 (10,5),(11.3,4),(11.8,3),(12.5,2),(13,1),可得变 量u与v负相关，因此r?<0.故r?<0<r?. 【互动探究解疑难】 探究一 =10(120+108+⋯+99+108)=[例1] [解] 107.8, y=(84+64+⋯+57+71)=68, a2=1202+108?+⋯+992+1082=116584, v2=842+642+⋯+572+7l2=47 384, 2xy?=120×84+108×64+⋯+99×57+108×71= 73 796. 所以相关系数为r=√016584-10×102804738-10×8 ≈0.750 6. 由此可看出这10名学生的两次数学成绩具有线性相关 关系。 [跟踪训练] (1)x=2+3+4+5+6=4,1.解( y=2.2+3.8+5.5+6.5+7.0=5. (2)2ay,-5wy=112.3-5×4×5=12.3, 2a2-5x2=90-5×42=10, 2y-5y2=140.78-125=15.78, 所以r=√10×15.78≈0.979. 所以x与y之间具有很强的线性相关关系。 探究二 [例2] [解] 根据C类学生的数据，求得相应的相关数 据x=3,y=98,则言(x?-x)(y?-y)=62,所以r?≈63 ≈0.98,从上述所求相关系数可知，从C类学生中抽到 的学生的成绩最稳定。 [跟踪训练] 2.解 (1)由题表得，该食品加工厂这六个月内这种袋装食 6×(10.5+10.9+11+11.5+品平均每袋的出厂价格为- 6×(2.2+2+12+12.5)=11.4(元).平均月销售量为- 1.9+1.8+1.5+1.4)=1.8(万袋),平均月销售收入为 6xy=?×(10.5×2.2+10.9×2+11×1.9+11.5× 1.8+12×1.5+12.5×1.4)=6(万元). (2)由题表及(1)得—782.56,—19.9,.— 122,x=11.4,y=1.8,所以样本相关系数 2G-2-- =√(782.56-6×11.4)×(19.98-6×1.8) =2.8×0.46=-2√0.322~-2×0.57~-0.98. (3)因为|r|≈0.98>0.75,所以该食品加工厂研制的袋 装食品每袋的出厂价格与月销售量有较强的相关性。 【随堂巩固促应用】 1.ABC 选项D中，样本的相关系数应满足-1≤r≤1,故 D错误，其余都正确。 30 2.A 由给出的四组数据的散点图可以看出，图①和图③ 中的成对数据是正相关的，样本相关系数大于0,图② 和图④中的成对数据是负相关的，样本相关系数小于 0,图①和图②中的点相对更加集中于一条直线附近，所 以相关性更强，所以r?接近于1,r?接近于-1,由此可 得r?<r?<0<r?<r?. 3.C 因为样本相关系数r=0.824 5,所以花瓣长度和花 萼长度的相关性较强，并且呈正相关，所以选项 A,B错 误，选项C正确；因为样本相关系数与样本的数据有关， 所以当样本发生变化时，样本相关系数也会发生变化， 所以选项 D错误. 4.解 z=68+72+78+81+85+88+91+93=82, y=70+66+81+83+79+80+92+89=80, --~-× 545.82~0.87>0.所以，由样本估计总体，可知物理成 绩y与数学成绩x的线性相关程度较强，且呈正相关， 它们的变化趋势相同。 8.2 一元线性回归模型及其应用 8.2.1 一元线性回归模型 8.2.2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计 【自主学习探新知】 试一试 1.A R2越大，表示回归模型的拟合效果越好. 2.A∵y与x负相关，∴排除 B,D.又∵C项中x>0时， y<0不合题意，∴C错误。 3.D 由散点图可以看出，随着温度x的增加，发芽率y 增加到一定程度后，变化率越来越慢，符合对数型函数 的图象特征。 =1+2+3+4+5+6+7=4,54.A 由表中的数据，得 =1+4+6+9+11+12+13=8.根据回归直线过样本 中心点(4,8),得8=2.04×4+a,则a=—0.16,此时y =2.04x—0.16.当x=6 时，y=2.04×6—0.16= 12.08,残差e=12-12.08=—0.08.故选A. 【互动探究解疑难】 探究一 =760=5,y=33,2x2=1+16+100+[例1] [解] 169+324+676=1286. 2a,y=-1×0.2+4×0.24+ 10×0.34+13×0.38+18×0.5+26×0.64=34.74. - 128-×)2-5- bx≈0.15,即所求的经验回归方程为y=0.02x+0.15. [跟踪训练] a=174+176+176+176+178=1.C 由题意 得 176Ccm),y=175+175+176+177+177=176(cm), 由于(x,y)一定满足经验回归方程，经验证知选C. 探究二 [例2] [解](1)散点图如图所示： y/件12 10 8 6 4 2 0 8 10 12 14 16 18 x/转/秒) (2)近似直线如图所示： y/件 12 10 8 6 4 2 0L 8 10 12 14 16 18 x/(转/秒) 50~-7≤10(3)由y≤10 得 ,解得x≤14.9,所以机器 的运转速度应控制在14转/秒内. [变式训练] y=70x-71.解 因为： ,所以当x增加一个单位时，y大 约增加,即每增加一个单位的转速，生产有缺点的零 件数近似增加1个. y=50~-7,所以当y=7时，7=50~-7,2.解 因为 解得x≈11,即估计机器的转速约为11转/秒。 [跟踪训练] 2.解(1)由表中的数据，得 x=52+50+48+45+44+43=47, y=5+6+7+8+10+12=8, (a-x)(y,-5)=5×(-3)+3×(-2)+1×(-1) +(-2)×0+(-3)×2+(-4)×4 =-15-6-1+0-6-16=-44, √≥(-w)2=√52+32+12+(-22+(-3)2+(-4)2 =√25+9+1+4+9+16 =√64=8, √2(y.-5)2 =√(-3)2+(-2)2+(-1)2+02+22+42 =√9+4+1+0+4+16=√34, a-2--~则相关系数 -2×5.83~-0.94.因为|rl≈0.94∈[0.75,1],所以 可以用线性回归模型拟合y与x的关系。 (2)设y关于x的经验回归方程为y=bx+a.由(1)知x =47,y=8,2(a?-ā)(y?-)=-44,2(x?-a2=64, 31