8.1.1 变量的相关关系-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步练测（人教A版2019）

(2)设M=“甲、乙选择不同车型”,分甲选车型A,甲选车型 B、乙选车型C,甲选车型C、乙选车型 B三种情况，故 P(M)=亏+3×4+号×4=3. 3.所以甲、乙选择不同车型的概率是 (3)X的所有可能取值为7,8,9,10. P(X=7)=亏×4=20, P(X=8)=5×4+3×4=4, P(X=9)=5×4+号×4=5, P(X=10)=5×4=1o. 所以X的分布列为 X 7 8 9 10 18 4 5 316P 第八章 成对数据的统计分析 8.1 成对数据的统计相关性 8.1.1 变量的相关关系 【自主学习探新知】 试一试 1.ACD A显然正确，B是函数关系，C,D正确。 2.C 由这两个散点图可以判断，变量x与y负相关，u与 0正相关. 3.B 对于 A,散点落在某条曲线上，两个变量具有函数关 系；对于 B,散点落在某条直线附近，这两个变量具有线 性相关关系；对于C,散点落在某条曲线附近，这两个变 量具有非线性相关关系；对于 D,散点杂乱无章，无规律 可言，这两个变量之间无相关关系。 4.解析 给出两个变量的统计数据，总可以作出相应的散 点图，但不一定能分析出两个变量的关系，更不一定符 合线性相关，故不一定能用一条直线近似地表示两者的 关系，故①,②不正确，③正确。两个变量不一定有函数 关系，即不一定能用确定的表达式表示两者的关系，故 ④不正确。 答案 ③ 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] D 当两个变量之间具有确定的关系时，两个变 量之间是函数关系，而不是相关关系，故 A错误；球的 体积与该球的半径之间是函数关系，故 B错误；农作物 的产量与施化肥量之间的关系是相关关系，是非确定性 关系，故C错误；一个学生的数学成绩与物理成绩之间 的关系是相关关系，是非确定性关系，故D正确。选D. [跟踪训练] 1.解析 ①正方形的边长与面积之间的关系是函数关系； ②广告费支出与销售额之间的关系不是严格的函数关 系，但是具有相关性，因而是相关关系；③人的身高并不 能确定体重，但一般来说“身高者，体也重”,我们说身高 与体重这两个变量具有相关关系.因此填②③. 答案 ②③ 探究二 [例2] [解](1)以x轴表示树木的树龄，y轴表示树木 的体积，可得相应的散点图如图所示： 体积y 7554321 0L 9 树龄781 2 3 4 5 6 (2)散点图发现木材体积随着树龄的增加而呈增加的趋 势，且散点落在一条直线附近，所以木材的体积与树龄 成线性相关关系. [变式训练] 1.解 近似拟合直线如图所示： yt体积 meg⋯⋯⋯⋯50 树龄91 824 2.解 木材的价值与树龄之间的关系如表所示： 树龄 2 3 4 5 6 7 8 体积 30 34 40 60 55 62 70 价值 2400 2720 3200 4.800 4400 4960 5.600 以x轴表示树木的树龄，y轴表示树木的价值，可得相 应的散点图如图所示： y价值 6.400 5600 4800 4.000 3.200 2400 1.600 800 0- 21 [跟踪训练] 2.解 以x轴表示数学成绩，y轴表示物理成绩，得相应 的散点图如图所示。 y/分 70 60 50 0L 由散点图可知，各点分布在一条直线附近，故两者之间 具有线性相关关系。 探究三 [例3] [解](1)散点图如下： 水稻产量 500 400 300 200 100 施化肥量0L 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 (2)从图中可以发现，当施化肥量由小到大变化时，水稻 产量也由小变大，图中的数据点大致分布在一条直线的 附近，因此施化肥量和水稻产量近似成线性相关关系， 但水稻产量只是在一定范围内随着化肥施用量的增加 而增加，不会一直随施化肥量的增加而增加。 [跟踪训练] 3.BCD 由左图知气压随海拔高度的增加而减小，由右图 29 知沸点随气压的升高而升高，所以沸点与气压呈正相 关，沸点与海拔高度呈负相关；由于两个散点图中的点 都成线性分布，所以沸点与海拔高度、沸点与气压的相 关性都很强，故 B,C,D正确，A错误. 【随堂巩固促应用】 1.BCD 在 A中，由于取b为自变量，因变量是判别式△ =b2-4ac,判别式与b是函数关系，两者不是相关关系； 一般来说，光照时间越长，果树亩产量越高；降雪量越 大，交通事故发生率越高；施肥量越多，粮食亩产量越 高，所以 B,C,D是相关关系。故选BCD. 2.BD A选项中学生的学籍号与学生的数学成绩，两个 变量无相关关系；B选项中坚持每天吃早餐的人数与患 胃病的人数，两个变量具有负相关关系；C选项中气温 与冷饮销售量，两个变量具有正相关关系；D选项中变 量x和变量y 对应的成对数据关于均值平移后的散点 [成对数据(x?,y?),(x?,y?),⋯,(x,,y。),以(x,y)为零 点平移，即均值平移后的散点坐标为(x?—x,y?-y), (x?-x,y?-y),⋯,(x,-x,y。-y)]大多数分布在第二 象限、第四象限，则变量x和变量y具有负相关关系。综 上可知，两个变量呈负相关的是 B,D. 3.解析 (1)由题图①可知，在甲、乙两人中，本次考试的 语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是乙.(2)因 为同一个人的总成绩是不会变的，在题图②中丙是从右 往左数第5个点，即丙的总成绩为班里倒数第5,所以在 题图①中从右往左数第 5个点表示的就是丙，可知这个 点的位置比题图②中丙的位置高，所以语文名次更“靠 后”,即丙同学本次考试的数学成绩更靠前. 答案(1)乙(2)数学 4.解 散点图是分析变量相关关系的重要工具.作出散点 图如图： 身高120 110 100 90 80- 70- 0- 1 2 5634 年龄 由图可见，具有线性相关关系，且是正相关. 8.1.2 样本相关系数 【自主学习探新知】 试一试 1.D 因 r>0表明两个变量正相关，故 A错误；又因 r∈ [-1,1],故 B,C错误；两个变量之间的相关系数r的绝 对值越接近于1,表明两个变量的线性相关性越强，r的 绝对值越接近于0,表示两个变量之间的线性相关性越 弱，故 D正确。 2.ACD 因为相关系数r的绝对值越接近1,线性相关程 度越高，且r>0时正相关，r<0时负相关，故观察各选 项，易知B不符合，A,C,D均符合，故选 ACD. 3.B 因为相关系数|r|越大，线性相关程度就越强，所以 线性相关程度最高的是乙.故选B. 4.B 由变量 x与y 相对应的一组数据为(10,1), (11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5),可得变量x与y 正相关，因此r?>0;由变量u与v相对应的一组数据为 (10,5),(11.3,4),(11.8,3),(12.5,2),(13,1),可得变 量u与v负相关，因此r?<0.故r?<0<r?. 【互动探究解疑难】 探究一 =10(120+108+⋯+99+108)=[例1] [解] 107.8, y=(84+64+⋯+57+71)=68, a2=1202+108?+⋯+992+1082=116584, v2=842+642+⋯+572+7l2=47 384, 2xy?=120×84+108×64+⋯+99×57+108×71= 73 796. 所以相关系数为r=√016584-10×102804738-10×8 ≈0.750 6. 由此可看出这10名学生的两次数学成绩具有线性相关 关系。 [跟踪训练] (1)x=2+3+4+5+6=4,1.解( y=2.2+3.8+5.5+6.5+7.0=5. (2)2ay,-5wy=112.3-5×4×5=12.3, 2a2-5x2=90-5×42=10, 2y-5y2=140.78-125=15.78, 所以r=√10×15.78≈0.979. 所以x与y之间具有很强的线性相关关系。 探究二 [例2] [解] 根据C类学生的数据，求得相应的相关数 据x=3,y=98,则言(x?-x)(y?-y)=62,所以r?≈63 ≈0.98,从上述所求相关系数可知，从C类学生中抽到 的学生的成绩最稳定。 [跟踪训练] 2.解 (1)由题表得，该食品加工厂这六个月内这种袋装食 6×(10.5+10.9+11+11.5+品平均每袋的出厂价格为- 6×(2.2+2+12+12.5)=11.4(元).平均月销售量为- 1.9+1.8+1.5+1.4)=1.8(万袋),平均月销售收入为 6xy=?×(10.5×2.2+10.9×2+11×1.9+11.5× 1.8+12×1.5+12.5×1.4)=6(万元). (2)由题表及(1)得—782.56,—19.9,.— 122,x=11.4,y=1.8,所以样本相关系数 2G-2-- =√(782.56-6×11.4)×(19.98-6×1.8) =2.8×0.46=-2√0.322~-2×0.57~-0.98. (3)因为|r|≈0.98>0.75,所以该食品加工厂研制的袋 装食品每袋的出厂价格与月销售量有较强的相关性。 【随堂巩固促应用】 1.ABC 选项D中，样本的相关系数应满足-1≤r≤1,故 D错误，其余都正确。 30 第八章 成对数 据的统计分析 8.1 成对数据的统计相关性 AI钾军手 在峡答证 配等起 补缺 8.1.1 变量的相关关系 [学习任务] 1.结合实例，体会两个变量间的相关关系. 2.掌握相关关系的判断，能根据散点图对线性相关关系进行判断. 自主学习探新知 课前预习 双基落实 知识点 变量的相关关系 1.相关关系 两个变量有关系，但又没有确切到可由 其中的一个去精确地决定另一个的程度，这 种关系称为相关关系. 2.正相关、负相关 从整体上看，当一个变量的值增加 时，另一个变量的相应值也呈现增加的 趋势，我们就称这两个变量正相关；当一 个变量的值增加时，另一个变量的相应 值呈现减小的趋势，则称这两个变量负 相关. 3.线性相关 一般地，如果两个变量的取值呈现正相 关或负相关，而且散点落在一条直线附近， 我们就称这两个变量线性相关.一般地，如 果两个变量具有相关性，但不是线性相关， 那么我们就称这两个变量非线性相关或曲 线相关. 试一试 1.(多选)下列说法正确的是 ( ) A.相关关系是一种非确定性关系 B.圆的周长与该圆的半径具有相关关系 C.某商品的需求量与该商品的价格是一种 非确定性关系 D.根据散点图可判断两变量是否具有线性 相关关系 2.对变量x,y有观测数据(x,y;)(i=1,2,⋯, 10),得散点图如图1;对变量u,v有观测数 据(u,,v;)(i=1,2,⋯,10),得散点图如图2. 由这两个散点图可以判断 ( ) 30 60 25 20 15 10 5 50 40 30 20 10 0L0L 1 2 3.4 5 67x 图1 1 2 3 4 5 6 74 图2 A.变量x与y正相关，u与v正相关 B.变量x与y正相关，u与v负相关 C.变量x与y负相关，u与v正相关 D.变量x与y负相关，u与v负相关 78 第八章 成对数据的统计分析 3.在下列所示的四个图中，两个变量间具有较 强线性相关关系的是 ( ) y y 0- A 0 B +y 4y 4.对于任意给定的两个变量的统计数据，下列 说法正确的是 .(填序号) ①都可以分析出两个变量的关系； ②都可以用一条直线近似地表示两者的 关系； ③都可以作出散点图； ④都可以用确定的表达式表示两者的关系. 0 x C 0 D 互动探究解疑难 要点归纳 重难突破 探究一 相关关系的理解 [例1](洛阳高二月考)下列说法正确的是( ) A.任何两个变量都具有相关关系 B.球的体积与该球的半径具有相关关系 C.农作物的产量与施化肥量之间是一种确 定性关系 D.一个学生的数学成绩与物理成绩之间是 一种非确定性的关系 IⅡ规律方法|Ⅱ--⋯⋯--- 函数关系与相关关系的正确理解 两类关系在一定条件下可以相互转化，如正方形 面积 S与其边长a之间虽然是确定性关系，但在每次 测量面积时，由于测量误差等原因，其数值大小表现为 一种随机性.而对于具有相关关系中的线性关系的两 个变量来说，在求得其经验回归方程之后，又可以用一 种确定性的关系来对这两个变量间的关系进行估计. (2)你能由散点图发现木材体积与树木的树 龄近似成什么关系吗? 变式训练 1.(变条件，变问法)若近似成线性相关关系， 请画出一条直线来近似地表示这种线性相 关关系. 跟踪训练 1.下列关系中，是相关关系的有 . ①正方形的边长与面积之间的关系； ②广告费支出与销售额之间的关系； ③人的身高与体重之间的关系. 探究二 散点图与相关性 [例2] 某种木材体积与树木的树龄之间有如 下的对应关系： 2.(变条件，变问法)若该种木材每单位体积的 价值是80元，作出木材的价值与树龄之间 关系的散点图. 树龄 2 3 4 5 6 7 8 体积 30 34 40 60 55 62 70 (1)请作出这些数据的散点图； 79 ?高中数学·选择性必修 第三册 规律方法|Ⅱ- 判断两个变量x和y 间是否具有线性相关关系， 常用的简便方法就是绘制散点图，如果发现点的分布 从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就 是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响。 跟踪训练 |Ⅱ规律方法|Ⅱ⋯⋯⋯⋯⋯ 1.画散点图时应注意合理选择单位长度，避免图形过 大或偏小，或者是点的坐标在坐标系中画不准，使图 形失真，导致得出错误结论. 2.在这里利用散点图直观感知事物的形态与变化，理 解事物间的关联及变化规律，是数学核心素养直观 想象的具体体现. 2.5名学生的数学和物理成绩(单位：分)如下： 学生 A B C D E 成绩 数学成绩 80 75 70 65 60 物理成绩 70 66 68 64 62 判断它们是否具有线性相关关系. 跟踪训练 3.(多选)某中学的兴趣小组在某座山测得海 拔高度、气压和沸点的六组数据绘制成散点 图如图所示，则下列说法正确的是( ) 110 气压(单位：千帕) 120 100 沸点(单位;℃) 98100 80 60 40 炎玉文40 5060 70 80 90 10011o 20 0- 0.511.522.5 33.54 4.5 海拔高度(单位：千米) 气压(单位：千帕) 探究三 散点图及其应用 [例3] 下面是水稻产量与施化肥量的一组观 测数据： 施化肥量 15 20 25 30 35 40 45 水稻产量 320 330 360 410 460 470 480 (1)将上述数据制成散点图； (2)你能从散点图中发现施化肥量与水稻产 量近似成什么关系吗?水稻产量会一直随 施化肥量的增加而增加吗? A.沸点与海拔高度呈正相关 B.沸点与气压呈正相关 C.沸点与海拔高度呈负相关 D.沸点与海拔高度、沸点与气压的相关性都很强 易错 不能正确判断两个变量是否 警示 具有相关性而致错 [典例] 有人统计了同一个省的6个城市某一 年的人均国内生产总值(即人均GDP)和这一 年各城市患白血病的儿童数，如表所示： 人均GDP/万元 10 8 6 4 3 1 患白血病的儿童数/人 351312207175132180 画出散点图，并判断这两个变量是否具有线 性相关关系. 患白血病的儿童数/人 品⋯⋯⋯ 360 270 180 90 0123 4 5 678 910 人均GDP/万元 第八章 成对数据的统计分析 [错解] 根据表中数据画散点图， 如图所示.从图中可以看出，虽然后5个点大致 分布在一条直线的附近，但第一个点离这条直 线太远，所以这两个变量不具有线性相关关系. [正解] 根据表中数据画散点图，如图所 示.从图中可以看出，除第 1个点外，其余5 个点大致分布在一条直线的附近，所以这两 个变量具有线性相关关系. 患白血病的儿童数/人 360- 270 180 90 0 1234 567 8 910 人均GDP/万元 -I误区警示|l- 判断是否具有线性相关关系，要看大部分点是否 分布在一条直线附近，个别点是不影响大局的. 随堂巩固促应用 验证反馈 迁移运用 1.(多选)下列变量之间的关系是相关关系 的是 ( ) A.二次函数 y=ax2+bx+c中，a,c是已知 常数，取 b为自变量，因变量是判别式 △=b2—4ac B.光照时间和果树亩产量 C.降雪量和交通事故发生率 D.每亩田施肥量和粮食亩产量 2.(多选)以下两个变量呈负相关的是( ) A.学生的学籍号与学生的数学成绩 B.坚持每天吃早餐的人数与患胃病的人数 C.气温与冷饮销售量 D.变量x和变量y 对应的成对数据关于均 值平移后的散点大多数分布在第二象限、 第四象限，则变量x和变量y是负相关 3.(黑龙江哈尔滨模拟)某校高三年级 267 名 学生参加期末考试，其中某班 37 名学生的 语文成绩、数学成绩与总成绩在全年级的排 名情况分别如图①、图②所示，甲、乙、丙为 该班三名学生. (1)在甲、乙两人中，本次考试的语文成绩名 次比其总成绩名次靠前的学生是 ; (2)在语文和数学两个科目中，丙同学本次 考试的成绩名次更靠前的科目是 . 4.某男孩的年龄与身高的统计数据如下. 年龄/岁 1 2 3 4 5 6 身高/cm 78 87 98 108 115 120 画出散点图，并判断它们是否有相关关系? 如果有相关关系，是正相关还是负相关? 267 语文成皱级名次 总成绩年级名次 甲： 乙 267 图① 2数学成绩年级名次 0 丙 267 总成绩年级名次 图② 提示、请完成《素能提升训练》训练十九 81