7.4 二项分布与超几何分布(培优课)-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步练测（人教A版2019）

探究三 [例3] [解](1)由题意可知，ξ的可能取值为0,1,2.P(ξ =0)=C=129,P(s=1)=CCa=145,P(ξ=2)=C= 175,,则ξ的分布列为 5 0 1 2 1755|7P 故E(e)=0×129+1×4+2×175=25 (2)设f(N)=P(a=5)=CC-.令f(N+3)= (N-464(N-19=NP2-63N-64≥1,解得N≤199.所 以当 N≤199 时，f(N+1)≥f(N),当 N>199 时， f(N+1)<f(N),即当N=199或 N=200时，P(x=5)最 大.故估计蟹池中青蟹数目为199或200. [跟踪训练] 2.解(1)由题意，得甲每批次被抽到的概率为-云，则甲在这 三批次支教活动中恰有两次被抽到的概率 P= Ci× (号)2×3=1325 (2)X的可能取值为0,1,2.P(X=0)=C=1。,P(X=1) =CC=号，P(X=2)==o..所以X的分布列为 X 0 1 2 5 310P (3)设ξ为第二批次抽到没有支教经验的教师人数，则的 可能取值为0,1,2.P(G=0)=S·+Cc .S+· -1o0P(ξ=1)=.CC+c.C+9. =57,P(ξ=2)=C.C+Cc ·C+C·o=100.因为 P(E=1)>P(g=0)>P(g=2),所以第二批次抽到没有支 教经验的教师人数最有可能是1. 【随堂巩固促应用】 1.B 由题意知10件产品中有 2 件次品，故所求概率为 P(X=1)=CC=45 2.D 设X为抽出的5张扑克牌中含A的张数，则P(X ≥3)=P(X=3)+P(X=4)=C+Cc 3.解析 方法一：随机变量X的可能取值为0,1,2,则 P(X=0)=C=5,P(X=1)=CCic=15,P(X=2) -8-1,所以E(X)=o×5+1×5+2×5-号 方法二：由题意知，随机变量X服从超几何分布，其中 N=10,M=3,n=2,则由超几何分布的均值公式知 E(X)=7M=2×3=3. 号答案 4.解 根据超几何分布的定义可知，随机变量 X服从参 数为N=30,M=10,n=5的超几何分布， 随机变量Y服从参数为N=30,M=10,n=5的超几何分布。 7.4 二项分布与超几何分布(培优课) 【互动探究解疑难】 类型一 [例1] [解](1)所选5人中有1人为 A?且不包含 B?, 即再从余下 8人中选4 人即可，选择方式有Cg= 4×3×2×5=70(种),总选择方式共有C= 5×4×3×27×6=252(种),故接受甲种心理暗示的志 愿者中包含A?但不包含B?的概率P=252=18 (2)由题意知 X可取的值为0,1,2,3,4,则 P(X=0)= 4,P(X=1)=Gc=_,P(X=2)=C-0, P(X=3)=GC=_,P(X=4)=c=4 因此 X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 忙 52 92 52 14 [跟踪训练] 1.解(1)已知成绩在(75,80)内的学生有20人，故其频 100=0.2,所以b=52=0.040.所以(0.006+率为 0.034+0.040+a+0.036+0.014+0.010)×5=1,解 得a=0.060.由题图可知左边第一个矩形的面积为 0.03,第二个矩形的面积为0.17,第三个矩形的面积为 0.2,第四个矩形的面积为0.3,所以中位数在(80,85) 内，设中位数为 x,则 0.03+0.17+0.2+(x—80)× 0.060=0.5,解得x≈81.7,故中位数约为81.7. (2)由题意知，成绩在[65,70]内的学生有3人，成绩在 (95,100)内的学生有5人，则 X的所有可能取值为0, 1,2,3,P(X=0)=CC=,P(X=1)=Cc=56, P(X=2)=C-36=5,P(X=3)=Cc=56=28, 故 X的分布列为 X 0 1 2 3 15 5P 28 52 所以E(X)=0×5?+1×56+2×25+3×58=8. 22 类型二 [例2](1)C 因为函数f(x)=x2+4x+X存在零点， 所以△=16-4X≥0,所以X≤4.因为X~B(5,2), 所以P(X≤4)=1-P(X=5)=1-2=32. (2)[解] ①设 A?=“甲选第 22 题”,A?=“甲选第 23 题”,A?=“甲选第24题”, B?=“乙选第22题”,B?=“乙选第 23题”,B?=“乙选第 24题”, 则甲、乙两人选做同一题的事件为 A?B?+A?B?+ A?B?,且 A?与 B?,A?与 B?,A?与 B?相互独立，所以 P(A?B?+A?B?+A?B?)=P(A?)P(B?)+P(A?)P(B?) +P(A?)P(B?)=3×1=3. ②设ξ可能的取值为0,1,2,3,4,5. 因为s~B(5,3),所以P(ξ=k)=c()(3)?= c·3,k=0,1,2,3,4,5. 所以ξ的分布列为 5 0 1 2 3 4 5 43 243 243 243 243 243P [跟踪训练] 2.解(1)组距 d=5,由5×(0.02+0.04+0.075+a+ 0.015)=1,得a=0.05. (2)各组中点值和相应的频率依次为 中点值 30 35 40 45 50 频率 0.1 0.2 0.375 0.25 0.075 x=30×0.1+35×0.2+40×0.375+45×0.25+50× 0.075=40, s2=(-10)2×0.1+(-5)2×0.2+02×0.375+52× 0.25+102×0.075=28.75. (3)由已知，这种植物果实的优质率 p=0.9, 且X～B(3,0.9), 所以 P(X=0)=0.13=0.001, P(X=1)=C1×0.9×0.12=0.027, P(X=2)=C2×0.92×0.1=0.243, P(X=3)=0.93=0.729, 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.001 0.027 0.243 0.729 E(X)=3×0.9=2.7. 类型三 [例3] [解](1)当20<t≤40时，y=0.12t+15, 当 40<t≤60时， y=0.12×40+0.20×(t-40)+15=0.2t+11.8, y={0.22+11.8,40<<≤60.所以： (2)王先生租用一次新能源分时租赁汽车， P=2508=号.为“路段畅通”的概率 ξ可取0,1,2,3. P(ξ=0)=c(亏)(号)=125, P(G=1)=c:(亏)(号)=125, P(G=2)=c:(号)(号)=125, P(G=3)=c:(号)(号)=125 ξ的分布列为 5 0 1 2 3 125 125 125 125P E(f)=0×15+1×5245+2×135+3×125=1.2. (3)王先生租用一次新能源分时租赁汽车上下班，平均 用车费用为(25×0.12+15)×50+(35×0.12+15)× 58+(45×0.2+11.8)×0+(55×0.2+11.8)×= 20.512(元),一个月上下班租车费用约为20.512×2× 22=902.528(元)<1 000(元).估计王先生每月的车补 够上下班租用新能源分时租赁汽车. [跟踪训练] 3.解(1)若三瓶口味均不一样，有C3=56(种); 若其中两瓶口味一样，有CC,=56(种); 若三瓶口味一样，有 8种. 故小王收到货的组合方式共有56+56+8=120(种). (2)ξ所有可能的取值为0,1,2,3. 因为各种口味的高级口香糖均超过3瓶，且各种口味的 瓶数相同，有8种不同口味，所以小王随机点击一次是 8,草莓味口香糖的概率为 ,即随机变量ξ服从二项分 布，即 e~B(3,g). 所以P(ξ=0)=c:×(g)×(1-g)=343, P(s=1)=C×(g)×(1-g)=547, P(ξ=2)=C×(g)×(1-g)=512, P(ξ=3)=c×(g)×(1-g)=512. 所以ξ的分布列为 5 0 1 2 3 3 4 5 51P 数学期望E(E)=np=3×g=3, 方差 D(5)=np(1-p)=3×1×7=64 23 第七章 随机变量及其分布 随堂巩固促应用 验证反馈 迁移运用 1.一批产品共10件，次品率为20从中任取 2 件，则恰好取到1件次品的概率为( ) A.45 B.45 c.45 .04 2.从一副不含大、小王的52 张扑克牌中任意抽出 5张，则至少有3张是 A的概率为 ( ) A.C B. D.SC+cCc.1-Cc 3.已知一不透明盒子中有围棋子10粒，其中7粒 黑子，3粒白子.任意取出 2 粒，若X表示取得 白子的个数，则X的均值E(X)= 4.一个袋中装有10个红色球、20个白色球，现 从中任取5个小球，令随机变量 X表示取出 的5个小球中红色球的个数，随机变量Y表 示取出的 5个小球中白色球的个数，试问： 随机变量X,Y是否服从超几何分布?若服 从超几何分布，它们的参数分别是多少? 提示、请完成《素能提升训练》训练十七 7.4 二项分布与超几何分布(培优课) 自主学习探新知 课前预习 双基落实 知识点 1.二项分布与超几何分布的区别与联系 区别 ①当这 n次试验是独立重复试验时(如有放回 摸球),X服从二项分布； ②当 n次试验不是独立重复试验时(如不放回 摸球),X服从超几何分布 联系 在不放回 n次试验中，如果总体数量 N很大， 而试验次数 n很小，此时超几何分布可近似转 化成二项分布 2.超几何分布列的求解步骤 (1)辨模型：结合实际情景分析所求概率分 布问题是否具有明显的两部分组成，如“男 生、女生”,“正品、次品”,“优、劣”等，或可转 化为明显的两部分，具有该特征的概率模型 为超几何分布模型. (2)算概率：可以直接借助公式 P(X=k)= C求解，也可以利用排列组合及概率 的知识求解，需注意借助公式求解时应理解 参数 N,M,n,k的含义. (3)列分布列：把求得的概率值通过表格表 示出来. 3.独立重复试验与二项分布问题的常见类型 及解题策略 (1)在求 n次独立重复试验中事件恰好发生 k 次的概率时，首先要确定好 n和k的值，再 准确利用公式求概率. (2)根据独立重复试验求二项分布的有关问 题时，关键是理清事件与事件之间的关系， 确定二项分布的试验次数 n和随机变量的 取值，求得概率. 61 ?高中数学·选择性必修 第三册 4.与二项分布有关的期望、方差的求法 (1)求随机变量ξ的期望与方差时，可首先 分析ξ是否服从二项分布，如果ξ～B(n,p), 则用公式 E(5)=np,D(5)=np(1—p)求解， 可大大减少计算量. (2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有 线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可 以综合应用E(as+b)=aE(ξ)+b以及 E(5)=np 求出 E(ag+b),同样还可求出 D(as+b). 互动探究解疑难 要点归纳 重难突破 类型一 超几何分布 [例1] 在心理学研究中，常采用对比试验的 方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方 法如下：将参加试验的志愿者随机分成两 组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙 种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心 理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作 用.现有6名男志愿者 A?,A?,A?,A?,A?, A?和4名女志愿者 B?,B?,B?,B?,从中随机 抽取 5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙 种心理暗示. (1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含 A? 但不包含 B?的概率； (2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者 人数，求X的分布列. 跟踪训练 1.某校为推进“科技进校园”活动，组织了一次 科技知识问答竞赛，组委会抽取了100 名学 生参加，根据得到的竞赛成绩作出如图所示 的频率分布直方图.已知成绩在[75,80]内 的学生有 20人. (1)求a,b的值，并估计本次竞赛学生成绩 的中位数(结果保留一位小数); (2)从成绩在(65,70)与(95,100)内的学生 中任取 3人进行问卷调查，记这3名学生成 绩在(95,100)内的人数为 X,求X的分布列 与数学期望. 频率组距 a 0.036 0.034 0.014 0.010 0.006 065 70 75 80 85 90 95 100 成绩 0------------------------ 5子 第七章 随机变量及其分布 类型二 独立重复试验与二项分布 X~B(5,2)[例 2] (1)设随机变量 ,则函数 f(x)=x2+4x+X存在零点的概率是( ) A.5 B. c.3 D. (2)在一次数学考试中，第 22,23,24 题为选 做题，规定每位考生必须且只需在其中选做 一题，设5名考生选做这三题的任意一题的 13可能性均为 ,每位考生对每题的选择是相 互独立的，各考生的选择相互之间没有影响. ①求其中甲、乙两人选做同一题的概率； ②设选做第23题的人数为ξ,求ξ的分布列. (1)求图中a的值； (2)估计这种植物果实重量的平均数x和方 差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值 作代表); (3)已知这种植物果实重量不低于 32.5克的 即为优质果实，用样本估计总体.若从这种植 物果实中随机抽取 3个，其中优质果实的个 数为X,求X的分布列和数学期望 E(X). 跟踪训练 2.为了解一种植物果实的情况，随机抽取一批 该植物果实样本测量重量(单位：克),按照 (27.5,32.5),(32.5,37.5),(37.5,42.5), (42.5,47.5),[47.5,52.5]分为 5组，其频 率分布直方图如图所示. 频率 组距 0.075 a 0.040 0.020 0.015 0L 27.5 32.5 37.5 42.5 47.5 52.5 重量/克 类型三 二项分布的均值与方差 [例3] 为响应绿色出行，某市在推出“共享单 车”后，又推出“新能源分时租赁汽车”,其中 一款新能源分时租赁汽车，每次租车收费的 标准由两部分组成：①根据行驶里程数按 1元/公里计费；②行驶时间不超过40分时， 按0.12元/分计费；超过40分时，超出部分 按 0.20元/分计费.已知王先生家离上班地 点15公里，每天租用该款汽车上下班各一 次.由于堵车、红绿灯等因素，每次路上开车 花费的时间t(分)是一个随机变量.现统计 了50次路上开车花费时间，在各时间段内 的频数分布情况如下表所示： 时间t(分) (20,30) (30,40) (40,50) (50,60) 频数 2 18 20 10 63 ?高中数学·选择性必修 第三册 将各时间段发生的频率视为概率，每次路上开车 花费的时间视为用车时间，范围为(20,60)分. (1)写出王先生一次租车费用y(元)与用车 时间t(分)的函数关系式； (2)若王先生一次开车时间不超过40分为 “路段畅通”,设ξ表示3次租用新能源分时 租赁汽车中“路段畅通”的次数，求ξ的分布 列和期望； (3)若公司每月给1 000元的车补，请估计王 先生每月(按 22 天计算)的车补是否足够上 下班租用新能源分时租赁汽车?并说明理 由.(同一时段，用该区间的中点值作代表) 跟踪训练 3.电子商务在我国发展迅猛，网上购物成为很 多人的选择.某购物网站组织了一次促销活 动，在网页的界面上打出广告：高级口香糖， 10元钱三瓶，有 8种口味供您选择(其中有 1种为草莓口味).小王点击进入网页一看， 只见有很多包装完全相同的瓶装口香糖 排在一起，看不见具体口味，由购买者随 机点击进行选择(各种口味的高级口香糖 均超过三瓶，且各种口味的瓶数相同，每 点击选择一瓶后，网页自动补充相应的口 香糖). (1)小王花10元钱买三瓶，请问小王收到货 的组合方式共有多少种? (2)小王花10元钱买三瓶，由小王随机点击 三瓶，请列出有小王喜欢的草莓味口香糖的 瓶数ξ的分布列，并计算其数学期望和 方差. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6