7.4.2 超几何分布-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步练测（人教A版2019）

?高中数学·选择性必修 第三册 7.4.2 超几何分布 [学习任务] 1.通过具体实例，了解超几何分布.(重点) 2.能利用超几何分布解决简单的实际问题.(难点) 自主学习探新知 课前预习 双基落实 知识点一 超几何分布 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M 件次品，从N件产品中随机抽取 n件(不放 回),用X表示抽取的 n件产品中的次品数， 则 X的分布列为 P(X=k)=GCF,k=m,m+1,m+ 2,⋯,r. 其中 n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m= max{0,n—N+M},r=min{n,M}.如果随 机变量 X的分布列具有上式的形式，那么称 随机变量X服从超几何分布. 知识点二 超几何分布的期望 E(X)=nM=np(p为N 件产品的次品率). 试一试 1.设袋中有80个红球、20个白球，若从袋中任取 10个球，则其中恰有6个红球的概率为( ) A. B.CC D.c.C 2.(江西南昌高二月考)已知 5件产品中有 2 件次品，3件正品，检验员从中随意抽取 2件 进行检测，记取到的正品数为 X,则均值 ( )E(X)为 D.号B.90A.专 C.1 3.在含有5名男生的100名学生中，任选3人， 则恰有2名男生的概率表达式为 . 互动探究解疑难 要点归纳 重难突破 探究一 超几何分布(一题多变) [例1] 一个袋中装有6个形状、大小完全相 同的小球，其中红球有3个，编号为1,2,3; 黑球有 2个，编号为1,2;白球有1个，编号 为1.现从袋中一次随机抽取 3个球. (1)求取出的3个球的颜色都不相同的概率； (2)记取得1号球的个数为随机变量 X,求 随机变量 X的分布列. 变式训练 1.(变结论)例1的条件不变，若记取到白球的 个数为随机变量 η,求随机变量 η的分布列. 2.把例1的条件“一次随机抽取 3个球”改为 “有放回地抽取 3次球，每次抽取1个球”, 其他条件不变，结果又如何? 8 第七章 随机变量及其分布 |Ⅱ规律方法|l- 超几何分布的求解步骤 (1)辨模型：结合实际情景分析所求概率分布问题 是否由具有明显的两部分组成，如“男生、女生”,“正 品、次品”“优劣”等，或可转化为明显的两部分.具有该 特征的概率模型为超几何分布模型. (2)算概率：可以直接借助公式 P(X=k)= CC求解，也可以利用排列、组合及概率的知识求解，需 注意借助公式求解时应理解参数M,N,n,k的含义. (3)列分布表：把求得的概率值通过表格表示出来. 探究二 与超几何分布有关的分布列、 均值和方差问题 [例2](上海崇明高二期末)从4名男生和2 名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变 量X表示所选3人中女生的人数，求： (1)所选3人中女生的人数 X≤1的概率； (2)X的均值与方差. 跟踪训练 1.为发展业务，某调研组对A,B两个公司的 产品需求量进行调研，准备从国内 7个人口 超过1500万的超大城市和 n(n∈N+)个人 口低于200 万的小城市中随机抽取若干个 进行统计，若一次抽取 2个城市，则全是小 城市的概率为 (1)求 n的值； (2)若一次抽取4个城市，则 ①假设取出小城市的个数为 X,求X的分 布列； ②若取出的4个城市是同一类城市，求全为 超大城市的概率. I规律方法|Ⅱ 解决与超几何分布有关的分布列、均值问题的策略 (1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公 式中参数的范围及其意义，解决问题时可以直接利用 公式求解，但不能机械地记忆； (2)在超几何分布中，只要知道 N,n,M,就可以利用公 式求出X取不同k值的概率P(X=k),从而求出X的 分布列； (3)解决与超几何分布有关的均值问题，可利用均值的 E(X)=np=n求解.定义，也可直接套用公式 E(X)=7M=3×2本题还可以直接利用公式计算，即 =1,D(X)=np(1-p)N=1=3×3×3×6=3 =号. 探究三 超几何分布的综合应用 [例 3](江西赣州高二期末)三门县是“中国 青蟹之乡”,气候温暖、港湾平静、水质优良， 以优越的自然环境成为我国优质青蟹的最 佳产区.所产的三门青蟹具有“金爪、绯钳、 青背、黄肚”的特征，以“壳薄、皆黄、肉嫩、味 美”而著称，素有“三门青蟹、横行世界”之美 誉，且营养丰富，内含人体所需的18种氨基 酸和蛋白质、脂肪、钙、磷、铁等营养成分，被 誉为“海中黄金，蟹中臻品”.养殖户一般把 重量超过350 g的青蟹标记为 A类青蟹. (1)现有一个小型养蟹池，已知蟹池中有50 只青蟹，其中 A类青蟹有 7只，若从池中抓 了2只青蟹，用ξ表示其中A 类青蟹的只 数，请写出ξ的分布列，并求ξ的数学期 望E(ξ); 59 ?高中数学·选择性必修 第三册 (2)另有一个养蟹池，为估计蟹池中的青蟹 数目N,小王先从中抓了50只青蟹，做好记 号后放回池中，过了一段时间后，再从中抓 了20只青蟹，发现有记号的有x只，若x= 5,试给出蟹池中青蟹数目N的估计值(以使 P(x=5)取得最大值的N为估计值). Ⅱ规律方法|I- 超几何分布的综合问题一般是将排列、组合、古典 概型、分布列等知识融于一体，解决此类问题的关键在 于正确地处理好等可能事件的概率、对立事件的概率 之间的关系，并结合分布列的有关知识把相应的问题 细化。 易错 对超几何分布的概念理解不透 警示致错 [典例] 一盒中装有12 个零件，其中有 9个 正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取 出次品后就不再放回去，再取一个零件，直 到取得正品为止.求在取得正品之前已取出 次品数 X的分布列. [错解] 由题意可知，X的所有可能取值为 0,1,2,3. P(X=0)=C=-,P(X=1)=C =55, P(X=2)=GC=0,P(X=3)= =220, 则 X的分布列为 跟踪训练 2.为了解决某地区教师资源匮乏的问题，某市 教育局拟从 5名优秀教师中抽选人员分批 次参与支教活动.支教活动共分为三批次， 每批次支教需要同时派送2名教师，且每批 次派送人员均从这5人中随机抽选.已知这 5名优秀教师中，2 人有支教经验，3 人没有 支教经验. (1)求甲在这三批次支教活动中恰有两次被 抽到的概率； (2)求第一批次抽到没有支教经验的教师人 数 X的分布列； (3)第二批次抽到没有支教经验的教师人数 最有可能是多少?请说明理由. X 0 1 2 3 ②5 ②5 22 22P [错因分析] 本题易错认为 X服从超几何 分布，从而得到错误的分布列，产生错误的 原因是未理解超几何分布的概念.本题是不 放回抽取，属于排列问题，而超几何分布是 一次性抽取若干件产品，属于组合问题. [正解] 由题意可得，X的所有可能取值为 0,1,2,3. P(X=0)=C=4,P(X=1)=GAC =44 P(X=2)=AA3=220,P(X=3)= AAi=220 则 X的分布列为 X 0 1 2 3 ⋯⋯0 3 64 220 22P 第七章 随机变量及其分布 随堂巩固促应用 验证反馈 迁移运用 1.一批产品共10件，次品率为20从中任取 2 件，则恰好取到1件次品的概率为( ) A.45 B.45 c.45 .04 2.从一副不含大、小王的52 张扑克牌中任意抽出 5张，则至少有3张是 A的概率为 ( ) A.C B. D.SC+cCc.1-Cc 3.已知一不透明盒子中有围棋子10粒，其中7粒 黑子，3粒白子.任意取出 2 粒，若X表示取得 白子的个数，则X的均值E(X)= 4.一个袋中装有10个红色球、20个白色球，现 从中任取5个小球，令随机变量 X表示取出 的5个小球中红色球的个数，随机变量Y表 示取出的 5个小球中白色球的个数，试问： 随机变量X,Y是否服从超几何分布?若服 从超几何分布，它们的参数分别是多少? 提示、请完成《素能提升训练》训练十七 7.4 二项分布与超几何分布(培优课) 自主学习探新知 课前预习 双基落实 知识点 1.二项分布与超几何分布的区别与联系 区别 ①当这 n次试验是独立重复试验时(如有放回 摸球),X服从二项分布； ②当 n次试验不是独立重复试验时(如不放回 摸球),X服从超几何分布 联系 在不放回 n次试验中，如果总体数量 N很大， 而试验次数 n很小，此时超几何分布可近似转 化成二项分布 2.超几何分布列的求解步骤 (1)辨模型：结合实际情景分析所求概率分 布问题是否具有明显的两部分组成，如“男 生、女生”,“正品、次品”,“优、劣”等，或可转 化为明显的两部分，具有该特征的概率模型 为超几何分布模型. (2)算概率：可以直接借助公式 P(X=k)= C求解，也可以利用排列组合及概率 的知识求解，需注意借助公式求解时应理解 参数 N,M,n,k的含义. (3)列分布列：把求得的概率值通过表格表 示出来. 3.独立重复试验与二项分布问题的常见类型 及解题策略 (1)在求 n次独立重复试验中事件恰好发生 k 次的概率时，首先要确定好 n和k的值，再 准确利用公式求概率. (2)根据独立重复试验求二项分布的有关问 题时，关键是理清事件与事件之间的关系， 确定二项分布的试验次数 n和随机变量的 取值，求得概率. 61 ×g×(1-g)=2.故选B. 3.D P(ξ=2)=c:(3)(1-3)=243 E(X)=4×4=号，D(X)=4×4×号=254.解析 525答案 7.4.2 超几何分布 【自主学习探新知】 试一试 1.D 取出的红球个数服从参数为N=100,M=80,n=10 的超几何分布。由超几何分布的概率公式，知从中取出 的10个球中恰有6个红球的概率为 2.D 由题意可知，X的所有可能取值为0,1,2,P(X=0) =C=,P(X=1)=GC=3,P(X=2)==3, ∴E(X)=0×10+1×3+2×3=5..故选D. 3.解析 由超几何分布的概率公式得所求概率表达式 为C c答案 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] [解](1)从袋中一次随机抽取3个球，基本事件 总数 n=C=20,取出的3个球的颜色都不相同包含的 基本事件的个数为C1C?C1=6, P=2所以取出的3个球的颜色都不相同的概率为 =3. (2)由题意知X=0,1,2,3, P(X=0)=9=,P(X=1)=CC=20, P(X=2)=Gc=20,P(X=3)=G=20 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 18 610 68 18P [变式训练] 1.解 由题意可知 y=0,1,服从两点分布.又P(η=1)= -立，,所以η的分布列为 0 1η 12P 2.解(1)取出 3 个球颜色都不相同的概率 P= C×C:XCi×A=6 (2)由题意知 X=0,1,2,3. P(X=0)=3=1,P(X=1)=C3×3×3×3=3. P(X=2)=GC×3×3=3,P(X=3)==g. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 318 8 18P 探究二 [例2] [解](1)由题意，得P(X≤1)=P(X=0)十 P(X=1)=S+CC-号+3=号. .故所选3人中女 4.生的人数 X≤1的概率为 (2)由题意可知，X的可能取值为0,1,2.∵P(X=0)= =亏，P(X=1)=C=号，P(X=2)=CC=亏， ∴X的分布列为 X 0 1 2 亏 号 亏P ∴均值E(X)=0×号+1×号+2×号=1,方差D(X) =(0-1)2×号+(1-1)2×号+(2-1)2×-=号 [跟踪训练] 1.解(1)由题意知，共(n+7)个城市，取出2个的方法总 数是Ca+7,其中全是小城市的情况有C2种，故全是小城 C=(n+7)(n+6)=传,整理得11n2—市的概率是 67n—168=0,即(1ln+21)(n—8)=0.∵n∈ N+, ∴n=8. (2)①由题意可知X的所有可能取值为0,1,2,3,4. P(X=0)=G=3,P(X=1)=CC=3,P(X=2)= CC=88,P(X=3)=CC=56,P(X=4)=C= 3故 X的分布列为 X 0 1 2 3 4 13 83 26 195 2的P ②若4个城市全是超大城市，共有C1=35种情况；若4个 城市全是小城市，共有C=70种情况，故全为超大城市的 +C=70+35=3概率为 21 探究三 [例3] [解](1)由题意可知，ξ的可能取值为0,1,2.P(ξ =0)=C=129,P(s=1)=CCa=145,P(ξ=2)=C= 175,,则ξ的分布列为 5 0 1 2 1755|7P 故E(e)=0×129+1×4+2×175=25 (2)设f(N)=P(a=5)=CC-.令f(N+3)= (N-464(N-19=NP2-63N-64≥1,解得N≤199.所 以当 N≤199 时，f(N+1)≥f(N),当 N>199 时， f(N+1)<f(N),即当N=199或 N=200时，P(x=5)最 大.故估计蟹池中青蟹数目为199或200. [跟踪训练] 2.解(1)由题意，得甲每批次被抽到的概率为-云，则甲在这 三批次支教活动中恰有两次被抽到的概率 P= Ci× (号)2×3=1325 (2)X的可能取值为0,1,2.P(X=0)=C=1。,P(X=1) =CC=号，P(X=2)==o..所以X的分布列为 X 0 1 2 5 310P (3)设ξ为第二批次抽到没有支教经验的教师人数，则的 可能取值为0,1,2.P(G=0)=S·+Cc .S+· -1o0P(ξ=1)=.CC+c.C+9. =57,P(ξ=2)=C.C+Cc ·C+C·o=100.因为 P(E=1)>P(g=0)>P(g=2),所以第二批次抽到没有支 教经验的教师人数最有可能是1. 【随堂巩固促应用】 1.B 由题意知10件产品中有 2 件次品，故所求概率为 P(X=1)=CC=45 2.D 设X为抽出的5张扑克牌中含A的张数，则P(X ≥3)=P(X=3)+P(X=4)=C+Cc 3.解析 方法一：随机变量X的可能取值为0,1,2,则 P(X=0)=C=5,P(X=1)=CCic=15,P(X=2) -8-1,所以E(X)=o×5+1×5+2×5-号 方法二：由题意知，随机变量X服从超几何分布，其中 N=10,M=3,n=2,则由超几何分布的均值公式知 E(X)=7M=2×3=3. 号答案 4.解 根据超几何分布的定义可知，随机变量 X服从参 数为N=30,M=10,n=5的超几何分布， 随机变量Y服从参数为N=30,M=10,n=5的超几何分布。 7.4 二项分布与超几何分布(培优课) 【互动探究解疑难】 类型一 [例1] [解](1)所选5人中有1人为 A?且不包含 B?, 即再从余下 8人中选4 人即可，选择方式有Cg= 4×3×2×5=70(种),总选择方式共有C= 5×4×3×27×6=252(种),故接受甲种心理暗示的志 愿者中包含A?但不包含B?的概率P=252=18 (2)由题意知 X可取的值为0,1,2,3,4,则 P(X=0)= 4,P(X=1)=Gc=_,P(X=2)=C-0, P(X=3)=GC=_,P(X=4)=c=4 因此 X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 忙 52 92 52 14 [跟踪训练] 1.解(1)已知成绩在(75,80)内的学生有20人，故其频 100=0.2,所以b=52=0.040.所以(0.006+率为 0.034+0.040+a+0.036+0.014+0.010)×5=1,解 得a=0.060.由题图可知左边第一个矩形的面积为 0.03,第二个矩形的面积为0.17,第三个矩形的面积为 0.2,第四个矩形的面积为0.3,所以中位数在(80,85) 内，设中位数为 x,则 0.03+0.17+0.2+(x—80)× 0.060=0.5,解得x≈81.7,故中位数约为81.7. (2)由题意知，成绩在[65,70]内的学生有3人，成绩在 (95,100)内的学生有5人，则 X的所有可能取值为0, 1,2,3,P(X=0)=CC=,P(X=1)=Cc=56, P(X=2)=C-36=5,P(X=3)=Cc=56=28, 故 X的分布列为 X 0 1 2 3 15 5P 28 52 所以E(X)=0×5?+1×56+2×25+3×58=8. 22