7.1.1 条件概率-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步练测（人教A版2019）

第七章 随机变量及其分布 7.1 条件概率与全概率公式 AI钾军手 在峡答证 配等起 补缺 7.1.1 条件概率 第1课时 条件概率 [学习任务] 1.理解条件概率的定义.(重点) 2.掌握条件概率的计算方法.(重点) 3.利用条件概率公式解决一些简单的实际问题.(难点) 自主学习探新知 课前预习 双基落实 知识点一 条件概率的公式 条件 设A,B为两个随机事件，且 P(A)>0 含义 在事件 A发生的条件下，事件 B发生的条件概率 记作 P(B|A) 读作 A发生的条件下B发生的概率 ①缩小样本空间法：P(B|A)=n(A)计算 公式 ②公式法：P(B|A)=PPAB 知识点二 条件概率的性质 设P(A)>0,则： (1)P(2|A)=1; (2)任何事件的条件概率都在0 和1之间， 即 0≤P(B|A)≤1; (3)如果B和C是两个互斥事件，则P(BU C|A)=P(B|A)+P(C|A); (4)设 B和B互为对立事件，则 P(B|A)= 1—P(B|A). 试一试 P(B|A)=2,P(AB)=3,则P(A)=1.已知 ( ) B.16A.16 c.4 D.4 2.根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概 0 13率为 ,下雨的概率为 ,既吹东风又下雨的概率 为，,则在吹东风的条件下下雨的概率为( ) A.立 B.立 c.5 D.9 3.(吉林长春高二月考)一个袋子中有大小和 质地相同的 4个球，其中 2个红色球(标号 为1和 2)2个绿色球(标号为3和 4),从袋 中不放回地依次随机摸出 2个球，则在第一 次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概 率为 . 34 第七章 随机变量及其分布 互动探究解疑难 探究一 利用定义求条件概率 [例1] 现有6个节目准备参加比赛，其中 4 个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地 依次抽取2个节目，求： (1)第1次抽到舞蹈节目的概率； (2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率； (3)(一题多解)在第1次抽到舞蹈节目的条 件下，第 2次抽到舞蹈节目的概率. 乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到 的数比甲抽到的数大的概率. 变式训练 (变结论)在本例条件下，求乙抽到偶数的 概率. I规律方法|Ⅱ 利用定义计算条件概率的步骤 (1)分别计算概率 P(AB)和P(A); P(B|A)=PAA),(2)将它们相除得到条件概率 这个公式适用于一般情形，其中AB表示A与B同时 发生。 跟踪训练 1.(1)(北京房山期中)夏季里，每天甲、乙两地 3,4,下雨的概率分别为 ,且两地同时下雨的 16概率为 ,则在夏季的一天里，在乙地下雨 的条件下，甲地也下雨的概率为( ) A. B. c.3 D.4 (2)(山西期中)袋中有大小和形状都相同的 3个白球和 2个黑球，现从袋中不放回地依 次取两个球，则在第一次取到白球的条件 下，第二次也取到白球的概率是 ( ) A.3 B.号 c. D.30 探究二 缩小样本点范围求条件概率 (一题多变) [例 2] 集合 A={1,2,3,4,5,6},甲、乙两人 各从 A中任取一个数，若甲先取(不放回), IⅡ规律方法|l- 将原来的基本事件全体Ω缩小为已知的条件事件 A,原来的事件 B缩小为AB.而 A中仅包含有限个基 本事件，每个基本事件发生的概率相等，从而可以在缩 小的概率空间上利用古典概型公式计算条件概率，即 P(BIA)=n(AB,这里n(A)和n(AB)的计数是基于 缩小的基本事件范围的. 跟踪训练 2.5个乒乓球，其中3个新的、2个旧的，每次取一 个，不放回地取两次，则在第一次取到新球的条 件下，第二次取到新球的概率为 . 探究三 条件概率性质的应用 [例3] 把外形相同的球分装在三个盒子中， 每盒10个.其中，第一个盒子中有7个球标 有字母 A,3个球标有字母 B;第二个盒子中 有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球 8个、白球 2个.试验按如下规则进行：先在 第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母 A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若 第一次取得标有字母 B的球，则在第三个盒 子中任取一个球.如果第二次取出的是红 球，则称试验成功，求试验成功的概率. 35 ?高中数学·选择性必修 第三册 Ⅱ规律方法|l- 当所求事件的概率相对较复杂时，往往把该事件 分成两个(或多个)互不相容的较简单的事件之和，求 出这些简单事件的概率，再利用P(BUC|A)=P(B A)+P(C|A)求得较复杂事件的概率. 跟踪训练 3.在某次考试中，要从20道题中随机抽出6 道题，若考生至少能答对其中4道题即可通 过，至少能答对其中5道题就获得优秀.已 知某考生能答对其中10道题，并且知道他 在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩 的概率. 雨与否会相互影响，错解三主要是对条件概 率公式记错或者是未能认准谁是条件导致 错误，事实上，如果求乙地为雨天时，甲地为 3.雨天的概率，答案便是 [正解]设事件A为“甲地为雨天”,事件B 为“乙地为雨天”,且P(A)=20?(B)= 18?(AB)=12?(B|A)=P(A)= 20?..故选D. [答案]D I误区警示l- ⋯ 计算条件概率时，要判断是否为条件概率，若题目 中出现“在⋯⋯前提下”等字眼，一般为条件概率.若题 目中没有出现上述字眼，但已知事件的出现影响了所 求事件的概率时，也需要考虑是否为条件概率. 易错 (一)不能准确识别条件概率致错 警示 例1]甲、乙两地都位于长江下游，根据多年 的气象记录知道，甲、乙两地一年中雨天所 占比例分别为20?18两地同时下雨 的比例为12则甲地为雨天时，乙地为雨 天的概率为 ( ) c.3 D.号A.3.6 B.12% [错解一]设事件A为“甲地为雨天”,事件 B为“乙地为雨天”,且P(A)=20?(B) =18所以甲地为雨天时，乙地为雨天的 概率是20?18?.6故选A. [错解二]根据题意知，甲地为雨天时，乙 地为雨天的概率等价于两地同时下雨的概 率，为12故选B. [错解三]设事件A为“甲地为雨天”,事件 B为“乙地为雨天”,且P(A)=20?(B) =18?(AB)=12?(B|A)=P(B) =18?,故选C. [错因分析]错解一和错解二主要是没有 认识到此题是条件概率，“甲地为雨天时，乙 地为雨天的概率”的意思是“在甲地为雨天 的前提下，乙地为雨天的概率”,另外20? 18?.6??12说明两地相互之间下 易错 (二)混淆“条件概率P(B|A)”与 “积事件的概率P(AB)”致错警示 袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球[例2] (只有颜色不同),不放回抽取，每次任取一 球，取两次，求： (1)第二次才取到黄球的概率； (2)取出的两个球其中之一是黄球时，另一 个也是黄球的概率. [解](1)设A表示“第一次取到白球”,B 表示“第二次取到黄球”,C表示“第二次才 取到黄球”. 则P(C)=P(AB)=P(A)P(B|A)=0×=15 (2)记D表示“其中之一是黄球”,E表示“两 个都是黄球”,F表示“其中之一是黄球时， 另一个也是黄球”. 则P(F)=P(E|D)=PCD= 对 |误区警示|Ⅱ- 本题错误在于对P(AB)与P(BA)的含义没有弄 清，P(AB)表示在样本空间A中，A与B同时发生的 概率；而P(B|A)表示在缩减的样本空间SA中，作为 条件的事件A已经发生的条件下事件B发生的概率. 36 第七章 随机变量及其分布 随堂巩固促应用 验证反馈 迁移运用 1.(多选)下列说法正确的是 ( ) A.P(AB)=P(A)P(B|A) B.P(AB)=P(A)P(A|B) C. P(AB)≤P(A) D. P(AB)≤P(B|A) 2.将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件 A={两个点数互不相同},B={出现一个5 点},则 P(B|A)= ( ) A.3 B. 8 c.6 D.4 3.(广东广州高二期末)随着广州的城市生态 环境越来越好，越来越多的家庭选择市区景 点轻松度周末.现有两个家庭，他们分别从 “南沙海滨公园”“白云山”“海珠湿地公园” “大夫山森林公园”“火炉山森林公园”这 5 个户外景点中随机选择1个景点度周末.记 事件 A为“两个家庭中至少有一个家庭选择 白云山”,事件 B为“两个家庭选择的景点不 同”,则P(B|A)= ( ) A.3 B.g c. D.90 4.某班学生考试成绩中，数学不及格的占 15语文不及格的占5两门都不及格的 占3已知一学生数学不及格，则他语文也 不及格的概率是 提示、请完成《素能提升训练》训练九 第 2 课时 概率的乘法公式 [学习任务] 1.理解概率的乘法公式及其推导过程.(难点) 2.结合古典概型，利用概率的乘法公式求事件的概率.(重点) 自主学习探新知 课前预习 双基落实 知识点 概率的乘法公式 由条件概率的定义，对于任意两个事件 A与 B,若P(A)>0,则 P(AB)=P(A)P(B|A), 我们称上式为概率的乘法公式. 拓展：对于任意两个事件 A与 B,若 P(B)>0则P(AB)=P(B)P(A|B). 试一试 1.若P(A|B)=9,P(B)=3,则P(AB)的值是 ( ) A. B.g c. D.4 2.已知 P(B|A)=0.6,P(AB)=0.18,则 P(A)= ( ) B.0.108A.0.3 C.0.2 D.0.1 3.(河北唐山期末)某厂的产品中有 4??废 品，在100件合格品中有 75件一等品，则在 该厂的产品中任取一件是一等品的概率 为 _. 37 ?高中数学·选择性必修 第三册 互动探究解疑难 要点归纳 重难突破 探究一 概率的乘法公式的简单应用 [例1] 一个盒子中装有 2个红球、8个黑球， 从中不放回地任取1个小球，则第二次才取 出红球的概率是 ( ) A.4 B. c.45 D.45 I规律方法|| 在乘法公式 P(BA)=P(A)P(B|A)中有三个量： P(A),P(BA),P(B|A),在这三个量中，只要已知其 中两个，就可以利用公式求另外一个. 探究三 概率的乘法公式与古典概型等 知识的交汇应用(一题多解) [例3] 在一个不透明的盒子中有10个大小 相同的小球，其中6个红色的小球、4个白色 的小球，不放回地从盒子中连续取两次小 球，每次任取 2个小球，求： (1)第一次取到2个红色的小球且第二次也 取到2个红色的小球的概率； (2)第一次取到2个白色的小球且第二次取 到2个红色的小球的概率. 跟踪训练 1.已知 P(B|A)=3,P(A)=5,则 P(AB)= ( ) A.5 B.10 c.15 D. 5 探究二 概率的乘法公式的实际应用 [例 2] 假设在市场上出售的电脑中，甲品牌 的占 80合格率为 90乙品牌的占 20合格率也为90在市场上随机买一 台电脑， (1)求该电脑是甲品牌合格品的概率； (2)求该电脑是乙品牌不合格的概率. 变式训练 本例的条件不变，求第一次取到的2个小球 颜色不同，且第二次也取到的 2个小球颜色 也不同的概率. -Ⅱ规律方法|Ⅱ 解决此类综合性较强的问题，一般步骤是： (1)设出事件，判断两个事件的关系； (2)理解题意，根据题意把问题转化为条件概率问题； (3)利用乘法公式求解。 跟踪训练 Ⅱ规律方法|Ⅱ-⋯ 在利用乘法公式解决实际问题时，要注意区分 P(B|A)和P(A|B)的不同，P(B|A)表示在事件 A发 生的条件下，事件 B发生的概率；而 P(A|B)则表示在 事件 B发生的条件下，事件 A发生的概率. 3.从1,2,3,4,5,6,7,8这 8个数中不放回地 抽取两次，每次都抽取 2 个数，若已知第一 次抽到的 2个数是偶数，求第二次抽到的2 个数的和是偶数的概率. 跟踪训练 2.(上海川沙高二期中)已知国外某地某传染 病感染率为 0.5市民感染某传染病且标 本检出阳性的概率为99若该地全员参加 检测，则该地某市民感染某传染病且标本检 出阳性的概率是 .(用数值表示) 38 第七章 随机变量及其分布 易错 混淆“条件概率”与“交事件的 概率”致误警示 [典例] 袋中有6个黄色的乒乓球，4个白色 的乒乓球，做不放回抽样，每次抽取一球，取 两次，则 第 二次才 能取 到黄球的 概率 为 . [解析] 记“第一次取到白球”为事件 A, “第二次取到黄球”为事件 B,“第二次才取 到黄球”为事件C,所以 P(C)=P(AB)= P(A)P(B|A)=40×6=5 4巧[答案] Ⅱ误区警示|Ⅱ⋯ (1)解答这类题易混淆P(AB)与P(B|A)的含义， 而误认为P(C)=P(B|A)=g=3. (2)P(AB)表示 A与B同时发生的概率；而 P(B|A)表示在事件 A已经发生的条件下事件B发生 的概率。 随堂巩固促应用 验证反馈 迁移运用 1.(多选)已知 P(AB)=0.12,下列说法正确 的是 ( ) A.若P(A|B)=0.2,则P(A)=0.6 B.若P(A|B)=0.2,则 P(B)=0.6 C.若P(A)=0.3,则 P(B|A)=0.4 D.若P(A)=0.3,则 P(A|B)=0.4 2.若P(A)=a,则 P(AB)的取值范围是( ) B.(0,a)A.(a,1) C.(a,十α) D.(0,1) 3.甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命 中率分别为0.6和0.7,在目标被击中的情况 下，甲、乙同时击中目标的概率为( ) c.B.2A.44 D.25 4.开元通宝是我国唐代的一 种货币，向如图所示的开 元通宝上任意投掷一粒芝 麻，第一次投进方空的概 率约为0.5,在第一次投进 方空的条件下第二次也投进方空的概率约 为0.3,则这样连续两次都可把芝麻投进方 空的概率是 提示、请完成《素能提升训练》训练十 7.1.2 全概率公式 AI伊学险手 在峡答证 露 金面 学习任务_ 1.理解全概率公式及其推导过程.(重点) 2.结合古典概型，利用全概率公式求事件的概率.(重点，难点) 自主学习探新知 课前预习 双基落实 知识点一 全概率公式 一般地，设 A?,A2,⋯,A,是一组两两互斥的 事件，A?UA?U⋯UA,=2,用P(A;)>0, i=1,2,⋯,n,则对任意的事件 BSΩ,有 P(B)=2P(A?)P(B|A?).我们称上面的公 式为全概率公式.全概率公式是概率论中最 基本的公式之一. 知识点二 贝叶斯公式 1.设 A?,A2,⋯, A,是一组两两互斥的事件， A?UA?U⋯UA,=2,且 P(A;)>0,i=1,2, ⋯,n,则对任意的事件 BS2,P(B)>0,有 PalB-PADPA i=1,2,⋯,n. 39 题型六 11.解析 当千位和百位分别为1,3 时，则十位和个位有 A2个符合条件的，当千位和百位分别为1,4 时，则十 位和个位有 A2个符合条件的，当千位不为1时，共有 C1A3个符合条件的，故共有C A3+A2+A3=18+2+ 2=22(个). 答案 22 12.解 (1)因为抽取的三位数各不同，所以能组成 A3=6 ×5×4=120个不同的三位数。 (2)百位为5或6,则个位、十位是剩余5个数字中的两 个，则有C1×A3=40个大于500的三位数。 题型七 13.A 先确定3个与盒子编号相同的小球，共有C种选 法，假设1,2,3,4号小球与盒子的标号不同，5,6,7号 小球与盒子的编号相同，则1,2,3,4号盒子的放法有 2,1,4,3;2,3,4,1;2,4,1,3;3,1,4,2;3,4,1,2;3,4,2, 1;4,1,2,3;4,3,1,2;4,3,2,1,共9种，故共有C×9= 315种放法。 14.解析 根据题意可知抛掷3次骰子后恰好回到起点① 处需要8步或16步，所以3次投掷骰子的点数之和为 8或16,则 3次投掷的点数可以为1,1,6;1,2,5;1,3, 4;2,2,4;2,3,3;4,6,6;5,5,6;当点数为1,1,6;2,2,4; 2,3,3;4,6,6;5,5,6时，有5×C1=15种情况；当点数 为1,2,5;1,3,4 时，有 2×A3=12 种情况，综上可得， 不同的走法数为12+15=27. 答案 27 章末优化提升 [考点聚集] 考点———跟踪训练 1.解 依题意得，既会英语又会日语的有1人，6人只会 英语，2人只会日语。 第1类：从只会英语的6人中选会英语的1人，有6种 选法，此时选会日语的1人有3种选法，由分步乘法计 数原理可得N?=6×3=18(种). 第2 类：从既会英语又会日语的 1人中选会英语的 1 人，有1种方法，此时从只会日语的两人中选会日语的1 人，有2 种选法， 由分步乘法计数原理得 N?=1×2=2(种). 综上，由分类加法计数原理可知，不同选法共有N= N?+N?=18+2=20(种). 考点二——跟踪训练 2.解(1)利用间接法可知满足题意的投放方法有 A?-1 =119(种)。 (2)分为四类： 第一类，五个球的编号与盒子的编号完全相同的投放方 法有1种； 第二类，四个球的编号与盒子的编号相同，有0种； 第三类，三个球的编号与盒子的编号相同，球的编号与 盒子的编号相同的投放方法有 C?种，球的编号与盒子 的编号不同的投放方法有1种，所以投放方法有C×1 =10(种). 第四类，两个球的编号与盒子的编号相同，球的编号与 盒子的编号相同的投放方法有C 种，球的编号与盒子 的编号不同的投放方法有 2种，所以投放方法有C3×2 =20(种). 根据分类加法计数原理，得所有的投放方法有1+0十 10+20=31(种). 考点三——跟踪训练 3.解(1)因为T=c?(-2x)=4c2m2=agx2,且 a?=7,所以4c2=n(n81=7,所以(n-8)(n+7)=0, 解得 n=8或 n=—7(舍去), 所以(1-2x)”的展开式中二项式系数最大的项为第 5项，T?=c:(-2x)=35a (2)令x=0,可知a?=1, 令x=2, 得0=a?+2a?+22a?+2?a?+2'a?+⋯+2"a, 所以2a?+22a?+23a?+2?a?+⋯+2"a,=-1, 所以a?+2a?+22ag+22a?+⋯+2a,=-2 第七章 随机变量及其分布 7.1 条件概率与全概率公式 7.1.1 条件概率 第1课时 条件概率 【自主学习探新知】 试一试 Pa--P(B|A)=PP(A),所以F1.C 因为 =3. 2.D 设事件A表示四月份吹东风，事件 B表示四月份下 雨.根据条件概率计算公式可得在吹东风的条件下下雨 PIIA)=一,故选D的概率 3.解析 从袋中不放回地依次随机摸出2个球，设第一次 摸到红球为事件 A,则 n(A)=CC1=6,设两次都摸到 红球为事件 B,则 n(B)=A2=2,则在第一次摸到红球 P=n(A)=6=3.的条件下，第二次摸到红球的概率1 1s答案 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] [解] 设第1次抽到舞蹈节目为事件 A,第2次 11 抽到舞蹈节目为事件 B,则第1次和第2次都抽到舞蹈 节目为事件AB. (1)从6个节目中不放回地依次抽取2个，总的事件数 n(Ω)=A?=30. 根据分步乘法计数原理，有 n(A)= A1A}=20,所以 P(A)=(A)=30=3. P(AB)=nAB)=30=号.(2)因为n(AB)=A=12,所以 (3)方法一：由(1)(2),得在第1次抽到舞蹈节目的条件 PCBIA)-FA-次抽到舞蹈节目的概率下，第 2 =号. 方法二：因为n(AB)=12,n(A)=20,所以P(B|A)= n(A)=20=号. [跟踪训练] 1.(1)C 记事件 A为甲地下雨，事件 B为乙地下雨，则 P(A)=3,P(B)=4,P(AB)=6, 所XPAIB--.故选C. (2)C 记第i次取到白球为事件 A(i=1,2),则P(A?|A?)-.故选C. 探究二 [例2] [解] 将甲抽到数字a,乙抽到数字b,记作 (a,b),甲抽到奇数的情况有(1,2),(1,3),(1,4), (1,5),(1,6),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(3,6), (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6),共15种.在这15种 情况中，乙抽到的数比甲抽到的数大的情况有(1,2), (1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,4),(3,5),(3,6), P=5=3.(5,6),共9种，所以所求概率I [变式训练] 解 在甲抽到奇数的情况中，乙抽到偶数的情况有 (1,2),(1,4),(1,6),(3,2),(3,4),(3,6),(5,2), P=5=号(5,4),(5,6),共9种.所以所求概率 [跟踪训练] 2.解析 设第1次取到新球为事件 A,第 2次取到新球为 事件B,则P(B|A)=na(AB)=3×4=2. 答案 探究三 [例3] [解] 设A={从第一个盒子中取得标有字母 A 的球}, B={从第一个盒子中取得标有字母 B的球},R={第二 次取出的球是红球}, W={第二次取出的球是白球},则容易求得P(A)= 10,P(B)=o,P(RIA)=2, P(W|A)=2,P(R|B)=4,P(W|B)=亏 事件“试验成功”表示为 ARU BR,又事件 AR与事件 BR 互斥，故由概率的加法公式，得 P(ARUBR)=P(AR)+P(BR)=P(R|A)P(A)十 P(R|B)P(B)=2×10+4×3=0.59. [跟踪训练] 3.解 记事件A为“该考生6道题全答对”,事件 B为“该 考生答对了其中5道题，另一道答错”,事件C为“该考 生答对了其中4 道题，另2 道题答错”,事件 D为“该考 生在这次考试中通过”,事件E为“该考生在这次考试中 获得优秀”,则 A,B,C两两互斥，且 D=AUBUC,E= AUB,可知P(D)=P(AUBUC)=P(A)+P(B)+ P(C=+CC+Cc-12.18,p(AD)=P(A), P(BD)=P(B),P(E|D)=P(A|D)+P(B|D)=P(D)-- 58故获得优秀成绩的概率为 【随堂巩固促应用】 1.ACD 由乘法公式可知选项A正确，则选项B不正确， 因为0≤P(B|A)≤1,P(AB)=P(A)P(B|A),所以 P(AB)≤P(A),所以C 正确；因为0≤P(A)≤1, P(AB)=P(A)P(B|A),所以P(AB)≤P(B|A),所以 D正确。 2.A 出现点数互不相同的共有6×5=30种，出现一个5 点共有5×2=10种，所以P(B|A)=30=3 3.C 两个家庭选择景点的试验有52个基本事件，事件 A 含有的基本事件数为CC1+C=9,事件 AB含有的基 本事件数为C?Cl=8,则P(A)==25,P(AB)= =25, P(B|A)=PA)=8。故选C.,所以 4.解析 记“数学不及格”为事件 A,“语文不及格”为事件 B,P(B|A)=P(A)=0.15=0.2,所以数学不及格时， 该生语文也不及格的概率为0.2. 答案 0.2 第 2 课时 概率的乘法公式 【自主学习探新知】 试一试 1.A 由P(AB)=P(A|B)P(B),可得P(AB)=g×3 =2. 2.A 因为 P(AB)=P(A)P(B|A),所以 P(A)= P(BAA)=0.6=0.3. 3.解析 设A为“任取的一件是合格品”,B为“任取的一 件是一等品”。因为P(A)=1-P(A)=96?(B|A) =75且事件 B发生时事件 A一定发生，所以P(B) =P(AB)=P(A)P(B|A)=0.96×0.75=0.72. 答案 0.72 12 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] D 由题意可知第一次取出的是黑球，设为事件 A,第二次取出红球设为事件 B,则P(A)=10=4, P(B|A)=9,所以第二次才取出红球的概率是P(AB) =P(A)P(B|A)=4×9=45 [跟踪训练] 1.C 由乘法公式，得P(AB)=P(A)P(B|A)=号×3 =15,,故选C. 探究二 [例2] [解](1)用 A表示买到的电脑是甲品牌，用B 表示买到的电脑是合格品，则 P(A)=80?(B|A) =90%, 所以该电脑是甲品牌合格品的概率 P(BA)= P(A)P(B|A)=80?90?.72. (2)由(1)知，P(A)=20?(B|A)=1-90?0所以 该电脑是乙品牌不合格的概率P(BA)=P(A)P(B|A)= 20?10?.02. [跟踪训练] 2.解析 记感染某传染病为事件 A,在感染某传染病的条 件下，标本为阳性为事件 B,则 P(A)=0.5?(B|A) =99故某市民感染某传染病且标本检出阳性的概率 为P(AB)=P(A)P(B|A)=0.5?99?.495%. 答案 0.495% 探究三 [例3] [解] 方法一(利用乘法公式): (1)设A表示第一次取到2个红色的小球，B表示第二 次取到2个红色的小球， P(4)=则1 因为取出的两个小球不放回，所以第一次取出2个红色 的小球后，盒子中还有8个小球，其中4个小球是红色 的，此时第二次再取出小球时，取到的也是2个红色的 P(B|A)=小球的概率是 ,根据乘法公式可知，第一 次取到2个红色的小球且第二次也取到2个红色的小 球的概率为P(BA)=P(A)P(BIA)=×S=14 (2)设A表示第一次取到2个白色的小球，B表示第二 次取到2个红色的小球， 则P(4)=C 因为取出的两个小球不放回，所以第一次取出2个白色 的小球后，盒子中还有 8个小球，其中6个小球是红色 的，此时第二次再取出小球时，取到的是 2 个红色的小 P(B|A)=,根据乘法公式可知，第一次球的概率是 取到2个白色的小球且第二次取到2个红色的小球的 概率是P(AB)=P(A)P(BIA)=G×=4 方法二(利用排列组合和古典概型): (1)把问题转化为从盒子中每次任取两个小球，连续取 两次，这两次取出的都是红色小球的概率，设事件 A 为：第一次取到2 个红色的小球且第二次也取到 2个红 色的小球， 所以P(A)=C=1 (2)把问题转化为从盒子中每次任取两个小球，连续取 两次，第一次取到2个白色的小球，第二次取到 2 个红 色的小球的概率，设事件 B为：第一次取到2个白色的 P(B)=C小球且第二次取到2个红色的小球，所以 =14 [变式训练] 解 设A表示第一次取到2个颜色不同的小球，B表示 第二次取到2个颜色不同的小球， P(A)=Cc则 因为取出的两个小球不放回，所以第一次取出 2个不同 颜色的小球后，盒子中还有 8个小球，其中5个小球是 红色的，3个是白色的，此时第二次再取出小球时，取到 P(B|A)=CC,的也是2 个不同颜色的小球的概率是 根据乘法公式可知，第一次取到的 2 个的小球颜色不 同，且第二次也取到的 2个小球颜色也不同的概率为 P(BA)=P(A)P(BIA)=CC×GC=. [跟踪训练] 3.解 这8个数中，有4个奇数，4个偶数，设事件 A为第 一次抽取的 2个数是偶数，事件 B表示第二次抽到的2 P(A)=,个数的和是偶数，则 第一次抽取2个偶数后，还剩下6个数，其中2个偶数， 4个奇数，此时第二次抽到的 2 个数的和是偶数的概率 为P(BIA)=G+C, 根据乘法公式可知，第一次抽到的 2个数是偶数，第二 次抽到的2个数的和是偶数的概率为 P(BA)=P(A)P(BIA)=×tC=0 【随堂巩固促应用】 1.BC 因为 P(AB)=P(B)P(A|B),所以P(B)= P(A|B)=0.2=0.6,所以B正确，A不正确；因为 P(A)=0.3,P(B|A)=PAB)=0.3=0.4,所以C正 确，D不正确。 2.B 因为P(AB)=P(A)P(B|A),0<P(B|A)<1,所以 0<P(AB)<a. 3.A 根据题意，记“射击一次甲击中目标”为事件 A,“射 击一次乙击中目标”为事件 B,“目标被击中”为事件C, 则P(C)=1-P(A)P(B)=1-(1-0.6)×(1-0.7)= 0.88,所以在目标被击中的情况下，甲、乙同时击中目标 的概率为P(AB|C)=PPABC=0.6.887=44.故 选A. 13 4.解析 设 A,表示第i次把芝麻投进方空，i=1,2,则由 已知可得P(A?)=0.5, P(A?|A?)=0.3,因此由乘法公式可得P(A?A?)= P(A?)P(A?|A?)=0.5×0.3=0.15, 即连续两次都可把芝麻投进方空的概率是0.15. 答案 0.15 7.1.2 全概率公式 【自主学习探新知】 试一试 1.B P(BA)=P(B)-P(BA)=0.5-0.02=0.48. 2.D 设 A=“第一个人取得黄球”,B=“第二个人取得黄 球”,则P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=号× 49+号×20=号. 3.解析 记事件 A为“利率下调”,则事件A为“利率不 变”,记事件 B为“金融产品价格上涨”.根据题意有 P(A)=60?(A)=40?(B|A)=80?(B|A)= 40因为P(B)=P(ABUAB),所以P(B)=P(A) P(B|A)+P(A)P(B|A)=60?80?0?40% =64%. 因此该金融产品价格上涨的概率为64%. 答案 64% 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] [解](1)因为P(A)=0.4,所以P(A)=0.6, P(AB)=P(A)P(B|A)=0.6×0.6=0.36, P(AB)=P(A)-P(AB)=0.6-0.36=0.24. (2)由题意可知，P(A)=1-0.8=0.2,所以 P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=0.8×0.4+ 0.2×0.1=0.34, P(AB)=P(A)P(B|A)=0.8×0.4=0.32, 所以P(A|B)=P(B)=0.34=16. [跟踪训练] 1.解 由题意可得P(A)=1-P(A)=0.1, P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=0.1×0.6+ 0.9×0.4=0.42. P(AB)=P(A)P(B|A)=0.1×0.6=0.06,所以P(A|B)= PAB)=0.42=1. 探究二 [例2] [解] 设A表示第二次取出3个球均为新球，B 为第一次取出3球中有i个新球，i=0,1,2,3,则 P(B)==220,P(B)=CC=20,P(B?)=GC =28,P(B)=C=240 P(AIB)=G=2,P(A|B)=c=26,P(A|B) --20,P(AIB)=G=220,所以 P(A)= 2P(B)P(A|B)≈0.1458. [跟踪训练] 2.解 设事件 A为飞机被击落，B,为飞机被i人击落，i= 1,2,3,所以 P(A|B?)=0.2,P(A|B?)=0.6,P(A|B?) =1,且A=B?A+B?A+B?A. 设 H 表示飞机被第i人击落，i=1,2,3, 可得P(B?)=P(H?H?H?+H?H?H?+H?H?H?)= 0.36, P(B?)=P(H?H?H?+H?H?H?+H?H?H?)=0.41, P(B?)=P(H?H?Hg)=0.14, 由全概率公式可得P(A)=P(B?)P(A|B?)+P(B?) P(A|B?)+P(B?)P(A|B?)=0.36×0.2+0.41×0.6 十0.14×1=0.458, 即飞机被击落的概率为0.458. 探究三 [例3] [解] 上述情境中，如果患有肝癌，那么检测出来 的概率为99然而，普查的主张是否合适，主要取决于检 测结果显示患有肝癌时，实际上患有肝癌的概率.设A表 示患有肝癌，B表示检测结果显示患有肝癌，则 P(A)= 0.000 4,P(B|A)=0.01,P(B|A)=0.05,从而有P(A) =1-P(A)=1-0.0004=0.999 6,P(B|A)=1- P(B|A)=1-0.01=0.99.根据贝叶斯公式，则检测显 示患有肝癌的居民确实患有肝癌的概率为 P(AlB)=p(A)P(B(A)+P(A)P(BIA =0.0004×0.99+0.996×0.05≈0.0079. 这就表明，检测结果显示患有肝癌但实际上患有肝癌的 概率还不到0.8也就是说，如果进行普查的话，在现 有条件下，100个显示患有肝癌的人中，可能只有1个 人是真正患有肝癌的，从这个意义上来说，进行普查并 不是一个好主意. [跟踪训练] 3.(1)B 用A表示“丢失一箱后任取2 箱都是英语书”, B,表示“丢失的一箱为k,k=1,2,3分别表示英语书、 P(A)=2P(BA)数学书、语文书”,由全概率公式，得 P(A|B)=2×+号×9+3×C=?..由贝叶斯 公XPAA)-Rapra3- 故选B. (2)解析 用事件A,B,C分别表示“这个人乘火车、轮 船、飞机”,用事件 D表示“这个人迟到”,则 P(A)= 0.2,P(B)=0.4,P(C)=0.4,P(D|A)=0.4,P(D|B) =0.3,P(D|C)=0.5,所以P(D)=P(A)P(D|A)+ P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C)=0.2×0.4+0.4×0.3 +0.4×0.5=0.4.由贝叶斯公式，得P(B|D)= P(BPPDDIB)=0.4.×40.3=0.3. 答案 0.4 0.3 【随堂巩固促应用】 1.BD 由互斥事件概率的加法公式可知选项 B正确，由 全概率公式可知选项D正确。 14