第6章 专题1 两个计数原理与排列组合问题的七类典型解法-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步练测（人教A版2019）

故111?—1能被100 整除. (2)912=(100-9)2=C?×1002—C1×1001×9+ C2?×10090×92—⋯+C×92, 因为展开式中前92 项均能被100 整除，所以只需求最 后一项除以100的余数。 又92=(10-1)2=C?×102—Cl2×101+⋯+C× 102—Cf2×10+1. 前91项均能被100 整除，后两项和为一919,因余数为 正，可从前面的数中分离出1 000, 结果为1 000—919=81,故 912被 100 除所得的余数 为81. [跟踪训练] 3.证明 32m+2—8n-9 =(8+1)"+1—8n-9 =Cn+18“+1+C1+18”十⋯+C+1-8n-9 =C+18"+1+C1+18"+⋯+C+182+(n+1)×8+1-8n -9 =Ca+18"+1+C?8"十⋯+C+182. ① ①式中的每一项都含有 82这个因数，故原式能被 64 整除。 【随堂巩固促应用】 1.A a10-2Cl?a?+22Coa?—⋯+21?=(a-2)10,当a=2 一√2时，(a-2)1?=32. 2.ABD 根据二项式系数的性质进行判断，由二项式系数 的性质知：二项式系数之和为21°,故A正确；当 n为偶 数时，二项式系数最大的项是中间一项，故 B正确，C错 误；D也是正确的，因为展开式中第6项的系数是负数， 所以是系数中最小的. 3.B 由题意可得a=C?=70,又展开式的通项公式 T,+1 =C&2x”, ·2≥Gz-1,{6,设第 r+1项的系数最大，则 求得r=5或 r=6,此时，b=7×2,a=5,故选 B. 4.解析 当x=1时，可得M=1,二项式系数之和N=2", 由已知M·N=64,∴2”=64,n=6.∴第四项T?=C· (2√x)3·(-1)3=-160x. 答案 —160x 专题1 两个计数原理与排列组合问 题的七类典型解法 题型一 1.D 因为数学老师因故不能上第二节和第四节课，所以 先排数学老师的课，共有C?=2种排课方案，然后再排 剩下三位老师的课，共有 A=6种排课方案，由分步计 数乘法原理可得共有2×6=12 种排课方案. 2.解析 随机选派三名同学分别参加三项比赛，共有A3 =60种结果，其中甲不能参加演讲比赛可分两类，一类 是甲没有被选中有Ai种结果，一类是甲被选中有AlA 种结果，所以甲不能参加演讲比赛的结果数为 A3+ 48=号.A?A?=48,所以甲不能参加演讲比赛的概率为 5答案 题型二 3.解析 5艘战舰一字形编队，共有 A?=120 种编排方 法，其中 2 艘护卫舰相邻有C2A2A}A2=72 种编排方 120=号.法，所以3艘护卫舰中恰有2艘相邻的概率是 5答案 4.解析 将两个乐器节目排成一排，共有 A2种排法，将其 视为一个整体和两个舞蹈节目排成一排，共有 A3种排 法，再将两个唱歌节目插入所得排列的空隙中，有 A3种 排法，由分步乘法计数原理可得满足要求的排法共有 A2A3A?=144种排法. 答案 144 题型三 5.B 这2 个新节目插入节目单中，若2个新节目相邻，则 在原定3个节目已排成节目单产生的4个空位中，选1 个位置安排 2个新节目，且两个新节目顺序可变，此时 有C4A2=8种插法；若2 个新节目不相邻，则在原定3 个节目已排成节目单产生的4个空位中，选2个位置安 排2个新节目，且两个新节目顺序可变，此时有A2=12 种插法，所以共有8+12=20种插法。 6.解 第一步，原来6个路灯的中间空位和两端共有7个 空位，将其中一个路灯插入这些空位中，有A1 种方法； 第二步，7个路灯的中间空位和两端共有 8个空位，再 插入第二个路灯，有 A1种方法；第三步，8个路灯的中 间空位和两端共有 9个空位，将最后一个路灯插入，有 A}种方法。由分步乘法计数原理可得，共有A}A1A}= 504 种不同的安装方法。 题型四 7.A 8人分三组可分为 2人，2 人，4 人和 2人，3人，3 人，共两种情况.第一种情况分成 2 人，2人，4人：女生 B,C去同一处景点，当 B,C成2人组时，其他6人分成 2人，4人两组且男生甲与女生 A不同组，有C1A2=8 CAC+C{A2=36种种方法；当 B,C在4人组时，有 方法.第二种情况分成2人，3人，3人：当 B,C成2 人组 时，有C2=6种方法；当 B,C在3人组时，有C?C2十 C1CA2=44种方法.故这8名同学游玩行程的方法数 为(8+36+6+44)×A3=564. 8.解析 由题意知，必有 2 名男志愿者在同一组，所以完 成该事件可分为3步：第一步，从4名男志愿者中选2 人作为一组，有C2=6种方法；第二步，将另外2名男志 愿者和2名女志愿者搭配成2 组，有 A2=2 种方法；第 三步，将分好的3组志愿者分配到 3个体育项目中，有 A3=6种方法。综上所述，由分步计数原理得，共有 C2A2A3=6×2×6=72种方法. 答案 72 题型五 9.A 问题可转化为10个相同的小球放到三个不同的盒 子里，每个盒子不能空着，每个盒子中小球的数目就是 方程 x+y+z=10的一组解，由隔板法可知，共有C2种 不同的分法，即方程共有C2组不同的解. 10.解析 将6个名额排成一排，6个名额之间有5个空， 用3块隔板插入到这5个空中，每一种插空方法就是 一种名额分配方法，共有C=10种分配方法。 答案 10 10 题型六 11.解析 当千位和百位分别为1,3 时，则十位和个位有 A2个符合条件的，当千位和百位分别为1,4 时，则十 位和个位有 A2个符合条件的，当千位不为1时，共有 C1A3个符合条件的，故共有C A3+A2+A3=18+2+ 2=22(个). 答案 22 12.解 (1)因为抽取的三位数各不同，所以能组成 A3=6 ×5×4=120个不同的三位数。 (2)百位为5或6,则个位、十位是剩余5个数字中的两 个，则有C1×A3=40个大于500的三位数。 题型七 13.A 先确定3个与盒子编号相同的小球，共有C种选 法，假设1,2,3,4号小球与盒子的标号不同，5,6,7号 小球与盒子的编号相同，则1,2,3,4号盒子的放法有 2,1,4,3;2,3,4,1;2,4,1,3;3,1,4,2;3,4,1,2;3,4,2, 1;4,1,2,3;4,3,1,2;4,3,2,1,共9种，故共有C×9= 315种放法。 14.解析 根据题意可知抛掷3次骰子后恰好回到起点① 处需要8步或16步，所以3次投掷骰子的点数之和为 8或16,则 3次投掷的点数可以为1,1,6;1,2,5;1,3, 4;2,2,4;2,3,3;4,6,6;5,5,6;当点数为1,1,6;2,2,4; 2,3,3;4,6,6;5,5,6时，有5×C1=15种情况；当点数 为1,2,5;1,3,4 时，有 2×A3=12 种情况，综上可得， 不同的走法数为12+15=27. 答案 27 章末优化提升 [考点聚集] 考点———跟踪训练 1.解 依题意得，既会英语又会日语的有1人，6人只会 英语，2人只会日语。 第1类：从只会英语的6人中选会英语的1人，有6种 选法，此时选会日语的1人有3种选法，由分步乘法计 数原理可得N?=6×3=18(种). 第2 类：从既会英语又会日语的 1人中选会英语的 1 人，有1种方法，此时从只会日语的两人中选会日语的1 人，有2 种选法， 由分步乘法计数原理得 N?=1×2=2(种). 综上，由分类加法计数原理可知，不同选法共有N= N?+N?=18+2=20(种). 考点二——跟踪训练 2.解(1)利用间接法可知满足题意的投放方法有 A?-1 =119(种)。 (2)分为四类： 第一类，五个球的编号与盒子的编号完全相同的投放方 法有1种； 第二类，四个球的编号与盒子的编号相同，有0种； 第三类，三个球的编号与盒子的编号相同，球的编号与 盒子的编号相同的投放方法有 C?种，球的编号与盒子 的编号不同的投放方法有1种，所以投放方法有C×1 =10(种). 第四类，两个球的编号与盒子的编号相同，球的编号与 盒子的编号相同的投放方法有C 种，球的编号与盒子 的编号不同的投放方法有 2种，所以投放方法有C3×2 =20(种). 根据分类加法计数原理，得所有的投放方法有1+0十 10+20=31(种). 考点三——跟踪训练 3.解(1)因为T=c?(-2x)=4c2m2=agx2,且 a?=7,所以4c2=n(n81=7,所以(n-8)(n+7)=0, 解得 n=8或 n=—7(舍去), 所以(1-2x)”的展开式中二项式系数最大的项为第 5项，T?=c:(-2x)=35a (2)令x=0,可知a?=1, 令x=2, 得0=a?+2a?+22a?+2?a?+2'a?+⋯+2"a, 所以2a?+22a?+23a?+2?a?+⋯+2"a,=-1, 所以a?+2a?+22ag+22a?+⋯+2a,=-2 第七章 随机变量及其分布 7.1 条件概率与全概率公式 7.1.1 条件概率 第1课时 条件概率 【自主学习探新知】 试一试 Pa--P(B|A)=PP(A),所以F1.C 因为 =3. 2.D 设事件A表示四月份吹东风，事件 B表示四月份下 雨.根据条件概率计算公式可得在吹东风的条件下下雨 PIIA)=一,故选D的概率 3.解析 从袋中不放回地依次随机摸出2个球，设第一次 摸到红球为事件 A,则 n(A)=CC1=6,设两次都摸到 红球为事件 B,则 n(B)=A2=2,则在第一次摸到红球 P=n(A)=6=3.的条件下，第二次摸到红球的概率1 1s答案 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] [解] 设第1次抽到舞蹈节目为事件 A,第2次 11 第六章 计数原理 k=2 k=3.或∵0≤k?<5且k?∈Z,∴ ∴常数项为4√2+C:c(1)2×√2+C?C?× ×(2?=4√2+1522+20√2=632. 方法二：原式= a2+2Za+2°=32a [(x+√2)2]?=32·(x+√2)°. 求原式的展开式中的常数项，转化为求(x十 √2)1°的展开式中含x?项的系数，即Co·(√2)5. C?22)°=6332∴所求的常数项为 6332[答案] 随堂巩固促应用 验证反馈 迁移运用 1.(河北保定期末)若实数 a=2—√2,则 a10— 2Cl?a?+22C2oa?—⋯+210等于() A.32 B.—32 C.1024 D.512 2.(多选)关于(a—b)10的说法，正确的是( ) A.展开式中的二项式系数之和为1 024 B.展开式中的第6项的二项式系数最大 C.展开式中第5项或第 7项的二项式系数 最大 D.展开式中第6项的系数最小 3.已知(1+2x)?展开式的二项式系数的最大值 bla的值是( )为a,系数的最大值为b,则 B.1-8A.号6 c.135 D.26 4.设(2√x-1)”的展开式的各项系数之和为M, 二项式系数之和为N,若M,8,N三数成等比 数列，则展开式中的第四项为 提示、请完成《素能提升训练》训练八 专题1 两个计数原理与排列组合问题的七类典型解法 题型一 特殊元素和特殊位置优先法 1.(太原五中校考)上午要上语文、数学、体育 和外语四门功课，而数学老师因故不能上第 二节和第四节，则不同排课方案的种数是 ( ) A.24 B.22 C.20 D.12 2.(宁夏银川高三教学质量检测)某校在“校园 艺术周”活动中，安排了同时进行的演讲、唱 歌、跳舞三项比赛，现准备从包括甲在内的 五名同学中随机选派三名同学分别参加三 项比赛，则甲不能参加演讲比赛的概率 为 . 题型二 相邻问题捆绑法和相离问题插空法 3.为维护国家海洋安全权益，我国海军的5艘 战舰出海执行任务，有 2艘是驱逐舰，3艘是 护卫舰，在一字形编队时，3艘护卫舰中恰有 2 艘相邻的概率是 4.新年音乐会安排了2个唱歌、2个乐器和 2 个舞蹈共6个节目，则2个唱歌节目不相邻 且两个乐 器 节 目相邻 的 节 目 单 共 有 种.(用数字表示) 定序问题倍缩法题型三 5.(江苏镇江高二校考)某班联欢会原定 3个 节目已排成节目单，开演前又增加了2个节 目，如果将这2个新节目插入节目单中，那 么不同的插法种数为 ( ) A.12 B.20 C.24 D.30 29 ?高中数学·选择性必修 第三册 6.一条街道上原有6个路灯，假设保持这几个 路灯的相对顺序不变，再多安装 3个路灯， 则一共有多少种不同的安装方法? 题型六 数字排序问题查字典法 11.由数字1,2,3,4 可以组成多少个没有重复 数字且比1300大的正整数 个. 12.盒子里装有六个大小相同的小球，分别标 有数字1,2,3,4,5,6.现从盒子里随机不放 回地抽取3次，每次抽取1个小球，按抽取 顺序将球上数字分别作为一个三位数的百 位、十位与个位数字. (1)一共能组成多少个不同的三位数? (2)一共能组成多少个不同的大于 500的 三位数? 题型四 分组分配问题先分组再分配法 7.某校高三年级有 8名同学计划高考后前往 武当山、黄山、庐山三个景点旅游.已知 8名 同学中有4名男生，4名女生.每个景点至少 有2名同学前往，每名同学仅选一处景点游 玩，其中男生甲与女生 A不去同一处景点游 玩，女生 B与女生C去同一处景点游玩，则 这8名同学游玩行程的方法数为 ( ) A.564 B.484 C.386 D.640 8.第19届亚运会于2023年9月23日至10月 8日在中国杭州举行.开赛前，组委会欲将某 高校4名男志愿者、2名女志愿者共6人平 均分成3 组，分别担任铁人三项、马术和攀 岩 3个项目的志愿者，且2名女志愿者不在 同 一 组，则 不 同 的 选 择 方 案 共 有 种. 题型五 相同元素隔板法 9.已知x∈N*,y∈N*,z∈N*,则关于 x,y,≈ 的方程x+y+z=10共有( )组不同 的解. A.C? B.C3 C.Ci0 D.Ci 10.(江苏高二专题练习)某市拟成立一个由 6 名中学生组成的调查小组，并准备将这6 个名额分配给本市的4所实验中学，要求 每所实验中学都有学生参加，那么不同的 名额分配方法的种数是 . 题型七 简单问题实际操作穷举法 13.将编号为1至 7 的 7个小球放入编号为1 至 7的 7个盒子中，每个盒子中放1个小 球，则恰好有 3个小球与盒子的编号相同 的放法有 ( ) A.315 种 B.210种 C.135 种 D.105 种 14.“双减”政策实施以来，各地中小学纷纷开 展丰富的课后活动.某校积极开展各种棋 类益智活动，某项单人跳棋游戏的规则如 下：如图所示，棋子的初始位置为①处，玩 家每掷出一枚骰子，朝上一面的点数即为 棋子沿棋盘实线顺时针方向前进的格子 数，即玩家掷出的点数为i(i=1,2,⋯,6), 则棋子就按顺时针方向前进i个格子、一直 循环下去，现在已知小明同学抛掷 3次骰 子后棋子恰好又回到起点①处，则其不同 的走法数为 .(用数字作答) ① ⑧ ② ⑦ ⑥ 棋 ⑤- -③ ④ 30