6.3.2 二项式系数的性质-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步练测（人教A版2019）

2.B (1-2x)”的展开式的通项为T,+1=C(-2x)”= (-2)Cx",r=0,1,2,⋯,n.令r=3,得(-2)3C=—160,解 得 n=6.故选B. 3.解析 T+=C;·(a2?-·(-)^=(-2)·c· x?-,当k=3时，T?=(-2)·c;·a3=-2w°,所 以第4项的二项式系数为C=84,系数为-2. -2答案 84 4.解析 依题意，(x+y)?的二项展开式的通项为T+1= Cgx?-y*,0≤k≤8,k∈N. 当k=7时，T?=Cgxy=8xy'; 当k=6时，T?=Cgx2y?=28x2y. 所以(x—y)(x+y)?的展开式中含 x2y?的项为 x·8xy2+(-y)·28x2y?=-20x2y,故 x2y的系数 为-20. 答案 —20 6.3.2 二项式系数的性质 【自主学习探新知】 试一试 1.D 在(1+x)?的展开式中，各二项式系数的和是2?= 32.故选D. 2.A 由题意，得第4项与第8项的系数相等，则其二项式 系数也相等， ∴C3=C,由组合数的性质，得n=10. ∴展开式中二项式系数最大的项为第6项，它也是系数 最大的项. 3.解析 由题意可知ag是x?的系数，所以ag=C?·22 =180. 答案 180 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] [解](1)令x=0,则a?=-1,令x=1,则a?+ ag+⋯+a?+a?=2?=128.① ∴a?+a?+⋯+a?=129. (2)令x=-1,则-a,+a?-a?+a?-a?+a?-a?+a?= (-4)?,② ①-②得a?+a?+a?+a,=2[128-(-4)2]=由 8 256. ①+②得a?+a?+a?+a?=2[128+(-4)2]=(3)由 -8 128. (4)方法一：∵(3x-1)?展开式中a?,a?,a?,a?均小于零， a?,a?,a?,a?均大于零， ∴|a?I+|a?I+|a?I+⋯+|a?|=a?+a?+a?+a,— (a?+a?+a?+ag)=8 256—(-8 128)=16 384. 方法二：|a?I+|a?I+|a?I+⋯+|a?I, 即为(1+3x)展开式中各项的系数和， ∴|a?I+|a?I+|a?I+⋯+|a?I=(1+3)?=4?= 16 384. [跟踪训练] 1.解(1)令f(x)=(x2—3x+2)?=a?+a?x+a?x2+ ⋯+a??x1,a?=f(0)=2?=32,a?+a?+a?+⋯十 a10=f(1)=0, 故a?+a?+⋯+a10=—32. (2)(a?+a?+a?+a?+a?+a10)2—(a?+a?+a?+a,+ a?)2=(a?+a?+a?+⋯+a??)(a?-a?+a?—⋯+a??)= f(1)·f(一1)=0. 探究二 [例2] [解](1)由已知得C"2+C-1+C=121, 则_n(n-1)+n+1=121, 即n2+n-240=0,解得 n=15或 n=-16(舍去),所以 展开式中二项式系数最大的项是T?=Cis(3x)?和T,= Ci?(3x). C3≤1,则(2)T,+1= C?s(3x),设 --<1,3a5+<,解得< Ct3+≥1,解得r≥11,所以展开式中系数12,同理，由 最大的项对应的 r=11,12,即展开式中系数最大的项是 T??=Ci}(3x)1和T??=Cl3(3x)12. [变式训练] 1.解 由本例(2)知，展开式中的第 6项和第 7 项系数的 绝对值最大，第 6项的系数为负，第 7项的系数为正。 故系数最大的项为T,=Cg·2?·x-11=1 792x-11. 系数最小的项为T?=(-1)C?·2?x-*=-1792x. 2.解 由题意知 n=8,通项为 T+1=(一1)·C· (2)·x+*, 令8-告k=0,得k=6,故常数项为第7项，且T?= (-1°·(1)·C=7. [跟踪训练] 2.解(1)令 x=1,可得各项系数和为f(1)=(1+3)#= 4”,展开式各项的二项式系数之和为2”.由已知得4”— 2"=992,即(2”)2-2“—992=0,解得2"=32 或 2"= -31(舍去),∴n=5,∴(√x2+3x2)?的展开式中二项 式系数最大的项为中间两项，它们分别是T?=C(x*) ·(3x2)2=90x?,T?=C(x*)2(3x2)3=270x*. (2)由题意可知2+1=6,,解得 n=10,故展开式的通项 为T,+1= Ci。 2'x-.设第 r+1 项的系数最大，则 C≥C82,即 3<<3.解得 ∵r∈N,∴r=7,∴展开式中的系数最大的项为 Tg=Cfo2?x-*=15 360x-*. 探究三 [例3] [解](1)证明：因为1110-1=(10+1)10-1 =(101?+C?×10?+⋯+Cjo×10+1)-1 =101?+C?×10?+C2?×10?+⋯+102 =100(10?+C?×10?+C??×10?+⋯+1). 9 故111?—1能被100 整除. (2)912=(100-9)2=C?×1002—C1×1001×9+ C2?×10090×92—⋯+C×92, 因为展开式中前92 项均能被100 整除，所以只需求最 后一项除以100的余数。 又92=(10-1)2=C?×102—Cl2×101+⋯+C× 102—Cf2×10+1. 前91项均能被100 整除，后两项和为一919,因余数为 正，可从前面的数中分离出1 000, 结果为1 000—919=81,故 912被 100 除所得的余数 为81. [跟踪训练] 3.证明 32m+2—8n-9 =(8+1)"+1—8n-9 =Cn+18“+1+C1+18”十⋯+C+1-8n-9 =C+18"+1+C1+18"+⋯+C+182+(n+1)×8+1-8n -9 =Ca+18"+1+C?8"十⋯+C+182. ① ①式中的每一项都含有 82这个因数，故原式能被 64 整除。 【随堂巩固促应用】 1.A a10-2Cl?a?+22Coa?—⋯+21?=(a-2)10,当a=2 一√2时，(a-2)1?=32. 2.ABD 根据二项式系数的性质进行判断，由二项式系数 的性质知：二项式系数之和为21°,故A正确；当 n为偶 数时，二项式系数最大的项是中间一项，故 B正确，C错 误；D也是正确的，因为展开式中第6项的系数是负数， 所以是系数中最小的. 3.B 由题意可得a=C?=70,又展开式的通项公式 T,+1 =C&2x”, ·2≥Gz-1,{6,设第 r+1项的系数最大，则 求得r=5或 r=6,此时，b=7×2,a=5,故选 B. 4.解析 当x=1时，可得M=1,二项式系数之和N=2", 由已知M·N=64,∴2”=64,n=6.∴第四项T?=C· (2√x)3·(-1)3=-160x. 答案 —160x 专题1 两个计数原理与排列组合问 题的七类典型解法 题型一 1.D 因为数学老师因故不能上第二节和第四节课，所以 先排数学老师的课，共有C?=2种排课方案，然后再排 剩下三位老师的课，共有 A=6种排课方案，由分步计 数乘法原理可得共有2×6=12 种排课方案. 2.解析 随机选派三名同学分别参加三项比赛，共有A3 =60种结果，其中甲不能参加演讲比赛可分两类，一类 是甲没有被选中有Ai种结果，一类是甲被选中有AlA 种结果，所以甲不能参加演讲比赛的结果数为 A3+ 48=号.A?A?=48,所以甲不能参加演讲比赛的概率为 5答案 题型二 3.解析 5艘战舰一字形编队，共有 A?=120 种编排方 法，其中 2 艘护卫舰相邻有C2A2A}A2=72 种编排方 120=号.法，所以3艘护卫舰中恰有2艘相邻的概率是 5答案 4.解析 将两个乐器节目排成一排，共有 A2种排法，将其 视为一个整体和两个舞蹈节目排成一排，共有 A3种排 法，再将两个唱歌节目插入所得排列的空隙中，有 A3种 排法，由分步乘法计数原理可得满足要求的排法共有 A2A3A?=144种排法. 答案 144 题型三 5.B 这2 个新节目插入节目单中，若2个新节目相邻，则 在原定3个节目已排成节目单产生的4个空位中，选1 个位置安排 2个新节目，且两个新节目顺序可变，此时 有C4A2=8种插法；若2 个新节目不相邻，则在原定3 个节目已排成节目单产生的4个空位中，选2个位置安 排2个新节目，且两个新节目顺序可变，此时有A2=12 种插法，所以共有8+12=20种插法。 6.解 第一步，原来6个路灯的中间空位和两端共有7个 空位，将其中一个路灯插入这些空位中，有A1 种方法； 第二步，7个路灯的中间空位和两端共有 8个空位，再 插入第二个路灯，有 A1种方法；第三步，8个路灯的中 间空位和两端共有 9个空位，将最后一个路灯插入，有 A}种方法。由分步乘法计数原理可得，共有A}A1A}= 504 种不同的安装方法。 题型四 7.A 8人分三组可分为 2人，2 人，4 人和 2人，3人，3 人，共两种情况.第一种情况分成 2 人，2人，4人：女生 B,C去同一处景点，当 B,C成2人组时，其他6人分成 2人，4人两组且男生甲与女生 A不同组，有C1A2=8 CAC+C{A2=36种种方法；当 B,C在4人组时，有 方法.第二种情况分成2人，3人，3人：当 B,C成2 人组 时，有C2=6种方法；当 B,C在3人组时，有C?C2十 C1CA2=44种方法.故这8名同学游玩行程的方法数 为(8+36+6+44)×A3=564. 8.解析 由题意知，必有 2 名男志愿者在同一组，所以完 成该事件可分为3步：第一步，从4名男志愿者中选2 人作为一组，有C2=6种方法；第二步，将另外2名男志 愿者和2名女志愿者搭配成2 组，有 A2=2 种方法；第 三步，将分好的3组志愿者分配到 3个体育项目中，有 A3=6种方法。综上所述，由分步计数原理得，共有 C2A2A3=6×2×6=72种方法. 答案 72 题型五 9.A 问题可转化为10个相同的小球放到三个不同的盒 子里，每个盒子不能空着，每个盒子中小球的数目就是 方程 x+y+z=10的一组解，由隔板法可知，共有C2种 不同的分法，即方程共有C2组不同的解. 10.解析 将6个名额排成一排，6个名额之间有5个空， 用3块隔板插入到这5个空中，每一种插空方法就是 一种名额分配方法，共有C=10种分配方法。 答案 10 10 第六章 计数原理 :(a2+1-2)=(a-1) =Cz3+Ca2(-1)+ca(-1)+Ca3· (-1)3+Ca2(一1)+ca(一1)+ ⋯⋯— c:(-1 =a?-6a?+15a2-20+5-6+ (2)方法一：(1+x)2·(1—x)?=(1-x2)2· (1-a)3=(1-2a2+a?)·(1-3z+3a2- x3), ∴x3的系数为1×(—1)+(—2)×(—3) =5. 方法二：∵(1+x)2的通项Tr+1=C?·x, (1-x)?的通项Tk+1=(一1)k·C?·x*, ∴(1+x)2·(1-x)?的通项为(一1)k· C?·Cs·xk+r(其中r∈{0,1,2},k∈{0,1, 2,3,4,5}), 令k+r=3, =2或=1 =3.或则有 故 x3的系数为一C片·C2+C·Cs-C3=5. 随堂巩固促应用 验证反馈 迁移运用 1.S=(x—1)?+4(x—1)3+6(x—1)2+4x— 3,则S= ( ) A.x? B.x?+1 C.(x—2)4 D.x?+4 2.(浙江月考)已知(1-2x)”的展开式中含x3 项的系数是一160,则 n为 ( ) A.5 B.6 C.7 D.8 3. (z2-2) 的展开式中，第4项的二项式系数 是 _,第4项的系数是 . 4.(x—y)(x+y)?的展开式中x2y?的系数为_ 提示请完成《素能提升训练》训练七 6.3.2 二项式系数的性质 [学习任务] 1.能记住二项式系数的性质，并能解决相关问题.(重点) 2.会用“赋值法”求展开式系数的和.(难点) 自主学习探新知 课前预习 双基落实 知识点 二项式系数的性质 性质 内容 C=C-,即二项展开式中，与首末两端 对称性 “等距离”的两个二项式系数相等 当二项式的幂指数 n是偶数时，中间的一 项C.取得最大值增减性 与 最大值 当n为奇数时，中间的两项C,与C。相 等，且同时取得最大值 续表 性质 内容 二项展开式中各二项式系数的和等于 2", 即C,+C+C2+⋯+C=2" 各二项式系 数的和 奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二 项式系数之和，都等于2”-1,即C!+C+C 十⋯=C2+C?+C+⋯=2”-1 25 ?高中数学·选择性必修 第三册 试一试 1.(河北邢台月考)在(1+x)?的展开式中，各 二项式系数的和是 ( ) A.2 B.8 C.16 D.32 2.在(x+y)”的展开式中，第4项与第8项的系 数相等，则展开式中系数最大的项是( ) A.第6项 B.第5项 C.第5,6项 D.第6,7 项 3.若(2—x)1?=a?+a?x+a?x2+⋯+a?ox10, 则a?= . 互动探究解疑难 探究一 二项展开式的系数和问题 [例1] 若(3x-1)?=a?x?+a?x?+⋯+a?x +a?,求： (1)a?+a?+⋯+a?; (2)a?+a?+a?+a?; (3)a?+a?+a?+a?; (4)|a?I+|a?I+|a?I十⋯+|a?|. 跟踪训练 1.若(x2-3x+2)?=a?+ax+a?x2+⋯十 a?ox1. (1)求a?+a?十⋯+a10的值； (2)求(a?+a?+a?+a?+ag+a?o)2—(a?+ a?+a?+a?+a?)2的值. 探究二 二项展开式中系数或二项式系 数最大的项的问题 [例 2] 已知(1+3x)”的展开式中，末三项的 二项式系数的和等于121,求： (1)展开式中二项式系数最大的项； (2)展开式中系数最大的项.(结果可以以组 合数形式表示) 规律方法|l------ “赋值法”是解决二项展开式中项的系数的常用方 法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值。一般地，要使 展开式中项的关系变为系数的关系，令x=0可得常数 项，令x=1可得所有项系数之和，令x=-1可得偶次 项系数之和与奇次项系数之和的差. 26 第六章 计数原理 变式训练 1.(变结论)在本例条件下，求系数最大的项与 系数最小的项. 探究三 用二项式定理证明整除问题 [例3] (1)用二项式定理证明11?-1 能被 100整除； (2)求912被100除所得的余数.-2.(变条件)在 的展开式中，只有第5 项的二项式系数最大，求展开式中常数项. 规方法||- (1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性 质，当 n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当 n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大. (2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大 项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般 采用列不等式组，解不等式组的方法求得. Ⅱ规律方法|l⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1.利用二项式定理处理整除问题，通常先把底数写成 除数(或与除数有密切关系的数)与某数的和或差的 形式，再利用二项式定理展开，只考虑后面(或前面) 一、二项就可以了. 2.解决求余数问题，必须构造一个与题目条件有关的 二项式. 3.要注意余数的范围.a=c·r+b,其中b为余数，b∈ (0,r),r是除数，利用二项式定理对展开式进行变形 后，若剩余部分是负数，则需要转换。 跟踪训练 3.求证：32n+2—8n-9(n∈N*)能被64 整除. 跟踪训练 2.(1)已知 f(x)=(√x2+3x2)”的展开式中， 各项的系数和比各项的二项式系数和大 992.求展开式中二项式系数最大的项. (√a+2)”(2)已知 的展开式中，只有第 6 项的二项式系数最大，求该展开式中系数最 大的项. 易错 二项展开式中的二项式系数与 警示 该项的系数混淆致错 [典例] (x+2)?展开式的第3项的二项式系 数为 . [错解] 展开式的通项Tk+1=C8·x?-k·2. 当k=2 时，得第 3 项的二项式系数为C× 22=112. 27 ?高中数学·选择性必修 第三册 [正解] 展开式的通项Tk+1=C8·x-k·2k. 当k=2 时，得第 3 项的二项式系数为 C2=28. [答案] 28 教材 与二项式定理有关的重要题型 拓展 与二项式定理有关的问题包括定理的正 向应用、逆向应用，题型如证明整除性、证明一 些简单的组合恒等式等，此时主要是构造二项 式，合理应用展开式. 1.形如(a+b)”(c+d)”的展开式问题 (1)若 n,m中一个比较小，可考虑把它展开， 如(a+b)2·(c+d)”=(a2+2ab+b2)(c十 d)”,然后展开分别求解。 (2)观察(a+b)”(c+d)”是否可以合并，如 (1+x)?(1-x)?=[(1+x)(1-x)]?(1— x)2=(1-x2)?(1—x)2. (3)分别得到(a+b)”,(c+d)”的通项公式， 综合考虑. 2.形如(a+b+c)”的展开式问题 三项或三项以上的式子的展开问题，应 根据式子的特点，转化为二项式来解决， 转化的方法通常为配方、因式分解、项与 项结合，项与项结合时要注意合理性和 简捷性. 3.求解整除或余数问题的基本步骤 (1)合理变形，常用的变形方法就是拆数，往 往是将底数写成两数的和，并且其中一个数 是除数的倍数. (2)用二项式定理展开，保证展开后的大部 分项是除数的倍数，进而可证明或判断被除 数能否被除数整除，若不能整除，则可求出 余数. 类型一 形如(a+b)”(c+d)”的展开式问题 [例1](1)(1-√x)?(1+√x)?的展开式中x 的系数是 ( ) A.—4 B.—3 D.4C.3 (2)已知(1+ax)(1+x)?的展开式中x2的 系数为5,则a= [解析](1)方法一：(1-√x)?的展开式的 通项为C6·(一√x)”=Cg(-1)”x2,(1+ √x)?的展开式的通项为C4(√x)”=C4x2, 其中m=0,1,2,⋯,6,n=0,1,2,3,4. 令2+2=1,得m+n=2,所以m=0,n=2 或 m=n=1或 m=2,n=0,于是(1-√x)? (1+√x)?的展开式中x的系数等于 C6· (一1)°·C2+Cg·(一1)1·C4+Cg·(-1)2 ·C4=-3. 方法二：(1-√x)?(1+√x)?=[(1-√x)(1 +√x)]?(1-√x)2=(1—x)?(1-2√x十 x),于是(1-√x)?(1+√x)?的展开式中x 的系数为C·1+C·(-1)1·1=-3. (2)(1+ax)(1+x)?=(1+x)?+ax(1+ x)5. ∴x2的系数为C2+aC1, 则10+5a=5,解得a=—1. [答案](1)B (2)-1 类型二 形如(a+b+c)”的展开式问题 (2+1+√2)[例2] 的展开式中的常数项 是 [解析] 方法一：原式=[(z+1)+√2], ∴展开式的通项为T+=c(+1)· (√2)i(k?=0,1,2,⋯,5). 当k?=5时，T?=(√2)?=4√2, (+1)-的展开式的通当0≤k?≤5时， 项为T+=C-?(晋)-(1)=C· ().F-(?=0,1,2,⋯,5-k). 令5—k?-2k?=0,即k?+2k?=5. 28 第六章 计数原理 k=2 k=3.或∵0≤k?<5且k?∈Z,∴ ∴常数项为4√2+C:c(1)2×√2+C?C?× ×(2?=4√2+1522+20√2=632. 方法二：原式= a2+2Za+2°=32a [(x+√2)2]?=32·(x+√2)°. 求原式的展开式中的常数项，转化为求(x十 √2)1°的展开式中含x?项的系数，即Co·(√2)5. C?22)°=6332∴所求的常数项为 6332[答案] 随堂巩固促应用 验证反馈 迁移运用 1.(河北保定期末)若实数 a=2—√2,则 a10— 2Cl?a?+22C2oa?—⋯+210等于() A.32 B.—32 C.1024 D.512 2.(多选)关于(a—b)10的说法，正确的是( ) A.展开式中的二项式系数之和为1 024 B.展开式中的第6项的二项式系数最大 C.展开式中第5项或第 7项的二项式系数 最大 D.展开式中第6项的系数最小 3.已知(1+2x)?展开式的二项式系数的最大值 bla的值是( )为a,系数的最大值为b,则 B.1-8A.号6 c.135 D.26 4.设(2√x-1)”的展开式的各项系数之和为M, 二项式系数之和为N,若M,8,N三数成等比 数列，则展开式中的第四项为 提示、请完成《素能提升训练》训练八 专题1 两个计数原理与排列组合问题的七类典型解法 题型一 特殊元素和特殊位置优先法 1.(太原五中校考)上午要上语文、数学、体育 和外语四门功课，而数学老师因故不能上第 二节和第四节，则不同排课方案的种数是 ( ) A.24 B.22 C.20 D.12 2.(宁夏银川高三教学质量检测)某校在“校园 艺术周”活动中，安排了同时进行的演讲、唱 歌、跳舞三项比赛，现准备从包括甲在内的 五名同学中随机选派三名同学分别参加三 项比赛，则甲不能参加演讲比赛的概率 为 . 题型二 相邻问题捆绑法和相离问题插空法 3.为维护国家海洋安全权益，我国海军的5艘 战舰出海执行任务，有 2艘是驱逐舰，3艘是 护卫舰，在一字形编队时，3艘护卫舰中恰有 2 艘相邻的概率是 4.新年音乐会安排了2个唱歌、2个乐器和 2 个舞蹈共6个节目，则2个唱歌节目不相邻 且两个乐 器 节 目相邻 的 节 目 单 共 有 种.(用数字表示) 定序问题倍缩法题型三 5.(江苏镇江高二校考)某班联欢会原定 3个 节目已排成节目单，开演前又增加了2个节 目，如果将这2个新节目插入节目单中，那 么不同的插法种数为 ( ) A.12 B.20 C.24 D.30 29