6.3.1 二项式定理-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步练测（人教A版2019）

?高中数学·选择性必修 第三册 6.3 二项式定理 AI伊学随手 在峡答证 起 至 补献 6.3.1 二项式定理 学习任务_ 1.能用计数原理证明二项式定理.(难点) 2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.(重点) 3.会用二项式定理解决有关的简单问题.(重点) 自主学习探新知 课前预习 双基落实 知识点 二项式定理及其相关概念 当n是正整数时，有 (a+b)”= Ca”十 Ca"-1b1十⋯十 二项式定理 Ca”-b*+⋯+Cb",n∈N*. 上述公式称为二项式定理 等式右边的式子称为(a+b)”的展开 (a+b)”的展开式 式，它共有n+1项 其中Ca”-b*是展开式中的第k+1项， 通项 叫做二项展开式的通项(通常用T+1 表示) C(k=0,1,⋯,n)称为第k+1项的二 二项式系数 项式系数 续表 我们将TA+1=C,a”b*称为二项展开 通项公式 式的通项公式.其中 n是正整数，k是 满足0≤k≤n的正整数 试一试 1.1-2C,+4C,-8C+⋯+(-2)”C"=( ) A.1 B.1 C.(一1)” D.3” (22-1)2.在( 的展开式中，第4项是 . (a+3)3.在 的展开式中，x的系数是 . 互动探究解疑难 探究一 二项式定理的展开式 3a+[例1] (1)求 的展开式. (2)化简：C(x+1)”—C(x+1)”-1+C2(x +1)”-2—⋯+(-1)*C(x+1)”-k十⋯十 (-1)”C”. 变式训练 1.(变条件，变设问)若(1+√3)?=a+b√3(a,b 为有理数),则 a+b= 2.(变设问)本例问题(1)条件不变，问题改为 “求展开式中的x的系数”,该如何求解?⋯ 第六章 计数原理 Ⅱ规律方法|Ⅱ- 运用二项式定理展开二项式，要记准展开式的通 项公式，对于较复杂的二项式，有时先化简再展开更简 捷；要搞清楚二项展开式中的项以及该项的系数与二 项式系数的区别.逆用二项式定理可将多项式化简，对 于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂 指数的规律以及各项的系数. 跟踪训练 跟踪训练 2x-(n∈N*)的展开式的第2项2.已知 与第3项的二项式系数之比是2:5. (1)求 n的值； (2)求展开式的常数项. x-21.(1)求 的展开式； (2)化简(x—1)?+5(x—1)?+10(x—1)3+ 10(x—1)2+5(x—1). 探究三 二项式系数与项的系数问题 (2√x-1)[例3](1)求二项式( 的展开式中 第6项的二项式系数及第6项的系数； (a-1)(2)求 的展开式中x3的系数. 探究二 二项展开式通项的应用 a-的展[例2](1)(浙江高二期中)在 开式中，常数项为 ( ) A.—192 B.—160 C.60 D.240 (2)(湖北武汉高二期末)(1+x)”的展开式 中x2的系数为15,则 n= ( ) A.7 B.6 C.5 D.4 Ⅱ规律方法|Ⅱ 利用二项式的通项公式求二项展开式中具有某种 特征的项是关于二项式定理的一类典型题型.常见的 有求二项展开式中的第k项、常数项、含某字母的r次 方的项等.其通常解法就是根据通项公式确定Ta+1中 k的值或取值范围以满足题设的条件. 变式训练 1.(变结论)本例问题(1)条件不变，问题改为 “求第4 项的二项式系数和第4项的系数”. 23 ?高中数学·选择性必修 第三册 2.(变结论)本例问题(2)条件不变，问题改为 “求展开式中x?的系数”,该如何求解. Ⅱ规律方法|Ⅱ--⋯ 求某项的二项式系数或展开式中含x的项的系 数，主要是利用通项公式求出相应的项，特别要注意某 项二项式系数与系数两者的区别. □跟踪训练 3.在二项式(1+2x)”的展开式中， (1)若展开式中第5项、第6项与第7项的二 项式系数成等差数列，求展开式中二项式系 数最大的项的系数；(最后结果用算式表达， 不用计算出数值) (2)若展开式前三项的二项式系数的和等于 79,求展开式中系数最大的项.(最后结果用 算式表达，不用计算出数值) 易错 (一)认为(a+b)”与(b+a)” 的展开式的第k项相同致错警示 [例1] 若(3x+x-1)”的展开式中，第5项是 常数，则中间项是第几项? [错解] 因为(√x+x-1)”=(x-1+3x)”, 所以T?+1=C·(a-1)0-4·(x)?=C·x?=. 1633n=0,解得若第 5 项是常数，则有 n=136. 由于 n∈N*,所以此题无解. [正 解] T?+1= C4(3x)"-4·(x-1)4 =C4·x, 若第 5项是常数， n-1?=0,解得n=16.则有 所以中间项为第 9项. 易错 (二)将(a+b)”的展开式的通项Tk+1 警示 =C,a”一k·b看成第k项致错 [例2] (x+2y)?展开式的第三项是 [错解] 展开式的第三项为C3·x2·(2y)3 =80x2y3. [正解] 展开式的第三项为C2·x3·(2y)2 =40x3y2. [答案] 40x3y2 易错 (三)(a—b)”的展开式中遗漏 b的负号致错警示 [例3](x—2y)?展开式的第四项是 [错解] 展开式的第四项为C3·x2·(2y)3 =80x2y3. [正解] 展开式的第四项为C·x2·(-2y)3 =—80x2y3. [答案] -80x2y3 教 材 几个二项式的和或积的展开式 拓展 中的特定项式特定系数的应用 (a2+1-2)的展开式.典例(1)求多项式 (2)求(1+x)2·(1—x)?的展开式中x3的 系数. [解](1)∵x2+1-2=a2-2+ =(a-1), 24 . 第六章 计数原理 :(a2+1-2)=(a-1) =Cz3+Ca2(-1)+ca(-1)+Ca3· (-1)3+Ca2(一1)+ca(一1)+ ⋯⋯— c:(-1 =a?-6a?+15a2-20+5-6+ (2)方法一：(1+x)2·(1—x)?=(1-x2)2· (1-a)3=(1-2a2+a?)·(1-3z+3a2- x3), ∴x3的系数为1×(—1)+(—2)×(—3) =5. 方法二：∵(1+x)2的通项Tr+1=C?·x, (1-x)?的通项Tk+1=(一1)k·C?·x*, ∴(1+x)2·(1-x)?的通项为(一1)k· C?·Cs·xk+r(其中r∈{0,1,2},k∈{0,1, 2,3,4,5}), 令k+r=3, =2或=1 =3.或则有 故 x3的系数为一C片·C2+C·Cs-C3=5. 随堂巩固促应用 验证反馈 迁移运用 1.S=(x—1)?+4(x—1)3+6(x—1)2+4x— 3,则S= ( ) A.x? B.x?+1 C.(x—2)4 D.x?+4 2.(浙江月考)已知(1-2x)”的展开式中含x3 项的系数是一160,则 n为 ( ) A.5 B.6 C.7 D.8 3. (z2-2) 的展开式中，第4项的二项式系数 是 _,第4项的系数是 . 4.(x—y)(x+y)?的展开式中x2y?的系数为_ 提示请完成《素能提升训练》训练七 6.3.2 二项式系数的性质 [学习任务] 1.能记住二项式系数的性质，并能解决相关问题.(重点) 2.会用“赋值法”求展开式系数的和.(难点) 自主学习探新知 课前预习 双基落实 知识点 二项式系数的性质 性质 内容 C=C-,即二项展开式中，与首末两端 对称性 “等距离”的两个二项式系数相等 当二项式的幂指数 n是偶数时，中间的一 项C.取得最大值增减性 与 最大值 当n为奇数时，中间的两项C,与C。相 等，且同时取得最大值 续表 性质 内容 二项展开式中各二项式系数的和等于 2", 即C,+C+C2+⋯+C=2" 各二项式系 数的和 奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二 项式系数之和，都等于2”-1,即C!+C+C 十⋯=C2+C?+C+⋯=2”-1 25 (4)至多有两名女生含有三类：有两名女生、只有一名女 生、没有女生。 故选法为C·C?+Cy·C8+C?=966(种). 探究二 [例2] [解](1)方法一：可作出三角形C3+Cl×C+ C×Cl=116(个). 方法二：可作三角形Ci?-C3=116(个). 其中以C?为顶点的三角形有C2+C×Cl+C2= 36(个). (2)可作出四边形C?+C×C+C3×C3=360(个). [跟踪训练] 2.解(1)(直接法)如图，含顶点A的四面体的3个面上， 除点 A外都有5个点，从中取出3个点必与点 A共面， 共有3C种取法；含顶点 A的三条棱上各有三个点，它 们与所对的棱的中点共面，共有 3种取法.根据分类加 法计数原理，与顶点 A共面的三点的取法有3C+3= 33(种). (2)(间接法)如图，从10个点中取 4 个点的取法有C种，除去4点共面的 取法种数可以得到结果.从四面体同 一个面上的6个点取出的4点必定共 B 面，有4C?=60(种),四面体的每一棱 上的3个点与相对棱中点共面，共有6 种取法；从6条棱的中点中取4个点 A E. G pl F D NM C 时有3种取法(对棱中点连线两两相交且互相平分),故4 点不共面的取法有C—(60+6+3)=141(种). 探究三 [例3] [解](1)分三步：先选一本有C种选法，再从余 下的5本中选两本有C种选法，最后余下的三本全选 有C3种选法.由分步乘法计数原理知，分配方式共有 C?·C2·C3=60(种). (2)由于甲、乙、丙是不同的三个人，在(1)问的基础上， 还应考虑再分配问题。因此，分配方式共有C1·C2· C3·A3=360(种). [变式训练] 1.解 先分三组，有CCC2种分法，但是这里面出现了重 复，不妨记六本书为A,B,C,D,E,F,若第一组取了 A, B,第二组取了C,D,第三组取了E,F,则该种方法记为 (AB,CD,EF),但 C C4C2种分法中还有(AB,EF, CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB),(EF,CD,AB), (EF,AB,CD),共 A3种情况，而这A3种情况只能作为 CAC=15(种).一种分法，故分配方式有 AC种分法，再分给3个人，2.解 先平均分成三组，有 cAC.A=90(种)。所以分配方式共有 [跟踪训练] 3.(1)A 由于球不相同，盒子不同，每个盒里至多放一个 球，所以取出5个盒子放不同的球，共有 A?种不同的 放法。 (2)B 由于球都相同，盒子不同，每个盒里至多放一个 球，所以只要选出5个不同的盒子即可.故共有C?种不 同的放法。 (3)D 由于每个盒里放球数量不限，所以第1个球有8 种放法，第 2个球有 8种放法，⋯⋯第 5个球也有8种 放法。故不同的放法共有8×8×8×8×8=8?(种). 探究四 [例4] [解] 分三类： 第1类，当取出的4张卡片分别标有数字1,2,3,4 时， 不同的排法有C?×C?×C2×C×A?种. 第 2 类，当取出的 4 张卡片分别标有数字1,1,4,4 时， 不同的排法有C2×C×A4种。 第3类，当取出的4张卡片分别标有数字 2,2,3,3 时， 不同的排法有C2×C2×A4种. 故满足题意的所有不同的排法种数共有C×C?×C× C1×A?+2C2×C2×A4=432(种). [跟踪训练] 4.解(1)将D,E两个球捆绑在一起和其他球进行全排 列，有 A2A?=48种不同的排法。 (2)先把A球排在中间位置，再从 A球的两侧各选一个 位置排 D,E 两个球，其余球任意排列，所以有CC A =16种不同的排法. (3)先把5个小球分成3组，再放入3个盒子中. CCC·A=60种不同的放法；若按3,1,1分配，则有 若按2,2,1分配，则有AC·A=90种不同的放法。 所以共有60+90=150种不同的放法。 【随堂巩固促应用】 1.C 分以下两种情况讨论： ①若甲只收集一种算法，则甲有 3种选择，将其余4 种 算法分为3组，再分配给乙、丙、丁三人，此时不同的收 集方案种数为3C2Ai=108;②若甲收集两种算法，则甲 可在运筹算、成数算和把头算3种算法中选择2 种，其 余3种算法分配给乙、丙、丁三人，此时不同的收集方案 种数为C2A3=18.综上所述，不同的收集方案种数为 108+18=126.故选 C. 2.B 选3人分两种情况：若选1女2 男，则有C?C2=12 种选法；若选2女1男，则有C2Cl=4种选法，根据分类 加法计数原理可得，共有12+4=16种选法。故选 B. 3.C 由题意知，小孔拿了最小的一个，爷爷、奶奶、姥爷、 姥姥4位老人之一拿最大的一个的拿法有C1=4(种), 其余人的拿法有 A?=120(种),则梨子的不同分法共有 4×120=480(种). 4.解析 根据题意，分2步进行：①将5位学生分为3组， AC若有两组各2人，另一组1人，则有 种分组方法；若 有两组各1人，另一组3人，则有C3种分组方法。故有 AC+c8=15+10=25种分组方法；②将分好的3组 安排给3位老师进行心理辅导，有 A3=6种情况.所以 共有 25×6=150种安排方法。 答案 150 6.3 二项式定理 6.3.1 二项式定理 【自主学习探新知】 试一试 1.C 逆用二项式定理，将1看成公式中的a,-2看成公 式中的b,可得原式=(1-2)"=(—1)". 2.解析 由通项公式可得T?=C(2x2)·(一)= Cg·(-1)3·23·x3,所以T?=-160x3. 答案 -160x3 3.解析 ∵T+=Cz?-()=2c,x?-,令5-3r=2, 得r=1,∴T?=2Cx2=10x2,∴x2的系数是10. 答案 10 7 【互动探究解疑难】 探究一 [例1][解](1)方法一：(3反+)=(3a)3+ C(3√a3·(1)+C(3√a)2·()+C(3√a)· ()+c(臣)=8la2+108z+54+2+ (3a+)=(t)=(1+3m)?=方法二：( ·[1+C'·3z+C:(3m)2+C(3a3+C(3z)']= (1+12x+54a2+108z3+81a?)=1+12+54+ 108x+81x2. (2)原式=C,(x+1)“+C,(x+1)“-1(-1)+C(x+1)“-2· (-1)2+⋯+C,(x+1)"一k(一1)*+⋯+C(一1)“= [(x+1)+(-1)]”=x”. [变式训练] 1.解析∵(1+√3)?=1+C1×(√3)1+C×(√3)2+C× (3)3+C?×(√3)?=1+4√3+18+12√3+9=28十 16√3,∴a=28,b=16,∴a+b=28+16=44. 答案44 2.解展开式的通项为 T+=C(3√z)-·() =3?-k·C4·x2- 令2-k=1,得k=1, 所以，x的系数为108. [跟踪训练] 1.解(1)方法一：(a-2后)=G()-C·(a3· +G(E)·()-c·(后)+ c(2)=a2-2z+3-2+16z 方法二：(x-2)=(2=) =16(2c-1 =16(16x2-32z3+24a2-8x+1) =a2-2z+3-+16z (2)原式=C(x—1)?+C(x—1)?+C(x—1)3+ C(x-1)2+C(x-1)+C-1=[(x-1)+1]?-1=x?-1. 探究二 [例2](1)D二项展开式的通项为T+1=Cx?-k· (-后)=C·(-2)·a2+*,k=0,1,2,3,4,5,6.令 6-3k=0,,解得k=4,所以展开式中的常数项为C· (一2)?=240.故选D. (2)B二项展开式的通项为T+1=Cc*(k=0,1,2,3,⋯, n),所以当k=2时，T?=Cx2.因为(1+x)”的展开式中x2 的系数为15,所以C2=15,解得n=6.故选B. [跟踪训练] 2.解(1)(2-) 的展开式的通项为T,+1=C(2x)“· (一)=(-1)2Cz.由展开式的第2项与第3 项的二项式系数之比是2:5,可得C:C=2:5,解 得n=6. 6-2r=0,解(2)由(1)知T,+1=(-1)r2?Cx?-T.令 得r=4,所以展开式的常数项为(-1)?×2?-?×C=60. 探究三 [例3][解](1)由已知得二项展开式的通项为T,+1= C(2√x)-·(-1)=2°'C·(-1)·a3-+,∴T? =-12·x-+. ∴第6项的二项式系数为C?=6,第6项的系数为Cg· (一1)?·2=-12. (2)设展开式中的第r+1项为含x3的项，则 T,+?=C?x2·(-1)=(-1)·C?x2-, 令9-2r=3,得r=3,即展开式中第四项含x,其系数 为(-1)3·C3=-84. [变式训练] 1.解 由通项T+1=(-1)·C?·2?-r·x3-+, 知第4项的二项式系数为C=20, 第4项的系数为C·(一1)3·23=-160. 2.解 设展开式中第r+1项为含x?的项，则T,+1= (-1)”·C,·x?-2r, 令9-2r=5,得r=2.即展开式中的第3项含x?,且系 数为C3=36. [跟踪训练] 3.解 展开式中第k+1项为Tk+1=C·(2x)*=2*Cx. (1)第5项、第6项与第7项的二项式系数C,C?,C成 等差数列，则2C?=C+C, 即2×5!(n-5)!=41(n-4)!+6!(n-6)!,即n2— 21n+98=0,解得n=14或n=7. 当n=7时，二项式系数最大项为T?,T?,此时系数为 23C,和2'C4;当n=14时，二项式系数最大项为Tg,此 时系数为2'C74 (2)前三项的二项式系数为C,C!,C2,其和为79,即 C+C,+C=79, 即1+n+n(n-1=79, 整理，得n2+n-156=0,解得n=12或n=—13(舍去). 2C??c)解得设展开式中第k+1项系数最大，即 3≤k≤3 因为0≤k≤12,且k∈N,所以k=8,即展开式中第9项 的系数最大，T?=2?Cj?x. 【随堂巩固促应用】 1.A S=(x—1)?+4(x—1)3+6(x—1)2+4(x—1)+1 =C?(x-1)?+C4(x-1)3+C(x-1)2+C(x-1)+C4 =[(x-1)+1]?=x?.故选A. 8 2.B (1-2x)”的展开式的通项为T,+1=C(-2x)”= (-2)Cx",r=0,1,2,⋯,n.令r=3,得(-2)3C=—160,解 得 n=6.故选B. 3.解析 T+=C;·(a2?-·(-)^=(-2)·c· x?-,当k=3时，T?=(-2)·c;·a3=-2w°,所 以第4项的二项式系数为C=84,系数为-2. -2答案 84 4.解析 依题意，(x+y)?的二项展开式的通项为T+1= Cgx?-y*,0≤k≤8,k∈N. 当k=7时，T?=Cgxy=8xy'; 当k=6时，T?=Cgx2y?=28x2y. 所以(x—y)(x+y)?的展开式中含 x2y?的项为 x·8xy2+(-y)·28x2y?=-20x2y,故 x2y的系数 为-20. 答案 —20 6.3.2 二项式系数的性质 【自主学习探新知】 试一试 1.D 在(1+x)?的展开式中，各二项式系数的和是2?= 32.故选D. 2.A 由题意，得第4项与第8项的系数相等，则其二项式 系数也相等， ∴C3=C,由组合数的性质，得n=10. ∴展开式中二项式系数最大的项为第6项，它也是系数 最大的项. 3.解析 由题意可知ag是x?的系数，所以ag=C?·22 =180. 答案 180 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] [解](1)令x=0,则a?=-1,令x=1,则a?+ ag+⋯+a?+a?=2?=128.① ∴a?+a?+⋯+a?=129. (2)令x=-1,则-a,+a?-a?+a?-a?+a?-a?+a?= (-4)?,② ①-②得a?+a?+a?+a,=2[128-(-4)2]=由 8 256. ①+②得a?+a?+a?+a?=2[128+(-4)2]=(3)由 -8 128. (4)方法一：∵(3x-1)?展开式中a?,a?,a?,a?均小于零， a?,a?,a?,a?均大于零， ∴|a?I+|a?I+|a?I+⋯+|a?|=a?+a?+a?+a,— (a?+a?+a?+ag)=8 256—(-8 128)=16 384. 方法二：|a?I+|a?I+|a?I+⋯+|a?I, 即为(1+3x)展开式中各项的系数和， ∴|a?I+|a?I+|a?I+⋯+|a?I=(1+3)?=4?= 16 384. [跟踪训练] 1.解(1)令f(x)=(x2—3x+2)?=a?+a?x+a?x2+ ⋯+a??x1,a?=f(0)=2?=32,a?+a?+a?+⋯十 a10=f(1)=0, 故a?+a?+⋯+a10=—32. (2)(a?+a?+a?+a?+a?+a10)2—(a?+a?+a?+a,+ a?)2=(a?+a?+a?+⋯+a??)(a?-a?+a?—⋯+a??)= f(1)·f(一1)=0. 探究二 [例2] [解](1)由已知得C"2+C-1+C=121, 则_n(n-1)+n+1=121, 即n2+n-240=0,解得 n=15或 n=-16(舍去),所以 展开式中二项式系数最大的项是T?=Cis(3x)?和T,= Ci?(3x). C3≤1,则(2)T,+1= C?s(3x),设 --<1,3a5+<,解得< Ct3+≥1,解得r≥11,所以展开式中系数12,同理，由 最大的项对应的 r=11,12,即展开式中系数最大的项是 T??=Ci}(3x)1和T??=Cl3(3x)12. [变式训练] 1.解 由本例(2)知，展开式中的第 6项和第 7 项系数的 绝对值最大，第 6项的系数为负，第 7项的系数为正。 故系数最大的项为T,=Cg·2?·x-11=1 792x-11. 系数最小的项为T?=(-1)C?·2?x-*=-1792x. 2.解 由题意知 n=8,通项为 T+1=(一1)·C· (2)·x+*, 令8-告k=0,得k=6,故常数项为第7项，且T?= (-1°·(1)·C=7. [跟踪训练] 2.解(1)令 x=1,可得各项系数和为f(1)=(1+3)#= 4”,展开式各项的二项式系数之和为2”.由已知得4”— 2"=992,即(2”)2-2“—992=0,解得2"=32 或 2"= -31(舍去),∴n=5,∴(√x2+3x2)?的展开式中二项 式系数最大的项为中间两项，它们分别是T?=C(x*) ·(3x2)2=90x?,T?=C(x*)2(3x2)3=270x*. (2)由题意可知2+1=6,,解得 n=10,故展开式的通项 为T,+1= Ci。 2'x-.设第 r+1 项的系数最大，则 C≥C82,即 3<<3.解得 ∵r∈N,∴r=7,∴展开式中的系数最大的项为 Tg=Cfo2?x-*=15 360x-*. 探究三 [例3] [解](1)证明：因为1110-1=(10+1)10-1 =(101?+C?×10?+⋯+Cjo×10+1)-1 =101?+C?×10?+C2?×10?+⋯+102 =100(10?+C?×10?+C??×10?+⋯+1). 9