6.2.3 组合 6.2.4 组合数-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步练测（人教A版2019）

探究二 [例2] [解](1)(捆绑法)将甲、乙两人“捆绑”为一个 元素，与其余5人全排列，共有 A 种排法.甲、乙两人可 交换位置，有 A2种排法。故共有 A?·A2=1 440 种 排法. (2)方法一(间接法):7人任意排列，有A7种排法.甲、 乙两人相邻有A2·Ag种排法，故共有 A7-A2·Ag= 3 600种排法。 方法二(插空法):将其余5人排列，有A?种排法.5人 之间及两端共有6个位置，任选2 个排甲、乙两人，有 A;种排法，故共有 A?·A}=3 600种排法。 (3)(捆绑法)将甲、乙、丙三人捆绑在一起与其余4人全 排列，有A?种排法，甲、乙、丙三人有 A3种排法，共有 A?·A3=720种排法. (4)(插空法)将其余4人排好，有 A4种排法.将甲、乙、 丙插入5个空中，有 A3种排法。故共有 A4·A3=1 440 种排法。 [跟踪训练] 2.(1)B 当乙、丙在甲的左侧时，不同的站法种数为 A2A ·A?=96;同理，当乙、丙在甲的右侧时，不同的站法种 数也为 96.所以不同的站法种数为 96×2=192.故 选B. (2)C 将“立春”和“春分”两块展板看成一个整体，与 “雨水”“谷雨”两块展板进行全排列，再将“清明”和“惊 蛰”两块展板插空，所以不同的放置方式种数为A2A3A =2×6×12=144.故选C. 探究三 [例3] [解](1)(间接法):0,1,2,3,4,5六个数字共能 形成 A;种不同的排法，当0在首位时不满足题意，故可 以组成 A6—A?=600个没有重复数字的六位数. (2)方法一(位置分析法):①从个位入手：个位数排奇 数，即从1,3,5中选1个有A1种方法，首位数在排除0 及个位数余下的4位数字中选1个有 A1种方法，余下 的数字可在其他位置全排列有 A?种方法，由分步乘法 计数原理知，共有 A1·A·A?=288个不同的六位 奇数。 ②从首位入手：对首位排奇数还是非 0 偶数分两类 进行。 第1类，首位排奇数，有A1种选择，再个位排奇数有 A 种方法，其余位置全排列有 AA.则共有 A1·A1·A?= 144种方法. 第2类，首位排非0 偶数，共有 A2·A3·A?=144 种 方法。 根据分类加法计数原理，共有144+144=288个不同的 六位奇数. 方法二(元素分析法):0不在两端有A1种排法，从1,3, 5中选1个排在个位，剩下的4个数字全排列。故共有 A1·A}·A?=288个不同的六位奇数. [变式训练] 1.解 符合要求的四位偶数可分为三类： 第1类，0在个位时，有A个；第2类，2在个位时，首位 上的数字从1,3,4,5中选定1个，有A1种选法，十位上 的数字和百位上的数字从余下的数字中选，有A2种，于 是有 A1·A4个；第3类，4在个位时，与第 2 类同理，也 有 A1·A2个.由分类加法计数原理可知，共有 A3+ 2A1·A4=156个无重复数字的四位偶数。 2.解 可分为两类：第1类，个位上为0的五位数有 A? 个；第2类，个位上为5的五位数有 A1·A3个，故共有 A?+A1·A3=216个无重复数字且为5的倍数的五 位数. [跟踪训练] 3.解(1)符合要求的四位偶数可分为两类。 第一类，0在个位时有 A3个； 第二类，2或4 在个位时，首位从1,3,4(或 2),5中选 (有A1种情况),十位和百位从余下的数字中选(有 A2 种情况),于是有2A1Ai个. 由分类加法计数原理知，共有四位偶数 A3+2A4A2= 156(个). (2)符合要求的数可分为两类：第一类：0在个位时有 A 个；第二类：5在个位时有 A4A2个.故满足条件的四位 数共有 Ag+A4A2=108(个). (3)符合要求的比1230大的四位数可分为四类： 第一类：形如 2□O口，3□O□,4□O□,5□0口，共 有A|A}个； 第二类：形如13□口，14□□,15□口，共有A'A2个； 第三类：形如124□,125□,共有A?A}个； 第四类：形如123□,共有 A2个. 由分类加法计数原理知，无重复数字且比1 230大的四 位数共有 A}A3+A1Ai+A?A?+A1=284(个). 【随堂巩固促应用】 1.C 根据题意，分两类，第一类：若第 2个坑和第 4个坑 种的树苗相同，则第 2个坑和第 4个坑有 2 种种法，第 3 个坑有2种种法，此时有 2×2=4种种法.第二类：若第 2个坑和第 4个坑种的树苗不同，则第 2 个坑和第 4个 坑有2×1=2种种法，第3个坑有1种种法，此时有2× 1×1=2种种法.共有4+2=6种不同的种法，故选C. 2.B 先将丙和丁捆在一起，有A2种排列方式，然后将其 与乙、戊排列，有 A}种排列方式，最后将甲插入中间两 空，有2种排列方式，所以不同的排列方式共有 A2A3× 2=24(种). 3.B 先从5人中选择1人两天均参加公益活动，有 5种 方式；再从余下的4人中选2人分别安排到星期六、星 期日，有A2种安排方式.所以不同的安排方式共有5· A?=60(种). 4.解析 根据题意，因为“good”四个字母中的两个“o”是 2A=12(种)。而正确的排相同的，则其不同的排列有- 列只有1种，则可能出现的错误共有11种. 答案 11 6.2.3 组合 6.2.4 组合数 第1课时 组合与组合数 【自主学习探新知】 知识点二 C C 1 试一试 1.B 因为减法与除法不满足交换律，取出的两个数与顺 序有关，所以 C,D中问题不是组合问题。因为加法与乘 法满足交换律，取出的两个数与顺序无关，但是由于 5 +11=3+13,11+19=13+17等，所以相加问题不是 组合问题，只有相乘问题是组合问题。故选 B. 5 2.C c=A=9×8×?=84. 3.解析 原式=(C+C&)+C=C?+C,=Cio=C?= 4×3××7=210. 答案 210 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] [解](1)单循环比赛要求两支球队之间只打一 场比赛，没有顺序，是组合问题。 (2)冠、亚军是有顺序的，是排列问题。 (3)3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题。 (4)3人参加某项相同活动，没有顺序，是组合问题。 [跟踪训练] 1.解(1)由于集合中的元素是无序的，一个含三个元素 的集合就是一个从0,1,2,3,4 中取出 3个数组成的集 合.这是一个组合问题。 (2)选正、副班长时要考虑顺序，所以是排列问题；选代 表参加会议是不用考虑顺序的，所以是组合问题。 探究二 [例2] [解](1)3C?C?=3×3×2×1-2×2×4 =148. (2)*{o<3≤21+n∴9.5≤n≤10.5. ∵n∈N*,∴n=10, ∴.C&-”+C+。=C+C=C+Cl=32×29+ 31=466. [跟踪训练] +1=号，c1=号c,即2.解 原方程可变形为 6m-1DGn-2)(05-30-4)(n-5=号.(-3)(m-4(-5, 化简整理，得 n2-3n-54=0.解此二次方程，得 n=9或 n=-6(不合题意，舍去),所以n=9为所求. 探究三 [例3] [解](1)从中任取5人是组合问题，共有C?= 792 种不同的选法。 (2)甲、乙、丙三人必须参加，则只需要从另外9人中选2 人，是组合问题，共有C=36种不同的选法。 (3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5 人，共有C?=126种不同的选法。 (4)甲、乙、丙三人中只能有1人参加，可分两步：先从 甲、乙、丙中选1人，有C1=3种选法；再从另外9人 中选4人，有 C,种选法，共有 CC4=378 种不同的 选法。 [跟踪训练] 3.解(1)分两步完成：第一步，选3名男运动员，有C种 选法；第二步，选2名女运动员，有C2种选法。由分步乘 法计数原理可得，共有C×C2=20×6=120种选法. (2)当有女队长时，其他人任意选，共有C!种选法；当不 选女队长时，必选男队长，共有C种选法，其中不含女 运动员的选法有C!种，所以不选女队长时的选法共有 (C-C4)种.所以既要有队长又要有女运动员的选法共 有C+C!-Cs=126+70-5=191(种). 【随堂巩固促应用】 1.A 从3名男生和2名女生中选出3人去参加一项创新 大赛，共有C=10种选法，其中选出的3人均为男生的 选法有C3=1种，所以选出的3人中既有男生又有女生 的不同选法种数为10-1=9.故选A. 2.A 若各位数字之和为偶数，则只能两奇一偶，故有 C3C2A3=36(个). 3.C 由题意知 解得x=4或x=6. 4.解析 因为C,A2=42, 所以”(n-1×2×1=42, 解得 n=7, 则3!(n-4)! =31×(1-4) =7×6×3××33×2×1 =140. 答案 140 第2课时 组合与组合数的应用 【自主学习探新知】 试一试 1.B 除甲、乙外，其余5个排列数为 A?种，再用甲、乙去 插6个空位有 A;种，不同的排法种数是 A?A8= 3 600(种),选B. 2.A 四盏熄灭的灯产生的 5个空中放入3盏亮灯，即不 同的开灯方案有C=10(种). 3.B 若只有丙去A 学校，则将甲、乙、丁分成两组，分配 到 B,C两所学校，共有C A2种安排方式；若丙和另一 名科学家去A学校，则从甲、乙、丁中选一位和丙去A 学校，剩下两人分别去 B,C两所学校，共有C1A2种安 排方式.根据分类加法计数原理可得，共有C A2+C1A =6+6=12种安排方式。故选 B. 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] [解](1)只需从其他18人中选3人即可，共有 Ci8=816(种). (2)只需从其他18人中选5人即可，共有C?=8 568(种). (3)分两类：甲、乙中只有一人参加，则有C·Cg种选 法；甲、乙两人都参加，则有Cig种选法。故共有C·Cg 十Cig=6 936(种). (4)方法一(直接法):男生和女生都至少有一名的选法 可分为四类：1男4女；2 男 3女；3 男2女；4 男1女. 所以共有C2·C?+C2·C3+Ci2·C+C4?·Cl= 14 656(种). 方法二(间接法):由总数中减去5名都是男生和5名都 是女生的选法种数，得C2?—(C?+Ci?)=14 656(种). [跟踪训练] 1.解 (1)一名女生、四名男生.故共有 C·C =350(种). (2)将两名队长作为一类，其他11人作为一类，故共有 C2·C?=165(种). (3)至少有一名队长含有两类：只有一名队长和两名 队长. 故共有C·Cd+C·C=825(种),或采用排除法有 Ci?-C?=825(种). 6 (4)至多有两名女生含有三类：有两名女生、只有一名女 生、没有女生。 故选法为C·C?+Cy·C8+C?=966(种). 探究二 [例2] [解](1)方法一：可作出三角形C3+Cl×C+ C×Cl=116(个). 方法二：可作三角形Ci?-C3=116(个). 其中以C?为顶点的三角形有C2+C×Cl+C2= 36(个). (2)可作出四边形C?+C×C+C3×C3=360(个). [跟踪训练] 2.解(1)(直接法)如图，含顶点A的四面体的3个面上， 除点 A外都有5个点，从中取出3个点必与点 A共面， 共有3C种取法；含顶点 A的三条棱上各有三个点，它 们与所对的棱的中点共面，共有 3种取法.根据分类加 法计数原理，与顶点 A共面的三点的取法有3C+3= 33(种). (2)(间接法)如图，从10个点中取 4 个点的取法有C种，除去4点共面的 取法种数可以得到结果.从四面体同 一个面上的6个点取出的4点必定共 B 面，有4C?=60(种),四面体的每一棱 上的3个点与相对棱中点共面，共有6 种取法；从6条棱的中点中取4个点 A E. G pl F D NM C 时有3种取法(对棱中点连线两两相交且互相平分),故4 点不共面的取法有C—(60+6+3)=141(种). 探究三 [例3] [解](1)分三步：先选一本有C种选法，再从余 下的5本中选两本有C种选法，最后余下的三本全选 有C3种选法.由分步乘法计数原理知，分配方式共有 C?·C2·C3=60(种). (2)由于甲、乙、丙是不同的三个人，在(1)问的基础上， 还应考虑再分配问题。因此，分配方式共有C1·C2· C3·A3=360(种). [变式训练] 1.解 先分三组，有CCC2种分法，但是这里面出现了重 复，不妨记六本书为A,B,C,D,E,F,若第一组取了 A, B,第二组取了C,D,第三组取了E,F,则该种方法记为 (AB,CD,EF),但 C C4C2种分法中还有(AB,EF, CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB),(EF,CD,AB), (EF,AB,CD),共 A3种情况，而这A3种情况只能作为 CAC=15(种).一种分法，故分配方式有 AC种分法，再分给3个人，2.解 先平均分成三组，有 cAC.A=90(种)。所以分配方式共有 [跟踪训练] 3.(1)A 由于球不相同，盒子不同，每个盒里至多放一个 球，所以取出5个盒子放不同的球，共有 A?种不同的 放法。 (2)B 由于球都相同，盒子不同，每个盒里至多放一个 球，所以只要选出5个不同的盒子即可.故共有C?种不 同的放法。 (3)D 由于每个盒里放球数量不限，所以第1个球有8 种放法，第 2个球有 8种放法，⋯⋯第 5个球也有8种 放法。故不同的放法共有8×8×8×8×8=8?(种). 探究四 [例4] [解] 分三类： 第1类，当取出的4张卡片分别标有数字1,2,3,4 时， 不同的排法有C?×C?×C2×C×A?种. 第 2 类，当取出的 4 张卡片分别标有数字1,1,4,4 时， 不同的排法有C2×C×A4种。 第3类，当取出的4张卡片分别标有数字 2,2,3,3 时， 不同的排法有C2×C2×A4种. 故满足题意的所有不同的排法种数共有C×C?×C× C1×A?+2C2×C2×A4=432(种). [跟踪训练] 4.解(1)将D,E两个球捆绑在一起和其他球进行全排 列，有 A2A?=48种不同的排法。 (2)先把A球排在中间位置，再从 A球的两侧各选一个 位置排 D,E 两个球，其余球任意排列，所以有CC A =16种不同的排法. (3)先把5个小球分成3组，再放入3个盒子中. CCC·A=60种不同的放法；若按3,1,1分配，则有 若按2,2,1分配，则有AC·A=90种不同的放法。 所以共有60+90=150种不同的放法。 【随堂巩固促应用】 1.C 分以下两种情况讨论： ①若甲只收集一种算法，则甲有 3种选择，将其余4 种 算法分为3组，再分配给乙、丙、丁三人，此时不同的收 集方案种数为3C2Ai=108;②若甲收集两种算法，则甲 可在运筹算、成数算和把头算3种算法中选择2 种，其 余3种算法分配给乙、丙、丁三人，此时不同的收集方案 种数为C2A3=18.综上所述，不同的收集方案种数为 108+18=126.故选 C. 2.B 选3人分两种情况：若选1女2 男，则有C?C2=12 种选法；若选2女1男，则有C2Cl=4种选法，根据分类 加法计数原理可得，共有12+4=16种选法。故选 B. 3.C 由题意知，小孔拿了最小的一个，爷爷、奶奶、姥爷、 姥姥4位老人之一拿最大的一个的拿法有C1=4(种), 其余人的拿法有 A?=120(种),则梨子的不同分法共有 4×120=480(种). 4.解析 根据题意，分2步进行：①将5位学生分为3组， AC若有两组各2人，另一组1人，则有 种分组方法；若 有两组各1人，另一组3人，则有C3种分组方法。故有 AC+c8=15+10=25种分组方法；②将分好的3组 安排给3位老师进行心理辅导，有 A3=6种情况.所以 共有 25×6=150种安排方法。 答案 150 6.3 二项式定理 6.3.1 二项式定理 【自主学习探新知】 试一试 1.C 逆用二项式定理，将1看成公式中的a,-2看成公 式中的b,可得原式=(1-2)"=(—1)". 2.解析 由通项公式可得T?=C(2x2)·(一)= Cg·(-1)3·23·x3,所以T?=-160x3. 答案 -160x3 3.解析 ∵T+=Cz?-()=2c,x?-,令5-3r=2, 得r=1,∴T?=2Cx2=10x2,∴x2的系数是10. 答案 10 7 ?高中数学·选择性必修 第三册 2.(新高考全国Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁、戊5名同学 站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和 丁相邻，则不同的排列方式共有 ( ) A.12 种 B.24种 C.36种 D.48种 3.(全国甲卷)现有 5名志愿者报名参加公益 活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每 天从这5人中安排 2人参加公益活动，则恰 有1人在这两天都参加的不同安排方式共 有 ( ) B.60种A.120 种 C.30种 D.20种 4.若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可 能出现的错误共有 种.(用数字作答) 提示、请完成《素能提升训练》训练四 6.2.3 组合 6.2.4 组合数 第1课时 组合与组合数 [学习任务] 1.理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系.(重点) 2.理解排列数与组合数之间的联系，掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算.(重点) 3.会解决一些简单的组合问题.(难点) 自主学习探新知 课前预习 双基落实 知识点一 组合的定义 1.组合：从 n个不同元素中取出m(m≤n)个元 素作为一组，叫做从 n个不同元素中取出m 个元素的一个组合. 2.组合与排列的区别：组合无序，排列有序. 知识点二 组合数与组合数公式 组合数及组合数公式： 从 n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 组合 数 定义 的所有不同组合的个数，叫做从 n个不 及表示 同元素中取出m个元素的组合数，用符 号C表示 乘积 c=n(n-D(n-2)(n-m+1)形式组合数 公式 阶乘 形式 C=m!(n-m)! C"=_ 性质 Ca+1=_ +Cm- 备注 规定 C°=___ 试一试 1.从 2,3,5,7,11,13,17,19这8个数中任取 2 个，则下列问题属于组合问题的是 ( ) A.相加可以得到多少个不同的和 B.相乘可以得到多少个不同的积 C.相减可以得到多少个不同的差 D.相除可以得到多少个不同的商 2.从9名学生中选出 3名参加“希望英语”口 语比赛，不同选法有 ( ) A.504种 B.729 种 C.84种 D.27种 3.计算：C3+C4+C?+C?= . 14 第六章 计数原理 互动探究解疑难 要点归纳 重难突破 探究一 组合的概念 [例1] 判断下列问题是排列问题还是组合问题. (1)a,b,c,d四支足球队之间进行单循环比 赛，共需比赛多少场? (2)a,b,c,d四支足球队争夺冠、亚军，有多 少种不同的结果? (3)从全班 40人中选出 3人分别担任班长、 副班长、学习委员三个职务，有多少种不同 的选法? (4)从全班40人中选出 3人参加某项活动， 有多少种不同的选法? 探究二 组合数公式及应用 [例2] 求值：(1)3C3-2C2; (2)C38-”+C21+n· 规律方法|Ⅱ--- 根据排列与组合的定义进行判断，区分排列与组合 问题，先确定完成的是什么事件，然后看问题是否与顺序 有关，与顺序有关的是排列，与顺序无关的是组合. -规律方法[------------------------------- (1)解题过程中应避免忽略根的检验而产生增根 的错误，注意不要忽略n∈N*. (2)与排列组合有关的方程或不等式问题要用到 排列数、组合数公式，以及组合数的性质.求解时，要注 意由C中的m∈N*,n∈N*,且n≥m确定m,n的范 围，因此求解后要验证所得结果是否适合题意. 跟踪训练 跟踪训练 1.判断下列问题是排列问题还是组合问题. (1)集合{0,1,2,3,4}中含三个元素的子集 的个数是多少? (2)某小组有9位同学，从中选出正、副班长各 一名，有多少种不同的选法?若从中选出2 名 代表参加一个会议，有多少种不同的选法? C+C==号中n的值2.求等式- 探究三 简单的组合问题 [例3] 在一次数学竞赛中，某学校有12人 通过了初试，学校要从中选出 5人参加市 级培训.在下列条件下，有多少种不同的 选法? 15 ?高中数学·选择性必修 第三册 (1)任意选5人； (2)甲、乙、丙三人必须参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加； (4)甲、乙、丙三人中只能有1人参加. |规律方法|-- 解答简单的组合问题的方法 (1)弄清要做的这件事是什么事； (2)选出的元素是否与顺序有关，也就是看看是不 是组合问题； (3)结合两计数原理利用组合数公式求出结果。 跟踪训练 3.男运动员6名，女运动员 4名，其中男、女队 长各1名.现选派 5人外出参加比赛，在下 列情形中各有多少种选派方法? (1)男运动员3名，女运动员2名； (2)既要有队长，又要有女运动员. 易错 曲解题意、重复计数致错 警示 [典例] 有编号分别为1,2,3,4 的 4 个盒 子和 4个不同的小球，把小球全部放入 盒内. (1)共有多少种放法? (2)恰有1个盒子不放球，有多少种放法? [错解] (1)由已知，相当于对4个盒子全 排列，故有A?=24种放法. (2)从4个小球中任取 3个，有C4种取法， 从4个盒子中任取 3个，有C4种取法，将 3 个小球放到取出的 3个盒子中，有 A?种放 法，再将余下的1个小球放到3个盒子中的 1个，有3 种放法，所以放法有C4C4A3·3= 288(种). [错因分析] (1)没有理解题意，这里的任 务是把小球全部放入盒内即可，并没有要求 每盒中放1个小球. (2)属于重复计数问题.若取出的 3个小球 为1号、2号、3号，则 4号小球放入盒中时， 其中一种方式为2,3,(1,4);若取出的3个 小球为 2 号、3号、4 号，则 1号小球放入盒 中时，其中也有一种方式为2,3,(1,4),故出 现重复计算. [正解] (1)一个球一个球地放到盒子里 去，每个球都有4 种独立的放法，由分步乘 法计数原理知，放法共有4?=256(种). (2)由题设，必有1个盒子中放入2个小球， 从4个小球中取2个，有C2种取法，此时把 它看作1个小球，与另2个小球共 3个小球 放入4 个盒子中的3个盒子内，有 A3种放 法，所以有C2A4=144 种放法. 16 第六章 计数原理 随堂巩固促应用 验证反馈 迁移运用 1.从3名男生和2名女生中选出3人去参加一 项创新大赛，则选出的3人中既有男生又有 女生的不同选法种数为 ( ) A.9 B.10 C.18 D.20 2.在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的 三位数中，各位数字之和为偶数的共有 ( ) A.36个 B.24个 C.18个 D.6个 3.方程C1?=C244的解集为 ( ) A.{4} B.{14} C.{4,6} D.{14,2} 3!(n-4)!的值为4.若C,A2=42,则 提示、请完成《素能提升训练》训练五 第 2 课时 组合与组合数的应用 [学习任务] 1.能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题.(重点) 2.能解决有限制条件的组合问题.(重点，难点) 自主学习探新知 课前预习 双基落实 试一试 1.七人并排站成一行，如果甲、乙两人必须不 相邻，那么不同的排法种数是 ( ) A.1 440种 B.3 600种 D.4 800种C.4 820 种 2.编号为1,2,3,4,5,6,7 的七盏路灯，晚上用 时只亮三盏灯，若任意两盏亮灯不相邻，则 不同的开灯方案有 ( ) A.10种 B.12 种 C.15种 D.18种 3.(福建三明高二期末)某航天科研所安排甲、 乙、丙、丁4位科学家应邀到 A,B,C三所学 校开展科普讲座活动，要求每所学校至少安 排1名科学家，且丙必须去A学校，则不同 的安排方式共有 ( ) A.6种 B.12 种 C.24种 D.30种 互动探究解疑难 要点归纳 重难突破 探究一 有限制条件的组合问题 [例1] 某医科大学的学生中，有男生12 名、 女生8名在某市人民医院实习，现从中选派 5名参加青年志愿者医疗队. (1)某男生甲与某女生乙必须参加，共有多 少种不同的选法? (2)甲、乙均不能参加，有多少种选法? (3)甲、乙二人至少有一人参加，有多少种 选法? (4)医疗队中男生和女生都至少有一名，有 多少种选法? 17 ?高中数学·选择性必修 第三册 规律方法|Ⅱ- 有限制条件的组合问题分类及解题策略 有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类： (1)“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法， 即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分 步计数； (2)“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思 路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是 间接法，注意找准对立面，确保不重不漏. (2)以图中的12个点(包括 A,B)中的4个 为顶点，可作出多少个四边形? 跟踪训练 1.课外活动小组共13人，其中男生 8人、女生 5人，并且男、女生各指定一名队长.现从中 选5人主持某项活动，依下列条件各有多少 种选法? (1)只有一名女生当选； (2)两名队长当选； (3)至少有一名队长当选； (4)至多有两名女生当选. IⅡ规律方法Ⅱ 解答几何组合问题的策略 (1)几何组合问题，主要考查组合的知识和空间想 象能力，题目多以立体几何中的点、线、面的位置关系 为背景的排列、组合，这类问题情境新颖，多个知识点 交汇在一起，综合性强。 (2)解答几何组合问题的思考方法与一般的组合 问题基本一样，只要把图形的限制条件视为组合问题 的限制条件即可. (3)计算时可用直接法，也可用间接法，要注意在 限制条件较多的情况下，需要分类计算符合题意的组 合数。 跟踪训练 探究二 几何中的组合问题 [例2] 如图，在以 AB为直径的半圆周上，有异 于A,B的六个点C,C?,⋯,C?,线段 AB上有 异于A,B的四个点D?,D?,D?,D?. C C C? C? C? C? 2.(1)四面体的一个顶点为A,从其他顶点和 各棱中点中取 3个点，使它们和点 A在同一 平面上，有多少种不同的取法? (2)四面体的顶点和各棱中点共10个点，在 其中取 4个不共面的点，有多少种不同的 取法? A).).).)B (1)以这10个点中的3个点为顶点可作多 少个三角形?其中含C?点的有多少个? 18 第六章 计数原理 探究三 组合中的分组、分配问题 [例3] 有6本不同的书，按下列分配方式分 配，则共有多少种不同的分配方式? (1)分成三组，每组分别有1本、2本、3本； (2)分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一 个人2本，一个人3本. 变式训练 -II规律方法|Ⅱ 1.分组、分配问题的求解策略 (1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有 三种。 ①完全均匀分组，每组的元素个数均相等； ②部分均匀分组，应注意不要重复，若有 n组均匀， 最后必须除以 n!; ③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象. (2)分配问题属于“排列”问题. 分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再 分配。 2.相同元素分配问题的建模思想 (1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放 置，但可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干 隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”.每一种插入隔板 的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之 为隔板法，隔板法专门解决相同元素的分配问题。 (2)将 n个相同的元素分给m个不同的元素(n≥m) 有C二种方法，可描述为 n-1个空中插入 m-1 块板. 1.(变条件)例3的条件不变，6本不同的书分 成三组，每组都是 2 本，有多少种不同的 分法? 2.(变结论)例3的条件不变，6本不同的书分 给甲、乙、丙三人，每人2 本，有多少种不同 的分法? 跟踪训练 3.(1)5个不同的球，放入8个不同的盒子中， 每个盒里至多放一个球，则不同的放法有 ( ) A.A?种 B.C?种 D.8?种C.5?种 (2)5个相同的球，放入8个不同的盒子中， 每个盒里至多放一个球，则不同的放法有 ( ) A. A8种 B.C8种 C.5?种 D.85种 (3)5个不同的球，放入8个不同的盒子中， 每个盒里放球数量不限，则不同的放法有 ( ) A.A8种 B.C5种 C.58种 D.8?种 探究四 排列与组合的综合应用 [例4] 有4 张分别标有数字1,2,3,4的红色 卡片和 4 张分别标有数字1,2,3,4 的蓝色 卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一 19 ?高中数学·选择性必修 第三册 行.若取出的4张卡片所标的数字之和等于 10,则不同的排法共有多少种? Ⅱ规律方法|Ⅱ- 1.解排列、组合综合问题的一般思路是“先选后排”,也 就是先把符合题意的元素都选出来，再对元素或位 置进行排列. 2.解排列、组合综合问题时要注意的两点： (1)元素是否有序是区分排列与组合的基本方 法，无序的问题是组合问题，有序的问题是排列 问题。 (2)对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每 个限制条件，然后再考虑是分类还是分步，这是处理 排列、组合综合问题的一般方法. 跟踪训练 4.现有编号为A,B,C的 3个不同的红球和编 号为D,E的2个不同的白球. (1)若将这些球排成一排，且要求 D,E两个 球相邻，则有多少种不同的排法? (2)若将这些球排成一排，且要求 A球排在 中间，D,E 两个球不相邻，则有多少种不同 的排法? (3)若将这些球放入甲、乙、丙三个不同的盒 子中，每个盒子至少放一个球，则有多少种 不同的放法? 易错 混淆排列与组合导致计数 警示 出错 [典例] 有甲、乙、丙三项任务，甲需 2 人承 担，乙、丙各需1人承担，从10人中选出 4 人承担这三项任务，不同的选法种数是 ( ) A.1 260 B.2 025 C.2 520 D.5 040 [解析] 先从10人中选出 2 人承担甲任 务；再从余下8人中选出2 人分别承担乙任 务、丙任务.根据分步乘法计数原理，不同的 选法共有C2?C!C1=2 520(种). [答案] C -|误区警示|l--- 在计数问题中，首先要分清楚是排列问题还 是组合问题，即看取出的元素是“合成一组”还是 “排成一列”,不能将二者混淆，若将排列问题误认 为是组合问题，会导致遗漏计数，反之，会导致重 复计数.排列问题还要找出排序的依据，看每一种 情况是否都考虑进去了.本题中，承担甲任务的两 人与顺序无关，此处应是组合问题，当然，本题也 可列式为C?A3. 教 材 用隔板法解相同元素的分配 拓展 问题 [问题探究] 1.把 8个相同的篮球分发给甲、乙、丙、丁 4 人，共有多少种不同的分法? 2.将10个志愿者名额分配给4个学校，要求 每校至少有一个名额，则不同的名额分配方 法共有多少种? 3.从4个班中选出7 位同学组成体育啦啦队， 每班至少1位同学，则不同的名额分配方案 共有多少种? 上述三个问题可归结为以下两个问题. 1.把 n个相同的小球放入m个不同的盒子中 (n≥m≥1),要求每个盒子非空，有多少种不 同放法? 20 第六章 计数原理 提示：先将 n个小球排成一列，然后在它们 之间形成的(n—1)个空(不含两端的)中插 入(m—1)块隔板，便将 n个小球分割成 m 组，每组至少有1个小球，这 m组小球依次 放入m个不同的盒子，(m—1)块隔板的一 块插法就对应了 n个相同小球投入m个不 同盒子的一种方法，故不同的放法 共有 Cm-1种. 2.将 n个相同的小球放到m(n≥m)个不同的 盒子中，可以有空盒的不同放法有多少种? 提示：方法一：将m个盒子排成一排(并在一 起的两盒子的壁视为一块隔板),除去两端 的盒子的外壁，共有(m—1)块隔板；再把 n 个相同的小球放到m(n≥m)个不同的盒子 中，不同的放法对应着 n个球和(m—1)块隔 板的不同排法，于是问题转化为从(n+m—1) 个位置中选出 n个位置放球，共有不同放法 Cn+m-1=Cn+m-1种. 方法二：“将 n个相同的小球放到 m(n≥ m)个不同的盒子中，允许有空盒子”的放 法种数等于“将 n+m个相同的小球放到 m(n≥m)个不同的盒子中，每个盒子至少 有1个球”的放法种数，可知共Cm+m-1种 不同放法. 解题策略[[----------------------- 相同元素的分配问题的解法 相同元素的分配问题用“隔板法”,“隔板法”的解 题步骤： (1)定个数：确定名额的个数、分成的组数以及各组名 额的数量； (2)定空位：将元素排成一列，确定可插隔板的空位数； (3)插隔板：确定需要的隔板个数，根据组数要求，插入 隔板，利用组合数求解不同的分法种数. [典例] 将6个相同的小球放入编号为1,2, 3,4的盒子，求下列放法的种数. (1)每个盒子都不空； (2)恰有1个盒子空； (3)恰有 2个盒子空. [解] (1)需将6个小球分为4组，然后每 个盒子放入1组，可用3块隔板放在6个小 球之间的5个空隙中的任意3处，每种放法 对应着一种分法，故共有C3=10(种). (2)恰有1个盒子空，需将6个小球分为3组， 然后放入其中的3个盒子中，每个盒子放1组. 这时可用2块隔板放在6个小球之间的5个空 隙中的任意2处，故共有Cs×C?=40(种). (3)恰有 2 个盒子空，需将6个小球分为 2 组，然后放入其中的 2 个盒子中，每个盒子 放1组，这时可用1块隔板放在 5个空隙中 的任意1处，故共有C5×C4=30(种). 随堂巩固促应用 验证反馈 迁移运用 1.《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是 汉末徐岳所著.该书记述了我国古代14 种算 法，分别是：积算(即筹算)、太乙算、两仪算、 三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了 知算、成数算、把头算、龟算、珠算和计数.某 中学研究性学习小组有甲、乙、丙、丁四人，该 小组拟收集九宫算、运筹算、了知算、成数算 和把头算 5种算法的相关资料，要求每人至 少收集其中一种，且每种算法只由一个人收 集，但甲不收集九宫算和了知算的资料，则不 同的分工收集方案种数为 ( ) A.108 B.136 C.126D.240 2.从2位女生，4位男生中选3人参加比赛，且至 少有1位女生入选，则不同的选法共有( ) A.12 种 B.16种 C.20种 D.24种 3.小孔家有爷爷、奶奶、姥爷、姥姥、爸爸、妈 妈，包括他共7人，一天爸爸从果园里摘了 7 个大小不同的梨，给家里每人一个，小孔拿 了最小的一个，爷爷、奶奶、姥爷、姥姥 4位 老人之一拿最大的一个，则梨子的不同分法 共有 ( ) A.96 种 B.120种 C.480种 D.720 种 4.(四川南充高三期中)随着高三学习时间的 增加，很多高三同学心理压力较大.通过心 理问卷调查发现，某校高三年级有 5位学生 心理问题凸显，需要心理老师干预.已知该 校高三年级有3位心理老师，每位心理老师 至少安排1位学生，至多安排 3位学生，则 共有 种心理辅导安排方法. 提示、请完成《素能提升训练》训练六 21