6.2.1 排列 6.2.2 排列数-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步练测（人教A版2019）

方案；两个国家药品，三个国家粮食，有3种援助方案； 一个国家粮食和药品，另两个国家各一种，有 3×(2+ 2)=12 种援助方案.故不同的援助方案共有25种. 答案 25 探究三 [例3](1)B 按区域分四步：第一步 A区域有5种颜色 可选；第二步 B区域有4种颜色可选；第三步C区域有 3种颜色可选；第四步由于可重复使用区域 A中已有过 的颜色，故 D区域也有3种颜色可选用.由分步乘法计 数原理，共有5×4×3×3=180种涂法。 (2)[解析] 分别用 a,b,c代表3种作物，先安排第一 块田，有3种方法，不妨设放入a,再安排第二块田，有两 种方法b或c,不妨设放入 b,第三块也有2种方法a 或c. (1)若第三块田放c: ba c 第四、五块田分别有2 种方法，共有2×2=4种方法. (2)若第三块田放a: a b a 第四块有b或c两种方法， ①若第四块放c: a b a C 第五块有2种方法； ②若第四块放b: ba a b 第五块只能种作物c,共1种方法。 综上，共有3×2×(2×2+2+1)=42 种方法。 [答案] 42 [跟踪训练] 3.解“同”“步”“练”“测”四个区域依次涂色，分四步. 第1步，涂“同”区域，有3种选择； 第2步，涂“步”区域，有2种选择； 第 3步，涂“练”区域，由于它与“同”“步”区域颜色不同， 有1种选择； 第4步，涂“测”区域，由于它与“同”“练”区域颜色不同， 有1种选择. 所以根据分步乘法计数原理，得不同的涂色方法共有 3×2×1×1=6(种). 【随堂巩固促应用】 1.D 分三类：第1类组成一位整数，偶数有1个；第 2 类 组成两位整数，其中偶数有2个；第 3类组成3位整数， 其中偶数有 2 个.由分类加法计数原理知共有偶数 5个. 2.解析 分两类：①甲、乙、丙、丁都不到自己的地区，组长 可任选一地有(3×3×1×1)×4=36(种);②甲、乙、丙、 丁中只一人到自己的地区，并有组长陪同有(2×1×1) ×4=8(种),所以不同的安排方法共有36+8=44(种). 答案 44 3.解析 要完成的是“4名同学每人从三个项目中选一项 报名”这件事，因为每人必报一项，4 名同学都报完才算 完成，于是按人分步，且分为四步.又每人可在三项中选 一项，选法为3种，所以共有3×3×3×3=3?=81种报 名方法.要完成的是“三个项目冠军的获取”这件事，因 为每项冠军只能由一人获得，三项冠军都有得主，这件 事才算完成，于是应以“确定三项冠军得主”为线索进行 分步，而每项冠军是4人中的某一人，有4种可能的情 况，于是共有4×4×4=43=64种可能的结果. 答案 81 64 4.解析 如图所示，将 4个小方格依次编号为 1,2,3, 4,第1个小方格可以从 5种颜色中任取一种颜色 涂上，有 5种不同的涂法，第 2 个、第 3个小方格涂 色可分两类： 1 2 3 4 第1类，当第 2个、第3个小方格涂不同颜色时，有4×3 =12 种不同的涂法，第 4个小方格有3种不同的涂法， 由分步乘法计数原理可知有 5×12×3=180种不同的 涂法； 第 2 类，当第 2个、第3个小方格涂相同颜色时，有4种 涂法，由于相邻两格不同色，因此，第 4个小方格也有4 种不同的涂法，由分步乘法计数原理可知有5×4×4= 80种不同的涂法. 由分类加法计数原理可得共有180+80=260种不同的 涂法。 答案 260 6.2 排列与组合 6.2.1 排列 6.2.2 排列数 第1课时 排列与排列数 【自主学习探新知】 知识点二 n! 试一试 1.C 共有A3=120种不同的选派方案，故选C. 2.C A?00×99X⋯×(100-12+1)=100×99×⋯ ×89. 3.解析 从原来4个节目形成的5个空中选2个空排列， 共有 A3=20种添加方法. 答案 20 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] [解](1)中票价只有三种，虽然机票是不同的， 但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题。 (2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列 问题。 (3),(4)不存在顺序问题，不属于排列问题。 (5)中每个人的职务不同，例如甲当班长与当学习委员 是不同的，存在顺序问题，属于排列问题。 (6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺 序问题，属于排列问题。 所以在上述各题中(2),(5),(6)属于排列问题。 [跟踪训练] 1.AD 对于 A,从6人中选2人分别去游泳和跳绳，选出 3 的2人有分工的不同，是排列问题；对于 B,从10人中 选2人去游泳，与顺序无关，不是排列问题；对于C,从 班上30名男生中选出 5人组成一个篮球队，与顺序无 关，不是排列问题；对于 D,从数字5,6,7,8中任取三个 数组成没有重复数字的三位数，各数位上的数字有顺序 性，是排列问题。故选 AD. 探究二 [例2] [解] 如图。 aya? 同时用 (4种) 同时不用 a?用 (2×3种)(1×4种) a?不用 由树状图可写出所有不同试验方法如下：a?a?b?, a?a?b?,a?a?bg,a?a?b?,aga?b?,a?a?b?,a?a?b?,a?a?b?, a?a?b?,a?a?b?,a?a?b?,a?a?b?,a?a?b?,a?a?b,共14种. [跟踪训练] 2.B 方法一：设四张贺卡分别为A,B,C,D.由题意知，某 人(不妨设为A卡的供卡人)取卡的情况有3种，据此将 卡的不同分配方式分为三类，对于每一类，其他人依次 取卡分步进行。 用树状图表示，如图。 B==0-C -- -- 共有9种不同的分配方式。 方法二：让A,B,C,D四人依次拿一张别人送出的贺年 卡，则可以分三步：第1步，A先拿，有3种不同的方法； 第 2步，让被 A拿走的那张贺年卡的主人拿，共有3种 不同的取法；第3步，剩下的两个人都各有1种取法。由 分步乘法计数原理知，四张贺年卡有3×3×1×1=9种 不同的分配方式。 探究三 [例3](1)D A)=7×6×A,A?=6×A4,所以原式= 36A=36. (2)[证明] A·A°=m=(n-m)(n-m)!=n!=A”, ∴等式成立. [变式训练] 证明 左边=k·A=k·k!=(k+1-1)·k!=(k+ 1)!一k!=右边，∴等式成立。 [跟踪训练] 3.(1)C∵A2=156,∴n(n—1)=156,解得 n=13 或 n=—12(舍).故选C. A-A=9×8×7×6×5×4-9×8×7×6×5(2)A =9×4-9=5..故选 A. 【随堂巩固促应用】 1.B 排列问题是与顺序有关的问题，四个选项中只有B 中的问题是与顺序相关的，其他问题都与顺序无关，故 选 B. 2.C 由 A2-1-n<7,得(n-1)(n-2)-n<7,整理得 n2 —4n—5<0,解得—1<n<5. 由题可知，n-1≥2且 n∈N*,则 n=3或 n=4,即原不 等式的解集为{3,4}.故选C. 3.解析 方法一(位置分析法):先排第二个节目，再排其 他五个节目，则共有 A'A?=136 080(种). 方法二(元素分析法):若选女演员的独唱节目，则有 5A?种排法；若不选女演员的独唱节目，则有 A,种排 法，则共有5A?+A?=136 080种排法。 方法三(间接法):总数减去女演员的独唱节目排在第二 个的数目，则共有Af?-A?=136 080(种). 答案 136 080 4.解析 先安排好甲、乙的方法有 A3种，然后安排其他 5个人的方法 有 A?种，故 共有 安排方法 A3A? =2 400(种). 答案 2 400 第 2 课时 排列与排列数的应用 【自主学习探新知】 试一试 1.B 方法一：画出树状图，如图， 甲 乙 丙 丁 乙 丙 丁 甲 丙 于 丁甲乙 甲 乙 2育丙丁乙丁乙丙 丙工里丁里丙 乙丙里丙甲乙丁丙丁乙丙乙 丁丙丁甲丙甲 丙乙丙甲乙甲 由树状图可得，甲、乙、丙、丁四人排成一列，共有 24 种 排法，其中丙不在排头，且甲或乙在排尾的排法共有 8 种，故所求概率P=24=3 方法二：当甲排在排尾，乙排第一位，丙有2种排法，丁就 1种，共 2 种；当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有 1种排法，丁就1种，共 2种；于是甲排在排尾共4 种方 法，同理乙排在排尾共4种方法，于是共8种排法符合题 意；基本事件总数显然是 Af=24,根据古典概型的计算 24=3公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率为 2.C 先排其他三个音节，然后在空档中插入宫、羽两音 节，种数为 A3A3=6×12=72.故选C. 3.CD 方法一(直接法):因为末位数字排法有 A2种，其 他位置排法有 A3种，共有 A1×A}. 方法二(间接法):A4-A}×A. 故选CD. 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] [解](1)可分两步完成：第一步，先选r,因为 r >0,所以有A}种选法；第二步，再选a,b,在剩余8个数 中任取2个，有 A3种选法。由分步乘法计数原理可知， 可以作 A'A2=448个不同的圆。 (2)若圆(x-a)2+(y-b)2=r2经过原点，则a,b,r满 足a2+b2=r2.满足该条件的 a,b,r有3,4,5与6,8,10 两组，考虑 a,b的顺序，每组各有 A2种情况，所以符合 题意的圆有2A2=4(个). (3)若圆心在直线x+y-10=0上，则 a,b满足a+b= 10,则满足条件的a,b有三组：0,10;3,7;4,6.当 a,b取 0,10时，r有 A}种情况，当 a,b取3,7;4,6时，r不可取 0,有 A}种情况. 考虑 a,b的顺序，每组各有 A2种情况，所以满足题意的 圆共有 A}A2+2A:A2=38(个). [跟踪训练] 1.解(1)从7本不同的书中选3本送给3名同学，相当 于从7个元素中任取 3个元素的一个排列，所以共有 A3=7×6×5=210种不同的送法. (2)从7种不同的书中买3本书，这3本书并不要求都 不相同，根据分步乘法计数原理，共有 7×7×7=343种 不同的送法。 4 丙 探究二 [例2] [解](1)(捆绑法)将甲、乙两人“捆绑”为一个 元素，与其余5人全排列，共有 A 种排法.甲、乙两人可 交换位置，有 A2种排法。故共有 A?·A2=1 440 种 排法. (2)方法一(间接法):7人任意排列，有A7种排法.甲、 乙两人相邻有A2·Ag种排法，故共有 A7-A2·Ag= 3 600种排法。 方法二(插空法):将其余5人排列，有A?种排法.5人 之间及两端共有6个位置，任选2 个排甲、乙两人，有 A;种排法，故共有 A?·A}=3 600种排法。 (3)(捆绑法)将甲、乙、丙三人捆绑在一起与其余4人全 排列，有A?种排法，甲、乙、丙三人有 A3种排法，共有 A?·A3=720种排法. (4)(插空法)将其余4人排好，有 A4种排法.将甲、乙、 丙插入5个空中，有 A3种排法。故共有 A4·A3=1 440 种排法。 [跟踪训练] 2.(1)B 当乙、丙在甲的左侧时，不同的站法种数为 A2A ·A?=96;同理，当乙、丙在甲的右侧时，不同的站法种 数也为 96.所以不同的站法种数为 96×2=192.故 选B. (2)C 将“立春”和“春分”两块展板看成一个整体，与 “雨水”“谷雨”两块展板进行全排列，再将“清明”和“惊 蛰”两块展板插空，所以不同的放置方式种数为A2A3A =2×6×12=144.故选C. 探究三 [例3] [解](1)(间接法):0,1,2,3,4,5六个数字共能 形成 A;种不同的排法，当0在首位时不满足题意，故可 以组成 A6—A?=600个没有重复数字的六位数. (2)方法一(位置分析法):①从个位入手：个位数排奇 数，即从1,3,5中选1个有A1种方法，首位数在排除0 及个位数余下的4位数字中选1个有 A1种方法，余下 的数字可在其他位置全排列有 A?种方法，由分步乘法 计数原理知，共有 A1·A·A?=288个不同的六位 奇数。 ②从首位入手：对首位排奇数还是非 0 偶数分两类 进行。 第1类，首位排奇数，有A1种选择，再个位排奇数有 A 种方法，其余位置全排列有 AA.则共有 A1·A1·A?= 144种方法. 第2类，首位排非0 偶数，共有 A2·A3·A?=144 种 方法。 根据分类加法计数原理，共有144+144=288个不同的 六位奇数. 方法二(元素分析法):0不在两端有A1种排法，从1,3, 5中选1个排在个位，剩下的4个数字全排列。故共有 A1·A}·A?=288个不同的六位奇数. [变式训练] 1.解 符合要求的四位偶数可分为三类： 第1类，0在个位时，有A个；第2类，2在个位时，首位 上的数字从1,3,4,5中选定1个，有A1种选法，十位上 的数字和百位上的数字从余下的数字中选，有A2种，于 是有 A1·A4个；第3类，4在个位时，与第 2 类同理，也 有 A1·A2个.由分类加法计数原理可知，共有 A3+ 2A1·A4=156个无重复数字的四位偶数。 2.解 可分为两类：第1类，个位上为0的五位数有 A? 个；第2类，个位上为5的五位数有 A1·A3个，故共有 A?+A1·A3=216个无重复数字且为5的倍数的五 位数. [跟踪训练] 3.解(1)符合要求的四位偶数可分为两类。 第一类，0在个位时有 A3个； 第二类，2或4 在个位时，首位从1,3,4(或 2),5中选 (有A1种情况),十位和百位从余下的数字中选(有 A2 种情况),于是有2A1Ai个. 由分类加法计数原理知，共有四位偶数 A3+2A4A2= 156(个). (2)符合要求的数可分为两类：第一类：0在个位时有 A 个；第二类：5在个位时有 A4A2个.故满足条件的四位 数共有 Ag+A4A2=108(个). (3)符合要求的比1230大的四位数可分为四类： 第一类：形如 2□O口，3□O□,4□O□,5□0口，共 有A|A}个； 第二类：形如13□口，14□□,15□口，共有A'A2个； 第三类：形如124□,125□,共有A?A}个； 第四类：形如123□,共有 A2个. 由分类加法计数原理知，无重复数字且比1 230大的四 位数共有 A}A3+A1Ai+A?A?+A1=284(个). 【随堂巩固促应用】 1.C 根据题意，分两类，第一类：若第 2个坑和第 4个坑 种的树苗相同，则第 2个坑和第 4个坑有 2 种种法，第 3 个坑有2种种法，此时有 2×2=4种种法.第二类：若第 2个坑和第 4个坑种的树苗不同，则第 2 个坑和第 4个 坑有2×1=2种种法，第3个坑有1种种法，此时有2× 1×1=2种种法.共有4+2=6种不同的种法，故选C. 2.B 先将丙和丁捆在一起，有A2种排列方式，然后将其 与乙、戊排列，有 A}种排列方式，最后将甲插入中间两 空，有2种排列方式，所以不同的排列方式共有 A2A3× 2=24(种). 3.B 先从5人中选择1人两天均参加公益活动，有 5种 方式；再从余下的4人中选2人分别安排到星期六、星 期日，有A2种安排方式.所以不同的安排方式共有5· A?=60(种). 4.解析 根据题意，因为“good”四个字母中的两个“o”是 2A=12(种)。而正确的排相同的，则其不同的排列有- 列只有1种，则可能出现的错误共有11种. 答案 11 6.2.3 组合 6.2.4 组合数 第1课时 组合与组合数 【自主学习探新知】 知识点二 C C 1 试一试 1.B 因为减法与除法不满足交换律，取出的两个数与顺 序有关，所以 C,D中问题不是组合问题。因为加法与乘 法满足交换律，取出的两个数与顺序无关，但是由于 5 +11=3+13,11+19=13+17等，所以相加问题不是 组合问题，只有相乘问题是组合问题。故选 B. 5 第六章 计数原理 易错 (二)两个基本计数原理分辨不清 警示 [例2](1)将3名学生随机地编入4个班，所 有可能的情况有 ( ) A.24种 B.4种 C.43种 D.3?种 (2)某人从甲地到乙地，可以坐火车，也 可以坐轮船，在这一天的不同时间里，火 车有 4 趟，轮船有 3 趟，则此人的走法共 有 种. [解析] (1)每名学生的编入均有4 种情 况，因此，由分步乘法计数原理可得共有 43 种情况。 (2)因为某人从甲地到乙地，坐火车的走法有 4 种，坐轮船的走法有 3种，根据分类加法计 数原理，可得此人的走法有4+3=7(种). [答案] (1)C (2)7 误区警示Ⅱ 解决计数问题的基本策略是合理地分类和分步， 然后应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理来计 算，解决本题容易因标准不清楚导致计算出现错误。 随堂巩固促应用 验证反馈 迁移运用 1.由数字1,2,3 组成的无重复数字的整数中， 偶数的个数为 ( ) A.15 B.12 C.10 D.5 2.某新闻采访组由 5名记者组成，其中甲、乙、 丙、丁为成员，戊为组长.甲、乙、丙、丁分别 来自 A,B,C,D四个地区，现在该新闻采访 组要到 A,B,C,D四个地区去采访，在安排 采访时要求：一地至少安排一名记者采访且 组长不单独去采访，若某记者要到自己所在 地区采访时必须至少有一名记者陪同，则所 有采访的不同安排方法有 种. 3.(福建福州高二期中)4 名同学选报跑步、跳 高、跳 远三个项目，每人 报 一项，共 有 种报名方法.4名同学争夺跑步、跳 高、跳远三项冠军，共有 种可能的 结果. 4.将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形 的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两 格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用， 共有 种不同的涂色方法. 提示、请完成《素能提升训练》训练二 6.2 排列与组合 6.2.1 排列 6.2.2 排列数 第1课时 排列与排列数 [学习任务_ 1.了解排列的概念.(重点) 2.理解并掌握排列数公式，能应用排列知识解决简单的实际问题.(难点) 7 ?高中数学·选择性必修 第三册 自主学习探新知 课前预习 双基落实 知识点一 排列的定义 (1)排列：从 n个不同元素中取出 m(m≤n) 个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做 从 n个不同元素中取出m 个元素的一个 排列. 续表 乘积式 A=n(n-1)(n-2)⋯(n-m+1) 排列数 公式 阶乘式 A=(n-m)! 性质 A"=n!,0!=1 备注 n,m∈N*,m≤n (2)相同排列：两个排列相同的充要条件是： 两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺 序也相同. (3)全排列：把 n个不同的元素全部取出 的一个排列，叫做 n个元素 的一个全 排列. 知识点二 排列数与排列数公式 从 n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 排列数定义 的所有不同排列的个数，叫做从 n个不 同元素中取出m个元素的排列数 排列数表示法 A" 正整数1到n的连乘积，叫做 n的阶乘， 阶乘 记作___ 试一试 1.(江西上饶高二月考)现从6名学生干部中 选出3名同学分别参加全校资源、生态和环 保3个夏令营活动，则不同选派方案的种数 是 ( ) A.20 B.90 C.120 D.240 2.89×90×91×⋯×100要表示为 (( ) A.A10 B.A? C.A2 D. A18 3.一次演出，因临时有变化，拟在已安排好的4 个节目的基础上再添加 2个小品节目，且 2 个小品节目不相邻，则不同的添加方法共有 种. 互动探究解疑难 要点归纳 重难突破 探究一 排列的概念 [例1] 判断下列问题是否为排列问题. (1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达 航线的飞机票价格(假设来回的票价相同); (2)选2个小组分别去植树和种菜； (3)选 2个小组去种菜； (4)选10人组成一个学习小组； (5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活 委员； (6)某班 40名学生在假期相互通信. 规律方法[_---------------------- 判断一个具体问题是否为排列问题的思路 变换元素的位置 有序 有 结果 有无变化 无 无序 冠 非排列问题 8 第六章 计数原理 跟踪训练 跟踪训练 1.(多选)(浙江嘉兴高二阶段检测)下列问题 属于排列问题的是 ( ) A.从6人中选2 人分别去游泳和跳绳 B.从10人中选2人去游泳 C.从班上30名男生中选出5人组成一个篮 球队 D.从数字5,6,7,8中任取三个数组成没有 重复数字的三位数 探究二 排列的列举问题 [例2] 某药品研究所研制了5种消炎药a?, a?,a?,a?,a?,4种退热药b?,b?,b?,b4,现从 中取两种消炎药和一种退热药同时进行疗 效试验，但 a?,a?两种药或同时用或同时不 用，a?,b?两种药不能同时使用，试写出所有 不同试验方法. 2.同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然 后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则四 张贺年卡不同的分配方式有 ( ) A.6种 B.9种 C.11种 D.23种 探究三 排列数公式及应用 AsAA=[例3](1)计算： ( ) A.12 B.24 C.30 D.36 (2)求证：A”=Am·An二m 变式训练 (变条件)在例3(2)中，把等式换为k·A= (k+1)!—k!,试求证. Ⅱ规律方法|l 在排列个数不多的情况下，树状图是一种比 较有效的表示方式.在操作中先将元素按一定顺 序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行 分类，在每一类中再按余下的元素在前 面元素不 变的情况下确定第二个元素，再按此元素分类，依 次进行，直到完成一个排列，这样能不重不漏，然 后按树状图写出排列. -I规律方法 排列数公式的形式及选择方法 排列数公式有两种形式，一种是连乘积的形式，另 一种是阶乘的形式，若要计算含有数字的排列数的值， 常用连乘积的形式进行计算，而要对含有字母的排列 数的式子进行变形或作有关的论证时，一般用阶乘式. 9 ?高中数学·选择性必修 第三册 跟踪训练 3.(1)(广东佛山高二期中)已知 A2=156,则 n ( )= B.12(A.11 C.13 D.14] (2)A=A= ( ) A.27 B.34 c.30 D.20 教 材 求解排列问题的主要方法 拓展 直接法 把符合条件的排列数直接列式计算 优先法 优先安排特殊元素或特殊位置 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排 捆绑法 列，同时注意捆绑元素的内部排列 对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排 插空法 列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的 空当中 定序问题 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列 除法处理 后，再除以定序元素的全排列 间接法 正难则反，等价转化 典例] 某小组6个人排队照相留念. (1)若分成两排照相，前排 2人，后排 4 人， 有多少种不同的排法? (2)若分成两排照相，前排 2人，后排 4 人， 但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多 少种不同的排法? (3)若排成一排照相，甲、乙两人必须在一 起，有多少种不同的排法? (4)若排成一排照相，其中有 3名男生，3名 女生，且男生不能相邻，有多少种不同的 排法? (5)若排成一排照相，其中甲必须在乙的右 边，有多少种不同的排法? (6)若排成一排照相，甲不站排头且乙不站 排尾，有多少种不同的排法? [解](1)前排2人，后排4人，相当于6个 人全排列，共有 A6=720 种不同的排法. (2)先将甲排在前排有 A2种排法，乙排在后排 有 A4种排法，其余4人全排列有A?种排法。 根据分步乘法计数原理得，共有 A?A1A4=192 种不同的排法。 (3)将甲、乙视为一个整体，即看成5人全排 列问题，有 A?种排法，再排甲、乙两人有 A2 种排法. 根据分步乘法计数原理可得，共有 A?A2= 240种不同的排法. (4)先将3名女生排成一排，再将3名男生插入 3名女生之间(包括首、尾两端)的4个空位，保 证男生不相邻. 根据分步乘法计数原理得，共有 A3A3=144 种不同的排法。 (5)甲必须在乙的右边属于定序问题，共有 A=360种不同的排法。 (6)6个人全排列，共有 A?种排法.若甲站 排头，则有 A5种排法；若乙站排尾，则有 A? 种排法；若甲站排头且乙站排尾，则有A?种 排法. 故甲不站排头且乙不站排尾的不同排法共 有 A?—A5—A5+A4=720—120—120+24 =504(种). |I解题策略Ⅱ (1)直接法：前排2人，后排4人，相当于6个人全 排列，即有 A,种不同的排法. (2)优先法：利用特殊元素优先的原则，将甲排在 前排，乙排在后排，其余4人全排列，根据分步乘法计 数原理可得. (3)捆绑法：将甲、乙视为一个整体，即看成 5人全 排列问题，再排甲、乙两人，根据分步乘法计数原理 可得. (4)插空法：3名男生不相邻，根据分步乘法计数 原理可得。 (5)定序问题除法处理：甲必须在乙的右边属于定 序问题，用除法可得. (6)间接法：6个人全排列，去掉甲站排头和乙站 排尾的情况，但多减去了甲站排头且乙站排尾的情况， 须加回来. 10 第六章 计数原理 随堂巩固促应用 验证反馈 迁移运用 1.下列问题是排列问题的是 ( ) 3.从10个不同的文艺节目中选6个编成一个节 目单，如果某女演员的独唱节目一定不能排在A.从10名同学中选取 2 名去参加知识竞 赛，共有多少种不同的选取方法 第二个，则不同的排法共有 种. B.10个人互相通信一次，共写了多少封信 4.学校要安排7位行政人员在10月1日至10 月 7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人 都不安排在10月1日和2日.不同的安排方 法共有 种.(用数字作答) C.平面上有 5个点，任意三点不共线，这5 个点最多可确定多少条直线 D.从1,2,3,4 四个数字中，任选两个相加， 其结果共有多少种 2.不等式 A2-1-n<7的解集为 ( ) 提示、请完成《素能提升训练》训练三 A.{n|-1<n<5} B.{1,2,3,4} C.{3,4} D.{4} AI学手 在续答证 露 面抗 补就 第 2 课时 排列与排列数的应用 [学习任务] 1.进一步加深对排列概念的理解.(重点) 2.掌握几种有限制条件的排列，能应用排列数公式解决简单的实际问题.(重点，难点) 自主学习探新知 课前预习 双基落实 试一试 1.(全国甲卷)甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不 在排头，且甲或乙在排尾的概率是( ) A.4 B.s c. D.3 2.(甘肃庆阳高二期末)五声音阶(汉族古代音 律)是按五度的相生顺序，从宫音开始到羽 音，依次为宫、商、角、徵、羽.若将这五个音 阶排成一列，形成一个音序，且要求宫、羽两 音节不相邻，可排成不同的音序的种数为 ( ) A.12 B.48 C.72 D.120 3.(多选)用数字1,2,3,4,5组成无重复数字 的四位数，其中偶数的个数为 ( ) B.A4A.Ay C. A?A D. A4—A3A4 互动探究解疑难 要点归纳 重难突破 探究一 无限制条件的排列问题 [例1] 已知圆的方程(x—a)2+(y—b)2=r2 (r>0).从0,3,4,5,6,7,8,9,10这9个数中 选出3个不同的数，分别作为圆心的横坐 标、纵坐标和圆的半径.求： (1)可以作多少个不同的圆? (2)经过原点的圆有多少个? (3)圆心在直线x+y-10=0上的圆有多 少个? 11 ?高中数学·选择性必修 第三册 Ⅱ规律方法|Ⅱ⋯ (1)没有限制的排列问题，即对所排列的元素或所 排列的位置没有特别的限制，这一类问题相对简单，分 清元素和位置即可。 (2)在排列问题中元素不能重复选取，而在用分步 乘法计数原理解决的问题中，元素可以重复选取. 跟踪训练 1.(1)有 7本不同的书，从中选 3 本送给 3 名同学，每人各1本，共有多少种不同的 送法? (2)有 7 种不同的书，要买 3 本送给 3名 同学，每人各 1 本，共有多少种不同的 送法? 探究二 有限制条件的排列问题 Ⅱ规律方法|I- (1)元素相邻问题利用“捆绑法”处理，即把相邻元 素看作一个整体，视为一个元素，参与其他元素的排 列.同时，应注意捆绑元素的内部排列. (2)元素不相邻问题利用“插空法”处理，即先考虑 不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面 元素排列的空当中. (3)处理元素“相邻”“不相邻”或“元素定序”问题， 应遵循“先整体，后局部”的原则，元素相邻问题一般用 “捆绑法”,元素不相邻问题一般用“插空法”. 跟踪训练 2.(1)(山西运城月考)七名同学站成一排照毕 业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、 丙两名同学要站在一起，则不同的站法种数 为 ( ) A.240 B.192 C.96 D.48 (2)某中学为了弘扬我国二十四节气文化， 特制作出“立春”“雨水”“惊蛰”“春分”“清 明”“谷雨”六张知识展板放置在六个并列的 文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板 相邻，且“清明”和“惊蛰”两块展板不相邻， 则不同的放置方式种数为 ( ) A.24 B.48 C.144 D.240 [例 2] 已知 7人站成一排.求： (1)甲、乙两人相邻的排法有多少种? (2)甲、乙两人不相邻的排法有多少种? (3)甲、乙、丙三人必相邻的排法有多少种? (4)甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有多 少种? 探究三 数字排列问题 [例3] 用0,1,2,3,4,5这六个数字组成无重 复数字的整数，求满足下列条件的数各有多 少个. (1)六位数； (2)六位奇数. ⋯⋯⋯⋯⋯℃7 第六章 计数原理 变式训练 □跟踪训练 1.(变结论)在本例条件下，试求能组成多少个 无重复数字的四位偶数. 3.用0,1,2,3,4,5这六个数字，能组成多少个符 合下列条件的数字?(运算结果以数字作答) (1)无重复数字的四位偶数； (2)无重复数字且为5的倍数的四位数； (3)无重复数字且比1 230大的四位数. 2.(变结论)在本例条件下，试求能组成多少个 无重复数字且为5的倍数的五位数. 规律方法[---⋯ 排数字问题常见的解题方法 (1)两优先排法：特殊元素优先排列，特殊位置优 先填充.如“0”不排“首位”. (2)分类讨论法：按照某一标准将排列分成几类， 然后按照分类加法计数原理进行，要注意如下两点：一 是分类标准必须恰当；二是分类过程要做到不重不漏。 (3)排除法：全排列数减去不符合条件的排列数. (4)位置分析法：按位置逐步讨论，把要求数字的 每个数位排好. 易错 重复排列 警示 [典例] 6个人站成前后三排，每排 2人，有多 少种不同的站法? [解] 方法一：6个人站成前后三排，每排 2 人，分3步完成，不同的站法共有A?·A2· A2=720(种). 方法二：此问题可看作将排成的三排“拉 直”,实际上就是将6人排成一排的问 题.故共有 A?=720种不同排法。 I误区警示||⋯ 求解此题可能出现如下错解： 有 A3·A2·A2·A3=4 320种不同排法或有 A?·A=360种不同排法.前一种解答错在前三步 已经分清了三排，不需要再排列了，后一种解答忽 略了第 3步，余下的 2人还要去排最后一排的 2个 不同位置. 随堂巩固促应用 验证反馈 迁移运用 1.现有甲、乙、丙3 种树苗可供选择，分别种在 一排的 5个坑中，要求相同的树苗不能相 邻，第1个坑和第 5个坑内只能种甲种树 苗，则不同的种法共有 A.4种 B.5种 C.6种 D.7种 ( ) 13 ?高中数学·选择性必修 第三册 2.(新高考全国Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁、戊5名同学 站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和 丁相邻，则不同的排列方式共有 ( ) A.12 种 B.24种 C.36种 D.48种 3.(全国甲卷)现有 5名志愿者报名参加公益 活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每 天从这5人中安排 2人参加公益活动，则恰 有1人在这两天都参加的不同安排方式共 有 ( ) B.60种A.120 种 C.30种 D.20种 4.若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可 能出现的错误共有 种.(用数字作答) 提示、请完成《素能提升训练》训练四 6.2.3 组合 6.2.4 组合数 第1课时 组合与组合数 [学习任务] 1.理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系.(重点) 2.理解排列数与组合数之间的联系，掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算.(重点) 3.会解决一些简单的组合问题.(难点) 自主学习探新知 课前预习 双基落实 知识点一 组合的定义 1.组合：从 n个不同元素中取出m(m≤n)个元 素作为一组，叫做从 n个不同元素中取出m 个元素的一个组合. 2.组合与排列的区别：组合无序，排列有序. 知识点二 组合数与组合数公式 组合数及组合数公式： 从 n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 组合 数 定义 的所有不同组合的个数，叫做从 n个不 及表示 同元素中取出m个元素的组合数，用符 号C表示 乘积 c=n(n-D(n-2)(n-m+1)形式组合数 公式 阶乘 形式 C=m!(n-m)! C"=_ 性质 Ca+1=_ +Cm- 备注 规定 C°=___ 试一试 1.从 2,3,5,7,11,13,17,19这8个数中任取 2 个，则下列问题属于组合问题的是 ( ) A.相加可以得到多少个不同的和 B.相乘可以得到多少个不同的积 C.相减可以得到多少个不同的差 D.相除可以得到多少个不同的商 2.从9名学生中选出 3名参加“希望英语”口 语比赛，不同选法有 ( ) A.504种 B.729 种 C.84种 D.27种 3.计算：C3+C4+C?+C?= . 14