6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步练测（人教A版2019）

第六章 计数原理 6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第1课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 [学习任务] 1.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理.(重点) 2.会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题.(难点) AI伊学险手 在线答证 露 面抗 献 自主学习探新知 课前预习 双基落实 知识点一 分类加法计数原理 完成一件事有两类不同的方案，在第1类方 案中有 m种不同的方法，在第2类方案中有 n种不同的方法，那么完成这件事共有N= m+n种不同的方法. 知识点二 分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种 不同的方法，做第 2 步有 n种不同的方法， 那么完成这件事共有 N=m×n种不同的 方法. 试一试 1.现有 3名老师、8名男生和 5名女生共 16 人.若需 1名老师和1名学生参加评选会 议，则不同的选法种数为 ( ) A.39 B.24 C.15 D.16 2.(黑龙江哈尔滨期末)在如图 AL 所示的电路(规定只能闭合 BL其中一个开关)中，接通电源 使 灯 泡 发 光 的 方 法 有 种. 3.一个袋子里放有6个球，另一个袋子里放有 8个球，每个球各不相同，从两个袋子里各取 一个球，共有 种不同的取法. 互动探究解疑难 探究一 分类加法计数原理 [例1] 在所有的两位数中，个位数字大于十 位数字的两位数的个数为 个. □变式训练 1.(变条件)如果本例条件变为个位数字小于十 位数字且为偶数，那么这样的两位数有多少个? 1 ?高中数学·选择性必修 第三册 2.(变条件，变设问)用1,2,3这3个数字可以 写出没有重复数字的整数 个. -IⅡ规律方法|Ⅱ 利用分类加法计数原理计数时的解题流程 分类 将完成这件事的方法分成若干类 计数 求出每一类的方法数 □跟踪训练 2.从1,2,3,4 中选三个数字，组成无重复 数字的整数，则满足下列条件的数有多 少个? (1)三位数；(2)三位偶数. 结论 将每一类的方法数相加得出结果 跟踪训练 1.(1)(福建厦门期中)从甲地到乙地，一天中 有5班火车，12 班客车，3 班飞机航班，6 班 轮船，某人要从甲地到乙地，共有不同走法 的种数是 ( ) A.26 B.60 C.18 D.1080 (2)(江苏常州期中)已知两条异面直线 a,b 上分别有4个点和7个点，则这11个点可以 确定不同的平面个数为 ( ) A.4 B.7 C.11 D.126 探究二 分步乘法计数原理 [例 2](1)3个不同的球分别放入5个不同 的盒子，每个盒子至多放1个球，共多少种 放法? (2)3个不同的球放入5个不同的盒子，每个 盒子放球的数量不限，共多少种放法? 探究三 两个计数原理的简单应用 [例3] 现有高一年级的四个班的学生 34人， 其中一、二、三、四班分别有 7人、8人、9人、 10人，他们自愿组成数学课外小组. (1)选其中一人为负责人，有多少种不同的 选法? (2)每班选一名组长，有多少种不同的 选法? (3)推选两人做中心发言，这两人需来自不 同的班级，有多少种不同的选法? 规律方法||---------------------------- 利用分步乘法计数原理计数时的解题流程 分步 将完成这件事的过程分成若干步 计数 求出每一步中的方法数 结论 将每一步中的方法数相乘得最终结果 -II规律方法--⋯ (1)当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是 什么,即怎样做才算完成这件事，然后给出完成这件事 的一种或几种方法，从这几种方法中归纳出解题方法。 (2)分类时标准要明确，做到不重不漏，有时要恰 当的画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清 楚，便于探索规律. (3)混合问题一般是先分类再分步. 2 第六章 计数原理 跟踪训练 3.某校高中三年级一班有优秀团员8人，二班 有优秀团员10人，三班有优秀团员6人，学 校组织他们去参观某爱国主义教育基地. (1)推选1人为总负责人，有多少种不同的 选法? (2)每班选1 人为小组长，有多少种不同的 选法? (3)从他们中选出 2个人管理生活，要求这 2 个人不同班，有多少种不同的选法? 易错 (一)不能正确分步 警示 [例1] 把3 封信投到4个信箱，所有可能的 投法共有 ( ) A.24种 B.4种 C.43种 D.3?种 [错解] 因为每个信箱有三种投信方法，共 4 个信箱，所以共有3×3×3×3=3?种投 法.故选 D. [错因分析] 没有确定完成这件事的标准， 导致分步不合理.本题中没有考虑到每封信 只能投在一个信箱中，导致错误. [正解] 第1封信投到信箱中有4种投法； 第 2 封信投到信箱中也有4种投法； 第 3封信投到信箱中也有4 种投法； 只要把这3 封信投完，就做完了这件事.由 分步乘法计数原理可得共有43种投法. [答案] C 易错 (二)不能正确分类 警示 [例 2] 如图，用五种不同颜色给图中标有1, 2,3,4 的各部分涂色，每部分只涂一种颜色， 且相邻两部分涂不同颜色，则不同的涂色方 法共有 ( ) 1 2 3 4 A.180种 B.240 种 C.260种 D.360种 [错解] 分四步完成，第一步：对区域 1 涂色，有 5 种方法；第二步：对区域 2 涂 色，有 4 种方法；第三步：对区域 4 涂色， 有 3 种方法；第四步：对区域 3涂色，有 3 种方法.所以共有 5×4×3×3=180 种 涂法.故选 A. [错因分析] 分类不正确，导致情况有遗 漏，在本题中，区域1和4 的颜色可以是相 同的，故本题需按区域1和4 的颜色“相同” 与“不同”分为两类完成。 [正解] 按区域1和4的颜色“相同”与“不 同”分为两类： 第一类：区域 1 和 4 的颜色相同，则第一 步：对区域1 涂色，有 5 种方法；第二步： 对区域 2 涂色，有 4 种方法；第三步：对区 域4 涂色，有1 种方法；第四步：对区域 3 涂色，有4 种方法.所以共有 5×4×1×4 =80 种涂法. 第二类：区域1和4 的颜色不同，则第一步： 对区域1涂色，有5种方法；第二步：对区域 2 涂色，有4 种方法；第三步：对区域4涂色， 有3种方法；第四步：对区域3涂色，有 3种 方法.所以共有5×4×3×3=180种涂法. 根据分类加法计数原理得，共有 80+180= 260 种涂法.故选C. [答案] C 3 ?高中数学·选择性必修 第三册 教 材 计数原理在日常生活或生产实 拓展 践中的应用 [典例] 如图，小明从街道的 E处出发，先到 F处与小红会合，再一起到位于G处的老年 公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可 以选择的最短路径条数为 ( ) A.24 B.18 C.12 D.9 G如图，除已[解析] A G A? F B?AL F?知标记的 E,F,G三 A?B?B 点外，另标记 A,B, E- E B? A?,B?,E?,A?,B?,G?,A?,B?,F?.若总体路 线最短，则需E到F最短，并且F到G也最 短.E到F最短，可由 E→B→F或E→E?→ F.显然，由E→B→F最短有3条(E→B→A →A?→F或E→B→B?→A?→F或 E→B→ B?→A?→F).由 E→E?→F最短有3条(E →E?→B?→A?→F或 E→E?→B?→A?→F 或 E→E?→B?→A?→F).由分类加法计数 原理可知，E→F共有6条最短路径。而F→ G有F→G?→A?→G,F→B?→A?→G,F→ B?→F?→G,共3条最短路径，由分步乘法计 数原理可知，共有6×3=18条最短路径.故 选 B. [答案] B |解题策略| 解决此类问题的关键是根据题意确定先分类还是 先分步，然后明确每一类中多少种不同方法，每一步中 有多少种不同方法，再根据分类加法计数原理或分步 乘法计数原理得出结果. 随堂巩固促应用 验证反馈 迁移运用 1.已知两条异面直线a,b上分别有5个点和8 个点，则这13个点可以确定不同的平面个 数为 ( ) A.40 B.16 C.13 D.10 2.从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等 的数a,b组成复数a+bi,其中虚数有( ) A.30个 B.42个 C.36个 D.35个 3.(江苏宿迁期末)在如图所示的电路(规定只 能闭合其中 2个开关)中，接通电源使灯泡 发光的方法有 种. 4.某公园休息处东面有 8个空闲的凳子，西面 有6个空闲的凳子，小明与爸爸来这里 休息。 (1)若小明爸爸任选一个凳子坐下(小明不 坐),有几种坐法? (2)若小明与爸爸分别就座，有多少种坐法? A B 提示请完成《素能提升训练》训练一 第 2 课时 两个计数原理的综合应用 [学习任务] 1.进一步掌握和理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理. 2.能利用两个计数原理解决数字组成、选取与分配、涂色(种植)等实际问题. 4 第六章 计数原理 自主学习探新知 课前预习 双基落实 知识点 两个计数原理的区别与联系 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 用来计算完成一件事的方法种类 分类完成，类类相加 分步完成，步步相乘 不同点 每步依次完成才算完成 每类方案中的每一 这件事(每步中的一种 种方法都能独立完 方法不能独立完成这件 成这件事 事) 注意点 类类独立，不重不漏 步步相依，步骤完整 试一试 1.有A,B两种类型的车床各一台，现有甲、 乙、丙三名工人，其中甲、乙都会操作两种车 床，丙只会操作 A种车床，要从这三名工人 中选两名分别去操作这两种车床，则不同的 选派方法有 ( ) A.6种 B.5种 C.4种 D.3种 2.某班有3名学生准备参加校运会的100米、 200米、跳高、跳远四项比赛，如果每班每项 限报1人，则这 3名学生的参赛的不同方 法有 ( ) A.24种 B.48种 C.64种 D.81种 3.将摆放在编号分别为1,2,3,4,5 五个位置 上的五件不同商品重新摆放，则恰有一件商 品的位置不变的摆放方法有 种. (用数字作答) 互动探究解疑难 要点归纳 重难突破 探究一 两个计数原理在排数中的应用 [例1] 用0,1,2,3,4 五个数字， (1)可以排成多少个三位数字的电话号码? (2)可以排成多少个三位数? (3)可以排成多少个能被 2 整除的无重复数 字的三位数? 规律方法[----------------------------- 对于组数问题，应掌握以下原则 (1)明确特殊位置或特殊数字，是我们采用“分 类”还是“分步”的关键。一般按特殊位置(末位或首 位)分类，分类中再按特殊位置(或特殊元素)优先 的策略分步完成，如果正面分类较多，可采用间接 法求解. (2)要注意数字“0”不能排在两位数字或两位数字 以上的数的最高位。 跟踪训练 变式训练 (变设问)由本例中的五个数字可组成多少 个无重复数字的四位奇数? 1.(1)我们把各位数字之和为6的四位数称为 “六合数”(如2130是“六合数”),则首位为2 的“六合数”共有 ( ) A.18个 B.15个 C.12个 D.9个 (2)(多选)已知数学0,1,2,3,4,用它们组成 四位数，下列说法正确的有 ( ) A.可以组成无重复数字的四位数96个 B.可以组成有重复数字的四位数 404个 C.可以组成无重复数字的四位偶数66个 D.可以组成百位是奇数的四位偶数 28个 5 ?高中数学·选择性必修 第三册 探究二 选取与分配问题 [例2] 高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四 个工厂进行社会实践，其中甲工厂必须有班 级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的 分配方案有 ( ) A.16种 B.18种 C.37 种 D.48种 规律方法|-------- 解决抽取(分配)问题的方法 (1)当涉及对象数目不大时，一般选用列举法、树 状图法、框图法等. (2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法： ①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理。 一般地，若抽取是有顺序的就按分步进行；若是按对象 特征抽取的，则按分类进行.②间接法：去掉限制条件， 计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的 抽取方法数即可. 跟踪训练 2.联合国际援助组织计划向非洲三个国家援 助粮食和药品两种物资，每种物资既可以全 部给一个国家，也可以由其中两个或三个国 家均分.若每个国家都要有物资援助，则不 同的援助方案有 种. 探究三 涂色与种植问题 [例3] (1)如图，用五种不同的颜色分别给 A,B,C,D四个区域涂色，相邻 A区域必须涂不同颜色，若允许同 C一种颜色多次使用，则不同的涂 法种数为 ( ) B D A.280 B.180 C.96 D.60 (2)将3种作物全部种植在如图所示的5块 试验田中，每块种植一种作物，且相邻的试 验田不能种同一种作物，则不同的种植方法 共有___种. 规律方法|---------------- 解决涂色(种植)问题的一般思路 涂色问题一般是综合利用两个计数原理求解，有 以下几种常用方法： (1)按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步 乘法计数原理分析. (2)以颜色为主分类讨论，适用于“区域、点、线段” 等问题，用分类加法计数原理分析. (3)将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色 问题。 种植问题按种植的顺序分步进行，用分步乘法计 数原理计数或按种植品种恰当选取情况分类，用分类 加法计数原理计数。 跟踪训练 3.如图所示，要给“同”“步”“练”“测”四个区域 分别涂上3 种不同颜色中 步同 的某一种，允许同一种颜 练色使用多次，但相邻区域 测 必须涂不同的颜色，有多 少种不同的涂色方法? 易错 (一)分类计数时考虑不全 警示 [例1] 有红、黄、蓝三种颜色的旗各3 面，每 次升起1 面、2 面、3 面，旗在旗杆上纵向排 列时，分别表示不同的信号，且颜色顺序不 同表示的信号也不相同，则可以组成多少种 不同的信号? [解] 每次升起1 面旗可组成 3种不同的 信号； 每次升起2 面旗可组成3×3=9种不同的 信号； 每次升起3 面旗可组成 3×3×3=27 种不 同的信号. 根据分类加法计数原理得，共可组成3+9十 27=39 种不同的信号. -Ⅱ误区警示||⋯ 使用分类加法计数原理时，分类的划分标准可以 有多个，但不论是以哪一个为标准，都应遵循“标准要 明确，不重不漏”的原则. 6 第六章 计数原理 易错 (二)两个基本计数原理分辨不清 警示 [例2](1)将3名学生随机地编入4个班，所 有可能的情况有 ( ) A.24种 B.4种 C.43种 D.3?种 (2)某人从甲地到乙地，可以坐火车，也 可以坐轮船，在这一天的不同时间里，火 车有 4 趟，轮船有 3 趟，则此人的走法共 有 种. [解析] (1)每名学生的编入均有4 种情 况，因此，由分步乘法计数原理可得共有 43 种情况。 (2)因为某人从甲地到乙地，坐火车的走法有 4 种，坐轮船的走法有 3种，根据分类加法计 数原理，可得此人的走法有4+3=7(种). [答案] (1)C (2)7 误区警示Ⅱ 解决计数问题的基本策略是合理地分类和分步， 然后应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理来计 算，解决本题容易因标准不清楚导致计算出现错误。 随堂巩固促应用 验证反馈 迁移运用 1.由数字1,2,3 组成的无重复数字的整数中， 偶数的个数为 ( ) A.15 B.12 C.10 D.5 2.某新闻采访组由 5名记者组成，其中甲、乙、 丙、丁为成员，戊为组长.甲、乙、丙、丁分别 来自 A,B,C,D四个地区，现在该新闻采访 组要到 A,B,C,D四个地区去采访，在安排 采访时要求：一地至少安排一名记者采访且 组长不单独去采访，若某记者要到自己所在 地区采访时必须至少有一名记者陪同，则所 有采访的不同安排方法有 种. 3.(福建福州高二期中)4 名同学选报跑步、跳 高、跳 远三个项目，每人 报 一项，共 有 种报名方法.4名同学争夺跑步、跳 高、跳远三项冠军，共有 种可能的 结果. 4.将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形 的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两 格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用， 共有 种不同的涂色方法. 提示、请完成《素能提升训练》训练二 6.2 排列与组合 6.2.1 排列 6.2.2 排列数 第1课时 排列与排列数 [学习任务_ 1.了解排列的概念.(重点) 2.理解并掌握排列数公式，能应用排列知识解决简单的实际问题.(难点) 7 同步课堂讲义 AI伴学助手 在线答疑 鉴 日排日与扫 第六章 计数原理 6.1 分类加法计数原理与 分步乘法计数原理 第1课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 【自主学习探新知】 试一试 1.A 先从3名老师中任选1名，有3种选法，再从13名 学生中任选1名，有13种选法，由分步乘法计数原理 知，不同的选法种数为3×13=39. 2.解析 要完成的事是闭合开关使灯泡发光，完成这件事 的方案可分两类：第1类，闭合开关组A中的一个开关， 有2种方法.第 2 类，闭合开关组B中的一个开关，有3 种方法。因此接通电源使灯泡发光的方法种数为 2+3 =5. 答案 5 3.解析 由分步乘法计数原理知，共有6×8=48种不同 的取法. 答案 48 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] [解析] 方法一：根据题意，将十位上的数字按 1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成 8类，在每一类中满足题 目条件的两位数分别有 8个，7个，6个，5个，4个，3 个，2个，1个.由分类加法计数原理知，符合条件的两位 数共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(个). 方法二：分析个位数字，可分以下几类： 个位数字是9,则十位数字可以是1,2,3,⋯,8中的一 个，故共有8个； 个位数字是8,则十位数字可以是1,2,3,⋯,7 中的一 个，故共有7个； 同理，个位数字是7的有6个；⋯ 个位数字是2的有1个. 由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有8+7 +6+5+4+3+2+1=36(个). [答案] 36 [变式训练] 1.解 当个位数字是8时，十位数字取9,只有1个； 当个位数字是6时，十位数字可取7,8,9,共3个； 当个位数字是4 时，十位数字可取5,6,7,8,9,共5个； 当个位数字是2 时，十位数字可取3,4,5,6,7,8,9,共 7个； 当个位数字是0时，十位数字可取1,2,3,4,5,6,7,8,9, 共9个. 由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有1+3 +5+7+9=25(个). 2.解析 分三类：第一类为一位整数，有3个； 第二类为两位整数，有12,21,23,32,13,31,共6个； 第三类为三位整数，有123,132,231,213,321,312,共 6个， ∴由分类加法计数原理知，共可写出没有重复数字的整 数3+6+6=15(个). 答案 15 [跟踪训练] 1.(1)A 由分类加法计数原理知，不同走法的种数为5+ 12+3+6=26.故选 A. (2)C 分两类情况讨论：第一类，直线 a分别与直线b 上的7个点可以确定 7个不同的平面；第二类，直线b 分别与直线a上的4个点可以确定4个不同的平面.根 据分类加法计数原理知，共可以确定4+7=11个不同 的平面。 探究二 [例2] [解](1)根据题意，第一个球有5种放法，第二 个球有4种放法，第三个球有3种放法。由分步乘法计 数原理，可知共有5×4×3=60种放法。 (2)∵3个不同的球放入5个不同的盒子，每个盒子放 球的数量不限， ∴每个球都有5种放法。 由分步乘法计数原理，可知共有5?=125种放法. [跟踪训练] 2.解(1)三位数有三个数位； 百位 十位 个位 故可分三个步骤完成： 第 1步，排个位，从1,2,3,4 中选1个数字，有 4 种 方法； 第2步，排十位，从剩下的3个数字中选1个，有3种 方法； 第 3步，排百位，从剩下的 2个数字中选1个，有 2 种 方法。 根据分步乘法计数原理，共有4×3×2=24个满足要求 的三位数。 (2)分三个步骤完成： 第 1步，排个位，从2,4 中选1个数字，有 2 种方法； 第 2步，排十位，从余下的 3个数字中选1个，有 3 种 方法； 第3步，排百位，只能从余下的2个数字中选1个，有2 种方法。 根据分步乘法计数原理，共有2×3×2=12个满足要求 的三位偶数. 探究三 [例3] [解](1)分四类：第一类，从一班学生中选1人， 有7种选法；第二类，从二班学生中选1人，有 8种选 法；第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；第四类， 从四班学生中选1人，有10种选法。所以，共有不同的 选法N=7+8+9+10=34(种). (2)分四步：第一、二、三、四步分别为从一、二、三、四班 学生中选一人任组长. 所以，共有不同的选法 N=7×8×9×10=5 040(种). (3)分六类，每类又分两步：从一、二班学生中各选1人， 有7×8种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有 7×9种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有7× 10种不同的选法；从二、三班学生中各选1个，有8×9种 不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同 的选法；从三、四班学生中各选1人，有 9×10种不同的 选法. 所以，共有不同的选法N=7×8+7×9+7×10+8×9 十8×10+9×10=431(种). [跟踪训练] 3.解(1)分三类，第一类是从一班的8名优秀团员中产 生，有8种不同的选法；第二类是从二班的10名优秀团 员中产生，有10种不同的选法；第三类是从三班的6名 优秀团员中产生，有6种不同的选法。由分类加法计数 原理可得，共有N=8+10+6=24种不同的选法。 (2)分三步，第一步从一班的8名优秀团员中选1名小 组长，有8种不同的选法，第二步从二班的10名优秀团 员中选1名小组长，有10种不同的选法.第三步是从三 班的6名优秀团员中选1名小组长，有6种不同的选 法。由分步乘法计数原理可得，共有N=8×10×6=480 种不同的选法。 (3)分三类：每一类又分两步，第一类是从一班、二班的 优秀团员中各选1人，有8×10种不同的选法；第二类 是从二班、三班的优秀团员中各选1人，有10×6种不 同的选法；第三类是从一班、三班的优秀团员中各选1 人，有8×6种不同的选法.因此，共有N=8×10+10×6 十8×6=188种不同的选法。 【随堂巩固促应用】 1.C 分两类情况讨论：第1类，直线a分别与直线b上的 8个点可以确定8个不同的平面；第 2 类，直线b分别与 直线a上的 5个点可以确定5个不同的平面.根据分类 加法计数原理知，共可以确定8+5=13个不同的平面。 2.C 要完成这件事可分两步，第一步确定b(b≠0)有 6 种方法，第二步确定 a有6种方法，故由分步乘法计数 原理知，共有6×6=36个虚数. 3.解析 由题意可知，在该电路中，只有先闭合A组2个 开关中的任意1个，再闭合B组3个开关中的任意1个 后，接通电源，灯泡才能发光。因此要完成这件事，需要 分两步，所以接通电源使灯泡发光的方法种数为 2×3 =6. 答案 6 4.解(1)小明爸爸选凳子可以分两类： 第一类，选东面的空闲凳子，有8种坐法； 第二类，选西面的空闲凳子，有6种坐法。 根据分类加法计数原理，小明爸爸共有8+6=14种 坐法。 (2)小明与爸爸分别就座，可以分两步完成： 第一步，小明先就座，从东西两面共8+6=14个凳子中 选一个坐下，共有14 种坐法(小明坐下后，空闲凳子数 变成13); 第二步，小明爸爸再就座，从东西两面共13个空闲凳子 中选一个坐下，共13种坐法. 由分步乘法计数原理，小明与爸爸分别就座共有14× 13=182种坐法。 第2课时 两个计数原理的综合应用 【自主学习探新知】 试一试 1.C 不同的选派情况可分为3类：若选甲、乙，有2种方法； 若选甲、丙，有1种方法；若选乙、丙，有1种方法.根据分类 加法计数原理知，不同的选派方法有2+1+1=4(种). 2.A 由于每班每项限报1人，故当前面的学生报了某项 之后，后面的学生不能再报，由分步乘法计数原理，共有 4×3×2=24种不同的参赛方法。 3.解析 根据题意，分两步进行分析：第一步：从五件不同 商品中选出一件，放到原来的位置上，有5种情况，假设 编号为5的位置上放的商品不变；第二步：剩下的四件 都不在原来的位置上，即编号分别为1,2,3,4的四个位 置上都不放原来的商品，则编号为1的位置有3种放 法，假设其放了2号位置原来的商品，则 2 号位置有 3 种放法，剩下编号分别为 3,4 的两个位置只有 1 种放 法，故剩下的四件商品有3×3×1=9种放法。故恰有一 件商品的位置不变的摆放方法有5×9=45(种). 答案 45 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] [解](1)三位数字的电话号码，首位可以是0, 数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有5×5×5 =53=125种，即可以排成125个三位数字的电话号码。 (2)三位数的首位不能为0,但可以有重复数字，首先考虑 首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0,因 此，共有4×5×5=100(种),即可以排成100个三位数。 (3)被2 整除的数即偶数，末位数字可取0,2,4,因此，可以 分两类，一类是末位数字是0,则有4×3=12 种排法；一类 是末位数字不是0,则末位有2种排法，即2或4,再排首 位，因0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因 此有2×3×3=18种排法。因而有12+18=30种排法，即 可以排成30个能被2 整除的无重复数字的三位数. [变式训练] 解 完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四 步：第一步定个位，只能从1,3中任取一个，有2种方法；第 二步定首位，把1,2,3,4 中除去用过的一个剩下的3个中 任取一个，有3种方法；第三步，第四步把剩下的包括0在 内的3个数字先排百位有3种方法，再排十位有2种方法. 由分步乘法计数原理知共有 2×3×3×2=36(个). [跟踪训练] 1.(1)B 由题意知，后三位数字之和为4.当某两位数字 为0时有 004,040,400,共 3种情况；当某一位数字为0 时有013,031,103,301,130,310,022,202,220,共9种 情况；当没有数字为0时有112,121,211,共3种情况. 所以首位为 2 的“六合数”共有 3+9+3=15(个).故 选B. (2)AB 对于A,可以组成无重复数字的四位数4×4× 3×2=96(个),A正确；对于 B,可以组成有重复数字的 四位数4×5×5×5—96=404(个),B正确；对于C,若 个位数为0,则有4×3×2=24(个),若个位数不为0,则 有 2×3×3×2=36(个),所以可以组成无重复数字的 四位偶数 24+36=60(个),C错误；对于D,可以组成百 位是奇数的四位偶数4×2×5×3=120(个),D错误，故 选AB. 探究二 [例2]C 方法一(直接法):以甲工厂分配班级情况进 行分类，共分为三类： 第1类，三个班级都去甲工厂，此时分配方案只有1种 情况； 第 2类，有两个班级去甲工厂，剩下的一个班级去另外 三个工厂，其分配方案共有3×3=9(种); 第3类，有一个班级去甲工厂，另外两个班级去其他三 个工厂，其分配方案共有3×3×3=27(种). 综上所述，不同的分配方案有1+9+27=37(种). 方法二(间接法):先计算三个班自由选择去何工厂的总 数，再扣除甲工厂无人去的情况，即4×4×4—3×3×3 =37 种方案. [跟踪训练] 2.解析 若每个国家都要有物资援助，可分为：粮食和药 品都有，有1种援助方案；一个国家粮食，两个国家药 品，有3种援助方案；一个国家药品，两个国家粮食，有3 种援助方案；两个国家粮食，三个国家药品，有3种援助 2 方案；两个国家药品，三个国家粮食，有3种援助方案； 一个国家粮食和药品，另两个国家各一种，有 3×(2+ 2)=12 种援助方案.故不同的援助方案共有25种. 答案 25 探究三 [例3](1)B 按区域分四步：第一步 A区域有5种颜色 可选；第二步 B区域有4种颜色可选；第三步C区域有 3种颜色可选；第四步由于可重复使用区域 A中已有过 的颜色，故 D区域也有3种颜色可选用.由分步乘法计 数原理，共有5×4×3×3=180种涂法。 (2)[解析] 分别用 a,b,c代表3种作物，先安排第一 块田，有3种方法，不妨设放入a,再安排第二块田，有两 种方法b或c,不妨设放入 b,第三块也有2种方法a 或c. (1)若第三块田放c: ba c 第四、五块田分别有2 种方法，共有2×2=4种方法. (2)若第三块田放a: a b a 第四块有b或c两种方法， ①若第四块放c: a b a C 第五块有2种方法； ②若第四块放b: ba a b 第五块只能种作物c,共1种方法。 综上，共有3×2×(2×2+2+1)=42 种方法。 [答案] 42 [跟踪训练] 3.解“同”“步”“练”“测”四个区域依次涂色，分四步. 第1步，涂“同”区域，有3种选择； 第2步，涂“步”区域，有2种选择； 第 3步，涂“练”区域，由于它与“同”“步”区域颜色不同， 有1种选择； 第4步，涂“测”区域，由于它与“同”“练”区域颜色不同， 有1种选择. 所以根据分步乘法计数原理，得不同的涂色方法共有 3×2×1×1=6(种). 【随堂巩固促应用】 1.D 分三类：第1类组成一位整数，偶数有1个；第 2 类 组成两位整数，其中偶数有2个；第 3类组成3位整数， 其中偶数有 2 个.由分类加法计数原理知共有偶数 5个. 2.解析 分两类：①甲、乙、丙、丁都不到自己的地区，组长 可任选一地有(3×3×1×1)×4=36(种);②甲、乙、丙、 丁中只一人到自己的地区，并有组长陪同有(2×1×1) ×4=8(种),所以不同的安排方法共有36+8=44(种). 答案 44 3.解析 要完成的是“4名同学每人从三个项目中选一项 报名”这件事，因为每人必报一项，4 名同学都报完才算 完成，于是按人分步，且分为四步.又每人可在三项中选 一项，选法为3种，所以共有3×3×3×3=3?=81种报 名方法.要完成的是“三个项目冠军的获取”这件事，因 为每项冠军只能由一人获得，三项冠军都有得主，这件 事才算完成，于是应以“确定三项冠军得主”为线索进行 分步，而每项冠军是4人中的某一人，有4种可能的情 况，于是共有4×4×4=43=64种可能的结果. 答案 81 64 4.解析 如图所示，将 4个小方格依次编号为 1,2,3, 4,第1个小方格可以从 5种颜色中任取一种颜色 涂上，有 5种不同的涂法，第 2 个、第 3个小方格涂 色可分两类： 1 2 3 4 第1类，当第 2个、第3个小方格涂不同颜色时，有4×3 =12 种不同的涂法，第 4个小方格有3种不同的涂法， 由分步乘法计数原理可知有 5×12×3=180种不同的 涂法； 第 2 类，当第 2个、第3个小方格涂相同颜色时，有4种 涂法，由于相邻两格不同色，因此，第 4个小方格也有4 种不同的涂法，由分步乘法计数原理可知有5×4×4= 80种不同的涂法. 由分类加法计数原理可得共有180+80=260种不同的 涂法。 答案 260 6.2 排列与组合 6.2.1 排列 6.2.2 排列数 第1课时 排列与排列数 【自主学习探新知】 知识点二 n! 试一试 1.C 共有A3=120种不同的选派方案，故选C. 2.C A?00×99X⋯×(100-12+1)=100×99×⋯ ×89. 3.解析 从原来4个节目形成的5个空中选2个空排列， 共有 A3=20种添加方法. 答案 20 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] [解](1)中票价只有三种，虽然机票是不同的， 但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题。 (2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列 问题。 (3),(4)不存在顺序问题，不属于排列问题。 (5)中每个人的职务不同，例如甲当班长与当学习委员 是不同的，存在顺序问题，属于排列问题。 (6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺 序问题，属于排列问题。 所以在上述各题中(2),(5),(6)属于排列问题。 [跟踪训练] 1.AD 对于 A,从6人中选2人分别去游泳和跳绳，选出 3