精品解析：云南省楚雄州2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷

2024-2025学年云南省楚雄州高二（上）期末数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线过点，且与直线垂直，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 在数列中，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线与圆相交于两点，则（ ） A. B. C. D. 2 5. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线的准线为，直线，动点在上运动，记点到直线与的距离分别为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知为坐标原点，.若动点满足，则正数的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 某教育行政部门为了解某校教师“学习强国”的得分情况，随机调查了该校的50位教师，这50位教师12月份的日均得分单位：分统计情况如下表： 得分 频数 5 15 20 10 根据表中数据，下列结论正确的是（ ） A. 这50位教师12月份的日均得分的中位数不低于25 B. 这50位教师12月份的日均得分不低于15分的比例超过 C. 这50位教师12月份的日均得分的极差介于20至40之间 D. 这50位教师12月份的日均得分的平均值介于30至35之间同一组中的数据用该组区间的中点值作代表 10. 设等差数列的前项和为，公差为，已知，则（ ） A. B. C. 当时，的最大值为9 D. 当时，取得最大值 11. 数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一､则下列结论正确的是（ ） A. 曲线关于轴对称 B. 曲线上任意一点到原点的距离都不超过2 C. 曲线上任意一点到原点的距离等于到直线的距离 D. 若是曲线上任意一点，则的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则______，______. 13. 在平行六面体中，，，M为的中点，则______. 14. 已知为坐标原点，双曲线与圆相交于四个点，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 （1）求B； （2）若，求的面积. 16. 记为等差数列的前n项和，已知， （1）求的通项公式； （2）若数列满足，，求的通项公式. 17. 如图，在正三棱柱中，为的中点. （1）证明：. （2）求二面角的正弦值. 18. 已知和为椭圆上两点. （1）求椭圆的方程； （2）若点在椭圆上，、是椭圆的两焦点，且，求的面积； （3）过点的直线与椭圆交于、两点，证明：为定值. 19. 已知动圆经过定点，且与直线相切，设动圆圆心的轨迹为曲线.已知点与点关于轴对称，过点作斜率为1的直线交于点，点与点关于轴对称，过点作斜率为1的直线交于点，按照上述方法构造点. （1）求曲线的方程； （2）证明为等差数列，并求出的通项公式； （3）记，求数列的前项和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年云南省楚雄州高二（上）期末数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简集合，，根据交集的定义求结论. 【详解】集合，或， 故. 故选：A . 2. 已知直线过点，且与直线垂直，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由垂直直线的斜率关系求直线的斜率，再利用点斜式求直线方程. 【详解】由题意，直线与直线垂直，故直线的斜率为， 又直线过点， 所以直线的方程为，即. 故选：A. 3. 在数列中，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由列举得到是以4为周期的周期数列求解. 【详解】解：由题意得， 故是以4为周期的周期数列， 所以. 故选：D. 4. 已知直线与圆相交于两点，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由圆方程求圆心的坐标，圆的半径，再求圆心到直线的距离，利用弦长公式求结论. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离为， 则. 故选：C. 5. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量坐标运算求出数量积及模长，再结合投影向量公式计算即可. 【详解】由已知可得， 所以向量在向量上的投影向量是. 故选：D. 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用弦化切以及余弦的倍角公式化简即可求解． 【详解】由可得：， 则 故选：B 7. 已知抛物线的准线为，直线，动点在上运动，记点到直线与的距离分别为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线的定义可知，设于点N，，当三点共线且M在中间时，取得最小值，再结合点到直线的距离公式计算可得. 【详解】设抛物线的焦点为，由抛物线的定义可知. 设于点，则.当三点共线，且在中间时，取得最小值. 由抛物线，得，所以的最小值为. 故选：B. 8. 已知为坐标原点，.若动点满足，则正数的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先设点，再根据计算得出，最后结合圆与圆的位置关系计算求参即可. 【详解】设，则. 因为，所以， 化简得，故点在以为圆心，为半径的圆上. 又因为，所以点在以为圆心，为半径的圆上. 结合题意可知两圆相交或外切或内切，所以， 解得，故正数的最大值为. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 某教育行政部门为了解某校教师“学习强国”的得分情况，随机调查了该校的50位教师，这50位教师12月份的日均得分单位：分统计情况如下表： 得分 频数 5 15 20 10 根据表中数据，下列结论正确的是（ ） A. 这50位教师12月份的日均得分的中位数不低于25 B. 这50位教师12月份的日均得分不低于15分的比例超过 C. 这50位教师12月份的日均得分的极差介于20至40之间 D. 这50位教师12月份的日均得分的平均值介于30至35之间同一组中的数据用该组区间的中点值作代表 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用中位数判断A；利用比例判断B；利用极差判断C；利用平均数判断D 【详解】对于A，这50位教师12月份的日均得分在的人数为， 日均得分在的人数为， 因此这50位教师12月份的日均得分的中位数不低于25，A正确； 对于B，这50位教师12月份的日均得分不低于15分的比例为： ，B正确； 对于C，这50位教师12月份日均得分的极差属于，C正确； 对于D，这50位教师12月份的日均得分的平均值为： ，D错误． 故选：ABC 10. 设等差数列的前项和为，公差为，已知，则（ ） A. B. C. 当时，的最大值为9 D. 当时，取得最大值 【答案】AD 【解析】 【分析】由条件，结合等差数列求和公式及性质证明，判断A，由结合等差数列通项公式证明公差，判断B，利用求和公式证明当时，，结合，判断C，由时，，时，，结合前项和的定义判断D. 【详解】设数列的公差为， 对于A，由，得， 又，所以，故A正确； 对于B，由A知，则，故B错误； 对于C，当时，，当时，， 又， 所以当时，， 且， 所以当时，的最大值为8，故C错误； 对于D，因为当时，，当时，， 所以当取得最大值时，，故D正确. 故选：AD. 11. 数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一､则下列结论正确的是（ ） A. 曲线关于轴对称 B. 曲线上任意一点到原点的距离都不超过2 C. 曲线上任意一点到原点的距离等于到直线的距离 D. 若是曲线上任意一点，则的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，若点在曲线上，由是否满足曲线的方程判断；对B，由曲线的对称性可令，结合可得，利用二次函数求得最值；对C，举反例说明；对D，根据题意，当点位于第二象限时，取得最大值，令，将代入，利用判别式判断. 【详解】对于A，若点在曲线上，则都满足曲线的方程，所以曲线关于轴对称，故A正确； 对于B，设点在曲线上，根据选项A，同理可得曲线关于轴，坐标原点对称， 由曲线的对称性可令，则，所以， 则， 所以曲线上任意一点到原点的距离都不超过2，故B正确； 对于C，易知是上一点，该点到原点的距离不等于到直线的距离，故C错误； 对于D，由曲线的对称性可知，当点位于第二象限时，取得最大值， 所以，令，将代入， 可得，解得，即的最大值为，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是根据曲线方程的特征判断曲线的对称性，结合各项描述并应用特殊象限点、两点距离公式、方程法判断各项正误为关键. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则______，______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】结合奇函数性质可求m，然后结合奇函数定义可求 【详解】由函数是定义在R上的奇函数，且当时，， 则，解得，即时，， 所以，. 故答案为：； 13. 在平行六面体中，，，M为的中点，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】由向量的加减运算及数量积的运算可得的值． 【详解】在平行六面体中，，， ，M为的中点， ， 所以. 故答案为： 14. 已知为坐标原点，双曲线与圆相交于四个点，则__________. 【答案】20 【解析】 【分析】根据双曲线和圆都关于轴对称，不妨设，，然后将圆的方程和双曲线的方程联立，利用两点间的距离和韦达定理求解. 【详解】解：双曲线和圆都关于轴对称， 不妨设，， 所以. 联立，得， 则， 故. 故答案为：20 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 （1）求B； （2）若，求的面积. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由题设条件，结合正弦定理化边为角，利用和角公式，可求得，进而求得角B； （2）首先由余弦定理求得边c，进而求得三角形面积． 【小问1详解】 由和正弦定理可得：， 因， 则得， 化简得， 因为，所以，可得， 因为，所以； 【小问2详解】 由余弦定理，可得， 即，解得或舍去， 故的面积为 16. 记为等差数列的前n项和，已知， （1）求的通项公式； （2）若数列满足，，求的通项公式. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）设数列的公差，利用等差数列的基本量运算求得，即可求得通项； （2）利用累加法即可求出时，，检验符合，即得通项. 【小问1详解】 设等差数列的公差为d， 因为，， 解得，， 故的通项公式为； 【小问2详解】 由题意，可得， 当时， ， 当时，也成立， 所以的通项公式为 17. 如图，在正三棱柱中，为的中点. （1）证明：. （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）法一：取的中点，连接，通过平面，证明，进而说明平面，即可求证；法二：由空间向量的数量积为0，即可求证； （2）建系，由二面角的向量法即可求解； 【小问1详解】 证明：（方法一）取的中点，连接. 由题意得平面平面， 所以. 因为平面平面平面， 所以平面. 因为平面，所以. 因为，所以 ， 则，所以，即. 又，所以平面. 因为平面，所以. （方法二）. 设.由题可知， 则， 所以. 【小问2详解】 解：过点作的平行线，交于点.因为平面，且平面，所以. 又因为，所以两两互相垂直，故以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系. 设，则， 则. 设平面的法向量为，则即 则，令，则，故. 设平面的法向量为，则即则，令，则，故. 设二面角的平面角为，则， 所以，即二面角的正弦值为. 18. 已知和为椭圆上两点. （1）求椭圆的方程； （2）若点在椭圆上，、是椭圆的两焦点，且，求的面积； （3）过点的直线与椭圆交于、两点，证明：为定值. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意可得出关于、的方程组，解出、的值，即可得出椭圆的方程； （2）利用余弦定理结合椭圆的定义求出的值，然后利用三角形的面积公式可求得的面积； （3）当直线的斜率为零时，直接计算出的值；当直线不与轴重合时，设直线的方程为，、，将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，结合弦长公式可求出的值，即可证得结论成立. 【小问1详解】 由题意得，解得，所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由题可知，. 在中，由勾股定理得， 则，即， 所以，故的面积是. 【小问3详解】 当的斜率为时，； 当不与轴重合时，设直线的方程为，、， 联立得， 所以，， 由韦达定理可得，. ， 故为定值. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 19. 已知动圆经过定点，且与直线相切，设动圆圆心的轨迹为曲线.已知点与点关于轴对称，过点作斜率为1的直线交于点，点与点关于轴对称，过点作斜率为1的直线交于点，按照上述方法构造点. （1）求曲线的方程； （2）证明为等差数列，并求出的通项公式； （3）记，求数列的前项和. 【答案】（1） （2）由题可知，， 可设直线的方程为. 将它与方程联立得， 所以，即， 所以是首项为1，公差为1的等差数列. 故. （3） 【解析】 【分析】（1）利用抛物线的定义即可得到结果； （2）联立直线方程和抛物线方程，用韦达定理即可证明为等差数列，进而求出的通项公式； （3）对n为奇数或者偶数分情况讨论，利用分组求和，即可求得数列的前项和. 【小问1详解】 因为动圆经过定点，且与直线相切， 即动圆圆心到点的距离与到直线的距离相等. 又点不在直线上，由抛物线的定义可知， 动圆圆心的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线， 所以动圆圆心的轨迹方程，即曲线的方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题可知，故， 则. 当为偶数时，令，则 . 当为奇数时，. 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $