第8章 专题3 独立性检验与回归方程的七类典型问题的解法(word教参)-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步练测（人教A版2019）

专题3__独立性检验与回归方程的七类典型问题的解法 [对应学生用书第97页] 题型一　独立性检验与条件概率的综合 问题 1．(云南楚雄模拟预测)全国“村BA”篮球赛点燃了全民的运动激情，深受广大球迷的喜爱．每支球队都有一个或几个主力队员，现有一支“村BA”球队，其中甲球员是其主力队员，经统计该球队在某个赛季的所有比赛中，甲球员是否上场时该球队的胜负情况如表． 甲球员是否上场 球队的胜负情况 合计 胜 负 上场 40 45 未上场 3 合计 42 (1)完成2×2列联表，并判断依据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为球队的胜负与甲球员是否上场有关； (2)由于队员的不同，甲球员主打的位置会进行调整，根据以往的数据统计，甲球员上场时，打前锋、中锋、后卫的概率分别为0.3，0.5，0.2，相应球队赢球的概率分别为0.7，0.8，0.6. ①当甲球员上场参加比赛时，求球队赢球的概率； ②当甲球员上场参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下，求甲球员打中锋的概率．(精确到0.01) 附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d. α 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 xα 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 解　(1)根据题意，得2×2列联表： 甲球员是否上场 球队的胜负情况 合计 胜 负 上场 40 5 45 未上场 2 3 5 合计 42 8 50 零假设为H0：球队的胜负与甲球员是否上场无关，此时χ2＝＝≈8.003＞6.635，所以，有99%的把握认为球队的胜负与甲球员是否上场有关． (2)由甲球员上场时，打前锋、中锋、后卫的概率分别为0.3，0.5，0.2，相应球队赢球的概率分别为0.7，0.8，0.6.①设事件A：甲球员上场打前锋，事件B：甲球员上场打中锋，事件C：甲球员上场打后卫，事件D：球队赢球，则P(A)＝0.3，P(B)＝0.5，P(C)＝0.2，P(D|A)＝0.7，P(D|B)＝0.8，P(D|C)＝0.6，所以，当甲球员上场参加比赛时，球队赢球的概率为P(D)＝P(A)P(D|A)＋P(B)P(D|B)＋P(C)P(D|C)＝0.3×0.7＋0.5×0.8＋0.2×0.6＝0.73. ②当甲球员上场参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下，甲球员打中锋的概率为P(B|D)＝＝＝≈0.55. 2．为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法抽取80名学生．通过测验得到了如表数据： 学校 数学成绩 合计 不优秀 优秀 甲校 30 10 40 乙校 20 20 40 合计 50 30 80 (1)依据小概率值α＝0.01的χ2独立性检验，分析两校学生中数学成绩优秀率之间是否存在差异；如果表中所有数据都扩大为原来的10倍．在相同的检验标准下，再用独立性检验推断学校和数学成绩之间的关联性，结论还一样吗？请你试着解释其中的原因； (2)据调查，丙校学生数学成绩的优秀率为30%，且将频率视为概率．现根据甲、乙、丙三所学校总人数比例依次抽取了24人，30人，30人进行调查访谈．如果已知从中抽到了一名优秀学生，求该名学生来自丙校的概率． 附：临界值表： α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 解　(1)因为χ2＝≈5.33＜6.635，所以两校学生中数学成绩优秀率之间没有关系，所有数据都扩大10倍后 χ2＝≈53.3＞6.635这时两校学生中数学成绩优秀率之间有关系，所以相同的检验标准下，再用独立性检验推断学校和数学成绩之间的关联性，结论不一样，主要是因为样本容量的不同，只有当样本容量越大时，用样本估计总体的准确性会越高． (2)抽取甲、乙、丙三所学校优秀学生人数分别为24×＝6，30×＝15，30%×30＝9，记A1，A2，A3分别为事件“抽到的学生来自甲、乙、丙学校”，B为事件“抽到一名优秀学生”，则P(A1)＝＝，P(A2)＝P(A3)＝＝，P(B|A1)＝＝，P(B|A2)＝＝，P(B|A3)＝＝.所以P(B)＝P(B|A1)P(A1)＋P(B|A2)P(A2)＋P(B|A3)P(A3)＝×＋×＋×＝，所以从中抽到了一名优秀学生，该名学生来自丙校的概率为P(A3|B)＝＝＝＝. 题型二　独立性检验与超几何分布的综合问题 3．2023年9月23日第19届亚运会在杭州开幕，本届亚运会共设40个竞赛大项，包括31个奥运项目和9个非奥运项目．为研究不同性别学生对杭州亚运会项目的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，设事件A＝“了解亚运会项目”，B＝“学生为女生”，据统计P(A|B)＝，P(B|A)＝. 附：χ2＝， n＝a＋b＋c＋d. α 0.050 0.010 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 (1)根据已知条件，填写下列2×2列联表，并依据α＝0.001的独立性检验，能否认为该校学生对亚运会项目的了解情况与性别有关？ 了解 不了解 合计 男生 女生 合计 (2)现从该校了解亚运会项目的学生中，采用分层随机抽样的方法随机抽取9名学生，再从这9名学生中随机抽取4人，设抽取的4人中男生的人数为X，求X的分布列和数学期望． 解　(1)因为P(A|B)＝，P(B|A)＝，所以对杭州亚运会项目了解的女生为×50＝30(人)，了解亚运会项目的学生为＝45(人)，结合男生和女生各50名，填写2×2列联表为 了解 不了解 合计 男生 15 35 50 女生 30 20 50 合计 45 55 100 零假设为H0：该校学生对杭州亚运会项目的了解情况与性别无关，根据列联表中的数据χ2＝＝≈9.091＜10.828＝x0.001，依据α＝0.001的独立性检验，可以推断H0成立，即该校学生对杭州亚运会项目的了解情况与性别无关． (2)由(1)知，采用分层随机抽样的方法随机抽取9名学生，其中男生人数为×9＝3(人)；女生人数为×9＝6(人)，由题意可得，随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3.P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.随机变量X的分布列如下： X 0 1 2 3 P 则E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 4．2023年实行新课标新高考改革的省市共有29个，选科分类是高级中学在校学生生涯规划的重要课题，某高级中学为了解学生选科分类是否与性别有关，在该校随机抽取100名学生进行调查．统计整理数据得到如下的2×2列联表： 选物理类 选历史类 合计 男生 35 15 女生 25 25 合计 100 (1)依据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否据此推断选科分类与性别有关联？ (2)在以上随机抽取的女生中，按不同选择类别同比例分层抽样，共抽取6名女生进行问卷调查，然后在被抽取的6名女生中再随机抽取4名女生进行面对面访谈．设面对面访谈的女生中选择历史类的人数为随机变量X，求随机变量X的分布列和数学期望． 附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. α 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 解　(1)2×2列联表补充如下： 选物理类 选历史类 合计 男生 35 15 50 女生 25 25 50 合计 60 40 100 零假设为H0：选科分类与性别无关联，因为χ2＝＝≈4.167＞3.841＝x0.05，根据小概率值α＝0.05的独立性检验，推断H0不成立，即认为选科分类与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05. (2)由已知，50名女学生中选择物理类和选择历史类的比例为1∶1，因此抽取的6名女生中，选择物理类和选择历史类的人数均为3名．所以随机变量X的取值为1，2，3.P(X＝1)＝＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，所以随机变量X的分布列如下表： X 1 2 3 P 所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝2. 题型三　独立性检验与二项分布的综合问题 5．为学习贯彻中央农村工作会议精神“强国必先强农，农强方能国强”，某市在某村积极开展香菇种植，助力乡村振兴．香菇的生产可能受场地、基料、水分、菌种等因素的影响，现已知香菇有菌种甲和菌种乙两个品种供挑选，菌种甲在温度20 ℃时产量为28吨/亩，在温度30 ℃时产量为20吨/亩；菌种乙在温度20 ℃时产量为22吨/亩，在温度30 ℃时产量为30吨/亩． (1)请补充完整2×2列联表，根据2×2列联表和小概率值α＝0.1的独立性检验，判断菌种甲、乙的产量与温度是否有关？ 20 ℃ 30 ℃ 合计 菌种甲 菌种乙 合计 (2)某村选择菌种甲种植，已知菌种甲在温度为20 ℃时的发芽率为，从菌种甲中任选3个，若设X为菌种甲发芽的个数，求X的分布列及数学期望． 附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. 临界值表： α 0.10 0.05 0.01 xα 2.706 3.841 6.635 解　(1) 20 ℃ 30 ℃ 合计 菌种甲 28 20 48 菌种乙 22 30 52 合计 50 50 100 零假设为H0：菌种甲、乙的产量与温度没有关系，根据表中数据，计算得χ2＝≈2.564＜2.706，根据小概率值α＝0.1的独立性检验，我们没有充分的证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即认为菌种甲、乙的产量与温度无关． (2)由题意可知，X～B，X的可能取值有0，1，2，3，由公式可得P(X＝0)＝C＝，P(X＝1)＝C＝＝，P(X＝2)＝C＝＝，P(X＝3)＝C＝，所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以E(X)＝3×＝. 6．sin αcos β＝[sin (α＋β)＋sin (α－β)]， cos αsin β＝[sin (α＋β)－sin (α－β)]， cos αcos β＝[cos (α＋β)＋cos (α－β)]， sin αsin β＝－[cos (α＋β)－cos (α－β)]这组公式被称为积化和差公式，最早正式发表于16世纪天文学家乌尔索斯1588年出版的《天文学基础》一书中．在历史上，对数出现之前，积化和差公式被用来将乘除运算化为加减运算．在现代工程中，积化和差的重要应用在于求解傅里叶级数．为了解学生掌握该组公式的情况，在高一、高三两个年级中随机抽取了100名学生进行考查，其中高三年级的学生占，其他相关数据如下表： 合格 不合格 合计 高三年级的学生 54 高一年级的学生 16 合计 100 (1)请完成2×2列联表，依据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析“对公式的掌握情况”与“学生所在年级”是否有关？ (2)以频率估计概率，从该校高一年级学生中抽取3名学生，记合格的人数为X，求X的分布列和数学期望． 附：χ2＝， n＝a＋b＋c＋d. α 0.100 0.050 0.010 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 10.828 解　(1)由100名学生中高三年级的学生占，可知高三年级的学生有60人，高一年级的学生有40人．补充完整的列联表，如下： 合格 不合格 合计 高三年级的学生 54 6 60 高一年级的学生 24 16 40 合计 78 22 100 提出零假设为H0：“对公式的掌握情况”与“学生所在年级”无关．根据列联表中的数据，得χ2＝＝≈12.59＞10.828＝x0.001.根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为“对公式的掌握情况”与“学生所在年级”有关，此推断犯错误的概率不大于0.001. (2)由(1)得，高一年级的学生对公式的掌握情况合格的频率为＝.依题意，得X～B，则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝C××＝，P(X＝2)＝C＝，P(X＝3)＝＝.所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P E(X)＝np＝3×＝. 题型四　独立性检验与正态分布的综合问题 7．某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为了了解学生参与活动的情况，随机调查了100名学生一个月(30天)完成锻炼活动的天数，制成如下频数分布表： 天数 [0，5] (5，10] (10，15] (15，20] (20，25] (25，30] 人数 4 15 33 31 11 6 (1)由频数分布表可以认为，学生参加体育锻炼天数X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本的平均数(每组数据取区间的中间值)，且σ＝6.1，若全校有3 000名学生，求参加“每天锻炼1小时”活动超过21天的人数；(精确到1) (2)调查数据表明，参加“每天锻炼1小时”活动的天数在(15，30]的学生中有30名男生，天数在[0，15]的学生中有20名男生，学校对当月参加“每天锻炼1小时”活动超过15天的学生授予“运动达人”称号．请填写下面列联表： 性别 活动天数 合计 [0，15] (15，30] 男生 女生 合计 并依据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否认为学生性别与获得“运动达人”称号有关联．如果结论是有关联，请解释它们之间如何相互影响． 附：参考数据：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＝0.682 7； P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)＝0.954 5； P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)＝0.997 3； χ2＝(n＝a＋b＋c＋d). α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 解　(1)由频数分布表知μ＝＝14.9，则X～N(14.9，6.12).∵P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＝0.682 7，∴P(X>21)＝P(X>14.9＋6.1)＝＝0.158 65，∴3 000×0.158 65＝475.95≈476，∴参加“每天锻炼1小时”活动超过21天的人数约为476人． (2)由频数分布表知，锻炼活动的天数在[0，15]的人数为4＋15＋33＝52，∵参加“每天锻炼1小时”活动的天数在[0，15]的学生中有20名男生，∴参加“每天锻炼1小时”活动的天数在[0，15]的学生中有女生人数为52－20＝32.由频数分布表知，锻炼活动的天数在(15，30]的人数为31＋11＋6＝48，∵参加“每天锻炼1小时”活动的天数在(15，30]的学生中有30名男生，∴参加“每天锻炼1小时”活动的天数在(15，30]的学生中有女生人数为48－30＝18.列联表如下： 性别 活动天数 合计 [0，15] (15，30] 男生 20 30 50 女生 32 18 50 合计 52 48 100 零假设为H0：学生性别与获得“运动达人”称号无关．χ2＝≈5.769＞3.841，依据α＝0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，即可以认为学生性别与获得“运动达人”称号有关，而且此推断犯错误的概率不大于0.05.根据列联表中的数据得到，男生、女生中活动天数超过15天的频率分别为＝0.6和＝0.36，可见男生中获得“运动达人”称号的频率是女生中获得“运动达人”称号频率的≈1.67(倍)，于是依据频率稳定与概率的原理，我们可以认为男生获得“运动达人”的概率大于女生，即男生更容易获得“运动达人”称号． 8．(全国甲卷)某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下： 优级品 合格品 不合格品 总计 甲车间 26 24 0 50 乙车间 70 28 2 100 总计 96 52 2 150 (1)填写如下列联表： 优级品 非优级品 甲车间 乙车间 能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？ (2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率p＝0.5，设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率．如果 >p＋1.65则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？ (≈12.247 ) 附：K2＝. P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 解　(1)根据题意可得列联表： 优级品 非优级品 甲车间 26 24 乙车间 70 30 可得K2＝＝＝4.687 5. 因为3.841<4.687 5<6.635， 所以有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异． (2)由题意可知，生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为＝0.64，用频率估计概率可得＝0.64 . 又因为升级改造前该工厂产品的优级品率p＝0.5， 则p＋1.65＝0.5＋1.65≈0.5＋1.65×≈0.57， 可知>p＋1.65，所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了． 题型五　用幂函数拟合非线性回归问题 9．为帮助乡村脱贫，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，测得了平均金属含量y(单位：g/m3)与样本对原点的距离x(单位：m)的数据，并作了初步处理，得到了下面的一些统计量的值． (1)利用样本相关系数的知识，判断y＝a＋bx与y＝c＋哪一个更适宜作为平均金属含量y关于样本对原点的距离x的回归方程类型？ (2)根据(1)的结果回答下列问题： ①建立y关于x的回归方程； ②样本对原点的距离x＝20时，金属含量的预报值是多少？ 附：对于一组数据(t1，s1)，(t2，s2)，…，(tn，sn)，其线性相关系数 r＝，其回归直线s＝α＋βt的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－ . 解　(1)由题y＝a＋bx的线性相关系数r1＝＝，y＝c＋的线性相关系数r2＝＝.因为＝＜1，所以|r1|＜|r2|，所以y＝c＋更适宜作为平均金属含量y关于样本对原点的距离x的回归方程类型． (2)①由(1)y＝c＋，令ui＝，＝∑ui，则y＝u＋，所以＝＝＝－10，＝－ ＝97.9－(－10)×0.21＝100，则y＝100－10u＝100－，即y＝100－. ②当x＝20时，金属含量的预报值y＝100－＝99.5(g/m3). 10．为了加快实现我国高水平科技自立自强，某科技公司逐年加大高科技研发投入．下图①是该公司2013年至2022年的年份代码x和年研发投入y(单位：亿元)的散点图，其中年份代码1～10分别对应年份2013～2022. 图① 图② 根据散点图，分别用模型①y＝bx＋a，②y＝c＋d作为年研发投入y(单位：亿元)关于年份代码x的经验回归方程模型，并进行残差分析，得到图②所示的残差图．结合数据，计算得到如下表所示的一些统计量的值： 表中ti＝，＝ ti. (1)根据残差图，判断模型①和模型②哪一个更适宜作为年研发投入y(单位：亿元)关于年份代码x的经验回归方程模型？并说明理由； (2)①根据(1)中所选模型，求出y关于x的经验回归方程； ②设该科技公司的年利润L(单位：亿元)和年研发投入y(单位：亿元)满足L＝(111.225－y)(x∈N*且x∈[1，20])，问该科技公司哪一年的年利润最大？ 附：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其经验回归直线＝＋x的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－ . 解　(1)根据图②可知，模型①的残差波动性很大，说明拟合关系较差；模型②的残差波动性很小，基本分布在0的附近，说明拟合关系很好，所以选择模型②更适宜． (2)①设t＝，所以y＝c＋dt，所以＝＝＝6.3，＝－ ＝75－6.3×2.25＝60.825，所以y关于x的经验回归方程为y＝60.825＋6.3. ②由题设可得L＝(111.225－y)＝(111.225－6.3－60.825)＝－6.3x＋50.4，当取对称轴即＝＝4，即x＝16时，年利润L有最大值，故该公司2028年的年利润最大． 题型六　用指数函数拟合非线性回归问题 11．某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备加大研发资金投入，为了解年研发资金投入额x(单位：亿元)对年盈利额y(单位：亿元)的影响，通过对“十二五”和“十三五”规划发展10年期间年研发资金投入额xi和年盈利额yi(i＝1，2，…，10)数据进行分析，建立了两个函数模型：y＝α＋βx2；y＝eλx＋t，其中α，β，λ，t均为常数，e为自然对数的底数，令ui＝x，vi＝ln yi(i＝1，2，…，10)，经计算得如下数据： (1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合度更好？ (2)根据(1)的选择及表中数据，建立y关于x的回归方程．(系数精确到0.01) 附：相关系数 回归直线＝x＋中：＝，＝－. 解　(1)设模型y＝α＋βx2的相关系数为r1，模型y＝eλx＋t的相关系数为r2，对于模型y＝α＋βx2，令u＝x2，即y＝α＋βu，所以r1＝＝≈0.87，对于模型y＝eλx＋t，有ln y＝ln eλx＋t＝λx＋t，令v＝ln y，即v＝λx＋t，所以r2＝＝＝0.9.因为r1＜r2，所以模型y＝eλx＋t拟合度更好． (2)因为＝＝＝0.18，＝－ ＝5.36－0.18×26＝0.68，所以y关于x的回归方程为y＝e0.18x＋0.68. 12．当前，新一轮科技革命和产业变革蓬勃兴起，以区块链为代表的新一代信息技术迅猛发展，现收集某地近6年区块链企业总数量相关数据，如下表： 年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 编号x 1 2 3 4 5 6 企业总数量 y(单位：百个) 50 78 124 121 137 352 (1)若用模型y＝aebx拟合y与x的关系，根据提供的数据，求出y与x的经验回归方程； (2)为了促进公司间的合作与发展，区块链联合总部决定进行一次信息化技术比赛，邀请甲、乙、丙三家区块链公司参赛．比赛规则如下：①每场比赛有两个公司参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的公司与未参加此场比赛的公司进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一个公司首先获胜两场，则本次比赛结束，该公司获得此次信息化比赛的“优胜公司”．已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，若首场由甲乙比赛，求甲公司获得“优胜公司”的概率． 参考数据：ui＝28.5，xiui＝106.05，其中，ui＝ln yi. 参考公式：对于一组数据(xi，yi)(i＝1，2，3，…，n)，其经验回归直线＝x＋的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－ . 解　(1)令u＝ln y＝ln aebx＝bx＋ln a， ＝＝3.5，＝＝4.75， 则＝ ＝＝0.36，ln ＝4.75－0.36×3.5＝3.49，所以＝e3.49，所以y＝e3.49·e0.36x＝e0.36x＋3.49. (2)设甲公司获得“优胜公司”为事件A，则P(A)＝×＋×××＋×××＝，所以甲公司获得“优胜公司”的概率为. 题型七　用对数函数拟合非线性回归问题 13．为助力乡村振兴，某电商平台为某地的农副特色产品开设直播带货专场，得到天数与直播间人数的数据如下表所示： 日期 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 日期代码x 1 2 3 4 5 6 7 直播间人数y(万人) 4 12 21 23 25 27 28 (1)求直播间人数y与日期代码x的样本相关系数；(精确到0.01) (2)若使用y＝c＋d ln x作为y关于x的回归方程模型，计算该回归方程(结果保留1位小数)，并预测至少要到哪一天直播间人数可以超过30万人． 参考公式和数据：相关系数r＝，其中ui＝ln xi， ＝ui，回归直线方程＝x＋中，＝，＝－ . xiyi x y uiyi u e2 666 140 3 268 1.2 206.4 13.2 2.65 10.8 7.39 解　(1)由题意可得＝xi＝4，＝yi＝20， xiyi＝666，x＝140，y＝3 268， 则r＝ ＝ ＝≈≈0.93. 故直播间人数y与日期代码x的样本相关系数为0.93. (2)∵y＝c＋d ln x，由题意令u＝ln x，则y＝c＋du，可得＝20，≈1.2，uiyi≈206.4，u≈13.2， 则＝≈≈12.3，＝－ ≈20－12.3×1.2≈5.2，所以＝5.2＋12.3u，故y关于x的回归方程为y＝5.2＋12.3ln x，令y＝5.2＋12.3ln x>30，整理得ln x>2.0，则x>e2≈7.39，且x∈N*，所以x≥8，故至少要到第8天才能超过30万人． 14．某剧场的座位数量是固定的，管理人员统计了最近在该剧场举办的五场表演的票价xi(单位：元)和上座率yi(上座人数与总座位数的比值)的数据，其中i＝1，2，3，4，5，并根据统计数据得到如下的散点图： (1)由散点图判断y＝bx＋a与y＝c ln x＋d哪个模型能更好地对y与x的关系进行拟合(给出判断即可，不必说明理由)，并根据你的判断结果求回归方程； (2)根据(1)所求的回归方程，预测票价为多少时，剧场的门票收入最多． 参考数据：＝240，＝0.5，x＝365 000xiyi＝457.5；设zi＝ln xi，则zi≈27，z≈147.4，ziyi≈12.7；e5.2≈180，e5.4≈220，e6.4≈600. 参考公式：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线＝＋u的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－ . 解　(1)y＝c ln x＋d能更好地对y与x的关系进行拟合．设z＝ln x，先求y关于z的线性回归方程．由已知得＝zi≈＝5.4，所以＝≈＝＝＝－0.5，＝－ ＝0.5－(－0.5)×5.4＝3.2，所以y关于z的线性回归方程为y＝－0.5z＋3.2，所以y关于x的回归方程为y＝－0.5ln x＋3.2. (2)设该剧场的总座位数为M，由题意得，门票收入为M(－0.5x ln x＋3.2x)，设函数f(x)＝－0.5x ln x＋3.2x，则f′(x)＝－0.5ln x＋2.7，当f′(x)<0，即x>e5.4时，函数单调递减，当f′(x)>0，即0<x<e5.4时，函数单调递增，所以f(x)在x＝e5.4≈220处取最大值，所以预测票价为220元时，剧场的门票收入最多． 学科网（北京）股份有限公司 $$