7.4.2 超几何分布(word教参)-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步练测（人教A版2019）

7.4.2　超几何分布 [学习任务] 1.通过具体实例,了解超几何分布.（重点） 2.能利用超几何分布解决简单的实际问题.（难点） [对应学生用书第58页] 知识点一　超几何分布 一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品,从N件产品中随机抽取n件（不放回）,用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为 P（X＝k）＝,k＝m,m＋1,m＋2,…,r. 其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m＝max{0,n－N＋M},r＝min{n,M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布. 知识点二　超几何分布的期望 E（X）＝＝np（p为N件产品的次品率）. 1.设袋中有80个红球、20个白球,若从袋中任取10个球,则其中恰有6个红球的概率为 （　　） A. C. 解析　取出的红球个数服从参数为N＝100,M＝80,n＝10的超几何分布.由超几何分布的概率公式,知从中取出的10个球中恰有6个红球的概率为. 答案　D 2．(江西南昌高二月考)已知5件产品中有2件次品，3件正品，检验员从中随意抽取2件进行检测，记取到的正品数为X，则均值E(X)为(　　) A． B． C．1 D． 解析　由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，∴E(X)＝0×＋1×＋2×＝.故选D. 答案　D 3.在含有5名男生的100名学生中,任选3人,则恰有2名男生的概率表达式为　　　　.  解析　由超几何分布的概率公式得所求概率表达式为. 答案　 [对应学生用书第58页] 探究一　超几何分布（一题多变） [例1]　一个袋中装有6个形状、大小完全相同的小球,其中红球有3个,编号为1,2,3；黑球有2个,编号为1,2；白球有1个,编号为1.现从袋中一次随机抽取3个球. （1）求取出的3个球的颜色都不相同的概率； （2）记取得1号球的个数为随机变量X,求随机变量X的分布列. [解]　（1）从袋中一次随机抽取3个球,基本事件总数n＝＝20,取出的3个球的颜色都不相同包含的基本事件的个数为＝6, 所以取出的3个球的颜色都不相同的概率为P＝＝. （2）由题意知X＝0,1,2,3, P（X＝0）＝＝,P（X＝1）＝＝, P（X＝2）＝＝,P（X＝3）＝＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 1.（变结论）例1的条件不变,若记取到白球的个数为随机变量η,求随机变量η的分布列. 解　由题意可知η＝0,1,服从两点分布.又P（η＝1）＝＝,所以η的分布列为 η 0 1 P 2.把例1的条件“一次随机抽取3个球”改为“有放回地抽取3次球,每次抽取1个球”,其他条件不变,结果又如何？ 解　（1）取出3个球颜色都不相同的概率P＝＝. （2）由题意知X＝0,1,2,3. P（X＝0）＝＝,P（X＝1）＝＝. P（X＝2）＝＝,P（X＝3）＝＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 　　超几何分布的求解步骤 （1）辨模型：结合实际情景分析所求概率分布问题是否由具有明显的两部分组成,如“男生、女生”,“正品、次品”“优劣”等,或可转化为明显的两部分.具有该特征的概率模型为超几何分布模型. （2）算概率：可以直接借助公式P（X＝k）＝求解,也可以利用排列、组合及概率的知识求解,需注意借助公式求解时应理解参数M,N,n,k的含义. （3）列分布表：把求得的概率值通过表格表示出来. 探究二　与超几何分布有关的分布 列、均值和方差问题 [例2]　(上海崇明高二期末)从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数，求： (1)所选3人中女生的人数X≤1的概率； (2)X的均值与方差． [解]　(1)由题意，得P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝＋＝.故所选3人中女生的人数X≤1的概率为. (2)由题意可知，X的可能取值为0，1，2.∵P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，∴X的分布列为 X 0 1 2 P ∴均值E(X)＝0×＋1×＋2×＝1，方差D(X)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＝. 解决与超几何分布有关的分布列、均值问题的策略 (1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中参数的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆； (2)在超几何分布中，只要知道N，n，M，就可以利用公式求出X取不同k值的概率P(X＝k)，从而求出X的分布列； (3)解决与超几何分布有关的均值问题，可利用均值的定义，也可直接套用公式E(X)＝np＝求解． 本题还可以直接利用公式计算，即E(X)＝＝＝1，D(X)＝np(1－p)＝3×××＝. 1．为发展业务，某调研组对A，B两个公司的产品需求量进行调研，准备从国内 7个人口超过1 500万的超大城市和n(n∈N＋ ) 个人口低于200万的小城市中随机抽取若干个进行统计，若一次抽取2个城市，则全是小城市的概率为. (1)求n的值； (2)若一次抽取4个城市，则 ①假设取出小城市的个数为X ，求X的分布列； ②若取出的4个城市是同一类城市，求全为超大城市的概率． 解　(1)由题意知，共(n＋7)个城市，取出2个的方法总数是 C，其中全是小城市的情况有C种，故全是小城市的概率是＝＝，整理得11n2－67n－168＝0 ，即(11n＋21)(n－8)＝0 . ∵n ∈N＋，∴n＝8. (2)①由题意可知X的所有可能取值为0，1，2，3，4. P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝. 故X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P ②若4个城市全是超大城市，共有C＝35种情况；若4个城市全是小城市，共有C＝70种情况，故全为超大城市的概率为＝＝. 探究三　超几何分布的综合应用 [例3]　(江西赣州高二期末)三门县是“中国青蟹之乡”，气候温暖、港湾平静、水质优良，以优越的自然环境成为我国优质青蟹的最佳产区．所产的三门青蟹具有“金爪、绯钳、青背、黄肚”的特征，以“壳薄、皆黄、肉嫩、味美”而著称，素有“三门青蟹、横行世界”之美誉，且营养丰富，内含人体所需的18种氨基酸和蛋白质、脂肪、钙、磷、铁等营养成分，被誉为“海中黄金，蟹中臻品”．养殖户一般把重量超过350 g的青蟹标记为A类青蟹． (1)现有一个小型养蟹池，已知蟹池中有50只青蟹，其中A类青蟹有7只，若从池中抓了2只青蟹，用ξ表示其中A类青蟹的只数，请写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望E(ξ)； (2)另有一个养蟹池，为估计蟹池中的青蟹数目N，小王先从中抓了50只青蟹，做好记号后放回池中，过了一段时间后，再从中抓了20只青蟹，发现有记号的有x只，若x＝5，试给出蟹池中青蟹数目N的估计值(以使P(x＝5)取得最大值的N为估计值). [解]　(1)由题意可知，ξ的可能取值为0，1，2.P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，则ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P 故E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝. (2)设f(N)＝P(x＝5)＝.令＝＝≥1，解得N≤199.所以当N≤199时，f(N＋1)≥f(N)，当N＞199时，f(N＋1)＜f(N)，即当N＝199或N＝200时，P(x＝5)最大．故估计蟹池中青蟹数目为199或200. 超几何分布的综合问题一般是将排列、组合、古典概型、分布列等知识融于一体，解决此类问题的关键在于正确地处理好等可能事件的概率、对立事件的概率之间的关系，并结合分布列的有关知识把相应的问题细化． 2．为了解决某地区教师资源匮乏的问题，某市教育局拟从5名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动．支教活动共分为三批次，每批次支教需要同时派送2名教师，且每批次派送人员均从这5人中随机抽选．已知这5名优秀教师中，2人有支教经验，3人没有支教经验． (1)求甲在这三批次支教活动中恰有两次被抽到的概率； (2)求第一批次抽到没有支教经验的教师人数X的分布列； (3)第二批次抽到没有支教经验的教师人数最有可能是多少？请说明理由． 解　(1)由题意，得甲每批次被抽到的概率为，则甲在这三批次支教活动中恰有两次被抽到的概率P＝C××＝. (2)X的可能取值为0，1，2.P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝.所以X的分布列为 X 0 1 2 P (3)设ξ为第二批次抽到没有支教经验的教师人数，则ξ的可能取值为0，1，2.P(ξ＝0)＝·＋·＋·＝，P(ξ＝1)＝·＋·＋·＝，P(ξ＝2)＝·＋·＋·0＝.因为P(ξ＝1)>P(ξ＝0)>P(ξ＝2)，所以第二批次抽到没有支教经验的教师人数最有可能是1. 　　　　　　对超几何分布的概念理解不透致错 [典例]　一盒中装有12个零件,其中有9个正品,3个次品,从中任取一个,如果每次取出次品后就不再放回去,再取一个零件,直到取得正品为止.求在取得正品之前已取出次品数X的分布列. [错解]　由题意可知,X的所有可能取值为0,1,2,3. P（X＝0）＝＝,P（X＝1）＝＝, P（X＝2）＝＝,P（X＝3）＝＝, 则X的分布列为 X 0 1 2 3 P [错因分析]　本题易错认为X服从超几何分布,从而得到错误的分布列,产生错误的原因是未理解超几何分布的概念.本题是不放回抽取,属于排列问题,而超几何分布是一次性抽取若干件产品,属于组合问题. [正解]　由题意可得,X的所有可能取值为0,1,2,3. P（X＝0）＝＝,P（X＝1）＝＝, P（X＝2）＝＝,P（X＝3）＝＝, 则X的分布列为 X 0 1 2 3 P [对应学生用书第61页] 1.一批产品共10件,次品率为20%,从中任取2件,则恰好取到1件次品的概率为 （　　） A.　 B. C. 解析　由题意知10件产品中有2件次品,故所求概率为P（X＝1）＝＝. 答案　B 2.从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张,则至少有3张是A的概率为 （　　） A. C.1－ 解析　设X为抽出的5张扑克牌中含A的张数,则P（X≥3）＝P（X＝3）＋P（X＝4）＝＋. 答案　D 3．已知一不透明盒子中有围棋子10粒，其中7粒黑子，3粒白子．任意取出2粒，若X表示取得白子的个数，则X的均值E(X)＝________． 解析　方法一：随机变量X的可能取值为0，1，2，则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝.所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝. 方法二：由题意知，随机变量X服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝2，则由超几何分布的均值公式知E(X)＝＝＝. 答案　 4.一个袋中装有10个红色球、20个白色球,现从中任取5个小球,令随机变量X表示取出的5个小球中红色球的个数,随机变量Y表示取出的5个小球中白色球的个数,试问：随机变量X,Y是否服从超几何分布？若服从超几何分布,它们的参数分别是多少？ 解　根据超几何分布的定义可知,随机变量X服从参数为N＝30,M＝10,n＝5的超几何分布, 随机变量Y服从参数为N＝30,M＝10,n＝5的超几何分布. 学科网（北京）股份有限公司 $$