7.2 第2课时 离散型随机变量的分布列及两点分布(word教参)-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步练测（人教A版2019）

第2课时　离散型随机变量的分布列及两点分布 [学习任务] 1.通过具体实例,理解离散型随机变量的分布列. 2.掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质. [对应学生用书第44页] 知识点一　离散型随机变量的分布列 （1）离散型随机变量的分布列 一般地,设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…,xn,我们称X取每一个值xi的概率P（X＝xi）＝pi,i＝1,2,…,n,为X的概率分布列,简称为分布列. （2）可以用表格来表示X的分布列,如下表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 还可以用图形表示,如下图直观地表示了掷骰子试验中掷出的点数X的分布列,称为X的概率分布图. 知识点二　离散型随机变量的分布列的性质 （1）pi≥0,i＝1,2,…,n； （2）p1＋p2＋…＋pn＝1. 知识点三　两点分布 对于只有两个可能结果的随机试验,用A表示“成功”,表示“失败”,定义X＝如果P（A）＝p,则P（）＝1－p,那么X的分布列如表所示 X 0 1 P 1－p p 　　我们称X服从两点分布或0－1分布. 1.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之和. 2.离散型随机变量的分布列的性质（2）可以检查所写分布列是否正确. 3.两点分布的特点：（1）两点分布中只有两个对应结果,且两个结果是对立的；（2）由对立事件的概率求法可知：P（X＝0）＋P（X＝1）＝1. 1.设离散型随机变量X的概率分布列如下表： X 1 2 3 4 P p 则p的值为 （　　） A. C. 解析　由分布列的性质,知＋＋＋p＝1,故p＝. 答案　C 2．(河南新乡高二期中)投掷两枚质地均匀的骰子，记偶数点朝上的骰子的个数为X，则X的分布列为(　　) 解析　因为每枚骰子偶数点朝上的概率均为，且相互独立，所以X的可能取值为0，1，2.P(X＝0)＝×＝，P(X＝1)＝2××＝，P(X＝2)＝×＝，所以X的分布列为 X 0 1 2 P 故选C. 答案　C 3．已知随机变量X的分布列如下： X 1 2 3 4 5 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 若Y＝2X－3，则P(Y＝5)的值为________________________________． 解析　当Y＝5时，2X－3＝5得X＝4，所以P(Y＝5)＝P(X＝4)＝0.2. 答案　0.2 [对应学生用书第45页] 探究一　求离散型随机变量的分布列 [例1]　为检测某产品的质量,现抽取5件产品,测量产品中微量元素x,y的含量（单位：毫克）,测量数据如下： 编号 1 2 3 4 5 x 169 178 166 177 180 y 75 80 77 70 81 如果产品中的微量元素x,y满足x≥177且y≥79时,该产品为优等品. 现从上述5件产品中,随机抽取2件,求抽取的2件产品中优等品数X的分布列. [解]　5件抽测品中有2件优等品,则X的可能取值为0,1,2. P（X＝0）＝＝0.3, P（X＝1）＝＝0.6, P（X＝2）＝＝0.1. ∴优等品数X的分布列为 X 0 1 2 P 0.3 0.6 0.1 　　求离散型随机变量分布列的步骤 （1）确定随机变量X的取值； （2）求出每个取值对应的概率； （3）列表对应,即为分布列. 1．袋中装有8个大小相同的小球，其中1个黑球，3个白球，4个红球． (1)若从袋中一次摸出2个小球，求小球颜色不同的概率； (2)若从袋中一次摸出3个小球，且3个小球中，黑球与白球的个数都没有超过红球的个数，记摸出红球的个数为X，求X的分布列． 解　(1)摸出的2个小球颜色不同的情况种数为CC＋CC＝19，从8个小球中摸出2个小球的情况种数为C＝28，故所求概率P＝. (2)由题意知，随机变量X的可能取值为1，2，3.符合条件的摸法有以下三种：①摸得1个红球，1个黑球，1个白球，共有CCC＝12种不同摸法；②摸得2个红球，1个其他颜色的球，共有CC＝24种不同摸法；③摸得的3个球均为红球，共有C＝4种不同摸法．故符合条件的不同摸法有12＋24＋4＝40(种).故P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.所以X的分布列为 X 1 2 3 P 探究二　分布列的性质及其应用 [例2]　设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 求：（1）2X＋1的分布列； （2）｜X－1｜的分布列. [解]　由分布列的性质知,0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1, ∴m＝0.3. 首先列表为 X 0 1 2 3 4 2X＋1 1 3 5 7 9 ｜X－1｜ 1 0 1 2 3 从而由上表得, （1）2X＋1的分布列为 2X＋1 1 3 5 7 9 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 （2）｜X－1｜的分布列为 ｜X－1｜ 0 1 2 3 P 0.1 0.3 0.3 0.3 　　离散型随机变量的分布列的性质的应用 （1）通过性质建立关系,求得参数的取值或范围,进一步求出概率,得出分布列. （2）求对立事件的概率或判断某概率是否成立. 2.（1）已知离散型随机变量X的分布列为 X 1 2 3 … n P … 则k的值为 （　　） A.　 B.1 C.2 D.3 解析　由＋＋…＋＝1,得＝1,即k＝1. 答案　B （2）设随机变量X的分布列为P（X＝i）＝（i＝1,2,3）,则P（X≥2）＝　　　　.  解析　由已知得随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P ∴＋＋＝1,∴k＝. ∴P（X≥2）＝P（X＝2）＋P（X＝3）＝＋＝＋＝. 答案　 探究三　两点分布 [例3]　袋中有5个白球,6个红球,从中摸出两球,记X＝求随机变量X的分布列. [解]　由题意知,X服从两点分布,P（X＝0）＝＝,所以P（X＝1）＝1－＝. 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 P 两点分布的四个特点 （1）两点分布中只有两个对应结果,且两结果是对立的； （2）两点分布中的两结果一个对应1,另一个对应0； （3）由对立事件的概率求法可知,已知P（X＝0）（或P（X＝1））,便可求出P（X＝1）（或P（X＝0））； （4）在有多个结果的随机试验中,如果我们只关心一个随机事件是否发生,就可以利用两点分布来研究它. 3.已知一批200件的待出厂产品中,有1件不合格品,现从中任意抽取2件进行检查,若用随机变量X表示抽取的2件产品中的次品数,求X的分布列. 解　由题意知,X服从两点分布,P（X＝0）＝＝, 所以P（X＝1）＝1－＝. 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 P 　　　　　　对随机变量分布列的性质认识不够致错 [典例]　若离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 P 4a－1 3a2＋a 求常数a. [错解]　由已知得4a－1＋3a2＋a＝1,解得a＝－2或a＝. [错因分析]　产生错解的原因在于仅仅注意到随机变量的分布列满足概率和为1,忽略了0≤pi≤1,i＝1,2,…,n. [正解]　由已知得解得a＝. [对应学生用书第47页] 1.设随机变量X等可能取值1,2,3,…,n,如果P（X＜4）＝0.3,那么 （　　） A.n＝3　 B.n＝4 C.n＝10 D.n＝9 解析　由题意知P（X＜4）＝3P（X＝1）＝0.3, ∴P（X＝1）＝0.1,又nP（X＝1）＝1,∴n＝10. 答案　C 2.若离散型随机变量X的分布列如下： X －2 －1 0 1 2 3 P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1 则当P（X＜x）＝0.8时,实数x的取值范围是 （　　） A.（－∞,1] B.[1,2] C.（1,2] D.[1,2） 解析　由分布列知, P（X＝－2）＋P（X＝－1）＋P（X＝0）＋P（X＝1） ＝0.1＋0.2＋0.2＋0.3＝0.8, ∴P（X＜2）＝0.8,故1＜x≤2. 答案　C 3．(四川成都高二月考)下列选项中的随机变量不服从两点分布的是(　　) A．抛掷一枚骰子，所得点数X B．某射击手射击一次，击中目标的次数X C．从装有除颜色外其余均相同的5个红球，3个白球的袋中任取1个球，设X＝ D．某医生做一次手术，手术成功的次数X 解析　对于选项A，抛掷一枚骰子，所得点数X的取值范围为{1，2，3，4，5，6}，所以A中的随机变量不服从两点分布；对于选项B，射击手射击一次，有击中目标和不击中目标两种可能的结果，B中的随机变量服从两点分布；对于选项C，袋中只有红球和白球，取出1个球，可能取到红球或者白球，C中的随机变量服从两点分布；对于选项D，医生做一次手术，手术可能成功，也可能失败，D中的随机变量服从两点分布．故选A. 答案　A 4.下列表中能成为离散型随机变量X的分布列的是 （　　） A. X －1 0 1 P 0.3 0.4 0.4 B. X 1 2 3 P 0.4 0.7 －0.1 C. X －1 0 1 P 0.3 0.4 0.3 D. X 1 2 3 P 0.3 0.4 0.5 解析　选项A,D不满足分布列的概率和为1,选项B不满足分布列的概率为非负数. 答案　C 学科网（北京）股份有限公司 $$