7.1.2 全概率公式(word教参)-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步练测（人教A版2019）

7.1.2　全概率公式 [学习任务] 1.理解全概率公式及其推导过程.（重点） 2.结合古典概型,利用全概率公式求事件的概率.（重点,难点） [对应学生用书第39页] 知识点一　全概率公式 一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An＝Ω,用P（Ai）＞0,i＝1,2,…,n,则对任意的事件B⊆Ω,有P（B）＝P（Ai）P（B｜Ai）.我们称上面的公式为全概率公式.全概率公式是概率论中最基本的公式之一. 知识点二　贝叶斯公式 1.设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An＝Ω,且P（Ai）＞0,i＝1,2,…,n,则对任意的事件B⊆Ω,P（B）＞0,有 P（Ai｜B）＝＝,i＝1,2,…,n. 2.在贝叶斯公式中,P（Ai）和P（Ai｜B）分别称为先验概率和后验概率. 1.若P（B）＝0.5,P（B）＝0.02,则P（BA）＝（　　） A.0.52　 B.0.48 C.0.01 D.0.2 解析　P（BA）＝P（B）－P（B）＝0.5－0.02＝0.48. 答案　B 2.袋中有50个乒乓球,其中20个是黄球,30个是白球.今有两人依次随机地从袋中各取一球,取后不放回,则第二人取得黄球的概率为（　　） A. C. 解析　设A＝“第一个人取得黄球”,B＝“第二个人取得黄球”,则P（B）＝P（A）P（B｜A）＋P（）P（B｜）＝×＋×＝. 答案　D 3．(福建福州质检)利率变化是影响某金融产品价格的重要因素，经分析师分析，最近利率下调的概率为60%，利率不变的概率是40%.根据经验，在利率下调的情况下该金融产品价格上涨的概率为80%，在利率不变的情况下价格上涨的概率为40%.则该金融产品价格上涨的概率为________. 解析　记事件A为“利率下调”，则事件为“利率不变”，记事件B为“金融产品价格上涨”．根据题意有P(A)＝60%，P()＝40%，P(B|A)＝80%，P(B|)＝40%.因为P(B)＝P(AB∪B)，所以P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝60%×80%＋40%×40%＝64%. 因此该金融产品价格上涨的概率为64%. 答案　64% [对应学生用书第40页] 探究一　全概率公式的简单应用 [例1]　（1）已知P（）＝0.4,P（｜A）＝0.6,求P（AB）. （2）已知P（A）＝0.8,P（B｜A）＝0.4,P（B｜）＝0.1,求P（B）和P（A｜B）. [解]　（1）因为P（）＝0.4,所以P（A）＝0.6,P（A）＝P（A）P（｜A）＝0.6×0.6＝0.36, P（AB）＝P（A）－P（A）＝0.6－0.36＝0.24. （2）由题意可知,P（）＝1－0.8＝0.2,所以 P（B）＝P（A）P（B｜A）＋P（）P（B｜）＝0.8×0.4＋0.2×0.1＝0.34, P（AB）＝P（A）P（B｜A）＝0.8×0.4＝0.32, 所以P（A｜B）＝＝＝. 　　解决此类问题,要熟练应用以下公式并且注意各事件间的关系： （1）P（A）＝P（AB）＋P（A）； （2）P（AB）＝P（A）P（B｜A）； （3）P（A）＝1－P（）. 1.已知P（）＝0.9,P（B｜A）＝0.6,P（B｜）＝0.4,求P（）,P（A｜B）. 解　由题意可得P（A）＝1－P（）＝0.1, P（B）＝P（A）P（B｜A）＋P（）P（B｜）＝0.1×0.6＋0.9×0.4＝0.42. P（AB）＝P（A）P（B｜A）＝0.1×0.6＝0.06,所以P（A｜B）＝＝＝. 探究二　全概率公式的实际应用 [例2]　盒中放有12个乒乓球，其中9个是新的，3个是旧的．第一次比赛时，从中任意取出了3个来用，用完后仍放回盒中(新球用后成了旧球).第二次比赛时再从盒中取出3个来用，求第二次取出的3个球均为新球的概率． [解]　设A表示第二次取出3个球均为新球，Bi为第一次取出3球中有i个新球，i＝0，1，2，3，则 P(B0)＝＝，P(B1)＝＝，P(B2)＝＝，P(B3)＝＝， P(A|B0)＝＝，P(A|B1)＝＝，P(A|B2)＝＝，P(A|B3)＝＝，所以P(A)＝(Bi)P(A|Bi)≈0.145 8. 应用全概率公式计算事件的概率时应注意： (1)要把所求概率的事件分解为若干个互斥的事件，然后利用互斥事件的性质计算概率； (2)题目没有给出明确概率的大小时，要结合排列组合知识和古典概型计算各事件的概率； (3)注意乘法公式和全概率公式的区别，乘法公式是求“几个事件发生”的概率；全概率公式是求“最后结果”的概率． 2．甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.4，0.5，0.7，飞机被一人击中而击落的概率是0.2，被两人击中而击落的概率为0.6，若三人都击中，飞机必定被击落，求飞机被击落的概率． 解　设事件A为飞机被击落，Bi为飞机被i人击落，i＝1，2，3，所以P(A|B1)＝0.2，P(A|B2)＝0.6，P(A|B3)＝1，且A＝B1A＋B2A＋B3A. 设Hi表示飞机被第i人击落，i＝1，2，3， 可得P(B1)＝P(H123＋1H23＋12H3)＝0.36， P(B2)＝P(H1H23＋1H2H3＋H12H3)＝0.41， P(B3)＝P(H1H2H3)＝0.14， 由全概率公式可得P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＝0.36×0.2＋0.41×0.6＋0.14×1＝0.458， 即飞机被击落的概率为0.458. 探究三　贝叶斯公式的应用 [例3]　已知某地居民肝癌的发病率为0.000 4.通过对血清甲胎蛋白进行检验可以检测一个人是否患有肝癌，但这种检测方法可能出错，具体是：患有肝癌但检测显示正常的概率为0.01，未患有肝癌但检测显示有肝癌的概率为0.05.目前情况下，肝癌的致死率比较高，肝癌发现得越早，治疗越有效，因此有人主张对该地区的居民进行普查，以尽早发现肝癌患者．这个主张是否合适？ [解]　上述情境中，如果患有肝癌，那么检测出来的概率为99%.然而，普查的主张是否合适，主要取决于检测结果显示患有肝癌时，实际上患有肝癌的概率．设A表示患有肝癌，B表示检测结果显示患有肝癌，则P(A)＝0.000 4，P(|A)＝0.01，P(B|)＝0.05，从而有P()＝1－P(A)＝1－0.000 4＝0.999 6，P(B|A)＝1－P(|A)＝1－0.01＝0.99.根据贝叶斯公式，则检测显示患有肝癌的居民确实患有肝癌的概率为 P(A|B)＝ ＝≈0.007 9. 这就表明，检测结果显示患有肝癌但实际上患有肝癌的概率还不到0.8%，也就是说，如果进行普查的话，在现有条件下，100个显示患有肝癌的人中，可能只有1个人是真正患有肝癌的．从这个意义上来说，进行普查并不是一个好主意． 贝叶斯公式的应用条件：若随机试验可以分两个阶段进行，且第一阶段的各试验结果具体怎样未知，那么： (1)如果要求的是第二阶段某一个结果发生的概率，则用全概率公式； (2)如果第二个阶段的某一个结果是已知的，要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率，一般用贝叶斯公式，类似于求条件概率．熟记这个特征，在遇到相关的题目时，可以准确地选择相应的方法进行求解，保证解题正确、高效． 3．(1)(湖北质量检测)某货车为乡村小学运送书籍，共10箱，其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书．到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱．现从剩下的9箱中任意打开2箱，结果都是英语书，则丢失的一箱也是英语书的概率为(　　) A．　　　B．　　　C．　　　D． (2)(天津塘沽月考)已知某人从甲地到乙地，乘火车、轮船、飞机的概率分别为0.2， 0．4，0.4，乘火车迟到的概率为0.4，乘轮船迟到的概率为0.3，乘飞机迟到的概率为0.5，则这个人迟到的概率是________；如果这个人迟到了，那么他乘轮船的概率是________. 解析　(1)用A表示“丢失一箱后任取2箱都是英语书”，Bk表示“丢失的一箱为k，k＝1，2，3分别表示英语书、数学书、语文书”，由全概率公式，得P(A)＝(Bk)P(A|Bk)＝×＋×＋×＝.由贝叶斯公式可知P(B1|A)＝＝＝.故选B. (2)用事件A，B，C分别表示“这个人乘火车、轮船、飞机”，用事件D表示“这个人迟到”，则P(A)＝0.2，P(B)＝0.4，P(C)＝0.4，P(D|A)＝0.4，P(D|B)＝0.3，P(D|C)＝0.5，所以P(D)＝P(A)P(D|A)＋P(B)P(D|B)＋P(C)P(D|C)＝0.2×0.4＋0.4×0.3＋0.4×0.5＝0.4.由贝叶斯公式，得P(B|D)＝＝＝0.3. 答案　(1)B　(2)0.4　0.3 　　　　　　混淆条件概率中的条件致误 [典例]　根据以往的记录,某种诊断肝炎的试验有如下效果：对肝炎病人的试验呈阳性的概率为0.95；非肝炎病人的试验呈阴性的概率为0.95.对自然人群进行普查的结果为：有千分之五的人患有肝炎.现有某人做此试验,结果为阳性,问此人确有肝炎的概率为多少？ [解]　设A＝“某人患有肝炎”,B＝“某人做此试验结果为阳性”, 则由已知条件有P（B｜A）＝0.95,P（｜）＝0.95,P（A）＝0.005, 从而P（）＝1－P（A）＝0.995,P（B｜）＝1－P（｜）＝0.05. 由贝叶斯公式,有P（A｜B）＝＝≈0.087. 　　本题的结果表明,虽然P（B｜A）＝0.95,P（｜）＝0.95,这两个概率都很高,但是,做此试验结果为阳性的人患有肝炎的概率只有8.7%.如果不注意这一点,将P（A｜B）和P（B｜A）搞混,将会得出错误诊断,造成不良的后果. [对应学生用书第41页] 1.（多选）下列公式正确的是 （　　） A.P（A）＝P（BA）＋P（B） B.P（B）＝P（BA）＋P（B） C.P（A）＝P（A）P（B｜A）＋P（）P（B｜） D.P（B）＝P（A）P（B｜A）＋P（）P（B｜） 解析　由互斥事件概率的加法公式可知选项B正确,由全概率公式可知选项D正确. 答案　BD 2.已知P（B）＝0.3,P（B｜A）＝0.9,P（B｜）＝0.2,则P（A）＝ （　　） A.　 B. C.0.33 D.0.1 解析　由P（B）＝P（A）P（B｜A）＋P（）P（B｜）可得0.3＝P（A）×0.9＋[1－P（A）]×0.2, 解得P（A）＝. 答案　A 3．设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01，今有一辆汽车中途停车修理，则该汽车是货车的概率为________． 解析　设B表示一辆汽车中途停车修理，A1表示该车是货车，A2表示该车是客车，则P(B|A1)＝0.02，P(B|A2)＝0.01，P(A1)＝，P(A2)＝，则B＝A1B∪A2B，由贝叶斯公式有 P(A1|B)＝＝＝0.8. 答案　0.8 4．(浙江温州期中联考)已知某次数学期末试卷中有8道4选1的单选题，学生小王能完整做对其中5道题，剩下的3道题中，有2道题有思路，1道题完全没有思路．若有思路的题做对的概率为，完全没有思路的题从4个选项中随机选一个答案，则小王从这8道题中任选1题且能够做对的概率为________． 解析　设“小王从8道题中任选1题且能够做对”为事件A，“选到能完整做对的题”为事件B，“选到有思路的题”为事件C，“选到完全没有思路的题”为事件D，则P(B)＝，P(C)＝＝，P(D)＝，P(A|B)＝1，P(A|C)＝，P(A|D)＝，所以P(A)＝P(B)P(A|B)＋P(C)P(A|C)＋P(D)P(A|D)＝×1＋×＋×＝. 答案　 学科网（北京）股份有限公司 $$