6.3.1 二项式定理(word教参)-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步练测（人教A版2019）

6.3　二项式定理 6.3.1　二项式定理 [学习任务] 1.能用计数原理证明二项式定理.（难点） 2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.（重点） 3.会用二项式定理解决有关的简单问题.（重点） [对应学生用书第22页] 知识点　二项式定理及其相关概念 二项式定理 当n是正整数时,有 （a＋b）n＝an＋an－1b1＋…＋an－kbk＋…＋bn,n∈N*. 上述公式称为二项式定理 （a＋b）n的展开式 等式右边的式子称为（a＋b）n的展开式,它共有n＋1项 通项 其中an－kbk 是展开式中的第k＋1项,叫做二项展开式的通项（通常用Tk＋1表示） 二项式系数 （k＝0,1,…,n）称为第k＋1项的二项式系数 通项公式 我们将Tk＋1＝an－kbk称为二项展开式的通项公式.其中n是正整数,k是满足0≤k≤n的正整数 1.1－2＋4－8＋…＋（－2）n＝（　　） A.1 B.1 C.（－1）n D.3n 解析　逆用二项式定理,将1看成公式中的a,－2看成公式中的b, 可得原式＝（1－2）n＝（－1）n. 答案　C 2.在的展开式中,第4项是　　　　.  解析　由通项公式可得T4＝（2x2）3·＝·（－1）3·23·x3,所以T4＝－160x3. 答案　－160x3 3.在的展开式中,x2的系数是　　　　.  解析　∵Tr＋1＝x5－r＝2rx5－3r,令5－3r＝2,得r＝1,∴T2＝2x2＝10x2,∴x2的系数是10. 答案　10 [对应学生用书第22页] 探究一　二项式定理的展开式 [例1]　（1）求的展开式. （2）化简：（x＋1）n－（x＋1）n－1＋（x＋1）n－2－…＋（－1）k（x＋1）n－k＋…＋（－1）n. [解]　（1）方法一：＝（3）4＋（3）3·＋（3）2·＋（3）·＋＝81x2＋108x＋54＋＋. 方法二：＝＝（1＋3x）4＝·[1＋·3x＋（3x）2＋（3x）3＋（3x）4]＝（1＋12x＋54x2＋108x3＋81x4）＝＋＋54＋108x＋81x2. （2）原式＝（x＋1）n＋（x＋1）n－1（－1）＋（x＋1）n－2（－1）2＋…＋（x＋1）n－k（－1）k＋…＋（－1）n＝[（x＋1）＋（－1）]n＝xn. 1.（变条件,变设问）若（1＋）4＝a＋b（a,b为有理数）,则a＋b＝　　　　.  解析　∵（1＋）4＝1＋×（）1＋×（）2＋×（）3＋×（）4＝1＋4＋18＋12＋9＝28＋16,∴a＝28,b＝16,∴a＋b＝28＋16＝44. 答案　44 2.（变设问）本例问题（1）条件不变,问题改为“求展开式中的x的系数”,该如何求解？ 解　展开式的通项为 Tk＋1＝（3）4－k· ＝34－k··x2－k. 令2－k＝1,得k＝1, 所以,x的系数为108. 　　运用二项式定理展开二项式,要记准展开式的通项公式,对于较复杂的二项式,有时先化简再展开更简捷；要搞清楚二项展开式中的项以及该项的系数与二项式系数的区别.逆用二项式定理可将多项式化简,对于这类问题的求解,要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数. 1.（1）求的展开式； （2）化简（x－1）5＋5（x－1）4＋10（x－1）3＋10（x－1）2＋5（x－1）. 解　（1）方法一：＝（）4－·（）3·＋（）2·－·＋＝x2－2x＋－＋. 方法二：＝ ＝（2x－1）4 ＝（16x4－32x3＋24x2－8x＋1） ＝x2－2x＋－＋. （2）原式＝（x－1）5＋（x－1）4＋（x－1）3＋（x－1）2＋（x－1）＋－1＝[（x－1）＋1]5－1＝x5－1. 探究二　二项展开式通项的应用 [例2]　(1)(浙江高二期中)在的展开式中，常数项为(　　) A．－192　　 B．－160　　 C．60　　 D．240 (2)(湖北武汉高二期末)(1＋x)n的展开式中x2的系数为15，则n＝(　　) A．7 B．6 C．5 D．4 [解析]　(1)二项展开式的通项为Tk＋1＝Cx6－k·＝C·(－2)k·x，k＝0，1，2，3，4，5，6.令6－k＝0，解得k＝4，所以展开式中的常数项为C·(－2)4＝240.故选D. (2)二项展开式的通项为Tk＋1＝Cxk(k＝0，1，2，3，…，n)，所以当k＝2时，T3＝Cx2.因为(1＋x)n的展开式中x2的系数为15，所以C＝15，解得n＝6.故选B. 答案　(1)D　(2)B 　　利用二项式的通项公式求二项展开式中具有某种特征的项是关于二项式定理的一类典型题型.常见的有求二项展开式中的第k项、常数项、含某字母的r次方的项等.其通常解法就是根据通项公式确定Tk＋1中k的值或取值范围以满足题设的条件. 2.已知（n∈N*）的展开式的第2项与第3项的二项式系数之比是2∶5. （1）求n的值； （2）求展开式的常数项. 解　（1）的展开式的通项为Tr＋1＝（2x）n－r＝（－1）r2n－r.由展开式的第2项与第3项的二项式系数之比是2∶5,可得∶＝2∶5,解得n＝6. （2）由（1）知Tr＋1＝（－1）r26－r.令6－r＝0,解得r＝4,所以展开式的常数项为（－1）4×26－4×＝60. 探究三　二项式系数与项的系数问题 [例3]　（1）求二项式的展开式中第6项的二项式系数及第6项的系数； （2）求的展开式中x3的系数. [解]　（1）由已知得二项展开式的通项为Tr＋1＝（2）6－r·＝26－r·（－1）r·,∴T6＝－12·. ∴第6项的二项式系数为＝6,第6项的系数为·（－1）5·2＝－12. （2）设展开式中的第r＋1项为含x3的项,则 Tr＋1＝x9－r·＝（－1）r··x9－2r, 令9－2r＝3,得r＝3,即展开式中第四项含x3,其系数为（－1）3·＝－84. 1.（变结论）本例问题（1）条件不变,问题改为“求第4项的二项式系数和第4项的系数”. 解　由通项Tr＋1＝（－1）r··26－r·, 知第4项的二项式系数为＝20, 第4项的系数为·（－1）3·23＝－160. 2.（变结论）本例问题（2）条件不变,问题改为“求展开式中x5的系数”,该如何求解. 解　设展开式中第r＋1项为含x5的项,则Tr＋1＝（－1）r··x9－2r, 令9－2r＝5,得r＝2.即展开式中的第3项含x5,且系数为＝36. 　　求某项的二项式系数或展开式中含xr的项的系数,主要是利用通项公式求出相应的项,特别要注意某项二项式系数与系数两者的区别. 3.在二项式（1＋2x）n的展开式中, （1）若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大的项的系数；（最后结果用算式表达,不用计算出数值） （2）若展开式前三项的二项式系数的和等于79,求展开式中系数最大的项.（最后结果用算式表达,不用计算出数值） 解　展开式中第k＋1项为Tk＋1＝·（2x）k＝2kxk. （1）第5项、第6项与第7项的二项式系数,,成等差数列,则2＝＋, 即2×＝＋,即n2－21n＋98＝0,解得n＝14或n＝7. 当n＝7时,二项式系数最大项为T4,T5,此时系数为23和24；当n＝14时,二项式系数最大项为T8,此时系数为27. （2）前三项的二项式系数为,,,其和为79,即＋＋＝79, 即1＋n＋＝79, 整理,得n2＋n－156＝0,解得n＝12或n＝－13（舍去）. 设展开式中第k＋1项系数最大,即解得≤k≤. 因为0≤k≤12,且k∈N,所以k＝8,即展开式中第9项的系数最大,T9＝28x8. 　　　　　　　（一）认为（a＋b）n与（b＋a）n的展开式的第k项相同致错 [例1]　若（＋x－1）n的展开式中,第5项是常数,则中间项是第几项？ [错解]　因为（＋x－1）n＝（x－1＋）n, 所以T4＋1＝·（x－1）n－4·（）4＝·. 若第5项是常数,则有＝0,解得n＝. 由于n∈N*,所以此题无解. [正解]　T4＋1＝（）n－4·（x－1）4＝·, 若第5项是常数, 则有＝0,解得n＝16. 所以中间项为第9项. 　　　　　　　（二）将（a＋b）n的展开式的通项Tk＋1＝an－k·bk看成第k项致错 [例2]　（x＋2y）5展开式的第三项是　　　　.  [错解]　展开式的第三项为·x2·（2y）3＝80x2y3. [正解]　展开式的第三项为·x3·（2y）2＝40x3y2. [答案]　40x3y2 　　　　　　　（三）（a－b）n的展开式中遗漏b的负号致错 [例3]　（x－2y）5展开式的第四项是　　　　.  [错解]　展开式的第四项为·x2·（2y）3＝80x2y3. [正解]　展开式的第四项为·x2·（－2y）3＝－80x2y3. [答案]　－80x2y3 　　　　　　　几个二项式的和或积的展开式中的特定项式特定系数的应用 [典例]　（1）求多项式的展开式. （2）求（1＋x）2·（1－x）5的展开式中x3的系数. [解]　（1）∵x2＋－2＝x2－2＋＝, ∴＝ ＝x6＋x5＋x4＋x3·＋x2＋x＋ ＝x6－6x4＋15x2－20＋－＋. （2）方法一：（1＋x）2·（1－x）5＝（1－x2）2（1－x）3＝（1－2x2＋x4）·（1－3x＋3x2－x3）, ∴x3的系数为1×（－1）＋（－2）×（－3）＝5. 方法二：∵（1＋x）2的通项Tr＋1＝·xr, （1－x）5的通项Tk＋1＝（－1）k··xk, ∴（1＋x）2·（1－x）5的通项为（－1）k···xk＋r（其中r∈{0,1,2},k∈{0,1,2,3,4,5}）, 令k＋r＝3, 则有或或 故x3的系数为－·＋·－＝5. [对应学生用书第25页] 1.S＝（x－1）4＋4（x－1）3＋6（x－1）2＋4x－3,则S＝ （　　） A.x4 B.x4＋1 C.（x－2）4 D.x4＋4 解析　S＝（x－1）4＋4（x－1）3＋6（x－1）2＋4（x－1）＋1＝（x－1）4＋（x－1）3＋（x－1）2＋（x－1）＋＝[（x－1）＋1]4＝x4.故选A. 答案　A 2．(浙江月考)已知(1－2x)n的展开式中含x3项的系数是－160，则n为(　　) A．5　　　B．6　　　C．7　　　D．8 解析　(1－2x)n的展开式的通项为Tr＋1＝C(－2x)r＝(－2)rCxr，r＝0，1，2，…，n.令r＝3，得(－2)3C＝－160，解得n＝6.故选B. 答案　B 3.的展开式中,第4项的二项式系数是　　　　,第4项的系数是　　　　.  解析　Tk＋1＝·（x2）9－k·＝··x18－3k,当k＝3时,T4＝··x9＝－x9,所以第4项的二项式系数为＝84,系数为－. 答案　84　－ 4.（x－y）（x＋y）8的展开式中x2y7的系数为　　　　.  解析　依题意,（x＋y）8的二项展开式的通项为Tk＋1＝x8－kyk,0≤k≤8,k∈N. 当k＝7时,T8＝xy7＝8xy7； 当k＝6时,T7＝x2y6＝28x2y6. 所以（x－y）（x＋y）8的展开式中含x2y7的项为x·8xy7＋（－y）·28x2y6＝－20x2y7,故x2y7的系数为－20. 答案　－20 学科网（北京）股份有限公司 $$