7.3.1 离散型随机变量的均值(课件PPT)-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步练测（人教A版2019）

单击此处添加文本具体内容 第七章　随机变量及其分布 7.3　离散型随机变量的数字特征 7.3.1　离散型随机变量的均值 [学习任务] 1.能记住离散型随机变量均值的意义,能计算简单离散型随机变量的均值.（重点） 2.能记住离散型随机变量均值的性质并会应用.（难点） 3.识记两点分布的均值. 4.会用离散型随机变量的均值反映离散型随机变量的取值水平.解决一些相关的实际问题.（重、难点） 7.3.1　离散型随机变量的均值 [对应学生用书第48页] 知识点一　离散型随机变量的均值或数学期望 一般地,若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 7.3.1　离散型随机变量的均值 则称E（X）＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn＝xipi为随机变量X的均值或数学期望,数学期望简称为期望.均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数,它综合了随机变量的取值和取值的概率,反映了随机变量取值的平均水平. 7.3.1　离散型随机变量的均值 知识点二　两点分布的期望 一般地,如果随机变量X服从两点分布,那么E（X）＝0×（1－p）＋1×p＝ 　p　⁠. p　⁠ 知识点三　离散型随机变量的均值的性质 设X的分布列为P（X＝xi）＝pi,i＝1,2,…,n. 一般地,下面的结论成立：E（aX＋b）＝aE（X）＋b. 7.3.1　离散型随机变量的均值 1.均值是离散型随机变量的一个重要特征数,反映的是随机变量取值的平均水平,它是概率意义下的平均值,不同于相应数值的平均数. 2.E（X1＋X2）＝E（X1）＋E（X2）,即两个随机变量和的均值等于均值的和. 7.3.1　离散型随机变量的均值 7.3.1　离散型随机变量的均值 7.3.1　离散型随机变量的均值 2.抛掷一枚硬币,规定正面向上得1分,反面向上得－1分,则得分X的均值为 （　　） A.0 B. C.1 D.－1 解析　因为P（X＝1）＝,P（X＝－1）＝,所以由均值的定义得E（X）＝1×＋（－1）×＝0. 答案　A 7.3.1　离散型随机变量的均值 3.设E（X）＝4,则E（2X－5）＝ 　　　　⁠.  解析　E（2X－5）＝2E（X）－5＝3. 答案　3 7.3.1　离散型随机变量的均值 [对应学生用书第48页] 探究一　利用定义求离散型随机变量的均值 [例1]　袋中有4只红球,3只黑球,今从袋中随机取出4只球,设取到一只红球得2分,取到一只黑球得1分,试求得分X的均值. 7.3.1　离散型随机变量的均值 [解]　取出4只球颜色及得分分布情况是：4红得8分,3红1黑得7分,2红2黑得6分,1红3黑得5分,因此, P（X＝5）＝＝, P（X＝6）＝＝, 7.3.1　离散型随机变量的均值 P（X＝7）＝＝, P（X＝8）＝＝. 故X的分布列为 X 5 6 7 8 P ∴E（X）＝5×＋6×＋7×＋8×＝. 7.3.1　离散型随机变量的均值 　　求离散型随机变量的均值关键是写出分布列,一般分为四步：（1）确定X的可能取值；（2）计算出P（X＝k）；（3）写出分布列；（4）利用E（X）的计算公式计算E（X）. 7.3.1　离散型随机变量的均值 1.某卫视综艺节目中有一个环节叫“超级猜猜猜”,规则如下：在这一环节中嘉宾需要猜三道题目,若三道题目中猜对一道题目可得1分,若猜对两道题目可得3分,要是三道题目完全猜对可得6分,若三道题目全部猜错,则扣掉4分.如果嘉宾猜对这三道题目的概率分别为,,,且三道题目之间相互独立.求某嘉宾在该“猜题”环节中所得分数的分布列与均值. 7.3.1　离散型随机变量的均值 解　根据题意,设X表示“该嘉宾所得分数”,则X的可能取值为－4,1,3,6. ∴P（X＝－4）＝××＝, P（X＝1）＝××＋××＋××＝, P（X＝3）＝××＋××＋××＝, P（X＝6）＝××＝＝. ∴X的分布列为 7.3.1　离散型随机变量的均值 X －4 1 3 6 P ∴E（X）＝（－4）×＋1×＋3×＋6×＝. 7.3.1　离散型随机变量的均值 探究二　离散型随机变量均值的性质 [例2]　已知随机变量X的分布列为 X －2 －1 0 1 2 P m 若Y＝－2X,则E（Y）＝ 　　　　⁠.  7.3.1　离散型随机变量的均值 [解析]　由随机变量分布列的性质,得 ＋＋＋m＋＝1,解得m＝, ∴E（X）＝（－2）×＋（－1）×＋0×＋1×＋2×＝－. 由Y＝－2X,得E（Y）＝－2E（X）,即E（Y）＝－2×＝. [答案]　 7.3.1　离散型随机变量的均值 离散型随机变量均值的性质有关问题的解题思路 若给出的随机变量Y与X的关系为Y＝aX＋b,a,b为常数,一般思路是先求出E（X）,再利用公式E（aX＋b）＝aE（X）＋b求E（Y）,也可以利用X的分布列得到Y的分布列,关键是由X的取值计算Y的取值,对应的概率相等,再由定义法求得E（Y）. 7.3.1　离散型随机变量的均值 2.已知随机变量X和Y,其中Y＝12X＋7,且E（Y）＝34,若X的分布列如下表,则m的值为（　　） X 1 2 3 4 P m n A. B. C. D. 7.3.1　离散型随机变量的均值 解析　因为Y＝12X＋7,则E（Y）＝12E（X）＋7, 即E（Y）＝12＋7＝34. 所以2m＋3n＝,① 又＋m＋n＋＝1, 所以m＋n＝,② 由①②可解得m＝. 答案　A 7.3.1　离散型随机变量的均值 探究三　离散型随机变量均值的应用 7.3.1　离散型随机变量的均值 7.3.1　离散型随机变量的均值 7.3.1　离散型随机变量的均值 7.3.1　离散型随机变量的均值 解答均值运用问题的三个步骤 　　（1）审题,确定实际问题是哪一种概率模型,可能用到的事件类型,所用的公式有哪些. （2）确定随机变量的分布列,计算随机变量的均值. （3）对照实际意义,回答概率、均值等所表示的结论. 7.3.1　离散型随机变量的均值 3.某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、周二两天内采摘完毕,基地员工一天可以完成一处种植区的采摘.由于下雨会影响药材品质,基地收益如下表所示： 周一 无雨 无雨 有雨 有雨 周二 无雨 有雨 无雨 有雨 收益 20万元 15万元 10万元 7.5万元 7.3.1　离散型随机变量的均值 若基地额外聘请工人,可在周一当天完成全部采摘任务.无雨时收益为20万元；有雨时收益为10万元.额外聘请工人的成本为a万元.已知下周一和下周二有雨的概率相同,两天是否下雨互不影响,基地收益为20万元的概率为0.36. 7.3.1　离散型随机变量的均值 （1）若不额外聘请工人,写出基地收益X的分布列及基地的预期收益； 解　（1）设下周一无雨的概率为p, 由题意知,p2＝0.36,p＝0.6, 基地收益X的可能取值为20,15,10,7.5, 则P（X＝20）＝0.36,P（X＝15）＝0.24,P（X＝10）＝0.24,P（X＝7.5）＝0.16, 所以基地收益X的分布列为 7.3.1　离散型随机变量的均值 X 20 15 10 7.5 P 0.36 0.24 0.24 0.16 基地的预期收益E（X）＝20×0.36＋15×0.24＋10×0.24＋7.5×0.16＝14.4, 所以基地的预期收益为14.4万元. 7.3.1　离散型随机变量的均值 （2）该基地是否应该外聘工人,请说明理由. 解　（2）设基地额外聘请工人时的收益为Y万元, 则其预期收益E（Y）＝20×0.6＋10×0.4－a＝（16－a）万元,E（Y）－E（X）＝1.6－a, 综上,当额外聘请工人的成本高于1.6万元时,不外聘工人；成本低于1.6万元时,外聘工人；成本恰为1.6万元时,是否外聘工人均可以. 7.3.1　离散型随机变量的均值 　　　　　　 对离散型随机变量均值的性质理解不清致误 [典例]　若X是一个离散型随机变量,则E（E（X）－X）＝ （　　） A.0 B.1 C.2E（X） D.不确定 7.3.1　离散型随机变量的均值 [解析]　由离散型随机变量均值的性质知,当Y＝aX＋b,其中a,b为常数时,有E（Y）＝aE（X）＋b.又E（X）是常数,∴E（E（X）－X）＝E（X）＋E（－X）＝E（X）－E（X）＝0. [答案]　A 7.3.1　离散型随机变量的均值 　　（1）离散型随机变量的均值E（X）是一个数值,是随机变量X本身固有的一个数字特征,它不具有随机性,反映的是随机变量取值的平均水平. 　　（2）两个随机变量的分布相同,则它们的均值一定相同；不相同均值的两个随机变量,其分布未必相同；两个随机变量的分布不同也可以有相同的均值. 7.3.1　离散型随机变量的均值 [对应学生用书第50页] 1.设随机变量X的分布列如下表,且E（X）＝1.6,则a－b＝ （　　） X 0 1 2 3 P 0.1 a b 0.1 A.0.2 B.0.1 C.－0.2 D.－0.4 7.3.1　离散型随机变量的均值 解析　由0.1＋a＋b＋0.1＝1,得a＋b＝0.8.又由E（X）＝0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0.1＝1.6,得a＋2b＝1.3,解得a＝0.3,b＝0.5,则a－b＝－0.2. 答案　C 7.3.1　离散型随机变量的均值 2.某射击运动员在比赛中每次击中10环得1分,击不中10环得0分.已知他击中10环的概率为0.8,则射击一次得分X的期望是 （　　） A.0.2 B.0.8 C.1 D.0 解析　因为P（X＝1）＝0.8,P（X＝0）＝0.2,所以E（X）＝1×0.8＋0×0.2＝0.8. 答案　B 7.3.1　离散型随机变量的均值 3.有10件产品,其中3件是次品,从中任取2件,用X表示取到次品的个数,则E（X）＝（　　） A. B. C. D.1 解析　X的可能取值为0,1,2,P（X＝0）＝＝,P（X＝1）＝＝,P（X＝2）＝＝.所以E（X）＝1×＋2×＝. 答案　A 7.3.1　离散型随机变量的均值 7.3.1　离散型随机变量的均值 知识点三　离散型随机变量的均值的性质 1．(山东济宁高二期中)若随机变量X的分布列为 X 0 1 P a 0.5 则E(X)等于(　　) A．0.8　　　　　　　　 B．0.6 C．0.5 D．0.25 解析　由0.5＋a＝1，得a＝0.5，所以E(X)＝0×0.5＋1×0.5＝0.5.故选C. 答案　C 探究三　离散型随机变量均值的应用 [例3]　某超市为了促销，规定每位顾客购物总金额超过88元可免费参加一次抽奖活动．活动规则如下：在一个不透明的纸箱中放入9个大小相同的小球，其中3个小球上标有数字1，3个小球上标有数字2，3个小球上标有数字3.每位顾客从该纸箱中一次性取出3个球，若取到的3个球上标有的数字都一样，则获得一张8元的代金券；若取到的3个球上标有的数字都不一样，则获得一张4元的代金券；若是其他情况，则获得一张1元的代金券．然后将取出的3个小球放回纸箱，等待下一位顾客抽奖． (1)记随机变量X为某位顾客在一次抽奖活动中获得代金券的金额数，求随机变量X的分布列和数学期望； (2)该超市规定，若某位顾客购物总金额不足88元，则每抽奖一次需支付2元，若您是该位顾客，从收益的角度考虑，您是否愿意参加一次抽奖活动？请说明理由． [解]　(1)由题意可知，随机变量X的所有可能取值为1，4，8.P(X＝8)＝eq \o\al(\s\up1(1),\s\do1(3)) eq \f(CC eq \o\al(\s\up1(3),\s\do1(3)) ,C eq \o\al(\s\up1(3),\s\do1(9)) ) ＝ eq \f(1,28) ，P(X＝4)＝eq \o\al(\s\up1(1),\s\do1(3)) eq \f(CC eq \o\al(\s\up1(1),\s\do1(3)) C eq \o\al(\s\up1(1),\s\do1(3)) ,C eq \o\al(\s\up1(3),\s\do1(9)) ) ＝ eq \f(9,28) ，P(X＝1)＝1－ eq \f(1,28) － eq \f(9,28) ＝ eq \f(9,14) ，所以随机变量X的分布列为 X 1 4 8 P eq \f(9,14) eq \f(9,28) eq \f(1,28) 所以随机变量X的数学期望 E(X)＝1× eq \f(9,14) ＋4× eq \f(9,28) ＋8× eq \f(1,28) ＝ eq \f(31,14) . (2)由 eq \f(31,14) >2.故从收益的角度考虑，我愿意参加一次抽奖活动． 4．对某种型号的仪器进行质量检测，每台仪器最多可检测3次，一旦发现问题，则停止检测，否则一直检测到3次为止．若该仪器一次检测中出现问题的概率为0.2，设检测次数为X，则X的数学期望为________． 解析　由题意知，X的可能取值为1，2，3，且P(X＝1)＝0.2，P(X＝2)＝0.8×0.2＝0.16，P(X＝3)＝0.8×0.8＝0.64，所以E(X)＝1×0.2＋2×0.16＋3×0.64＝2.44. 答案　2.44 $$