7.1.1 条件概率 第1课时 条件概率(课件PPT)-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步练测（人教A版2019）

单击此处添加文本具体内容 第七章　随机变量及其分布 7.1　条件概率与全概率公式 7.1.1　条件概率 第1课时　条件概率 [学习任务] 1.理解条件概率的定义.（重点） 2.掌握条件概率的计算方法.（重点） 3.利用条件概率公式解决一些简单的实际问题.（难点） 第1课时　条件概率 [对应学生用书第34页] 知识点一　条件概率的公式 条件 设A,B为两个随机事件,且P（A）＞0 含义 在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率 记作 P（B｜A） 读作 A发生的条件下B发生的概率 计算 公式 ①缩小样本空间法：P（B｜A）＝ ②公式法：P（B｜A）＝ 第1课时　条件概率 知识点二　条件概率的性质 　　设P（A）＞0,则： （1）P（Ω｜A）＝1； （2）任何事件的条件概率都在0和1之间,即0≤P（B｜A）≤1. （3）如果B和C是两个互斥事件,则P（B∪C｜A）＝P（B｜A）＋P（C｜A）. （4）设和B互为对立事件,则P（｜A）＝1－P（B｜A）. 第1课时　条件概率 1.已知P（B｜A）＝,P（AB）＝,则P（A）＝（　　） A. B. C. D. 解析　因为P（B｜A）＝,所以P（A）＝＝＝. 答案　C 第1课时　条件概率 2.根据历年气象统计资料,某地四月份吹东风的概率为,下雨的概率为,既吹东风又下雨的概率为,则在吹东风的条件下下雨的概率为（　　） A. B. C. D. 第1课时　条件概率 解析　设事件A表示四月份吹东风,事件B表示四月份下雨.根据条件概率计算公式可得在吹东风的条件下下雨的概率P（B｜A）＝＝,故选D. 答案　D 第1课时　条件概率 第1课时　条件概率 第1课时　条件概率 [对应学生用书第35页] 探究一　利用定义求条件概率 [例1]　现有6个节目准备参加比赛,其中4个舞蹈节目,2个语言类节目,如果不放回地依次抽取2个节目,求： （1）第1次抽到舞蹈节目的概率； 第1课时　条件概率 [解]　设第1次抽到舞蹈节目为事件A,第2次抽到舞蹈节目为事件B,则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB. （1）从6个节目中不放回地依次抽取2个,总的事件数n（Ω）＝＝30. 根据分步乘法计数原理,有n（A）＝＝20,所以P（A）＝＝＝. 第1课时　条件概率 （2）第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率； （2）因为n（AB）＝＝12,所以P（AB）＝＝＝. （3）（一题多解）在第1次抽到舞蹈节目的条件下,第2次抽到舞蹈节目的概率. （3）方法一：由（1）（2）,得在第1次抽到舞蹈节目的条件下,第2次抽到舞蹈节目的概率P（B｜A）＝＝＝. 方法二：因为n（AB）＝12,n（A）＝20,所以P（B｜A）＝＝＝. 第1课时　条件概率 利用定义计算条件概率的步骤 （1）分别计算概率P（AB）和P（　）； （2）将它们相除得到条件概率P（B｜A）＝,这个公式适用于一般情形,其中AB表示A与B同时发生. A 第1课时　条件概率 第1课时　条件概率 第1课时　条件概率 第1课时　条件概率 第1课时　条件概率 探究二　缩小样本点范围求条件概率（一题多变） [例2]　集合A＝{1,2,3,4,5,6},甲、乙两人各从A中任取一个数,若甲先取（不放回）,乙后取,在甲抽到奇数的条件下,求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率. [解]　将甲抽到数字a,乙抽到数字b,记作（a,b）,甲抽到奇数的情况有（1,2）,（1,3）,（1,4）,（1,5）,（1,6）,（3,1）,（3,2）,（3,4）,（3,5）,（3,6）,（5,1）,（5,2）,（5,3）,（5,4）,（5,6）,共15种.在这15种情况中,乙抽到的数比甲抽到的数大的情况有（1,2）,（1,3）,（1,4）,（1,5）,（1,6）,（3,4）,（3,5）,（3,6）,（5,6）,共9种.所以所求概率P＝＝. 第1课时　条件概率 （变结论）在本例条件下,求乙抽到偶数的概率. 解　在甲抽到奇数的情况中,乙抽到偶数的情况有（1,2）,（1,4）,（1,6）,（3,2）,（3,4）,（3,6）,（5,2）,（5,4）,（5,6）,共9种.所以所求概率P＝＝. 第1课时　条件概率 　　将原来的基本事件全体Ω缩小为已知的条件事件A,原来的事件B缩小为AB.而A中仅包含有限个基本事件,每个基本事件发生的概率相等,从而可以在缩小的概率空间上利用古典概型公式计算条件概率,即P（B｜A）＝,这里n（A）和n（AB）的计数是基于缩小的基本事件范围的. 第1课时　条件概率 2.5个乒乓球,其中3个新的、2个旧的,每次取一个,不放回地取两次,则在第一次取到新球的条件下,第二次取到新球的概率为 　　　　⁠.  解析　设第1次取到新球为事件A,第2次取到新球为事件B,则P（B｜A）＝＝＝. 答案　 第1课时　条件概率 探究三　条件概率性质的应用 [例3]　把外形相同的球分装在三个盒子中,每盒10个.其中,第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个、白球2个.试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球,若取得标有字母A的球,则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球,则在第三个盒子中任取一个球.如果第二次取出的是红球,则称试验成功,求试验成功的概率. 第1课时　条件概率 [解]　设A＝{从第一个盒子中取得标有字母A的球}, B＝{从第一个盒子中取得标有字母B的球},R＝{第二次取出的球是红球}, W＝{第二次取出的球是白球},则容易求得P（A）＝,P（B）＝,P（R｜A）＝, P（W｜A）＝,P（R｜B）＝,P（W｜B）＝. 事件“试验成功”表示为AR∪BR,又事件AR与事件BR互斥,故由概率的加法公式,得 P（AR∪BR）＝P（AR）＋P（BR）＝P（R｜A）P（A）＋P（R｜B）P（B）＝×＋×＝0.59. 第1课时　条件概率 　　当所求事件的概率相对较复杂时,往往把该事件分成两个（或多个）互不相容的较简单的事件之和,求出这些简单事件的概率,再利用P（B∪C｜A）＝P（B｜A）＋P（C｜A）求得较复杂事件的概率. 第1课时　条件概率 3.在某次考试中,要从20道题中随机抽出6道题,若考生至少能答对其中4道题即可通过,至少能答对其中5道题就获得优秀.已知某考生能答对其中10道题,并且知道他在这次考试中已经通过,求他获得优秀成绩的概率. 第1课时　条件概率 解　记事件A为“该考生6道题全答对”,事件B为“该考生答对了其中5道题,另一道答错”,事件C为“该考生答对了其中4道题,另2道题答错”,事件D为“该考生在这次考试中通过”,事件E为“该考生在这次考试中获得优秀”,则A,B,C两两互斥,且D＝A∪B∪C,E＝A∪B,可知P（D）＝P（A∪B∪C）＝P（A）＋P（B）＋P（　C　） ＝＋＋＝,P（AD）＝P（A）,P（BD）＝P（　B　）, P（E｜D）＝P（A｜D）＋P（B｜D）＝＋ 解　记事件A为“该考生6道题全答对”,事件B为“该考生答对了其中5道题,另一道答 错”,事件C为“该考生答对了其中4道题,另2道题答错”,事件D为“该考生在这次考试 中通过”,事件E为“该考生在这次考试中获得优秀”,则A,B,C两两互斥,且D＝ A∪B∪C,E＝A∪B,可知P（D）＝P（A∪B∪C）＝P（A）＋P（B）＋P（ C ） ＝＋＋＝,P（AD）＝P（A）,P（BD）＝P（ B ）, P（E｜D）＝P（A｜D）＋P（B｜D）＝＋ 第1课时　条件概率 ＝＋＝. 故获得优秀成绩的概率为. ＝＋＝. 故获得优秀成绩的概率为. 第1课时　条件概率 　　　　　　 （一）不能准确识别条件概率致错 [例1]　甲、乙两地都位于长江下游,根据多年的气象记录知道,甲、乙两地一年中雨天所占比例分别为20%和18%,两地同时下雨的比例为12%,则甲地为雨天时,乙地为雨天的概率为 （　　） A.3.6% B.12% C. D. 第1课时　条件概率 [错解一]　设事件A为“甲地为雨天”,事件B为“乙地为雨天”,且P（A）＝20%,P（B）＝18%,所以甲地为雨天时,乙地为雨天的概率是20%×18%＝3.6%,故选A. [错解二]　根据题意知,甲地为雨天时,乙地为雨天的概率等价于两地同时下雨的概率,为12%,故选B. [错解三]　设事件A为“甲地为雨天”,事件B为“乙地为雨天”,且P（A）＝20%,P（B）＝18%,P（AB）＝12%,P（B｜A）＝＝＝,故选C. 第1课时　条件概率 [错因分析]　错解一和错解二主要是没有认识到此题是条件概率,“甲地为雨天时,乙地为雨天的概率”的意思是“在甲地为雨天的前提下,乙地为雨天的概率”,另外20%×18%＝3.6%≠12%,说明两地相互之间下雨与否会相互影响,错解三主要是对条件概率公式记错或者是未能认准谁是条件导致错误,事实上,如果求乙地为雨天时,甲地为雨天的概率,答案便是. [正解]　设事件A为“甲地为雨天”,事件B为“乙地为雨天”,且P（A）＝20%,P（B）＝18%,P（AB）＝12%,P（B｜A）＝＝＝.故选D. [答案]　D 第1课时　条件概率 　　计算条件概率时,要判断是否为条件概率,若题目中出现“在……前提下”等字眼,一般为条件概率.若题目中没有出现上述字眼,但已知事件的出现影响了所求事件的概率时,也需要考虑是否为条件概率. 第1课时　条件概率 [例2]　袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球（只有颜色不同）,不放回抽取,每次任取一球,取两次,求： （1）第二次才取到黄球的概率； [解]　（1）设A表示“第一次取到白球”,B表示“第二次取到黄球”,C表示“第二次才取到黄球”. 则P（C）＝P（AB）＝P（A）P（B｜A）＝×＝. 　　　　　　 （二）混淆“条件概率P（B｜A）”与“积事件的概率P（AB）”致错 第1课时　条件概率 （2）取出的两个球其中之一是黄球时,另一个也是黄球的概率. [解]　（2）记D表示“其中之一是黄球”,E表示“两个都是黄球”,F表示“其中之一是黄球时,另一个也是黄球”. 则P（F）＝P（E｜D）＝＝＝. 第1课时　条件概率 　　本题错误在于对P（AB）与P（BA）的含义没有弄清,P（AB）表示在样本空间A中,A与B同时发生的概率；而P（B｜A）表示在缩减的样本空间SA中,作为条件的事件A已经发生的条件下事件B发生的概率. 第1课时　条件概率 [对应学生用书第37页] 第1课时　条件概率 1.（多选）下列说法正确的是 （　　） A.P（AB）＝P（A）P（B｜A） B.P（AB）＝P（A）P（A｜B） C.P（AB）≤P（A） D.P（AB）≤P（B｜A） 解析　由乘法公式可知选项A正确,则选项B不正确,因为0≤P（B｜A）≤1,P（AB）＝P（A）P（B｜A）,所以P（AB）≤P（A）,所以C正确；因为0≤P（A）≤1,P（AB）＝P（A）P（B｜A）,所以P（AB）≤P（B｜A）,所以D正确. 答案　ACD 第1课时　条件概率 2.将两枚质地均匀的骰子各掷一次,设事件A＝{两个点数互不相同},B＝{出现一个5点},则P（B｜A）＝ （　　） A. B. C. D. 解析　出现点数互不相同的共有6×5＝30（种）,出现一个5点共有5×2＝10（种）,所以P（B｜A）＝＝. 答案　A 第1课时　条件概率 第1课时　条件概率 第1课时　条件概率 4.某班学生考试成绩中,数学不及格的占15%,语文不及格的占5%,两门都不及格的占3%.已知一学生数学不及格,则他语文也不及格的概率是 　　　　⁠.  解析　记“数学不及格”为事件A,“语文不及格”为事件B,P（B｜A）＝＝＝0.2,所以数学不及格时,该生语文也不及格的概率为0.2. 答案　0.2 第1课时　条件概率 知识点二　条件概率的性质 3．(吉林长春高二月考)一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中2个红色球(标号为1和2)2个绿色球(标号为3和4)，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率为________. 解析　从袋中不放回地依次随机摸出2个球，设第一次摸到红球为事件A，则n(A)＝C eq \o\al(\s\up1(1),\s\do1(2)) C eq \o\al(\s\up1(1),\s\do1(3)) ＝6，设两次都摸到红球为事件B，则n(B)＝A eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) ＝2，则在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率P＝ eq \f(n（B）,n（A）) ＝ eq \f(2,6) ＝ eq \f(1,3) . 答案　 eq \f(1,3) 探究一　利用定义求条件概率 1．(1)(北京房山期中)夏季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别为 eq \f(1,3) ， eq \f(1,4) ，且两地同时下雨的概率为 eq \f(1,6) ，则在夏季的一天里，在乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率为(　　) A． eq \f(1,12) B． eq \f(1,2) C． eq \f(2,3) D． eq \f(3,4) (2)(山西期中)袋中有大小和形状都相同的3个白球和2个黑球，现从袋中不放回地依次取两个球，则在第一次取到白球的条件下，第二次也取到白球的概率是(　　) A． eq \f(3,4) B． eq \f(3,5) C． eq \f(1,2) D． eq \f(3,10) 解析　(1)记事件A为甲地下雨，事件B为乙地下雨，则P(A)＝ eq \f(1,3) ，P(B)＝ eq \f(1,4) ，P(AB)＝ eq \f(1,6) ， 所以P(A|B)＝ eq \f(P（AB）,P（B）) ＝ eq \f(\f(1,6),\f(1,4)) ＝ eq \f(2,3) .故选C. (2)记第i次取到白球为事件Ai(i＝1，2)，则P(A2|A1)＝ eq \f(P（A1A2）,P（A1）) ＝ eq \f(\f(3,5)×\f(2,4),\f(3,5)) ＝ eq \f(1,2) .故选C. 答案　(1)C　(2)C 3．(广东广州高二期末)随着广州的城市生态环境越来越好，越来越多的家庭选择市区景点轻松度周末．现有两个家庭，他们分别从“南沙海滨公园”“白云山”“海珠湿地公园”“大夫山森林公园”“火炉山森林公园”这5个户外景点中随机选择1个景点度周末．记事件A为“两个家庭中至少有一个家庭选择白云山”，事件B为“两个家庭选择的景点不同”，则P(B|A)＝(　　) A． eq \f(2,3) B． eq \f(7,8) C． eq \f(8,9) D． eq \f(9,10) 解析　两个家庭选择景点的试验有52个基本事件，事件A含有的基本事件数为C eq \o\al(\s\up1(1),\s\do1(2)) C eq \o\al(\s\up1(1),\s\do1(4)) ＋C eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) ＝9，事件AB含有的基本事件数为C eq \o\al(\s\up1(1),\s\do1(2)) C eq \o\al(\s\up1(1),\s\do1(4)) ＝8，则P(A)＝ eq \f(9,52) ＝ eq \f(9,25) ，P(AB)＝ eq \f(8,52) ＝ eq \f(8,25) ，所以P(B|A)＝ eq \f(P（AB）,P（A）) ＝ eq \f(8,9) .故选C. 答案　C $$