6.3.2 二项式系数的性质(课件PPT)-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步练测（人教A版2019）

单击此处添加文本具体内容 第六章　计数原理 6.3　二项式定理 6.3.2　二项式系数的性质 [学习任务] 1.能记住二项式系数的性质,并能解决相关问题.（重点） 2.会用“赋值法”求展开式系数的和.（难点） 6.3.2　二项式系数的性质 [对应学生用书第25页] 知识点　二项式系数的性质 性质 内容 对称性 ＝,即二项展开式中,与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等 6.3.2　二项式系数的性质 增减性与最大值 当二项式的幂指数n是偶数时,中间的一项取得最大值 当n为奇数时,中间的两项与相等,且同时取得最大值 各二项式系 数的和 二项展开式中各二项式系数的和等于2n,即＋＋＋…＋＝2n 奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和,都等于2n－1,即＋＋＋…＝＋＋＋…＝2n－1 续表 6.3.2　二项式系数的性质 6.3.2　二项式系数的性质 2.在（x＋y）n的展开式中,第4项与第8项的系数相等,则展开式中系数最大的项是 （　　） A.第6项 B.第5项 C.第5,6项 D.第6,7项 解析　由题意,得第4项与第8项的系数相等,则其二项式系数也相等, ∴＝,由组合数的性质,得n＝10. ∴展开式中二项式系数最大的项为第6项,它也是系数最大的项. 答案　A 6.3.2　二项式系数的性质 3.若（2－x）10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10,则a8＝ 　　　　⁠.  解析　由题意可知a8是x8的系数,所以a8＝·22＝180. 答案　180 6.3.2　二项式系数的性质 [对应学生用书第26页] 探究一　二项展开式的系数和问题 [例1]　若（3x－1）7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0,求： （1）a1＋a2＋…＋a7； [解]　（1）令x＝0,则a0＝－1,令x＝1,则a7＋a6＋…＋a1＋a0＝27＝128.① ∴a1＋a2＋…＋a7＝129. 6.3.2　二项式系数的性质 [解]　（2）令x＝－1,则－a7＋a6－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝（－4）7,② 由得a1＋a3＋a5＋a7＝[128－（－4）7]＝8256. （3）a0＋a2＋a4＋a6； [解]　（3）由得a0＋a2＋a4＋a6＝[128＋（－4）7]＝－8128. （2）a1＋a3＋a5＋a7； 6.3.2　二项式系数的性质 [解]　（4）方法一：∵（3x－1）7展开式中a0,a2,a4,a6均小于零,a1,a3,a5,a7均大于零, ∴｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a7｜＝a1＋a3＋a5＋a7－（a0＋a2＋a4＋a6）＝ 8 256－（－8 128）＝16 384. 方法二：｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a7｜, 即为（1＋3x）7展开式中各项的系数和, ∴｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a7｜＝（1＋3）7＝47＝16 384. （4）｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a7｜. 6.3.2　二项式系数的性质 　　“赋值法”是解决二项展开式中项的系数的常用方法,根据题目要求,灵活赋给字母不同值.一般地,要使展开式中项的关系变为系数的关系,令x＝0可得常数项,令x＝1可得所有项系数之和,令x＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差. 6.3.2　二项式系数的性质 1.若（x2－3x＋2）5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10. （1）求a1＋a2＋…＋a10的值； 解　（1）令f（x）＝（x2－3x＋2）5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10,a0＝f（0）＝25＝32,a0＋a1＋a2＋…＋a10＝f（1）＝0, 故a1＋a2＋…＋a10＝－32. 6.3.2　二项式系数的性质 （2）求（a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10）2－（a1＋a3＋a5＋a7＋a9）2的值. 解　（2）（a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10）2－（a1＋a3＋a5＋a7＋a9）2＝（a0＋a1＋a2＋…＋a10）（a0－a1＋a2－…＋a10）＝f（1）·f（－1）＝0. 6.3.2　二项式系数的性质 探究二　二项展开式中系数或二项式系数最大的项的问题 [例2]　已知（1＋3x）n的展开式中,末三项的二项式系数的和等于121,求： （1）展开式中二项式系数最大的项； [解]　（1）由已知得＋＋＝121, 则n（n－1）＋n＋1＝121, 即n2＋n－240＝0,解得n＝15或n＝－16（舍去）,所以展开式中二项式系数最大的项是T8＝（3x）7和T9＝（3x）8. 6.3.2　二项式系数的性质 （2）展开式中系数最大的项.（结果可以以组合数形式表示） [解]　（2）Tr＋1＝（3x）r,设≤1,则≤1,即≤1,解得r≤12,同理,由≥1,解得r≥11,所以展开式中系数最大的项对应的r＝11,12,即展开式中系数最大的项是T12＝（3x）11和T13＝（3x）12. 6.3.2　二项式系数的性质 1.（变结论）在本例条件下,求系数最大的项与系数最小的项. 解　由本例（2）知,展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大,第6项的系数为负,第7项的系数为正. 故系数最大的项为T7＝·26·x－11＝1792x－11. 系数最小的项为T6＝（－1）5·25＝－1792. 6.3.2　二项式系数的性质 2.（变条件）在的展开式中,只有第5项的二项式系数最大,求展开式中常数项. 解　由题意知n＝8,通项为Tk＋1＝（－1）k···, 令8－k＝0,得k＝6,故常数项为第7项,且T7＝（－1）6··＝7. 6.3.2　二项式系数的性质 　　（1）求二项式系数最大的项,根据二项式系数的性质,当n为奇数时,中间两项的二项式系数最大；当n为偶数时,中间一项的二项式系数最大. （2）求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的,需根据各项系数的正、负变化情况,一般采用列不等式组,解不等式组的方法求得. 6.3.2　二项式系数的性质 6.3.2　二项式系数的性质 6.3.2　二项式系数的性质 6.3.2　二项式系数的性质 探究三　用二项式定理证明整除问题 [例3]　（1）用二项式定理证明1110－1能被100整除； [解]　（1）证明：因为1110－1＝（10＋1）10－1 ＝（1010＋×109＋…＋×10＋1）－1 ＝1010＋×109＋×108＋…＋102 ＝100（108＋×107＋×106＋…＋1）. 故1110－1能被100整除. 6.3.2　二项式系数的性质 （2）求9192被100除所得的余数. [解]　（2）9192＝（100－9）92＝×10092－×10091×9＋×10090×92－…＋×992, 因为展开式中前92项均能被100整除,所以只需求最后一项除以100的余数. 又992＝（10－1）92＝×1092－×1091＋…＋×102－×10＋1. 前91项均能被100整除,后两项和为－919,因余数为正,可从前面的数中分离出1000, 结果为1000－919＝81,故9192被100除所得的余数为81. 6.3.2　二项式系数的性质 1.利用二项式定理处理整除问题,通常先把底数写成除数（或与除数有密切关系的数）与某数的和或差的形式,再利用二项式定理展开,只考虑后面（或前面）一、二项就可以了. 2.解决求余数问题,必须构造一个与题目条件有关的二项式. 3.要注意余数的范围.a＝c·r＋b,其中b为余数,b∈[0,r）,r是除数,利用二项式定理对展开式进行变形后,若剩余部分是负数,则需要转换. 6.3.2　二项式系数的性质 3.求证：32n＋2－8n－9（n∈N*）能被64整除. 证明　32n＋2－8n－9 ＝（8＋1）n＋1－8n－9 ＝8n＋1＋8n＋…＋－8n－9 ＝8n＋1＋8n＋…＋82＋（n＋1）×8＋1－8n－9 ＝8n＋1＋8n＋…＋82.① ①式中的每一项都含有82这个因数,故原式能被64整除. 6.3.2　二项式系数的性质 　　　　　　　 二项展开式中的二项式系数与该项的系数混淆致错 [典例] （x＋2）8展开式的第3项的二项式系数为 　　　　⁠. [错解]展开式的通项Tk＋1＝·x8－k·2k. 当k＝2时,得第3项的二项式系数为×22＝112. [正解]　展开式的通项Tk＋1＝·x8－k·2k. 当k＝2时,得第3项的二项式系数为＝28. [答案]　28 6.3.2　二项式系数的性质 　　　　　　 与二项式定理有关的重要题型 与二项式定理有关的问题包括定理的正向应用、逆向应用,题型如证明整除性、证明一些简单的组合恒等式等,此时主要是构造二项式,合理应用展开式. 1.形如（a＋b）n（c＋d）m的展开式问题 （1）若n,m中一个比较小,可考虑把它展开,如（a＋b）2·（c＋d）m＝（a2＋2ab＋b2）（c＋d）m,然后展开分别求解. 6.3.2　二项式系数的性质 （2）观察（a＋b）n（c＋d）m是否可以合并,如（1＋x）5（1－x）7＝[（1＋x）（1－x）]5（1－x）2＝（1－x2）5（1－x）2. （3）分别得到（a＋b）n,（c＋d）m的通项公式,综合考虑. 2.形如（a＋b＋c）n的展开式问题 三项或三项以上的式子的展开问题,应根据式子的特点,转化为二项式来解决,转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合,项与项结合时要注意合理性和简捷性. 6.3.2　二项式系数的性质 3.求解整除或余数问题的基本步骤 （1）合理变形,常用的变形方法就是拆数,往往是将底数写成两数的和,并且其中一个数是除数的倍数. （2）用二项式定理展开,保证展开后的大部分项是除数的倍数,进而可证明或判断被除数能否被除数整除,若不能整除,则可求出余数. 6.3.2　二项式系数的性质 类型一　形如（a＋b）n（c＋d）m的展开式问题 [例1]　（1）（1－）6（1＋）4的展开式中x的系数是（　　） A.－4 B.－3 C.3 D.4 （2）已知（1＋ax）（1＋x）5的展开式中x2的系数为5,则a＝ 　　　　⁠.  6.3.2　二项式系数的性质 [解析]　（1）方法一：（1－）6的展开式的通项为·（－）m＝（－1）m,（1＋）4的展开式的通项为（）n＝,其中m＝0,1,2,…,6,n＝0,1,2,3,4. 令＋＝1,得m＋n＝2,所以m＝0,n＝2或m＝n＝1或m＝2,n＝0,于是（1－）6（1＋）4的展开式中x的系数等于·（－1）0·＋·（－1）1·＋·（－1）2·＝－3. 6.3.2　二项式系数的性质 方法二：（1－）6（1＋）4＝[（1－）（1＋）]4（1－）2＝（1－x）4（1－2＋x）,于是（1－）6（1＋）4的展开式中x的系数为·1＋·（－1）1·1＝－3. （2）（1＋ax）（1＋x）5＝（1＋x）5＋ax（1＋x）5. ∴x2的系数为＋a, 则10＋5a＝5,解得a＝－1. [答案]　（1）B　（2）－1 6.3.2　二项式系数的性质 类型二　形如（a＋b＋c）n的展开式问题 [例2]　的展开式中的常数项是 　　　　⁠.  [解析]　方法一：原式＝, ∴展开式的通项为＝（（k1＝0,1,2,…,5）. 当k1＝5时,T6＝（）5＝4, 当0≤k1≤5时,的展开式的通项为 6.3.2　二项式系数的性质 T＝＝·（k2＝0,1,2,…,5－k1）. 令5－k1－2k2＝0,即k1＋2k2＝5. ∵0≤k1＜5且k1∈Z,∴或 ∴常数项为4＋×＋××（）3＝4＋＋20＝. 6.3.2　二项式系数的性质 方法二：原式＝＝·[（x＋）2]5＝·（x＋）10. 求原式的展开式中的常数项,转化为求（x＋）10的展开式中含x5项的系数,即·（）5. ∴所求的常数项为＝. [答案]　 6.3.2　二项式系数的性质 [对应学生用书第29页] 6.3.2　二项式系数的性质 2.（多选）关于（a－b）10的说法,正确的是（　　） A.展开式中的二项式系数之和为1 024 B.展开式中的第6项的二项式系数最大 C.展开式中第5项或第7项的二项式系数最大 D.展开式中第6项的系数最小 解析　根据二项式系数的性质进行判断,由二项式系数的性质知：二项式系数之和为210,故A正确；当n为偶数时,二项式系数最大的项是中间一项,故B正确,C错误；D也是正确的,因为展开式中第6项的系数是负数,所以是系数中最小的. 答案　ABD 6.3.2　二项式系数的性质 3.已知（1＋2x）8展开式的二项式系数的最大值为a,系数的最大值为b,则的值是（　　） A. B. C. D.26 6.3.2　二项式系数的性质 解析　由题意可得a＝＝70,又展开式的通项公式Tr＋1＝2rxr, 设第r＋1项的系数最大,则即 求得r＝5或r＝6,此时,b＝7×28,∴＝,故选B. 答案　B 6.3.2　二项式系数的性质 4.设（2－1）n的展开式的各项系数之和为M,二项式系数之和为N,若M,8,N三数成等比数列,则展开式中的第四项为 　　　　⁠.  解析　当x＝1时,可得M＝1,二项式系数之和N＝2n,由已知M·N＝64,∴2n＝64,n＝6.∴第四项T4＝·（2）3·（－1）3＝－160x. 答案　－160x 6.3.2　二项式系数的性质 1．(河北邢台月考)在(1＋x)5的展开式中，各二项式系数的和是(　　) A．2　　　B．8　　　C．16　　　D．32 解析　在(1＋x)5的展开式中，各二项式系数的和是25＝32.故选D. 答案　D 探究二　二项展开式中系数或二项式系数最大的项的问题 2．(1)已知f(x)＝( eq \r(3,x2) ＋3x2)n的展开式中，各项的系数和比各项的二项式系数和大992.求展开式中二项式系数最大的项． (2)已知 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(2,x2))) eq \s\up12(n) 的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，求该展开式中系数最大的项． 解　(1)令x＝1，可得各项系数和为f(1)＝(1＋3)n＝4n，展开式各项的二项式系数之和为2n.由已知得4n－2n＝992，即(2n)2－2n－992＝0，解得2n＝32或2n＝－31(舍去)，∴n＝5，∴( eq \r(3,x2) ＋3x2)5的展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是T3＝C eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(5)) (x ) eq \o\al(\s\up1(3),\s\do1(5)) 3·(3x2)2＝90x6，T4＝C(x )2(3x2)3＝270x . _1787899225.psd (2)由题意可知 eq \f(n,2) ＋1＝6，解得n＝10，故展开式的通项为Tr＋1＝C eq \o\al(\s\up1(r),\s\do1(10)) 2rx eq \s\up6(\f(10－5r,2)) .设第r＋1项的系数最大，则eq \o\al(\s\up1(r),\s\do1(10)) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(C2r≥C eq \o\al(\s\up1(r－1),\s\do1(10)) 2r－1，,C eq \o\al(\s\up1(r),\s\do1(10)) 2r≥C eq \o\al(\s\up1(r＋1),\s\do1(10)) 2r＋1，)) 即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(2,r)≥\f(1,11－r)，,\f(1,10－r)≥\f(2,r＋1)，)) 解得 eq \f(19,3) ≤r≤ eq \f(22,3) . ∵r∈N，∴r＝7，∴展开式中的系数最大的项为 T8＝C eq \o\al(\s\up1(7),\s\do1(10)) 27x－ ＝15 360x－ . 1．(河北保定期末)若实数a＝2－ eq \r(2) ，则a10－2C eq \o\al(\s\up1(1),\s\do1(10)) a9＋22C eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(10)) a8－…＋210等于(　　) A．32　　B．－32　　C．1 024　　D．512 解析　a10－2C eq \o\al(\s\up1(1),\s\do1(10)) a9＋22C eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(10)) a8－…＋210＝(a－2)10，当a＝2－ eq \r(2) 时，(a－2)10＝32. 答案　A $$