6.2.3 组合 6.2.4 组合数 第2课时 组合与组合数的应用(课件PPT)-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步练测（人教A版2019）

单击此处添加文本具体内容 第六章　计数原理 6.2.3　组合　6.2.4　组合数 第2课时　组合与组合数的应用 [学习任务] 1.能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题.（重点） 2.能解决有限制条件的组合问题.（重点,难点） 第2课时　组合与组合数的应用 [对应学生用书第17页] 1.七人并排站成一行,如果甲、乙两人必须不相邻,那么不同的排法种数是 （　　） A.1 440种 B.3 600种 C.4 820种 D.4 800种 解析　除甲、乙外,其余5个排列数为种,再用甲、乙去插6个空位有种,不同的排法种数是＝3600（种）,选B. 答案　B 第2课时　组合与组合数的应用 2.编号为1,2,3,4,5,6,7的七盏路灯,晚上用时只亮三盏灯,若任意两盏亮灯不相邻,则不同的开灯方案有 （　　） A.10种 B.12种 C.15种 D.18种 解析　四盏熄灭的灯产生的5个空中放入3盏亮灯,即不同的开灯方案有＝10（种）. 答案　A 第2课时　组合与组合数的应用 第2课时　组合与组合数的应用 第2课时　组合与组合数的应用 [对应学生用书第17页] 探究一　有限制条件的组合问题 [例1]　某医科大学的学生中,有男生12名、女生8名在某市人民医院实习,现从中选派5名参加青年志愿者医疗队. （1）某男生甲与某女生乙必须参加,共有多少种不同的选法？ [解]　（1）只需从其他18人中选3人即可,共有＝816（种）. （2）甲、乙均不能参加,有多少种选法？ [解]　（2）只需从其他18人中选5人即可,共有＝8568（种）. 第2课时　组合与组合数的应用 （3）甲、乙二人至少有一人参加,有多少种选法？ [解]　（3）分两类：甲、乙中只有一人参加,则有·种选法；甲、乙两人都参加,则有种选法.故共有·＋＝6936（种）. 第2课时　组合与组合数的应用 （4）医疗队中男生和女生都至少有一名,有多少种选法？ [解]　（4）方法一（直接法）：男生和女生都至少有一名的选法可分为四类：1男4女；2男3女；3男2女；4男1女. 所以共有·＋·＋·＋·＝14656（种）. 方法二（间接法）：由总数中减去5名都是男生和5名都是女生的选法种数,得－（＋）＝14656（种）. 第2课时　组合与组合数的应用 有限制条件的组合问题分类及解题策略 有限制条件的抽（选）取问题,主要有两类： （1）“含”与“不含”问题,其解法常用直接分步法,即“含”的先取出,“不含”的可把所指元素去掉再取,分步计数； （2）“至多”“至少”问题,其解法常有两种解决思路：一是直接分类法,但要注意分类要不重不漏；二是间接法,注意找准对立面,确保不重不漏. 第2课时　组合与组合数的应用 1.课外活动小组共13人,其中男生8人、女生5人,并且男、女生各指定一名队长.现从中选5人主持某项活动,依下列条件各有多少种选法？ （1）只有一名女生当选； 解　（1）一名女生、四名男生.故共有·＝350（种）. （2）两名队长当选； 解　（2）将两名队长作为一类,其他11人作为一类,故共有·＝165（种）. 第2课时　组合与组合数的应用 （3）至少有一名队长当选； 解　（3）至少有一名队长含有两类：只有一名队长和两名队长. 故共有·＋·＝825（种）,或采用排除法有－＝825（种）. （4）至多有两名女生当选. 解　（4）至多有两名女生含有三类：有两名女生、只有一名女生、没有女生. 故选法为·＋·＋＝966（种）. 第2课时　组合与组合数的应用 探究二　几何中的组合问题 [例2]　如图,在以AB为直径的半圆周上,有异于A,B的六个点C1,C2,…,C6,线段AB上有异于A,B的四个点D1,D2,D3,D4. 第2课时　组合与组合数的应用 （1）以这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形？其中含C1点的有多少个？ [解]　（1）方法一：可作出三角形＋×＋×＝116（个）. 方法二：可作三角形－＝116（个）. 其中以C1为顶点的三角形有＋×＋＝36（个）. （2）以图中的12个点（包括A,B）中的4个为顶点,可作出多少个四边形？ [解]　（2）可作出四边形＋×＋×＝360（个）. 第2课时　组合与组合数的应用 解答几何组合问题的策略 （1）几何组合问题,主要考查组合的知识和空间想象能力,题目多以立体几何中的点、线、面的位置关系为背景的排列、组合.这类问题情境新颖,多个知识点交汇在一起,综合性强. （2）解答几何组合问题的思考方法与一般的组合问题基本一样,只要把图形的限制条件视为组合问题的限制条件即可. （3）计算时可用直接法,也可用间接法,要注意在限制条件较多的情况下,需要分类计算符合题意的组合数. 第2课时　组合与组合数的应用 2.（1）四面体的一个顶点为A,从其他顶点和各棱中点中取3个点,使它们和点A在同一平面上,有多少种不同的取法？ 第2课时　组合与组合数的应用 解　（1）（直接法）如图,含顶点A的四面体的3个面上,除点A外都有5个点,从中取出3个点必与点A共面,共有3种取法；含顶点A的三条棱上各有三个点,它们与所对的棱的中点共面,共有3种取法.根据分类加法计数原理,与顶点A共面的三点的取法有3＋3＝33（种）. 解　（1）（直接法）如图,含顶点A的四面体的3个面上,除点A外都有5个点,从中取出3 个点必与点A共面,共有3种取法；含顶点A的三条棱上各有三个点,它们与所对的棱的 中点共面,共有3种取法.根据分类加法计数原理,与顶点A共面的三点的取法有3＋3＝ 33（种）. 第2课时　组合与组合数的应用 （2）四面体的顶点和各棱中点共10个点,在其中取4个不共面的点,有多少种不同的取法？ 解　（2）（间接法）如图,从10个点中取4个点的取法有种,除去4点共面的取法种数可以得到结果.从四面体同一个面上的6个点取出的4点必定共面,有4＝60（种）,四面体的每一棱上的3个点与相对棱中点共面,共有6种取法；从6条棱的中点中取4个点时有3种取法（对棱中点连线两两相交且互相平分）,故4点不共面的取法有－（60＋6＋3）＝141（种）. 第2课时　组合与组合数的应用 探究三　组合中的分组、分配问题 [例3]　有6本不同的书,按下列分配方式分配,则共有多少种不同的分配方式？ （1）分成三组,每组分别有1本、2本、3本； [解]　（1）分三步：先选一本有种选法,再从余下的5本中选两本有种选法,最后余下的三本全选有种选法.由分步乘法计数原理知,分配方式共有··＝60（种）. （2）分给甲、乙、丙三人,其中一个人1本,一个人2本,一个人3本. [解]　（2）由于甲、乙、丙是不同的三个人,在（1）问的基础上,还应考虑再分配问题.因此,分配方式共有···＝360（种）. 第2课时　组合与组合数的应用 1.（变条件）例3的条件不变,6本不同的书分成三组,每组都是2本,有多少种不同的分法？ 解　先分三组,有种分法,但是这里面出现了重复,不妨记六本书为A,B,C,D,E,F,若第一组取了A,B,第二组取了C,D,第三组取了E,F,则该种方法记为（AB,CD,EF）,但种分法中还有（AB,EF,CD）,（CD,AB,EF）,（CD,EF,AB）,（EF,CD,AB）,（EF,AB,CD）,共种情况,而这种情况只能作为一种分法,故分配方式有＝15（种）. 第2课时　组合与组合数的应用 2.（变结论）例3的条件不变,6本不同的书分给甲、乙、丙三人,每人2本,有多少种不同的分法？ 解　先平均分成三组,有种分法,再分给3个人,所以分配方式共有·＝90（种）. 第2课时　组合与组合数的应用 1.分组、分配问题的求解策略 （1）分组问题属于“组合”问题,常见的分组问题有三种. ①完全均匀分组,每组的元素个数均相等； ②部分均匀分组,应注意不要重复,若有n组均匀,最后必须除以n！； ③完全非均匀分组,这种分组不考虑重复现象. （2）分配问题属于“排列”问题. 分配问题可以按要求逐个分配,也可以分组后再分配. 第2课时　组合与组合数的应用 2.相同元素分配问题的建模思想 （1）隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置,但可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板,相邻两块隔板形成一个“盒”.每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法,此法称之为隔板法,隔板法专门解决相同元素的分配问题. （2）将n个相同的元素分给m个不同的元素（n≥m）有种方法,可描述为n－1个空中插入m－1块板. 第2课时　组合与组合数的应用 第2课时　组合与组合数的应用 第2课时　组合与组合数的应用 第2课时　组合与组合数的应用 探究四　排列与组合的综合应用 [例4]　有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片,从这8张卡片中取出4张卡片排成一行.若取出的4张卡片所标的数字之和等于10,则不同的排法共有多少种？ 第2课时　组合与组合数的应用 [解]　分三类： 第1类,当取出的4张卡片分别标有数字1,2,3,4时,不同的排法有××××种. 第2类,当取出的4张卡片分别标有数字1,1,4,4时,不同的排法有××种. 第3类,当取出的4张卡片分别标有数字2,2,3,3时,不同的排法有××种. 故满足题意的所有不同的排法种数共有××××＋2××＝432（种）. 第2课时　组合与组合数的应用 1.解排列、组合综合问题的一般思路是“先选后排”,也就是先把符合题意的元素都选出来,再对元素或位置进行排列. 2.解排列、组合综合问题时要注意的两点： （1）元素是否有序是区分排列与组合的基本方法,无序的问题是组合问题,有序的问题是排列问题. （2）对于有多个限制条件的复杂问题,应认真分析每个限制条件,然后再考虑是分类还是分步,这是处理排列、组合综合问题的一般方法. 第2课时　组合与组合数的应用 第2课时　组合与组合数的应用 第2课时　组合与组合数的应用 　　　　　　 混淆排列与组合导致计数出错 [典例]　有甲、乙、丙三项任务,甲需2人承担,乙、丙各需1人承担,从10人中选出4人承担这三项任务,不同的选法种数是 （　　） A.1 260 B.2 025 C.2 520 D.5 040 第2课时　组合与组合数的应用 [解析]　先从10人中选出2人承担甲任务；再从余下8人中选出2人分别承担乙任务、丙任务.根据分步乘法计数原理,不同的选法共有＝2520（种）. [答案]　C 第2课时　组合与组合数的应用 　　在计数问题中,首先要分清楚是排列问题还是组合问题,即看取出的元素是“合成一组”还是“排成一列”,不能将二者混淆,若将排列问题误认为是组合问题,会导致遗漏计数,反之,会导致重复计数.排列问题还要找出排序的依据,看每一种情况是否都考虑进去了.本题中,承担甲任务的两人与顺序无关,此处应是组合问题,当然,本题也可列式为. 第2课时　组合与组合数的应用 　　　　　　 用隔板法解相同元素的分配问题 [问题探究] 1.把8个相同的篮球分发给甲、乙、丙、丁4人,共有多少种不同的分法？ 2.将10个志愿者名额分配给4个学校,要求每校至少有一个名额,则不同的名额分配方法共有多少种？ 第2课时　组合与组合数的应用 3.从4个班中选出7位同学组成体育啦啦队,每班至少1位同学,则不同的名额分配方案共有多少种？ 上述三个问题可归结为以下两个问题. 1.把n个相同的小球放入m个不同的盒子中（n≥m≥1）,要求每个盒子非空,有多少种不同放法？ 提示：先将n个小球排成一列,然后在它们之间形成的（n－1）个空（不含两端的）中插入（m－1）块隔板,便将n个小球分割成m组,每组至少有1个小球,这m组小球依次放入m个不同的盒子,（m－1）块隔板的一块插法就对应了n个相同小球投入m个不同盒子的一种方法,故不同的放法共有种. 第2课时　组合与组合数的应用 2.将n个相同的小球放到m（n≥m）个不同的盒子中,可以有空盒的不同放法有多少种？ 提示：方法一：将m个盒子排成一排（并在一起的两盒子的壁视为一块隔板）,除去两端的盒子的外壁,共有（m－1）块隔板；再把n个相同的小球放到m（n≥m）个不同的盒子中,不同的放法对应着n个球和（m－1）块隔板的不同排法,于是问题转化为从（n＋m－1）个位置中选出n个位置放球,共有不同放法＝种. 方法二：“将n个相同的小球放到m（n≥m）个不同的盒子中,允许有空盒子”的放法种数等于“将n＋m个相同的小球放到m（n≥m）个不同的盒子中,每个盒子至少有1个球”的放法种数,可知共种不同放法. 第2课时　组合与组合数的应用 相同元素的分配问题的解法 相同元素的分配问题用“隔板法”,“隔板法”的解题步骤： （1）定个数：确定名额的个数、分成的组数以及各组名额的数量； （2）定空位：将元素排成一列,确定可插隔板的空位数； （3）插隔板：确定需要的隔板个数,根据组数要求,插入隔板,利用组合数求解不同的分法种数. 第2课时　组合与组合数的应用 （1）每个盒子都不空； （2）恰有1个盒子空； （3）恰有2个盒子空. [解]　（1）需将6个小球分为4组,然后每个盒子放入1组,可用3块隔板放在6个小球之间的5个空隙中的任意3处,每种放法对应着一种分法,故共有＝10（种）. [典例]　将6个相同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子,求下列放法的种数. 第2课时　组合与组合数的应用 （2）恰有1个盒子空,需将6个小球分为3组,然后放入其中的3个盒子中,每个盒子放1组.这时可用2块隔板放在6个小球之间的5个空隙中的任意2处,故共有×＝40（种）. （3）恰有2个盒子空,需将6个小球分为2组,然后放入其中的2个盒子中,每个盒子放1组,这时可用1块隔板放在5个空隙中的任意1处,故共有×＝30（种）. 第2课时　组合与组合数的应用 [对应学生用书第21页] 第2课时　组合与组合数的应用 第2课时　组合与组合数的应用 2.从2位女生,4位男生中选3人参加比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有（　　） A.12种 B.16种 C.20种 D.24种 解析　选3人分两种情况：若选1女2男,则有＝12种选法；若选2女1男,则有＝4种选法,根据分类加法计数原理可得,共有12＋4＝16种选法.故选B. 答案　B 第2课时　组合与组合数的应用 3.小孔家有爷爷、奶奶、姥爷、姥姥、爸爸、妈妈,包括他共7人,一天爸爸从果园里摘了7个大小不同的梨,给家里每人一个,小孔拿了最小的一个,爷爷、奶奶、姥爷、姥姥4位老人之一拿最大的一个,则梨子的不同分法共有 （　　） A.96种 B.120种 C.480种 D.720种 第2课时　组合与组合数的应用 答案　C 解析　由题意知,小孔拿了最小的一个,爷爷、奶奶、姥爷、姥姥4位老人之一拿最大的一个的拿法有＝4（种）,其余人的拿法有＝120（种）,则梨子的不同分法共有4×120＝480（种）. 第2课时　组合与组合数的应用 第2课时　组合与组合数的应用 第2课时　组合与组合数的应用 3．(福建三明高二期末)某航天科研所安排甲、乙、丙、丁4位科学家应邀到A，B，C三所学校开展科普讲座活动，要求每所学校至少安排1名科学家，且丙必须去A学校，则不同的安排方式共有(　　) A.6种　 B．12种 　C．24种　 D．30种 解析　若只有丙去A学校，则将甲、乙、丁分成两组，分配到B，C两所学校，共有C eq \o\al(\s\up1(1),\s\do1(3)) A eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) 种安排方式；若丙和另一名科学家去A学校，则从甲、乙、丁中选一位和丙去A学校，剩下两人分别去B，C两所学校，共有C eq \o\al(\s\up1(1),\s\do1(3)) A eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) 种安排方式．根据分类加法计数原理可得，共有C eq \o\al(\s\up1(1),\s\do1(3)) A eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) ＋C eq \o\al(\s\up1(1),\s\do1(3)) A eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) ＝6＋6＝12种安排方式．故选B. 答案　B 探究三　组合中的分组、分配问题 3．(1)5个不同的球，放入8个不同的盒子中，每个盒里至多放一个球，则不同的放法有(　　) A．A eq \o\al(\s\up1(5),\s\do1(8)) 种　　　　　　　　 B．C eq \o\al(\s\up1(5),\s\do1(8)) 种 C．58种 D．85种 (2)5个相同的球，放入8个不同的盒子中，每个盒里至多放一个球，则不同的放法有(　　) A．A eq \o\al(\s\up1(5),\s\do1(8)) 种 B．C eq \o\al(\s\up1(5),\s\do1(8)) 种 C．58种 D．85种 (3)5个不同的球，放入8个不同的盒子中，每个盒里放球数量不限，则不同的放法有(　　) A．A eq \o\al(\s\up1(5),\s\do1(8)) 种 B．C eq \o\al(\s\up1(5),\s\do1(8)) 种 C．58种 D．85种 解析　(1)由于球不相同，盒子不同，每个盒里至多放一个球，所以取出5个盒子放不同的球，共有A eq \o\al(\s\up1(5),\s\do1(8)) 种不同的放法． (2)由于球都相同，盒子不同，每个盒里至多放一个球，所以只要选出5个不同的盒子即可．故共有C eq \o\al(\s\up1(5),\s\do1(8)) 种不同的放法． (3)由于每个盒里放球数量不限，所以第1个球有8种放法，第2个球有8种放法，……第5个球也有8种放法．故不同的放法共有8×8×8×8×8＝85(种). 答案　(1)A　(2)B　(3)D 探究四　排列与组合的综合应用 4．现有编号为A，B，C的3个不同的红球和编号为D，E的2个不同的白球． (1)若将这些球排成一排，且要求D，E两个球相邻，则有多少种不同的排法？ (2)若将这些球排成一排，且要求A球排在中间，D，E两个球不相邻，则有多少种不同的排法？ (3)若将这些球放入甲、乙、丙三个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，则有多少种不同的放法？ 解　(1)将D，E两个球捆绑在一起和其他球进行全排列，有A eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) A eq \o\al(\s\up1(4),\s\do1(4)) ＝48种不同的排法． (2)先把A球排在中间位置，再从A球的两侧各选一个位置排D，E两个球，其余球任意排列，所以有C eq \o\al(\s\up1(1),\s\do1(4)) C eq \o\al(\s\up1(1),\s\do1(2)) A eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) ＝16种不同的排法． (3)先把5个小球分成3组，再放入3个盒子中． 若按3，1，1分配，则有eq \o\al(\s\up1(3),\s\do1(5)) eq \f(CC eq \o\al(\s\up1(1),\s\do1(2)) C eq \o\al(\s\up1(1),\s\do1(1)) ,A eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) ) ·A eq \o\al(\s\up1(3),\s\do1(3)) ＝60种不同的放法； 若按2，2，1分配，则有eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(5)) eq \f(CC eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(3)) C eq \o\al(\s\up1(1),\s\do1(1)) ,A eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) ) ·A eq \o\al(\s\up1(3),\s\do1(3)) ＝90种不同的放法． 所以共有60＋90＝150种不同的放法． 1．《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳所著．该书记述了我国古代14种算法，分别是：积算(即筹算)、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、珠算和计数．某中学研究性学习小组有甲、乙、丙、丁四人，该小组拟收集九宫算、运筹算、了知算、成数算和把头算5种算法的相关资料，要求每人至少收集其中一种，且每种算法只由一个人收集，但甲不收集九宫算和了知算的资料，则不同的分工收集方案种数为(　　) A．108　　　　B．136 C．126 D．240 解析　分以下两种情况讨论： ①若甲只收集一种算法，则甲有3种选择，将其余4种算法分为3组，再分配给乙、丙、丁三人，此时不同的收集方案种数为3C eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(4)) A eq \o\al(\s\up1(3),\s\do1(3)) ＝108；②若甲收集两种算法，则甲可在运筹算、成数算和把头算3种算法中选择2种，其余3种算法分配给乙、丙、丁三人，此时不同的收集方案种数为C eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(3)) A eq \o\al(\s\up1(3),\s\do1(3)) ＝18.综上所述，不同的收集方案种数为108＋18＝126.故选C. 答案　C 4．(四川南充高三期中)随着高三学习时间的增加，很多高三同学心理压力较大．通过心理问卷调查发现，某校高三年级有5位学生心理问题凸显，需要心理老师干预．已知该校高三年级有3位心理老师，每位心理老师至少安排1位学生，至多安排3位学生，则共有________种心理辅导安排方法． 解析　根据题意，分2步进行：①将5位学生分为3组，若有两组各2人，另一组1人，则有eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(5)) eq \f(CC eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(3)) ,A eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) ) 种分组方法；若有两组各1人，另一组3人，则有C eq \o\al(\s\up1(3),\s\do1(5)) 种分组方法．故有eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(5)) eq \f(CC eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(3)) ,A eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) ) ＋C eq \o\al(\s\up1(3),\s\do1(5)) ＝15＋10＝25种分组方法；②将分好的3组安排给3位老师进行心理辅导，有A eq \o\al(\s\up1(3),\s\do1(3)) ＝6种情况．所以共有25×6＝150种安排方法． 答案　150 $$