6.2.3 组合 6.2.4 组合数 第1课时 组合与组合数(课件PPT)-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步练测（人教A版2019）

单击此处添加文本具体内容 第六章　计数原理 6.2.3　组合　6.2.4　组合数 第1课时　组合与组合数 [学习任务] 1.理解组合的定义,正确认识组合与排列的区别与联系.（重点） 2.理解排列数与组合数之间的联系,掌握组合数公式,能运用组合数公式进行计算.（重点） 3.会解决一些简单的组合问题.（难点） 第1课时　组合与组合数 [对应学生用书第14页] 知识点一　组合的定义 1.组合：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素作为一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 2.组合与排列的区别：组合无序,排列有序. 第1课时　组合与组合数 知识点二　组合数与组合数公式 组合数及组合数公式： 组合数定义及表示 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号表示 组合数 公式 乘积形式 ＝ 阶乘形式 ＝ 性质 ＝　　　　　＝＋ 备注 规定＝1 1 第1课时　组合与组合数 第1课时　组合与组合数 第1课时　组合与组合数 2.从9名学生中选出3名参加“希望英语”口语比赛,不同选法有 （　　） A.504种 B.729种 C.84种 D.27种 解析　＝＝＝84. 答案　C 第1课时　组合与组合数 3.计算：＋＋＋＝ 　　　　⁠.  解析　原式＝（＋）＋＝＋＝＝＝＝210. 答案　210 第1课时　组合与组合数 [对应学生用书第15页] 探究一　组合的概念 [例1]　判断下列问题是排列问题还是组合问题. （1）a,b,c,d四支足球队之间进行单循环比赛,共需比赛多少场？ [解]　（1）单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛,没有顺序,是组合问题. （2）a,b,c,d四支足球队争夺冠、亚军,有多少种不同的结果？ [解]　（2）冠、亚军是有顺序的,是排列问题. 第1课时　组合与组合数 （3）从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务,有多少种不同的选法？ [解]　（3）3人分别担任三个不同职务,有顺序,是排列问题. （4）从全班40人中选出3人参加某项活动,有多少种不同的选法？ [解]　（4）3人参加某项相同活动,没有顺序,是组合问题. 第1课时　组合与组合数 　　根据排列与组合的定义进行判断,区分排列与组合问题,先确定完成的是什么事件,然后看问题是否与顺序有关,与顺序有关的是排列,与顺序无关的是组合. 第1课时　组合与组合数 1.判断下列问题是排列问题还是组合问题. （1）集合中含三个元素的子集的个数是多少？ 解　（1）由于集合中的元素是无序的,一个含三个元素的集合就是一个从0,1,2,3,4中取出3个数组成的集合.这是一个组合问题. 第1课时　组合与组合数 （2）某小组有9位同学,从中选出正、副班长各一名,有多少种不同的选法？若从中选出2名代表参加一个会议,有多少种不同的选法？ 解　（2）选正、副班长时要考虑顺序,所以是排列问题；选代表参加会议是不用考虑顺序的,所以是组合问题. 第1课时　组合与组合数 探究二　组合数公式及应用 [例2]　求值：（1）3－2； [解]　（1）3－2＝3×－2×＝148. 第1课时　组合与组合数 （2）＋. [解]　（2）∵∴9.5≤n≤10.5. ∵n∈N*,∴n＝10, ∴＋＝＋＝＋＝＋31＝466. 第1课时　组合与组合数 　　（1）解题过程中应避免忽略根的检验而产生增根的错误,注意不要忽略n∈N*. （2）与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式,以及组合数的性质.求解时,要注意由中的m∈N*,n∈N*,且n≥m确定m,n的范围,因此求解后要验证所得结果是否适合题意. 第1课时　组合与组合数 2.求等式＝中n的值. 解　原方程可变形为＋1＝,＝,即 ＝·,化简整理,得n2－3n－54＝0.解此二次方程,得n＝9或n＝－6（不合题意,舍去）,所以n＝9为所求. 第1课时　组合与组合数 探究三　简单的组合问题 [例3]　在一次数学竞赛中,某学校有12人通过了初试,学校要从中选出5人参加市级培训.在下列条件下,有多少种不同的选法？ （1）任意选5人； [解]　（1）从中任取5人是组合问题,共有＝792种不同的选法. （2）甲、乙、丙三人必须参加； [解]　（2）甲、乙、丙三人必须参加,则只需要从另外9人中选2人,是组合问题,共有＝36种不同的选法. 第1课时　组合与组合数 （3）甲、乙、丙三人不能参加； [解]　（3）甲、乙、丙三人不能参加,则只需从另外的9人中选5人,共有＝126种不同的选法. （4）甲、乙、丙三人中只能有1人参加. [解]　（4）甲、乙、丙三人中只能有1人参加,可分两步：先从甲、乙、丙中选1人,有＝3种选法；再从另外9人中选4人,有种选法,共有＝378种不同的选法. 第1课时　组合与组合数 解答简单的组合问题的方法 （1）弄清要做的这件事是什么事； （2）选出的元素是否与顺序有关,也就是看看是不是组合问题； （3）结合两计数原理利用组合数公式求出结果. 第1课时　组合与组合数 第1课时　组合与组合数 第1课时　组合与组合数 　　　　　　 曲解题意、重复计数致错 [典例]　有编号分别为1,2,3,4的4个盒子和4个不同的小球,把小球全部放入盒内. （1）共有多少种放法？ （2）恰有1个盒子不放球,有多少种放法？ 第1课时　组合与组合数 [错解]　（1）由已知,相当于对4个盒子全排列,故有＝24种放法. （2）从4个小球中任取3个,有种取法,从4个盒子中任取3个,有种取法,将3个小球放到取出的3个盒子中,有种放法,再将余下的1个小球放到3个盒子中的1个,有3种放法,所以放法有·3＝288（种）. [错因分析]　（1）没有理解题意,这里的任务是把小球全部放入盒内即可,并没有要求每盒中放1个小球. （2）属于重复计数问题.若取出的3个小球为1号、2号、3号,则4号小球放入盒中时,其中一种方式为2,3,（1,4）；若取出的3个小球为2号、3号、4号,则1号小球放入盒中时,其中也有一种方式为2,3,（1,4）,故出现重复计算. 第1课时　组合与组合数 [正解]　（1）一个球一个球地放到盒子里去,每个球都有4种独立的放法,由分步乘法计数原理知,放法共有44＝256（种）. （2）由题设,必有1个盒子中放入2个小球,从4个小球中取2个,有种取法,此时把它看作1个小球,与另2个小球共3个小球放入4个盒子中的3个盒子内,有种放法,所以有＝144种放法. 第1课时　组合与组合数 [对应学生用书第17页] 第1课时　组合与组合数 2.在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位数字之和为偶数的共有（　　） A.36个 B.24个 C.18个 D.6个 解析　若各位数字之和为偶数,则只能两奇一偶,故有＝36（个）. 答案　A 第1课时　组合与组合数 3.方程＝的解集为（　　） A. B. C. D. 解析　由题意知或 解得x＝4或x＝6. 答案　C 第1课时　组合与组合数 4.若＝42,则的值为 　　　　⁠.  解析　因为＝42, 所以×2×1＝42, 第1课时　组合与组合数 解得n＝7, 则 ＝ ＝ ＝140. 答案　140 第1课时　组合与组合数 知识点二　组合数与组合数公式 1．从2，3，5，7，11，13，17，19这8个数中任取2个，则下列问题属于组合问题的是(　　) A．相加可以得到多少个不同的和 B．相乘可以得到多少个不同的积 C．相减可以得到多少个不同的差 D．相除可以得到多少个不同的商 解析　因为减法与除法不满足交换律，取出的两个数与顺序有关，所以C，D中问题不是组合问题．因为加法与乘法满足交换律，取出的两个数与顺序无关，但是由于5＋11＝3＋13，11＋19＝13＋17等，所以相加问题不是组合问题，只有相乘问题是组合问题．故选B. 答案　B 探究三　简单的组合问题 3．男运动员6名，女运动员4名，其中男、女队长各1名．现选派5人外出参加比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？ (1)男运动员3名，女运动员2名； (2)既要有队长，又要有女运动员． 解　(1)分两步完成：第一步，选3名男运动员，有C eq \o\al(\s\up1(3),\s\do1(6)) 种选法；第二步，选2名女运动员，有C eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(4)) 种选法．由分步乘法计数原理可得，共有C eq \o\al(\s\up1(3),\s\do1(6)) ×C eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(4)) ＝20×6＝120种选法． (2)当有女队长时，其他人任意选，共有C eq \o\al(\s\up1(4),\s\do1(9)) 种选法；当不选女队长时，必选男队长，共有C eq \o\al(\s\up1(4),\s\do1(8)) 种选法，其中不含女运动员的选法有C eq \o\al(\s\up1(4),\s\do1(5)) 种，所以不选女队长时的选法共有(C eq \o\al(\s\up1(4),\s\do1(8)) －C eq \o\al(\s\up1(4),\s\do1(5)) )种．所以既要有队长又要有女运动员的选法共有C eq \o\al(\s\up1(4),\s\do1(9)) ＋C eq \o\al(\s\up1(4),\s\do1(8)) －C eq \o\al(\s\up1(4),\s\do1(5)) ＝126＋70－5＝191(种). 1．从3名男生和2名女生中选出3人去参加一项创新大赛，则选出的3人中既有男生又有女生的不同选法种数为(　　) A．9　　B．10　　C．18　　D．20 解析　从3名男生和2名女生中选出3人去参加一项创新大赛，共有C eq \o\al(\s\up1(3),\s\do1(5)) ＝10种选法，其中选出的3人均为男生的选法有C eq \o\al(\s\up1(3),\s\do1(3)) ＝1种，所以选出的3人中既有男生又有女生的不同选法种数为10－1＝9.故选A. 答案　A $$