6.2.1 排列 6.2.2 排列数 第1课时 排列与排列数(课件PPT)-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步练测（人教A版2019）

单击此处添加文本具体内容 第六章　计数原理 6.2.1　排列　6.2.2　排列数 第1课时　排列与排列数 [学习任务] 1.了解排列的概念.（重点） 2.理解并掌握排列数公式,能应用排列知识解决简单的实际问题.（难点） 第1课时　排列与排列数 [对应学生用书第8页] 知识点一　排列的定义 （1）排列：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素,并按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. （2）相同排列：两个排列相同的充要条件是：两个排列的元素完全相同,且元素的排列顺序也相同. （3）全排列：把n个不同的元素全部取出的一个排列,叫做n个元素的一个全排列. 第1课时　排列与排列数 知识点二　排列数与排列数公式 排列数定义 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数 排列数表示法 阶乘 正整数1到n的连乘积,叫做n的阶乘,记作n！ 排列数 公式 乘积式 ＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋1） 阶乘式 ＝ 性质 ＝n！,0！＝1 备注 n,m∈N*,m≤n n！ 第1课时　排列与排列数 第1课时　排列与排列数 2.89×90×91×…×100要表示为 （　　） A. B. C. D. 解析　＝100×99×…×（100－12＋1）＝100×99×…×89. 答案　C 第1课时　排列与排列数 3.一次演出,因临时有变化,拟在已安排好的4个节目的基础上再添加2个小品节目,且2个小品节目不相邻,则不同的添加方法共有 　　　　⁠种.  解析　从原来4个节目形成的5个空中选2个空排列,共有＝20种添加方法. 答案　20 第1课时　排列与排列数 [对应学生用书第8页] 探究一　排列的概念 [例1]　判断下列问题是否为排列问题. （1）北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票价格（假设来回的票价相同）； [解]　（1）中票价只有三种,虽然机票是不同的,但票价是一样的,不存在顺序问题,所以不是排列问题. 第1课时　排列与排列数 （2）选2个小组分别去植树和种菜； [解]　（2）植树和种菜是不同的,存在顺序问题,属于排列问题. （3）选2个小组去种菜； （4）选10人组成一个学习小组； [解]　（3）,（4）不存在顺序问题,不属于排列问题. 第1课时　排列与排列数 （5）选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员； [解]　（5）中每个人的职务不同,例如甲当班长与当学习委员是不同的,存在顺序问题,属于排列问题. （6）某班40名学生在假期相互通信. [解]　（6）A给B写信与B给A写信是不同的,所以存在着顺序问题,属于排列问题. 所以在上述各题中（2）,（5）,（6）属于排列问题. 第1课时　排列与排列数 判断一个具体问题是否为排列问题的思路 第1课时　排列与排列数 第1课时　排列与排列数 第1课时　排列与排列数 探究二　排列的列举问题 [例2]　某药品研究所研制了5种消炎药a1,a2,a3,a4,a5,4种退热药b1,b2,b3,b4,现从中取两种消炎药和一种退热药同时进行疗效试验,但a1,a2两种药或同时用或同时不用,a3,b4两种药不能同时使用,试写出所有不同试验方法. [解]　如图 第1课时　排列与排列数 由树状图可写出所有不同试验方法如下：a1a2b1,a1a2b2,a1a2b3,a1a2b4,a3a4b1,a3a4b2,a3a4b3,a3a5b1,a3a5b2,a3a5b3,a4a5b1,a4a5b2,a4a5b3,a4a5b4,共14种. 第1课时　排列与排列数 　　在排列个数不多的情况下,树状图是一种比较有效的表示方式.在操作中先将元素按一定顺序排出,然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类,在每一类中再按余下的元素在前面元素不变的情况下确定第二个元素,再按此元素分类,依次进行,直到完成一个排列,这样能不重不漏,然后按树状图写出排列. 第1课时　排列与排列数 2.同室四人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡,则四张贺年卡不同的分配方式有 （　　） A.6种 B.9种 C.11种 D.23种 第1课时　排列与排列数 解析　方法一：设四张贺卡分别为A,B,C,D.由题意知,某人（不妨设为A卡的供卡人）取卡的情况有3种,据此将卡的不同分配方式分为三类,对于每一类,其他人依次取卡分步进行. 用树状图表示,如图. 共有9种不同的分配方式. 共有9种不同的分配方式. 第1课时　排列与排列数 方法二：让A,B,C,D四人依次拿一张别人送出的贺年卡,则可以分三步：第1步,A先拿,有3种不同的方法；第2步,让被A拿走的那张贺年卡的主人拿,共有3种不同的取法；第3步,剩下的两个人都各有1种取法.由分步乘法计数原理知,四张贺年卡有3×3×1×1＝9种不同的分配方式. 答案　B 第1课时　排列与排列数 探究三　排列数公式及应用 [例3]　（1）计算：＝（　　） A.12 B.24 C.30 D.36 [解析]　＝7×6×,＝6×,所以原式＝＝36. [答案]　D 第1课时　排列与排列数 （2）求证：＝·. [证明]　·＝（n－m）！＝n！＝, ∴等式成立. 第1课时　排列与排列数 （变条件）在例3（2）中,把等式换为k·＝（k＋1）！－k！,试求证. 证明　左边＝k·＝k·k！＝（k＋1－1）·k！＝（k＋1）！－k！＝右边,∴等式成立. 第1课时　排列与排列数 排列数公式的形式及选择方法 排列数公式有两种形式,一种是连乘积的形式,另一种是阶乘的形式,若要计算含有数字的排列数的值,常用连乘积的形式进行计算,而要对含有字母的排列数的式子进行变形或作有关的论证时,一般用阶乘式. 第1课时　排列与排列数 第1课时　排列与排列数 第1课时　排列与排列数 　　　　　　 求解排列问题的主要方法 直接法 把符合条件的排列数直接列式计算 优先法 优先安排特殊元素或特殊位置 捆绑法 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列,同时注意捆绑元素的内部排列 第1课时　排列与排列数 插空法 对不相邻问题,先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中 定序问题 除法处理 对于定序问题,可先不考虑顺序限制,排列后,再除以定序元素的全排列 间接法 正难则反,等价转化 续表 第1课时　排列与排列数 [典例]　某小组6个人排队照相留念. （1）若分成两排照相,前排2人,后排4人,有多少种不同的排法？ [解]　（1）前排2人,后排4人,相当于6个人全排列,共有＝720种不同的排法. （2）若分成两排照相,前排2人,后排4人,但其中甲必须在前排,乙必须在后排,有多少种不同的排法？ [解]　（2）先将甲排在前排有种排法,乙排在后排有种排法,其余4人全排列有种排法. 根据分步乘法计数原理得,共有＝192种不同的排法. 第1课时　排列与排列数 （3）若排成一排照相,甲、乙两人必须在一起,有多少种不同的排法？ [解]　（3）将甲、乙视为一个整体,即看成5人全排列问题,有种排法,再排甲、乙两人有种排法. 根据分步乘法计数原理可得,共有＝240种不同的排法. （4）若排成一排照相,其中有3名男生,3名女生,且男生不能相邻,有多少种不同的排法？ [解]　（4）先将3名女生排成一排,再将3名男生插入3名女生之间（包括首、尾两端）的4个空位,保证男生不相邻. 根据分步乘法计数原理得,共有＝144种不同的排法. 第1课时　排列与排列数 （5）若排成一排照相,其中甲必须在乙的右边,有多少种不同的排法？ [解]　（5）甲必须在乙的右边属于定序问题,共有＝360种不同的排法. （6）若排成一排照相,甲不站排头且乙不站排尾,有多少种不同的排法？ [解]　（6）6个人全排列,共有种排法.若甲站排头,则有种排法；若乙站排尾,则有种排法；若甲站排头且乙站排尾,则有种排法. 故甲不站排头且乙不站排尾的不同排法共有－－＋＝720－120－120＋24＝504（种）. 第1课时　排列与排列数 （1）直接法：前排2人,后排4人,相当于6个人全排列,即有种不同的排法. （2）优先法：利用特殊元素优先的原则,将甲排在前排,乙排在后排,其余4人全排列,根据分步乘法计数原理可得. （3）捆绑法：将甲、乙视为一个整体,即看成5人全排列问题,再排甲、乙两人,根据分步乘法计数原理可得. （4）插空法：3名男生不相邻,根据分步乘法计数原理可得. （5）定序问题除法处理：甲必须在乙的右边属于定序问题,用除法可得. （6）间接法：6个人全排列,去掉甲站排头和乙站排尾的情况,但多减去了甲站排头且乙站排尾的情况,须加回来. 第1课时　排列与排列数 [对应学生用书第11页] 第1课时　排列与排列数 第1课时　排列与排列数 2.不等式－n＜7的解集为（　　） A. B. C. D. 解析　由－n＜7,得（n－1）（n－2）－n＜7,整理得n2－4n－5＜0,解得－1＜n＜5. 由题可知,n－1≥2且n∈N*,则n＝3或n＝4,即原不等式的解集为.故选C. 答案　C 第1课时　排列与排列数 3.从10个不同的文艺节目中选6个编成一个节目单,如果某女演员的独唱节目一定不能排在第二个,则不同的排法共有 　　　　⁠种.  解析　方法一（位置分析法）：先排第二个节目,再排其他五个节目,则共有＝136080（种）. 方法二（元素分析法）：若选女演员的独唱节目,则有5种排法；若不选女演员的独唱节目,则有种排法,则共有5＋＝136080种排法. 方法三（间接法）：总数减去女演员的独唱节目排在第二个的数目,则共有－＝136080（种）. 答案　136 080 第1课时　排列与排列数 4.学校要安排7位行政人员在10月1日至10月7日值班,每人值班一天,其中甲、乙二人都不安排在10月1日和2日.不同的安排方法共有 　　　　⁠种.（用数字作答）  解析　先安排好甲、乙的方法有种,然后安排其他5个人的方法有种,故共有安排方法＝2400（种）. 答案　2 400 第1课时　排列与排列数 1．(江西上饶高二月考)现从6名学生干部中选出3名同学分别参加全校资源、生态和环保3个夏令营活动，则不同选派方案的种数是(　　) A．20　　　　　　　 B．90 C．120 D．240 解析　共有A eq \o\al(\s\up1(3),\s\do1(6)) ＝120种不同的选派方案，故选C. 答案　C 探究一　排列的概念 1．(多选)(浙江嘉兴高二阶段检测)下列问题属于排列问题的是(　　) A．从6人中选2人分别去游泳和跳绳 B．从10人中选2人去游泳 C．从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队 D．从数字5，6，7，8中任取三个数组成没有重复数字的三位数 解析　对于A，从6人中选2人分别去游泳和跳绳，选出的2人有分工的不同，是排列问题；对于B，从10人中选2人去游泳，与顺序无关，不是排列问题；对于C，从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队，与顺序无关，不是排列问题；对于D，从数字5，6，7，8中任取三个数组成没有重复数字的三位数，各数位上的数字有顺序性，是排列问题．故选AD. 答案　AD 探究三　排列数公式及应用 3．(1)(广东佛山高二期中)已知A eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(n)) ＝156，则n＝(　　) A．11　　 B．12　　 C.13　　 D．14 (2)eq \o\al(\s\up1(5),\s\do1(8)) eq \f(A＋A eq \o\al(\s\up1(4),\s\do1(8)) ,A eq \o\al(\s\up1(6),\s\do1(9)) －A eq \o\al(\s\up1(5),\s\do1(9)) ) ＝(　　) A． eq \f(5,27) B． eq \f(25,54) C． eq \f(3,10) D． eq \f(3,20) 解析　(1)∵A eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(n)) ＝156，∴n(n－1)＝156，解得n＝13或n＝－12(舍).故选C. (2)eq \o\al(\s\up1(5),\s\do1(8)) eq \f(A＋A eq \o\al(\s\up1(4),\s\do1(8)) ,A eq \o\al(\s\up1(6),\s\do1(9)) －A eq \o\al(\s\up1(5),\s\do1(9)) ) ＝ eq \f(8×7×6×5×4＋8×7×6×5,9×8×7×6×5×4－9×8×7×6×5) ＝ eq \f(4＋1,9×4－9) ＝ eq \f(5,27) .故选A. 答案　(1)C　(2)A 1．下列问题是排列问题的是(　　) A．从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法 B．10个人互相通信一次，共写了多少封信 C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线 D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相加，其结果共有多少种 解析　排列问题是与顺序有关的问题，四个选项中只有B中的问题是与顺序相关的，其他问题都与顺序无关，故选B. 答案　B $$