专题9.5 向量的坐标表示及运算（九个重难点突破）-2024-2025学年高一第二学期数学重难点突破及易错点分析（苏教版2019必修第二册）

专题9.5 向量的坐标表示及运算 一、用坐标表示向量 六、利用坐标求解向量的夹角 二、向量坐标运算的运用 七、利用坐标求解投影向量 三、向量数量积的坐标表示 八、利用坐标判断平行或根据平行求参数 四、利用坐标解决向量垂直 九、利用坐标解决三点共线问题 五、利用坐标解决向量的模长 知识点1平面向量的坐标表示 （1）平面向量的正交分解:把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量. （2）基底:在平面直角坐标系中,分别取与轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底. （3）坐标:对于平面内的任意一个向量,有且仅有一对实数x,y,使得，则有序数对叫做向量的坐标. （4）坐标表示. （5）特殊向量的坐标: 知识点2平面向量加减运算、数乘运算的坐标表示 设向量则有下表 文字描述 符号表示 加法 两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和 减法 两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差 数乘 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 向量的坐标 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 已知,则 知识点3平面向量的数量积与两向量垂直的坐标表示 设向量, （1）数量积:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,即 （2）向量垂直: 知识点4平面向量的模与夹角的坐标表示 （1）向量的模:设,则 （2）两点间的距离公式:若,则 （3）向量的夹角公式:设两非零向量,a与b的夹角为θ,则 知识点5平面向量共线的坐标表示 （1）条件: ,其中； （2）结论:当且仅当时,向量共线. 重难点一、用坐标表示向量 1．如图，分别取与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量作为基底，若，，则向量的坐标为（    ）    A． B． C． D． 2．已知点，且，则点的坐标是 ． 3．若，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．已知为坐标原点，点在第二象限，，则向量的坐标为 ． 5．若为正交基底，设（其中x∈R），则向量对应的坐标位于（    ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三象限 D．第四象限 （1）求一个点的坐标,可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标； （2）求一个向量的坐标时,可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标,再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标. 重难点二、向量坐标运算的运用 6．已知向量，则（    ） A． B． C． D． 7．已知点，则满足的的坐标为 . 8．已知点，点P在第三象限，求的取值范围． 9．已知向量，．若，则的值为 ； 10．已知，B点坐标为(1，0)，，，且，求点A的坐标. （1）若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行； （2）若已知有向线段两端点的坐标,则必须先求出向量的坐标,然后再进行向量的坐标运算； （3）向量的线性坐标运算可类比数的运算进行. 重难点三、向量数量积的坐标表示 11．已知向量，向量，则（    ） A．20 B．17 C．8 D．0 12．如图所示，规定每个小方格的边长是1，又已知向量，则 ， ． 13．已知向量，若，则（    ） A． B．2 C．2或 D．2或 14．已知向量，则（    ） A． B． C．2 D．4 15．已知向量，则的最小值为 . 进行向量的数量积运算的两条途径:（1）先将各向量用坐标表示,直接进行数量积运算;（2）先利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知计算. 重难点四、利用坐标解决向量垂直 16．已知向量，若，则（    ） A． B．5 C． D． 17．已知向量，，若，则实数（    ） A．或 B．1或 C．或 D．1或 18．已知向量，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 19．已知点和点，写出一个满足“在轴上且为直角的点”的横坐标为 . 20．已知，为正实数，，当时，的取值范围为 . 向量垂直的坐标表示: 重难点五、利用坐标解决向量的模长 21．已知，则的面积为 ． 22．已知向量，则与向量同向的单位向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 23．已知平面向量，，且，则 . 24．已知向量，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 25．已知向量，，满足，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 若,则,于是有 重难点六、利用坐标求解向量的夹角 26．已知向量，则与的夹角是（    ） A． B． C． D． 27．已知向量，满足，，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 28．已知向量，，若与的夹角为锐角，则的取值范围是 ． 29．设点，，，为坐标原点，若四边形是平行四边形，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 30．在平行四边形ABCD中，，，，，，线段AE与BF相交于点G，则 ． 利用数量积的坐标运算求两向量夹角的步骤： （1）利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积； （2）利用计算出这两个向量的模； （3）由公式直接求出的值； （4）在内,由的值求角 重难点七、利用坐标求解投影向量 31．已知向量，则在方向上投影向量为（    ） A． B． C． D． 32．已知向量，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B．2 C． D． 33．已知非零向量，，若向量在方向上的投影向量为，则（   ） A． B． C．2 D．4 34．已知向量满足：，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 35．已知点，，，，与方向相同的单位向量为，若向量在方向上的投影向量为，则实数 . 将已知量代入在方向上的投影向量公式(是与方向相同的单位向量,)中计算即可 重难点八、利用坐标判断平行或根据平行求参数 36．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 37．下列各组向量中，共线的是（　　） A．， B．， C．， D．， 38．已知向量，，则“”是“”的（     ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 39．已知向量，，且与方向相反，若，则在方向上的投影向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 40．已知向量，，若，则 . 利用向量共线的坐标表达式直接求解. 重难点九、利用坐标解决三点共线问题 41．若，，三点共线，则满足的关系式为 ． 42．如果，，三点在同一条直线上，试确定常数的值． 43．已知，O为坐标原点，则下列说法正确的是（   ） A． B．A，O，C三点共线 C．A，B，C三点共线 D． 44．在中，已知点，，与交于点，则点的坐标为 . 45．在平面直角坐标系中，平面向量，将绕原点逆时针旋转得到向量-，若A，B，C三点共线，则在方向上的投影是 . 一、单选题 1．已知向量，.若与是共线向量，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 2．已知向量在正方形网格中的位置如图所示，以为基底，则可表示为（   ） A． B． C． D． 3．已知向量，若，则（    ） A． B．1 C． D． 4．已知向量、满足，，若，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 5．已知向量，向量与向量的夹角为，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C． D． 6．已知，，其中，．若对任意，都有，则的最小值为（   ） A．2 B． C． D．3 二、多选题 7．已知点，则（   ） A． B． C． D． 8．设向量，则下列说法错误的是（    ） A．若与的夹角为钝角，则 B．的最小值为9 C．与共线的单位向量只有一个，为 D．若，则 三、填空题 9．已知平行四边形的三个顶点，则第四个顶点的坐标为 . 10．已知向量，若与是共线向量，则实数 . 11．如图，在等边中，，点为边上的一动点，则的最小值为 ．    四、解答题 12．已知平面上、、三点的坐标分别为、、，求、、的坐标，并证明、、三点共线． 13．已知向量，，，且. (1)求实数m的值； (2)求； (3)求向量与的夹角. 14．已知向量，，其中． (1)若，求角的大小； (2)若，求的值． 15．如图，在梯形中，，分别为的中点，是线段上的动点． (1)若，求证：三点共线； (2)若，求的最小值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题9.5 向量的坐标表示及运算 一、用坐标表示向量 六、利用坐标求解向量的夹角 二、向量坐标运算的运用 七、利用坐标求解投影向量 三、向量数量积的坐标表示 八、利用坐标判断平行或根据平行求参数 四、利用坐标解决向量垂直 九、利用坐标解决三点共线问题 五、利用坐标解决向量的模长 知识点1平面向量的坐标表示 （1）平面向量的正交分解:把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量. （2）基底:在平面直角坐标系中,分别取与轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底. （3）坐标:对于平面内的任意一个向量,有且仅有一对实数x,y,使得，则有序数对叫做向量的坐标. （4）坐标表示. （5）特殊向量的坐标: 知识点2平面向量加减运算、数乘运算的坐标表示 设向量则有下表 文字描述 符号表示 加法 两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和 减法 两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差 数乘 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 向量的坐标 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 已知,则 知识点3平面向量的数量积与两向量垂直的坐标表示 设向量, （1）数量积:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,即 （2）向量垂直: 知识点4平面向量的模与夹角的坐标表示 （1）向量的模:设,则 （2）两点间的距离公式:若,则 （3）向量的夹角公式:设两非零向量,a与b的夹角为θ,则 知识点5平面向量共线的坐标表示 （1）条件: ,其中； （2）结论:当且仅当时,向量共线. 重难点一、用坐标表示向量 1．如图，分别取与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量作为基底，若，，则向量的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得， ． 故选：A． 2．已知点，且，则点的坐标是 ． 【答案】 【详解】如图，连接，    设为坐标原点，建立平面直角坐标系，， 整理得． 故答案为： 3．若，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，故，而， 故，故，故， 故选：A. 4．已知为坐标原点，点在第二象限，，则向量的坐标为 ． 【答案】 【详解】由可得，由于，所以, 故. 故答案为：    5．若为正交基底，设（其中x∈R），则向量对应的坐标位于（    ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】，， 因此对应的坐标满足，， 所以向量对应的坐标位于第四象限. 故选：D （1）求一个点的坐标,可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标； （2）求一个向量的坐标时,可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标,再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标. 重难点二、向量坐标运算的运用 6．已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由向量可得 . 故选：B 7．已知点，则满足的的坐标为 . 【答案】 【详解】设的坐标为，且，， 因为，可得， 可得， 所以的坐标为. 故答案为： 8．已知点，点P在第三象限，求的取值范围． 【答案】 【详解】由题意得． 设点，则． 因为， 所以， 即解得 因为点P在第三象限，所以且，解得． 所以的取值范围为． 9．已知向量，．若，则的值为 ； 【答案】 【详解】，，解得：， . 故答案为：. 10．已知，B点坐标为(1，0)，，，且，求点A的坐标. 【答案】 【详解】，， 又B(1，0)，设A点坐标为(x，y)， 则＝(1－x，0－y)＝(－7，10)， 所以，解得： ∴A点坐标为. （1）若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行； （2）若已知有向线段两端点的坐标,则必须先求出向量的坐标,然后再进行向量的坐标运算； （3）向量的线性坐标运算可类比数的运算进行. 重难点三、向量数量积的坐标表示 11．已知向量，向量，则（    ） A．20 B．17 C．8 D．0 【答案】B 【详解】因为向量，向量， 所以， 故选：B 12．如图所示，规定每个小方格的边长是1，又已知向量，则 ， ． 【答案】 0 3 【详解】 不妨以的起点为原点建立如图所示坐标系， 由图可得，，， 则，. 故答案为：0；3. 13．已知向量，若，则（    ） A． B．2 C．2或 D．2或 【答案】C 【详解】，解得：或. 故选：C. 14．已知向量，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【详解】因为， 所以， 故． 故选：B. 15．已知向量，则的最小值为 . 【答案】/4.5 【详解】因为向量， 所以，且. 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故答案为： 进行向量的数量积运算的两条途径:（1）先将各向量用坐标表示,直接进行数量积运算;（2）先利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知计算. 重难点四、利用坐标解决向量垂直 16．已知向量，若，则（    ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【详解】依题意，， 故， 因为，故. 故选：A. 17．已知向量，，若，则实数（    ） A．或 B．1或 C．或 D．1或 【答案】D 【详解】由，，得， 由，得，即，所以或. 故选：D 18．已知向量，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由，， 若，则， 解得或， 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：A． 19．已知点和点，写出一个满足“在轴上且为直角的点”的横坐标为 . 【答案】1（或6） 【详解】设点，则，， 由题意可知，解得或. 故答案为：1（或6）. 20．已知，为正实数，，当时，的取值范围为 . 【答案】 【详解】， ， 又， 整理得为正实数，，即， 当且仅当，即时，取等号，. 故答案为：. 向量垂直的坐标表示: 重难点五、利用坐标解决向量的模长 21．已知，则的面积为 ． 【答案】5 【详解】因为，所以， 故，由向量的模长公式得，， 且设的面积为，则. 故答案为：5 22．已知向量，则与向量同向的单位向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 所以与向量同向的单位向量的坐标为：， 故选：B 23．已知平面向量，，且，则 . 【答案】 【详解】由，得，解得， 而，，则，解得， 所以. 故答案为： 24．已知向量，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，得到，化简得，所以， 又，所以，得到， 所以，则，， 所以的面积为， 故选：A. 25．已知向量，，满足，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由条件可知， 则， 易知当时，. 故选：B 若,则,于是有 重难点六、利用坐标求解向量的夹角 26．已知向量，则与的夹角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题，， 又，所以. 故选：C. 27．已知向量，满足，，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，， 因为，， 所以，解得， 所以，，，则， 因为，则． 故选：B 28．已知向量，，若与的夹角为锐角，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】与的夹角为锐角， 且与不共线， ，解得：且， 故答案为： 29．设点，，，为坐标原点，若四边形是平行四边形，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为四边形 是平行四边形,所以, 即 所以. 设 与 的夹角为 因为, 所以, 又 所以, 即 与 的夹角为 . 故选：B. 30．在平行四边形ABCD中，，，，，，线段AE与BF相交于点G，则 ． 【答案】 【详解】如图，不妨以A为原点，所在直线为横轴，建立直角坐标系，    过作轴于M点， 由题意可得，则， 且， 则，，，，， 得，， 所以. 故答案为：. 利用数量积的坐标运算求两向量夹角的步骤： （1）利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积； （2）利用计算出这两个向量的模； （3）由公式直接求出的值； （4）在内,由的值求角 重难点七、利用坐标求解投影向量 31．已知向量，则在方向上投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】. 故选：B. 32．已知向量，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【详解】由，则， 所以向量在向量上的投影向量. 故选：D. 33．已知非零向量，，若向量在方向上的投影向量为，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【详解】向量在方向上的投影向量为， 所以，解得. 故选：A. 34．已知向量满足：，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得，即， 由已知得，所以向量在向量上的投影向量为. 故选：A 35．已知点，，，，与方向相同的单位向量为，若向量在方向上的投影向量为，则实数 . 【答案】 【详解】由题意知， 则 向量在方向上的投影向量为， 所以. 故答案为： 将已知量代入在方向上的投影向量公式(是与方向相同的单位向量,)中计算即可 重难点八、利用坐标判断平行或根据平行求参数 36．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】解：对于A项：因为， 所以，即，不能作为基底； 对于B项：因为，所以不共线， 则，可以作为一组基底； 对于C项：因为， 所以，即，不能作为基底； 对于D项：因为， 所以，即，不能作为基底； 故选：B 37．下列各组向量中，共线的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】若两个向量共线，则， 其中只有B选项，满足条件. 故选：B 38．已知向量，，则“”是“”的（     ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为向量，，， 所以，即， 故“”是“”的充分而不必要条件. 故选：A. 39．已知向量，，且与方向相反，若，则在方向上的投影向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知向量，共线， 故，解得或， 又因为与方向相反，所以，所以，而， 则在方向上的投影向量是， 即在方向上的投影向量的坐标是. 故选：B 40．已知向量，，若，则 . 【答案】 【详解】由可得，， 即，所以. 又， 所以，所以，， 所以，. 故答案为：. 利用向量共线的坐标表达式直接求解. 重难点九、利用坐标解决三点共线问题 41．若，，三点共线，则满足的关系式为 ． 【答案】 【详解】由题意：，，因为三点，，三点共线， 所以. 所以：即. 故答案为： 42．如果，，三点在同一条直线上，试确定常数的值． 【答案】或． 【详解】因为，，，所以，， 由于点在同一条直线上，所以， 所以， 即， 解得，． 的值是或． 43．已知，O为坐标原点，则下列说法正确的是（   ） A． B．A，O，C三点共线 C．A，B，C三点共线 D． 【答案】B 【详解】由题意， 所以，A错误； 因为，，所以， 所以三点共线，B正确； 又，而，所以不共线，从而三点不共线，C错； ，D错误， 故选：B． 44．在中，已知点，，与交于点，则点的坐标为 . 【答案】 【详解】因为点，， 所以，. 设，则，而， 因为三点共线，所以与共线， 所以，即. 而， ， 因为三点共线，所以与共线， 所以，即. 由，得， 所以点M的坐标为. 故答案为：. 45．在平面直角坐标系中，平面向量，将绕原点逆时针旋转得到向量-，若A，B，C三点共线，则在方向上的投影是 . 【答案】2 【详解】由题意可得， OA绕原点逆时针旋转,得到， 所以 ， 由A，B，C三点共线，可得, , 故在方向上的投影为 , 故答案为：2 一、单选题 1．已知向量，.若与是共线向量，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因与共线，且，. 则. 故选：C 2．已知向量在正方形网格中的位置如图所示，以为基底，则可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系， 设与轴正方向相同的单位向量为，与轴正方向相同的单位向量为，则， 设 因为不共线，所以有， 故选：C 3．已知向量，若，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【详解】由，又， 所以， 则. 故选：B 4．已知向量、满足，，若，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，所以，， 向量在上的投影向量为. 故选：C. 5．已知向量，向量与向量的夹角为，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】设，又， 所以， 所以当时，， 故选：D． 6．已知，，其中，．若对任意，都有，则的最小值为（   ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【详解】设，如图所示， 因为对任意，都有， 由恒成立，则， 因为，， 所以，， 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最小值为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：设，得到恒成立，得出，是解决本题的关键. 二、多选题 7．已知点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】因为， 所以，则，故A不正确； 因为，故B正确； 因为，故C正确； 因为，故D不正确． 故选：BC. 8．设向量，则下列说法错误的是（    ） A．若与的夹角为钝角，则 B．的最小值为9 C．与共线的单位向量只有一个，为 D．若，则 【答案】BC 【详解】A选项，与的夹角为钝角，故且不反向共线， 则且，解得且， 综上，，A正确； B选项，，当且仅当时，等号成立，故的最小值为3，B错误； C选项，，与共线的单位向量有2个， 为，C错误； D选项，若，则，解得，D正确. 故选：BC 三、填空题 9．已知平行四边形的三个顶点，则第四个顶点的坐标为 . 【答案】 【详解】由题意得，设，则， 解得，故第四个顶点的坐标为. 故答案为： 10．已知向量，若与是共线向量，则实数 . 【答案】/0.5 【详解】由题设，，且两向量共线， 所以，则. 故答案为： 11．如图，在等边中，，点为边上的一动点，则的最小值为 ．    【答案】 【详解】取线段的中点，连接，因为为等边三角形，则， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，    则、，设点，其中， ，， 所以，， 当且仅当时，取等号，故的最小值为. 故答案为：. 四、解答题 12．已知平面上、、三点的坐标分别为、、，求、、的坐标，并证明、、三点共线． 【答案】，、，证明见解析 【详解】因为、、， 所以，，， 因为，所以，又直线与直线有公共点， 所以、、三点共线. 13．已知向量，，，且. (1)求实数m的值； (2)求； (3)求向量与的夹角. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意可知， 又，可得， 解得 （2）由（1）可知， 可得， 因此； （3）易知， 又，可得. 所以向量与的夹角. 14．已知向量，，其中． (1)若，求角的大小； (2)若，求的值． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）由，得，所以，即， 因为，所以，所以或，解得或. （2）由题得，，化简得 即， 整理得， 因为，所以，齐次化后得， 即， 即， 解得 因为， 所以. 15．如图，在梯形中，，分别为的中点，是线段上的动点． (1)若，求证：三点共线； (2)若，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【详解】（1）由题意知，，          所以， 所以三点共线； （2）在梯形中，， 易得， 设，         解法一：所以，        所以，                         当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为；   解法二：因为， 所以， ， 所以 ，             当且仅当时，等号成立，所以最小值为；      解法三：以为坐标原点建立如图所示坐标系， 则， 设，则，              由于，因此， 解得，，      因此，             故，            当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$