精品解析：山西省太原某校2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题

高二年级月考试题（数学） 测试时长： 75 分钟 总分： 100 分 一、单项选择题（本题共6小题，每小题4分，共24分.在每个小题给岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 点关于平面对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间直角坐标系的性质即可得出结果. 【详解】由空间直角坐标系的性质可知， 点关于平面对称的点的坐标是. 故选：A 2. 经过两点的直线的倾斜角为，则的值为（ ） A. -2 B. 1 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据两点斜率公式及斜率与倾斜角的关系求解即可. 【详解】经过两点的直线的斜率为， 又直线的倾斜角为，所以，解得. 故选：B 3. 已知，，若，则实数λ的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得，据此可得答案. 【详解】由题可得. 注意到， 则. 故选：A 4. 已知直线的斜率为,在轴上的截距为,则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据点斜式方程求解即可. 【详解】直线在轴上截距为，点在直线上， 又直线斜率为,根据点斜式方程得即. 故选：B. 5. 已知直线：与：，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由两线平行的判定列方程求参数a，注意验证是否存在重合情况，结合充分、必要性定义判断条件间的关系》 【详解】由，则，即，故或， 时，，，即，显然两线重合； 时，则，，即，故. 综上，“”是“”的充要条件. 故选：C 6. 已知两点，若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出直线恒过的定点，根据斜率公式即可求解. 【详解】由直线， 变形可得，由，解得， 可得直线恒过定点， 则， 又直线的斜率为， 若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为. 故选：A. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题4分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 7. 已知正方体的棱长为1，下列四个结论中正确的是（ ） A. 平面 B. 直线与直线为异面直线 C. 直线与直线所成的角为 D. 平面 【答案】AD 【解析】 【分析】利用线面平行的判定即可判断A；根据即可判断BC，建立合适的空间直角坐标系，证明，最后结合线面垂直的判定即可. 【详解】对A，连接，因为，所以四边形为平行四边形， 所以，又因为平面，平面，所以平面，故A正确； 对BC，由A知，则两直线共面，则直线与直线不是异面直线，且直线与直线所成的角不是故BC错误； 对D，以为坐标原点，建立如图所示直角坐标系， 则， 则， 则， 则，又因为平面，所以平面. 故选：AD. 8. 已知直线，则（ ） A. 若，则的一个方向向量为 B. 若，则或 C. 若，则 D. 若不经过第二象限，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】代入，根据方向向量定义即可判断A，根据直线平行和垂直与斜率的关系即可判断B,C，将化简得，结合一次函数的性质即可判断D. 【详解】对A，当时，，斜率为，则其一个方向向量为，故A正确； 对B，若，当时，显然不合题意，则，则直线的斜率， 直线的斜率，则有，即，解得或， 当时，此时直线，显然两条直线重合，故B错误； 对C，若，当时，显然不合题意，则，则， 即，解得，故C正确； 对D，若不经过第二象限，，化简得，则，解得，故D正确； 故选：ACD. 9. 已知动直线：和：，是两直线的交点，、是两直线和分别过的定点，下列说法正确的是（ ） A. 点的坐标为 B. C. 的最大值为10 D. 的轨迹方程为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据直线方程求出定点的坐标，判断A，证明直线垂直，判断B，再结合判断C，D. 【详解】直线的方程可化为， 所以直线过定点， 直线的方程可化为， 所以直线过定点， 所以点的坐标为，点的坐标为，所以A错误， 由已知， 所以直线与直线垂直，即，B正确， 因为，所以， 故， 所以，当且仅当时等号成立， C正确； 因为，故， 设点的坐标为， 则， 化简可得， 又点不是直线的交点，点在圆上， 故点的轨迹为圆除去点，D错误； 故选：BC. 三、填空题（本题共3小题，每小题4分，共12分.） 10. 已知直线的方程为，则坐标原点到直线的距离为______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用点到直线距离公式代入计算即可得出结果. 【详解】将直线化为一般方程可得， 由点到直线距离公式可得坐标原点到直线的距离为. 故答案为： 11. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线的一般式方程为_______________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据直线过原点和不过原点设出直线方程，然后代入点即可得解. 【详解】因为直线在两坐标轴上的截距之和为零，所以设直线方程为或， 因为直线过点可得或，可得. 所以直线方程为或. 故答案：或 12. 已知，则的最小值为______ 【答案】 【解析】 【分析】由两点距离公式可将转化为 到，的距离和，先求得关于直线的对称点， 则即为距离和的最小值，由距离公式求即可. 【详解】， 设在直线上，点，， 则，， 则, 如图，关于直线的对称点为，则的最小值即为线段长， 设，则，解得，即， 故， 所以， 故答案为： 三、解答题（本题共5小题，共52分.） 13. 已知、在直线上. （1）求直线的方程； （2）若直线倾斜角是直线倾斜角的2倍，且与的交点在轴上，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先求出直线的斜率，再由点斜式求出直线方程； （2）设直线的倾斜角为，则，利用二倍角公式求出，再求出直线与轴的交点，再由斜截式得到直线的方程. 【小问1详解】 因为、在直线上， 所以，所以直线的方程为，即. 【小问2详解】 设直线的倾斜角为，则， 所以， 所以直线的斜率， 对于，令得，即直线与轴交于点， 所以直线的方程为. 14. 已知点和直线． （1）若直线经过点P，且，求直线的方程； （2）若直线过原点，且点P到直线，l的距离相等，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)根据两直线垂直可求出直线的斜率为2，然后利用点斜式即可求解； (2)先求出点P到直线l的距离，然后分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论即可求解. 【小问1详解】 由直线l的方程可知它的斜率为， 因为，所以直线的斜率为2． 又直线经过点，所以直线的方程为：， 即． 【小问2详解】 点P到直线l的距离为：， ①当直线的斜率不存在时，的方程为：，点P到直线的距离为2，与已知矛盾； ②当直线的斜率存在时，可设直线的方程为：， 则，解得． 所以，直线的方程为：． 15. 如图，在四棱锥中，平面平面，，四边形为梯形，，，，，，，交于点，点在线段上，且. （1）证明：平面. （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1）平面平面，且两平面交于，又， 平面. 在中，，，. 且，是等腰直角三角形， ，. ，， 又，为等腰直角三角形，. ，， 又，所以，平面,平面， 平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形边角关系可证明相似，即可得,即可求证， （2）建立空间直角坐标系，利用向量的夹角求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得平面，且，所以建立如图所示空间直角坐标系. 可得，，， 即，. 设平面的法向量为，则， 解得. 平面法向量为. 设二面角为，所以， 则. 16. 已知直线 （1）若直线不经过第四象限，求的取值范围； （2）判断直线与直线的位置关系 （3）若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 【答案】（1）； （2）当时，两直线平行，当时，两直线相交； （3）4， 【解析】 【分析】（1）根据直线不经过第四象限，得到不等式，求出； （2）先根据平行的条件得到方程，求出，验证后得到两直线平行；当时，两直线相交； （3）根据题意得到不等式，求出，表达出，由基本不等式求出最值，并求出直线方程. 【小问1详解】 由直线不经过第四象限，又， 则，解得； 【小问2详解】 令，解得，此时直线，显然与平行； 当时，两直线相交， 综上，当时，两直线平行，当时，两直线相交； 【小问3详解】 直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面为， 由直线的方程可得与坐标轴的交点，， 则，解得：． ， 当且仅当，即时取等号． 的最小值为4，及此时直线的方程为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级月考试题（数学） 测试时长： 75 分钟 总分： 100 分 一、单项选择题（本题共6小题，每小题4分，共24分.在每个小题给岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 点关于平面对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 经过两点的直线的倾斜角为，则的值为（ ） A. -2 B. 1 C. 3 D. 4 3. 已知，，若，则实数λ的值为（ ） A 2 B. C. D. 4. 已知直线的斜率为,在轴上的截距为,则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线：与：，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知两点，若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题4分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 7. 已知正方体的棱长为1，下列四个结论中正确的是（ ） A 平面 B. 直线与直线为异面直线 C. 直线与直线所成的角为 D. 平面 8. 已知直线，则（ ） A. 若，则的一个方向向量为 B. 若，则或 C. 若，则 D. 若不经过第二象限，则 9. 已知动直线：和：，是两直线交点，、是两直线和分别过的定点，下列说法正确的是（ ） A. 点的坐标为 B. C. 的最大值为10 D. 的轨迹方程为 三、填空题（本题共3小题，每小题4分，共12分.） 10. 已知直线的方程为，则坐标原点到直线的距离为______. 11. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线的一般式方程为_______________． 12. 已知，则的最小值为______ 三、解答题（本题共5小题，共52分.） 13. 已知、在直线上. （1）求直线的方程； （2）若直线倾斜角是直线倾斜角的2倍，且与的交点在轴上，求直线的方程. 14. 已知点和直线． （1）若直线经过点P，且，求直线的方程； （2）若直线过原点，且点P到直线，l的距离相等，求直线的方程． 15. 如图，在四棱锥中，平面平面，，四边形为梯形，，，，，，，交于点，点在线段上，且. （1）证明：平面. （2）求二面角的正弦值. 16. 已知直线 （1）若直线不经过第四象限，求取值范围； （2）判断直线与直线的位置关系 （3）若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $