专题16 直线与圆几何问题题型深度剖析与总结（8大题型）（练习）-【上好课】2025年高考数学二轮复习讲练测（新高考通用）

专题16 直线与圆几何问题题型深度剖析与总结 目录 01 模拟基础练 2 题型一：直线的方程 2 题型二：圆的方程 3 题型三：直线、圆的位置关系 4 题型四：圆的动点与距离问题 6 题型五：阿氏圆 8 题型六：米勒定理与角度问题 9 题型七：圆的数形结合 12 重难点突破：与距离问题有关的最值 15 02 重难创新练 18 题型一：直线的方程 1．已知直线，若，则 . 【答案】 【解析】易知直线的斜率存在且为， 由可知，且，所以. 故答案为： 2．已知直线：和：，若，则实数 . 【答案】 【解析】直线：、：，且， ， 解得. 故答案为：. 3．已知点，直线与轴相交于点，则中，边上的高所在直线的方程是 . 【答案】 【解析】直线与轴交点的斜率， 所以边上的高的斜率， 所以所在直线方程为. 故答案为： 题型二：圆的方程 4．圆心在抛物线上，并且与抛物线的准线及轴都相切的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为圆心在抛物线上， 所以设圆心为， 又因为圆与抛物线的准线及轴都相切， 所以，解得， 所以圆心为，半径为， 所以圆的标准方程为：，即， 故选：A． 5．已知抛物线上有一点，且点在第一象限，以为圆心作圆，若该圆经过抛物线的顶点和焦点，那么这个圆的方程为 . 【答案】 【解析】设点，则，若抛物线的顶点为,焦点为， 依题意，,即，解得，， 则圆的圆心为，半径为, 故这个圆的方程为：. 故答案为：. 6．在平面直角坐标系中，的坐标满足，，已知圆，过作圆的两条切线，切点分别为，当最大时，圆关于点对称的圆的方程为 ． 【答案】 【解析】依题意，点的轨迹为直线上，显然，要最大，当且仅当最大， 在中，，而正弦函数在上单调递增， 则只需最大，即圆心到点的距离最小，因此，又圆心， 此时直线的方程为，由解得点， 于是圆心关于点对称的点的坐标为，所以圆关于点对称的圆的方程为． 故答案为： 题型三：直线、圆的位置关系 7．已知集合，，则集合中元素的个数为（    ） A．2 B．1 C．0 D．不确定 【答案】A 【解析】联立或， 所以集合，故集合中元素的个数为2. 故选：A. 8．已知直线过定点A，过定点B，与交于点P（异于A，B两点），则的面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】将直线变形为：，知过定点， 将直线变形为：，知过定点， 当时，，，此时， 当时，，，此时， 当且时，两直线的斜率乘积知：此时， 因为，由直径所对的圆周角为知， 点在以线段为直径的圆上（不含、两点）， 所以点到线段的距离即为的高，设为， 易知，因为，所以 所以， 即的面积的最大值是, 故选：D 9．已知不重合的圆都过点，且均与两坐标轴相切，则圆的公共弦长为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解析】如图： 因为两圆都过点，且均与两坐标轴相切，所以必在直线上， 点关于直线的对称点为，则线段即为圆的公共弦. 因为. 故选：B 题型四：圆的动点与距离问题 10．已知点，若圆上存在点满足，则实数的取值的范围是 . 【答案】 【解析】设，则， ，即， 在以为圆心，2为半径的圆上，由题意该圆与圆有公共点， 所以，解得． 故答案为：． 11．如果实数，满足，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，则表示经过原点的直线，为直线的斜率. 如果实数，满足和，即直线同时经过原点和圆上的点. 其中圆心，半径 从图中可知，斜率取最大值时对应的直线斜率为正且刚好与圆相切，设此时切点为 则直线的斜率就是其倾斜角的正切值，易得，， 可由勾股定理求得，于是可得到为的最大值； 同理，的最小值为－1. 则的范围是. 故选：B. 12．若分别为圆，与圆上的动点，为直线上的动点，则的最小值为 ． 【答案】9 【解析】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 设点关于直线的对称点为，连接，如图： 则，解得，即， ，则 ，当且仅当是与直线的交点， 且分别是线段与圆的交点时取等号， 所以的最小值为9. 故答案为：9 13．点在圆上，则的范围是 ． 【答案】 【解析】设，，即， 所以， 因为，所以. 故答案为： 题型五：阿氏圆 14．（多选题）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系中，，，动点满足，直线，则（    ） A．动点的轨迹方程为 B．直线与动点的轨迹一定相交 C．动点到直线距离的最大值为 D．若直线与动点的轨迹交于，两点，且，则 【答案】ABD 【解析】设．因为，所以， 所以，即， 所以对于A选项，动点的轨迹为以为圆心，2为半径的圆，故A正确． 对于B选项，因为直线过定点，而点在圆内，所以直线与圆相交，故B正确． 对于C选项，当直线与垂直时，动点到直线的距离最大，且最大值为，故C错误． 对于D选项，记圆心到直线的距离为，则．因为，所以． 因为，所以．由，得，故D正确． 故选：ABD 题型六：米勒定理与角度问题 15．几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点是锐角的一边上的两点，试在边上找一点，使得最大.”如图，其结论是：点为过两点且和射线相切的圆与射线的切点.根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系中，给定两点，点在轴上移动，当取最大值时，点的横坐标是 . 【答案】2 【解析】，则线段的中点坐标为， 可知，则线段的垂直平分线的方程为， 即， 经过两点的圆的圆心在上， 设圆心为， 则半径， 则圆的方程为， 当取最大值时，圆必与轴相切于点（由题中结论得）， 则此时，代入圆的方程得， 化简得，解得或， 即对应的切点为或， 设，. 因为对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大， 又过点的圆的半径大于过点的圆的半径， 所以，故点为所求， 即当取最大值时，点的横坐标为2. 故答案为：2. 16．已知，，P是圆O：上的一个动点，则的最大值为 . 【答案】 【解析】设外接圆半径为R，由正弦定理，，当外接圆半径最小，即外接圆与圆O相内切时，最大. 设外接圆圆心为M，由题可得其在AB中垂线上，可设其坐标为：. 则，，又圆M与圆O相内切，则圆心距等于半径之差，则， 等式两边平方并化简后可得：. 即外接圆半径为R的最小值为. 则此时最大，最大值为. 故答案为： 17．德国数学家米勒曾提出最大视角问题，这一问题一般的描述是：已知点，是的边上的两个定点，是边上的一个动点，当在何处时，最大？问题的答案是：当且仅当的外接圆与边相切于点时最大，人们称这一命题为米勒定理.已知点，的坐标分别是，，是轴正半轴上的一动点.若的最大值为，则实数的值可以为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】根据米勒定理，当最大时，的外接圆与轴正半轴相切于点. 设的外接圆的圆心为，则，圆的半径为. 因为为，所以，即为等边三角形， 所以，即或，解得或. 故选：C. 18．在平面直角坐标系中，，，在直线上运动，当最大时，过，，三点的圆方程为_________． 【答案】 【解析】设圆心坐标为， 由米勒定理知，当且仅当的外接圆与直线相切于点时，最大． 所以，解得或， 当时，，，， 当时，，，， 所以当最大时，过，，三点的圆方程为． 题型七：圆的数形结合 19．已知点、在圆上，点在直线上，点为中点，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得圆的标准方程为， 设圆心为，半径为，则，， ,所以由垂径定理可得， 故点在以为圆心，为半径的圆上， 因为点到直线的距离， 所以的最小值为， 故选：B. 20．已知直线与y轴交于点A，点P在直线l上（异于点A），过点P作圆的两条切线，切点分别为M，N，当最大时，四边形的面积为（   ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【解析】如图所示，连接，易知，，， 又，因此当最大时，也最大， 此时也最大，即最小，此最小值即为点O到直线l的距离， 则四边形的面积为． 故选：A． 21．已知直线与圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点分别为，当取最小值时，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由可知圆心为，半径， 由题意， 所以当时，取最小值， 由点到直线的距离公式可得， 此时， 过作直线的对称点，连接，，与直线的交点即为所求的点， 由于与关于直线对称，，与关于直线对称， 因此与就是同一条直线，即点即为所求的点， 所以的最小值为. 故选：C 22．若当动点在圆上运动时，的取值范围，则圆心（   ） A．一定在直线上 B．一定在直线上 C．一定在直线上 D．一定在直线上 【答案】C 【解析】如下图所示：， 因为的取值范围， 所以，直线的倾斜角的取值范围是， 由题意可知，直线、为圆的两条切线， 即直线、为圆的两条切线， 由图可知，直线的斜率为负数，则 ， 设圆心，则，整理可得， 即，可得， 因为，解得，因此，圆心一定在直线上. 故选：C. 重难点突破：与距离问题有关的最值 23．已知圆和圆，分别是圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆关于轴的对称圆的圆心坐标，半径为1，圆的圆心坐标为，半径为3， ∴若与关于x轴对称，则，即， 由图易知，当三点共线时取得最小值， ∴的最小值为圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和， ∴. 故选：D. 24．已知点，，在轴上找一点使最大，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】作出图形，作点关于轴的对称点，可得出，进而可得出，利用、、三点共线时取最大值，求得直线的方程，与轴的方程联立可求得点的坐标.如下图所示： 作点关于轴的对称点，由对称性可知，则. 当、、三点不共线时，由三角形三边关系得； 当、、三点共线时，. 所以，，当且仅当、、三点共线时，等号成立， 此时，直线的斜率为， 直线的方程为，即， 在直线的方程中，令，解得，即点. 故选：D. 25．设直线l：，点，，P为l上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设点关于直线l的对称点为， 则有，解之得，则， 则的最小值为 故选：B 1．若直线：与直线：平行，则这两条直线间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为直线：与直线：平行， 所以，所以， 所以直线：即， 所以这两条直线间的距离为. 故选：B. 2．若动点到的距离之比为．则点到直线的最小距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设动点的坐标为， 由题意：，即， 代入点的坐标，可得， 两边取平方并整理得：， 即动点C的轨迹为圆心为，半径为的圆， 因到直线的距离为， 故点到直线的最小距离为， 故选：D. 3．已知圆M的方程为，圆N上任意一点P到定点，的距离比为，则圆M与圆N的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．外切 D．内切 【答案】D 【解析】由已知设，则，化简得， 故圆N的圆心为，半径为2．又圆M的圆心为，半径为7. 两圆心距为，故两圆内切， 故选：D． 4．已知点，在圆上，点，，则使得是面积为的等边三角形的点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】设中点为E，由正三角形面积公式可知， 由正三角形及圆的对称性可知，则三点共线， 而， 因为，所以P在以为圆心，2为半径的圆上， 由圆的位置关系可知，当且仅当时取得，此时， 即满足条件的点P只有一个. 故选：A 5．已知过点的直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以点在圆内． 且圆的圆心为，半径为， 则，当时，取得最小值，且最小值为． 故选：D 6．过直线上一点作圆的两条切线，，切点分别为A，B，当直线，关于对称时，线段的长为（    ） A．4 B． C． D．2 【答案】C 【解析】如图所示，圆心,连接, 因为直线，关于直线对称， 所以垂直于直线， 故 而, 则, 故选： 7．已知直线与相交于两点，且为等边三角形，则实数（    ） A．或2 B．或4 C． D． 【答案】A 【解析】的圆心，半径， 因为直线与相交于两点，且为等边三角形，则圆心到直线的距离为， 即，整理得，解得或， 故选：A. 8．已知直线过点且倾斜角为，若与圆相切，则 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设直线, 因为与圆相切，所以， 因此选B. 9．（多选题）如图，经过坐标原点O且互相垂直的两条直线AC和BD与圆相交于A，C，B，D四点，M为弦AB的中点，下列结论正确的是（      ） A．AO长度的最大值为 B．线段BD长度的最小值为 C．点M的轨迹是一个圆 D．四边形ABCD面积的取值范围为 【答案】BCD 【解析】由已知可得圆心为，半径， 由圆的性质知：圆心与直线BD距离最大为 ， 线段AO长度最大，则圆心与A，O共线且在它们中间， 此时，故A错误； 由圆的性质知：当圆心与直线BD距离最大为 时弦BD的长度最小， 此时，故B正确； 若M，H，G，F分别是AB，BC，CD，AD的中点， 则且 ，且 ， 又，易知：四边形为矩形，而 ， 若圆心到直线AC，BD的距离且 ， 所以 ， 则 ，故， 所以点M在以为直径，，的交点为圆心的圆上，故C正确； 由以上分析： ， ， 而 ， 所以 ， 令 ，则S ， 当，即时，， 当或2，即或时，， 所以，故D正确． 故选：BCD． 10．（多选题）已知圆，点为圆上一点，点为坐标原点，则下列叙述正确的有（   ） A．点在圆外 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】AC 【解析】选项A，点坐标代入圆的方程左侧得，即原点在圆外，所以A正确； 选项B，圆的标准方程为，所以圆心，半径，，所以，所以B错误； 选项C，令，则直线与圆有公共点，根据点到直线的距离公式得，解得的最小值为，故C正确; 选项D，设，则直线与圆有公共点,根据点到直线的距离公式得，解得，所以的最小值为，故D错误. 故选：AC 11．（多选题）已知直线和圆相交于M，N两点，则下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．的最小值为3 C．的最小值为 D．圆上到直线的距离为的点恰好有三个，则 【答案】AC 【解析】对于A，直线，即， 由解得，所以定点坐标为，A正确， 对于B，圆的圆心为，半径为， 点与圆心的距离为， 所以的最小值为，此时直线垂直于轴，故此时无最小值， 故B错误， 对于C，设，则， 当，即直线方程为时， 取得最小值为，所以C正确， 对于D，若圆上到直线的距离为的点恰好有三个， 则圆心到直线的距离为， 所以， 整理得，所以D错误. 故选：AC 12．在平面直角坐标系xOy中，射线，，半圆C：.现从点向上方区域的某方向发射一束光线，光线沿直线传播，但遇到射线、时会发生镜面反射.设光线在发生反射前所在直线的斜率为k，若光线始终与半圆C没有交点，则k的取值范围是 . 【答案】 【解析】将半圆依次沿着，，作对称，如图所示： 光线在镜面发生反射可以等效处理为：光线进入了镜子后的空间， 因此问题就转化为光线如何与镜子内外的圆没有交点，光线变化的范围如图所示. 当光线与相切时，光线所在直线斜率为， 由对称性可知当光线遇射线时反射光线若与相切，则入射光线所在直线为与圆相切， 当光线与圆相切但遇射线时反射光线不与相切时， 此时，所以光线斜率为 ， 当光线与相切时，光线斜率为， 所以由图可知k的取值范围是. 故答案为：. 13．在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，求在方向上的数量投影的最大值 ． 【答案】 【解析】根据题意不妨设，，，， 则， 由可得，由可得； 设，故在以为圆心，为半径的圆上； 在以为圆心，1为半径的圆上； 过作于，则即为在上的数量投影，如下所示： 因为分别为两圆上任意动点，不妨固定，则为定长， 设，即，故， 因为此时为定长，且， 故随着的减小，增大，直至恰好与圆相切时，取得最大值，如下所示： 在与圆相切的基础上，移动点，过作于，故； 在△中，，， 故，因为, 故在直角三角形中，，则，即； 在四边形中，因为，故， 当且仅当时等号成立，从而. 综上所述：在方向上的数量投影的最大值为. 故答案为：. 14．过抛物线上一动点作圆的两条切线，切点分别为，若的最小值是，则 . 【答案】 【解析】设，则，圆的圆心，半径为， 由切圆于点，得， 则 ， 当且仅当时，等号成立， 可知的最小值为， 整理可得，解得， 且，所以， 故答案为：. 15．已知实数、满足，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】当，时，曲线方程可化为； 当，时，曲线方程可化为； 当，时，曲线方程可化为，即曲线不出现在第三象限； 当，时，曲线方程可化为， 作出曲线的图形如下图所示： 设，即， 由图可知，当直线与圆相切，且切点在第一象限时， 则，且，解得， 由因为双曲线、的渐近线方程均为， 当直线与直线重合时，， 所以，，故. 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 / 1 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题16 直线与圆几何问题题型深度剖析与总结 目录 01 模拟基础练 2 题型一：直线的方程 2 题型二：圆的方程 2 题型三：直线、圆的位置关系 2 题型四：圆的动点与距离问题 3 题型五：阿氏圆 3 题型六：米勒定理与角度问题 4 题型七：圆的数形结合 4 重难点突破：与距离问题有关的最值 5 02 重难创新练 6 题型一：直线的方程 1．已知直线，若，则 . 2．已知直线：和：，若，则实数 . 3．已知点，直线与轴相交于点，则中，边上的高所在直线的方程是 . 题型二：圆的方程 4．圆心在抛物线上，并且与抛物线的准线及轴都相切的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 5．已知抛物线上有一点，且点在第一象限，以为圆心作圆，若该圆经过抛物线的顶点和焦点，那么这个圆的方程为 . 6．在平面直角坐标系中，的坐标满足，，已知圆，过作圆的两条切线，切点分别为，当最大时，圆关于点对称的圆的方程为 ． 题型三：直线、圆的位置关系 7．已知集合，，则集合中元素的个数为（    ） A．2 B．1 C．0 D．不确定 8．已知直线过定点A，过定点B，与交于点P（异于A，B两点），则的面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 9．已知不重合的圆都过点，且均与两坐标轴相切，则圆的公共弦长为（    ） A．1 B． C． D． 题型四：圆的动点与距离问题 10．已知点，若圆上存在点满足，则实数的取值的范围是 . 11．如果实数，满足，则的范围是（    ） A． B． C． D． 12．若分别为圆，与圆上的动点，为直线上的动点，则的最小值为 ． 13．点在圆上，则的范围是 ． 题型五：阿氏圆 14．（多选题）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系中，，，动点满足，直线，则（    ） A．动点的轨迹方程为 B．直线与动点的轨迹一定相交 C．动点到直线距离的最大值为 D．若直线与动点的轨迹交于，两点，且，则 题型六：米勒定理与角度问题 15．几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点是锐角的一边上的两点，试在边上找一点，使得最大.”如图，其结论是：点为过两点且和射线相切的圆与射线的切点.根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系中，给定两点，点在轴上移动，当取最大值时，点的横坐标是 . 16．已知，，P是圆O：上的一个动点，则的最大值为 . 17．德国数学家米勒曾提出最大视角问题，这一问题一般的描述是：已知点，是的边上的两个定点，是边上的一个动点，当在何处时，最大？问题的答案是：当且仅当的外接圆与边相切于点时最大，人们称这一命题为米勒定理.已知点，的坐标分别是，，是轴正半轴上的一动点.若的最大值为，则实数的值可以为（    ） A． B．2 C．3 D．4 18．在平面直角坐标系中，，，在直线上运动，当最大时，过，，三点的圆方程为_________． 题型七：圆的数形结合 19．已知点、在圆上，点在直线上，点为中点，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 20．已知直线与y轴交于点A，点P在直线l上（异于点A），过点P作圆的两条切线，切点分别为M，N，当最大时，四边形的面积为（   ） A．2 B．4 C．5 D．6 21．已知直线与圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点分别为，当取最小值时，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 22．若当动点在圆上运动时，的取值范围，则圆心（   ） A．一定在直线上 B．一定在直线上 C．一定在直线上 D．一定在直线上 重难点突破：与距离问题有关的最值 23．已知圆和圆，分别是圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 24．已知点，，在轴上找一点使最大，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 25．设直线l：，点，，P为l上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 1．若直线：与直线：平行，则这两条直线间的距离为（    ） A． B． C． D． 2．若动点到的距离之比为．则点到直线的最小距离为（   ） A． B． C． D． 3．已知圆M的方程为，圆N上任意一点P到定点，的距离比为，则圆M与圆N的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．外切 D．内切 4．已知点，在圆上，点，，则使得是面积为的等边三角形的点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知过点的直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．过直线上一点作圆的两条切线，，切点分别为A，B，当直线，关于对称时，线段的长为（    ） A．4 B． C． D．2 7．已知直线与相交于两点，且为等边三角形，则实数（    ） A．或2 B．或4 C． D． 8．已知直线过点且倾斜角为，若与圆相切，则 A． B． C． D． 9．（多选题）如图，经过坐标原点O且互相垂直的两条直线AC和BD与圆相交于A，C，B，D四点，M为弦AB的中点，下列结论正确的是（      ） A．AO长度的最大值为 B．线段BD长度的最小值为 C．点M的轨迹是一个圆 D．四边形ABCD面积的取值范围为 10．（多选题）已知圆，点为圆上一点，点为坐标原点，则下列叙述正确的有（   ） A．点在圆外 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 11．（多选题）已知直线和圆相交于M，N两点，则下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．的最小值为3 C．的最小值为 D．圆上到直线的距离为的点恰好有三个，则 12．在平面直角坐标系xOy中，射线，，半圆C：.现从点向上方区域的某方向发射一束光线，光线沿直线传播，但遇到射线、时会发生镜面反射.设光线在发生反射前所在直线的斜率为k，若光线始终与半圆C没有交点，则k的取值范围是 . 13．在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，求在方向上的数量投影的最大值 ． 14．过抛物线上一动点作圆的两条切线，切点分别为，若的最小值是，则 . 15．已知实数、满足，则的取值范围是 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 / 1 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$