1.5 向量的数量积（4知识点+8题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（湘教版2019必修第二册）

1.5 向量的数量积 课程标准 学习目标 （1）通过物理中功等实例, 理解平面向量数量积的概念及其物理意义, 会计算平面向量的数量积 （2）通过几何直观, 了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义 (3)能用坐标表示平面向量的数量积, 会表示两个平面向量的夹角。 (4)能用坐标表示平面向量垂直的条件。 （1）掌握平面向量的数量积的概念； （2）掌握平面向量的投影； （3）能用坐标表示平面向量的数量积, 会表示两个平面向量的夹角 （4）能用坐标表示平面向量垂直的条件 知识点01 平面向量数量积的概念 1 概念 如果两个非零向量 ，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积(或内积)，记作:，即 规定：零向量与任一向量的数量积是. PS 数量积是一个实数，不再是一个向量. 【即学即练1】 在中，，，，则（    ） A．3 B． C．－3 D． 知识点02 平面向量的投影 向量在向量上的投影：，它是一个实数，但不一定大于. 【即学即练2】 已知向量且则在上的投影向量为（    ） A．1 B． C． D． 知识点03 平面向量数量积的运算法则 对于向量 和实数，有 (1) (2) (3) ( 但是 不一定成立. (当向量，不共线时，向量与向量肯定不共线，那怎么可能相等呢) 即向量的数量积满足交换律，分配率，但不满足结合律. 【即学即练3】 已知向量和的夹角为，且，，则（    ） A．3 B．8 C．12 D．13 知识点04 平面向量数量积的坐标表示及其计算 1 设，则 (1)数量积 (2)夹角余弦值 2 若 ，则. 【即学即练4】 已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【题型一：平面向量数量积的概念】 例1．已知正六边形的边长为2，点为线段的中点，则的值为（    ） A．6 B． C．3 D． 变式1-1．在△ABC中，，，，则（    ） A．12 B．6 C． D． 变式1-2．设，是两个非零向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 变式1-3．在平面四边形ABCD中，若，，且，，则（    ） A． B．8 C．10 D．3 【方法技巧与总结】 1 利用数量积的定义求数量积，要注意向量的夹角； 2 求数量积直接使用定义求解不容易，可采取“转移”的方法，利用基底法，把其转化为易求数量积的向量的问题. 【题型二：平面向量的投影】 例2．已知向量与向量均为单位向量，且，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 变式2-1．已知向量与的夹角为，，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 变式2-2．已知平面向量与满足：在方向上的投影向量为在方向上的投影向量为，且，则（   ） A．2 B．3 C． D．4 变式2-3．已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为(    ) A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 1 向量在向量上的投影：，它是一个实数，但不一定大于. 2 注意结合图象进行分析. 【题型三：求平面向量的模】 例3．已知向量，满足，，，则（    ） A． B． C．3 D．2 变式3-1．已知，且与的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D．2 变式3-2．若向量，满足，，，的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 变式3-3．已知向量，，与的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 1 若题中向量不是坐标表示的，使用求向量的模； 2 若题中的向量是用坐标表示，则利用 【题型四：平面向量数量积的坐标表示】 例4．已知向量，则下列等式中，有且仅有一组实数x，y使其成立的是（    ） A． B． C． D． 变式4-1．已知向量，若，则（   ） A． B． C． D． 变式4-2．向量，，若与夹角为，则的值是（ ） A． B． C． D． 变式4-3．已知向量，若，则实数的值为（    ） A．4 B．或1 C． D．4或 【方法技巧与总结】 设，则数量积. 【题型五：利用坐标表示求向量的夹角】 例5．已知平面向量，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 变式5-1．已知向量，满足，，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 变式5-2．已知向量，，且在上的投影向量为，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 设，则夹角余弦值 【题型六：利用向量垂直求参数】 例6．已知向量，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式6-1．已知，若，则（    ） A． B． C． D． 变式6-2．已知向量满足，且，则（    ） A． B． C．5 D．4 变式6-3．已知向量，，若，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 若 ，则. 【题型七：平面向量数量积最值问题】 例7．设圆的半径为3，其一条弦为圆上任意一点，则的最大值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 变式7-1．已知则当最小时的值为（    ） A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．1 变式7-2．已知非零向量，满足，则，的夹角最大为（    ） A． B． C． D． 变式7-3．已知平面向量，当最小时，，则的夹角为（    ） A． B． C． D． 变式7-4．已知平面向量，，，满足，则的最小值是（   ） A．0 B．3 C． D．2 变式7-5．在梯形ABCD中，，P为梯形ABCD所在平面上一点，且满足，，Q为边AD上的一个动点． (1)求证：； (2)的最小值． 【题型八：平面向量数量积的综合】 例8．已知三角形ABC的外接圆半径为1，外接圆圆心为O，且O点满足，则 . 变式8-1．是所在平面上一点，若，则是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 变式8-2．在矩形ABCD中，已知，，点P在CD边上，满足，则（    ） A． B．0 C． D． 变式8-3．如图所示，已知中，点P，Q，R依次是边BC上的三个四等分点，若，，则 .    变式8-4．如图，在平行四边形中，分别为的中点，为上一点，且，，则 ． 一、单选题 1．如图，网格纸上的每个小正方形的边长均为1，下列关于向量，，，的判断正确的是（    ） A． B． C． D． 2.已知是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则（    ） A． B． C．2 D．4 3.已知，，，则等于（    ）. A． B． C． D． 4.已知向量，若，则实数m的值是（    ） A．3或 B．或1 C．3或1 D．或 5.已知向量，若，则与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 6.已知向量，，下列说法正确的是（    ） A．，与的夹角不小于 B．， C．，使得 D．，使得 7.已知菱形的边长为2，，点E，F分别在边，上，，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 8.点为曲线上一动点，为单位圆的一条直径的两个端点，则的最小值为（   ） A．4 B． C． D． 二、多选题 9．对于空间向量，，和实数，下列命题中是假命题的是（   ） A．若，则或. B．若，则或. C．右则或 D．若，则 10. 已知和为单位向量，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．与的夹角为 D．在方向上的投影向量是 11. 下列说法中正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．在中，若点满足，则为的重心 D．两个非零向量，，若，则与共线且反向 三、填空题 12．在平行四边形中，过点作的垂线，垂足为，且，则 . 13. 在三角形中，在上的投影向量为，则 ． 14. 已知向量，，若在上的投影向量，则向量与的夹角为 ． 四、解答题 15．已知． (1)求； (2)若，求实数的值． 16. 已知向量，满足. (1)求向量与的夹角； (2)求向量在向量上的投影向量； (3)若向量与垂直，求实数的值. 17. 设，，，为平面内的四点，已知，，. (1)若四边形为平行四边形，求点的坐标； (2)若，，三点共线，，求点的坐标. 18.在直角梯形中，已知，，，，对角线交于点，点在上，且． (1)求的值； (2)若为线段上任意一点，求的取值范围． 19. 把元有序实数组称为维向量，类似平面向量与空间向量，对于维向量，也可定义两个向量的加法运算和减法运算；数乘运算；向量的长度（模）；两个向量的数量积（表示向量的夹角，）；向量在向量上的投影向量的模维向量为我们解决数学问题提供了更为广阔的思维空间. (1)已知，求向量的夹角的余弦值； (2)已知4维向量，，且，求的最小值； (3)，求的最大值（用含的式子表示）. （注：） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.5 向量的数量积 课程标准 学习目标 （1）通过物理中功等实例, 理解平面向量数量积的概念及其物理意义, 会计算平面向量的数量积 （2）通过几何直观, 了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义 (3)能用坐标表示平面向量的数量积, 会表示两个平面向量的夹角。 (4)能用坐标表示平面向量垂直的条件。 （1）掌握平面向量的数量积的概念； （2）掌握平面向量的投影； （3）能用坐标表示平面向量的数量积, 会表示两个平面向量的夹角 （4）能用坐标表示平面向量垂直的条件 知识点01 平面向量数量积的概念 1 概念 如果两个非零向量 ，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积(或内积)，记作:，即 规定：零向量与任一向量的数量积是. PS 数量积是一个实数，不再是一个向量. 【即学即练1】 在中，，，，则（    ） A．3 B． C．－3 D． 【答案】D 【分析】直接利用向量数量积的定义计算即可. 【详解】因为在中，，，， 所以，. 故选：D. 知识点02 平面向量的投影 向量在向量上的投影：，它是一个实数，但不一定大于. 【即学即练2】 已知向量且则在上的投影向量为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】由求出再利用投影向量公式求解. 【详解】解：因为， 所以 所以在上的投影向量为， 故选：D 知识点03 平面向量数量积的运算法则 对于向量 和实数，有 (1) (2) (3) ( 但是 不一定成立. (当向量，不共线时，向量与向量肯定不共线，那怎么可能相等呢) 即向量的数量积满足交换律，分配率，但不满足结合律. 【即学即练3】 已知向量和的夹角为，且，，则（    ） A．3 B．8 C．12 D．13 【答案】D 【分析】应用平面向量数量积的定义及运算律计算即可. 【详解】因为向量和的夹角为，且， 则. 故选：D. 知识点04 平面向量数量积的坐标表示及其计算 1 设，则 (1)数量积 (2)夹角余弦值 2 若 ，则. 【即学即练4】 已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量垂直得到方程，求出答案. 【详解】因为，所以，化简得， 即，解得． 故选：C 【题型一：平面向量数量积的概念】 例1．已知正六边形的边长为2，点为线段的中点，则的值为（    ） A．6 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据平面向量向量积的计算公式计算求解即可. 【详解】因为正六边形的边长为2，点为线段的中点， 所以，，， 所以， 故选：C 变式1-1．在△ABC中，，，，则（    ） A．12 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】利用向量数量积的定义求解. 【详解】△ABC中，，，，与的夹角为角的补角， 则. 故选：C 变式1-2．设，是两个非零向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】根据平面向量数量积定义可知当夹角为时，数量积也成立，即可得出结论. 【详解】若，则与的夹角可能为，不一定是钝角，因此充分性不成立； 若与的夹角为钝角，则可得，因此可得，所以充分性成立， 即“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件. 故选：B 变式1-3．在平面四边形ABCD中，若，，且，，则（    ） A． B．8 C．10 D．3 【答案】B 【分析】根据条件可得，，利用向量的线性运算表示，结合数量积的运算律可得结果. 【详解】 ∵，， ∴，， ∴ . 故选：B. 【方法技巧与总结】 1 利用数量积的定义求数量积，要注意向量的夹角； 2 求数量积直接使用定义求解不容易，可采取“转移”的方法，利用基底法，把其转化为易求数量积的向量的问题. 【题型二：平面向量的投影】 例2．已知向量与向量均为单位向量，且，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知条件求出，再由投影向量公式计算即可求出答案． 【详解】因为，，， 所以， ， 故向量在向量上的投影向量为， 故选：A. 变式2-1．已知向量与的夹角为，，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合向量的投影的定义和计算方法，即可求解. 【详解】由题意知，向量且向量与的夹角为， 所以向量在上的投影为， 又因为，所以向量在上的投影向量为. 故选：A. 变式2-2．已知平面向量与满足：在方向上的投影向量为在方向上的投影向量为，且，则（   ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】根据投影向量的定义，即可求解. 【详解】在方向上的投影向量为，即，① 在方向上的投影向量为，即，② 由①②得，又，所以. 故选：C 变式2-3．已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件作图可得为等边三角形，根据投影向量的概念求解即可. 【详解】因为， 所以外接圆圆心为的中点，即为外接圆的直径，如图， 又，所以为等边三角形， 则，故， 所以向量在向量上的投影向量为：． 故选：A． 【方法技巧与总结】 1 向量在向量上的投影：，它是一个实数，但不一定大于. 2 注意结合图象进行分析. 【题型三：求平面向量的模】 例3．已知向量，满足，，，则（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】A 【分析】将分别进行平方，借助的值联系起它们的关系，从而求解. 【详解】由题知，， 则， ， 则. 故选：A 变式3-1．已知，且与的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】利用向量数量积的运算律，结合已知条件求解. 【详解】. 故选：C. 变式3-2．若向量，满足，，，的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题知，将和两边同时平方后，解方程组即可求得. 【详解】∵，的夹角为，. ，， ， ， 解得，. 故选：D. 变式3-3．已知向量，，与的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据向量数量积公式求出，再利用三角函数诱导公式求出结果. 【详解】根据向量数量积公式. 先求，. 再求.. 所以. 根据三角函数诱导公式，所以. 故选：C. 【方法技巧与总结】 1 若题中向量不是坐标表示的，使用求向量的模； 2 若题中的向量是用坐标表示，则利用 【题型四：平面向量数量积的坐标表示】 例4．已知向量，则下列等式中，有且仅有一组实数x，y使其成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的坐标运算，向量的模，向量的数量积，建立方程，分析方程的解的个数即可得出答案. 【详解】当 时，，有无数组解，故A错误； 当时，，因为， 所以，当且仅当时，等号成立， 故方程有且仅有一组解，故B正确； 当时，，当或时方程成立，方程有无数组解，故C错误； 当时，即，即，方程有无数组解，故D错误. 故选：B 变式4-1．已知向量，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量数量积的坐标公式计算求出的值，代入坐标，即可求其模长. 【详解】因为，所以，解得， 所以，则 . 故选：B. 变式4-2．向量，，若与夹角为，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量夹角余弦公式结合向量的坐标运算公式求参. 【详解】因为， 所以,化简得. 故选：D. 变式4-3．已知向量，若，则实数的值为（    ） A．4 B．或1 C． D．4或 【答案】B 【分析】将平方化简得，然后利用数量积的坐标公式列式计算即可. 【详解】将两边平方，得， 由得， 即，解得或1. 故选：B. 【方法技巧与总结】 设，则数量积. 【题型五：利用坐标表示求向量的夹角】 例5．已知平面向量，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用数量积的坐标运算求解，再利用夹角公式求解夹角. 【详解】因为，所以，解得； 所以，； ；而， 所以与的夹角为. 故选：D. 变式5-1．已知向量，满足，，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，根据已知求向量的点坐标，再由向量夹角的坐标表示求夹角. 【详解】设，， 因为，， 所以，解得， 所以，，，则， 因为，则． 故选：B 变式5-2．已知向量，，且在上的投影向量为，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合向量的坐标运算，根据投影向量公式求得，进而求出与的坐标，最后利用向量夹角的余弦值公式计算即可. 【详解】因为，，所以在上的投影向量为， 故，则，， 所以与夹角的余弦值为． 故选：A 【方法技巧与总结】 设，则夹角余弦值 【题型六：利用向量垂直求参数】 例6．已知向量，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】我们先根据向量垂直求出的值，再根据向量模的计算公式求出. 【详解】已知，，则. 因为，即. 即,解得. 由，则.所以. 故选：C. 变式6-1．已知，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量线性运算的坐标表示与向量垂直的坐标表示求解即可. 【详解】因为， 所以， 又因为， 所以，即， 解得. 故选：B. 变式6-2．已知向量满足，且，则（    ） A． B． C．5 D．4 【答案】C 【分析】由向量垂直的坐标表示求出，再求出，然后利用坐标计算向量的模长即可； 【详解】因为，所以，解得， 所以，所以， 所以， 故选：C. 变式6-3．已知向量，，若，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知条件可得出，可得出的值，求出向量的坐标，利用投影向量的定义结合平面向量数量积的坐标运算可求得结果. 【详解】由，得，解得， 所以，，则， 所以，在上的投影向量为 . 故选：C. 【方法技巧与总结】 若 ，则. 【题型七：平面向量数量积最值问题】 例7．设圆的半径为3，其一条弦为圆上任意一点，则的最大值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】D 【分析】转化，进而结合平面向量的数量积及运算律求出，，进而求解即可. 【详解】，如图所示， 又， 设夹角为，则， 因为为圆上任意一点，所以时，取得最大值12， 此时. 故选：D. 变式7-1．已知则当最小时的值为（    ） A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．1 【答案】B 【分析】分别表示出，求出，根据二次函数求最值. 【详解】由已知可得： ，. 所以 当时，的值最小. 故选：B 变式7-2．已知非零向量，满足，则，的夹角最大为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题知，，从而求得，求得夹角最大值. 【详解】由题知，，即， 又， 则，即，的夹角最大为 故选：C 变式7-3．已知平面向量，当最小时，，则的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的模长公式计算得到关于的一元二次函数，根据二次函数的图象对称性可得时最小，代入，整理得即可得解. 【详解】设的夹角为，由， 由二次函数的图象可知，当且仅当时，取最小值，此时值最小， 将代入即得：，因，故. 故选：D. 变式7-4．已知平面向量，，，满足，则的最小值是（   ） A．0 B．3 C． D．2 【答案】D 【分析】不妨设，计算 ，当时， 【详解】解：向量满足， 则不妨设， 则， 则，且， 则 ， 当时， 故选：D. 变式7-5．在梯形ABCD中，，P为梯形ABCD所在平面上一点，且满足，，Q为边AD上的一个动点． (1)求证：； (2)的最小值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）利用向量的线性运算求解即得证； （2）利用平行四边形的判定与性质知，利用数量积的定义求得，计算即可求解. 【详解】（1）连接，如图 ∵，∴ 由得 即. （2）∵，∴ 则四边形为平行四边形，∥， . 由，得， ∴，∴， 由得，，即 所以 【题型八：平面向量数量积的综合】 例8．已知三角形ABC的外接圆半径为1，外接圆圆心为O，且O点满足，则 . 【答案】 【分析】依题意可得，平方后求出，从而得到先求出，由二倍角公式得到，求出答案. 【详解】因为，所以， 两边平方得：， 因为三角形的外接圆半径为1，所以， 故，解得：， 因为，而， 所以， 因为， 故. 故答案为： 变式8-1．是所在平面上一点，若，则是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】D 【分析】根据平面向量数量积的运算性质推导出，，，即可得出结论. 【详解】因为， 则，所以，， 同理可得，， 所以，是的垂心. 故选：D. 变式8-2．在矩形ABCD中，已知，，点P在CD边上，满足，则（    ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【分析】建立平面直角坐标系，写出点的坐标，设，根据向量的坐标运算求解即可. 【详解】如图建立平面直角坐标系，，设 ， 则， 所以，得， 所以， 所以. 故选：C. 变式8-3．如图所示，已知中，点P，Q，R依次是边BC上的三个四等分点，若，，则 .    【答案】8 【分析】利用平面向量的四则运算，得到，可得，，再化简，即可求解. 【详解】 ， ， 故答案为： 变式8-4．如图，在平行四边形中，分别为的中点，为上一点，且，，则 ． 【答案】1 【分析】过点作于点，设，可得，结合图形借助平面向量的数量积运算、平面向量的线性运算即可得到答案. 【详解】 如图，连接，在平行四边形中，分别为的中点， 则三点共线，且为的中点，所以． 过点作于点，设， 由，， 得，则． 由分别为的中点， 则，，所以， 所以 ． 故答案为：1. 一、单选题 1．如图，网格纸上的每个小正方形的边长均为1，下列关于向量，，，的判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量数量积的定义即可判断. 【详解】由平面向量数量积的定义得 由图可知，夹角为锐角，则,故A错误； 夹角为钝角，则,故B错误； 夹角为锐角，则,故C正确； 夹角为锐角，则，故D错误. 故选：C. 2.已知是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】代入投影向量公式，结合数量积公式，即可求解. 【详解】向量在向量上的投影向量为， ，解得. 故选：A. 3.已知，，，则等于（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过平方的方法，结合向量数量积运算求解即可. 【详解】因为，所以， 即，所以， 则. 故选：A. 4.已知向量，若，则实数m的值是（    ） A．3或 B．或1 C．3或1 D．或 【答案】C 【分析】根据向量坐标化的加减运算法则得到，再利用向量坐标化后的点乘公式得到关于的方程，解出即可. 【详解】，， 则， 即 解得或3. 故选：C. 5.已知向量，若，则与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量垂直的坐标表示求得向量，再利用平面向量夹角的坐标计算公式求值即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以，解得，所以， 设与夹角为，则， 即与夹角的余弦值为． 故选：A. 6.已知向量，，下列说法正确的是（    ） A．，与的夹角不小于 B．， C．，使得 D．，使得 【答案】D 【分析】根据向量坐标运算的知识，对选项逐一分析即可. 【详解】因为向量，， 对于A选项， ， 若与的夹角小于，则，即，解得， ，故A错误； 对于B选项，因为，所以 设其对称轴为， 因为，所以时，单调递减， 当时，单调递增， 所以当时，， 所以，故B错误； 对于C选项，，因为 ，所以， 解得，所以C错误； 对于D选项，，因为，所以， ，，， 所以异号，故，使得，因此D正确. 故选：D 7.已知菱形的边长为2，，点E，F分别在边，上，，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 建立平面直角坐标系，写出点的坐标，表达出，，根据平面向量数量积公式列出方程，求出的值. 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系， 因为菱形的边长为2，， 所以，由于，所以， 设，则，解得， 故， 设，因为，故， 解得，所以， 故，解得. 故选：B 8.点为曲线上一动点，为单位圆的一条直径的两个端点，则的最小值为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由题意可得，且，根据及向量的线性运算，可得 ，再利用换元法及基本不等式求解即可. 【详解】解：设， 则, 由题意可得，且， 所以 ， 令， 则， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：C. 二、多选题 9．对于空间向量，，和实数，下列命题中是假命题的是（   ） A．若，则或. B．若，则或. C．右则或 D．若，则 【答案】ACD 【分析】利用向量的数量积运算法则及运算性质来进行判断即可. 【详解】对于选项A，结论少了（且都是非零向量）的情形，故是假命题； 对于选项B，若，则或，故是真命题； 对于选项C，结论应该是，故是假命题； 对于选项D，比如都是单位向量，且这三个向量两两之间的夹角都是，由此就可说明D是假命题. 故选：ACD. 10. 已知和为单位向量，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．与的夹角为 D．在方向上的投影向量是 【答案】ABD 【分析】利用平面向量数量积的运算性质计算出的值，可判断AC选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断B选项；利用投影向量的定义可判断D选项. 【详解】对于AC选项，因为和为单位向量，且， 则，则，故，A对C错； 对于B选项，，B对； 对于D选项，由平面向量数量积的运算性质可得， 所以，在方向上的投影向量是 ，D对. 故选：ABD. 11. 下列说法中正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．在中，若点满足，则为的重心 D．两个非零向量，，若，则与共线且反向 【答案】BCD 【分析】根据为零向量，不合题意判断A；对两边平方，得，判断B；根据重心性质判断C；对两边平方，求出向量夹角判断D. 【详解】对于A，若为零向量，则，成立，但可以不共线，故A错误； 对于B，，则，即，所以，故B正确； 对于C，若，如图，取中点为， ，，， 即，，，所以则为的重心，故C正确； 对于D，两个非零向量，，若，， 设，夹角为，则，即，可得，即与共线且反向，故D正确， 故选：BCD. 三、填空题 12．在平行四边形中，过点作的垂线，垂足为，且，则 . 【答案】 【分析】根据题意，结合向量的线性运算法则和向量的数量积的几何意义，即可求解. 【详解】如图所示，在平行四边形中，连接，交于点， 则 . 故答案为：. 13. 在三角形中，在上的投影向量为，则 ． 【答案】 【分析】首先根据投影公式求，再转化向量，即可求解. 【详解】由题意，，为中点， 由在上的投影向量为， 即，又， 所以， 所以. 故答案为： 14. 已知向量，，若在上的投影向量，则向量与的夹角为 ． 【答案】 【分析】根据投影向量求出，再求向量与的夹角. 【详解】设向量与的夹角为， 因为在上的投影向量，，， 所以，， 则在上的投影向量为， 所以，所以， 所以 因为，所以， 故答案为：. 四、解答题 15．已知． (1)求； (2)若，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）平方转化为数量积的运算求解； （2）垂直化为数量积为0，由此可得参数值． 【详解】（1）， 则， 故； （2）， 则， 即，解得． 16. 已知向量，满足. (1)求向量与的夹角； (2)求向量在向量上的投影向量； (3)若向量与垂直，求实数的值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据给定条件，利用向量的夹角公式计算即可. （2）利用投影向量的定义求解即得. （3）根据向量垂直关系的坐标表示列式求解即可. 【详解】（1）由，得，， 因此，而， 所以向量与的夹角. （2）向量在向量上的投影向量为. （3）依题意，，，由向量与垂直， 得，所以. 17. 设，，，为平面内的四点，已知，，. (1)若四边形为平行四边形，求点的坐标； (2)若，，三点共线，，求点的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，利用，可求点的坐标； （2）利用三点共线，可得，可得，利用数量积可求点的坐标. 【详解】（1）因为，，，所以， 因为四边形为平行四边形，所以， 设，所以， 所以，所以 （2）因为，，三点共线，， 所以设， 又，所以，所以， 又 所以. 18.在直角梯形中，已知，，，，对角线交于点，点在上，且． (1)求的值； (2)若为线段上任意一点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以为原点，、分别为、轴建立平面直角坐标系，根据题中条件求出点、的坐标，然后利用平面向量数量积的坐标运算可求得的值； （2）设，其中，求出向量、的坐标，利用二次函数的基本性质可求得的取值范围. 【详解】（1）解：以为原点，、分别为、轴建立平面直角坐标系， 则、、、， 因为，，， 所以，所以，所以点， 设，则，， 因为，所以，解得， 所以，，则． （2）解：由（1）知，，设，其中， 则， 所以， 因为，故当时，取得最大值， 当时，取得最小值， 故的取值范围为． 19. 把元有序实数组称为维向量，类似平面向量与空间向量，对于维向量，也可定义两个向量的加法运算和减法运算；数乘运算；向量的长度（模）；两个向量的数量积（表示向量的夹角，）；向量在向量上的投影向量的模维向量为我们解决数学问题提供了更为广阔的思维空间. (1)已知，求向量的夹角的余弦值； (2)已知4维向量，，且，求的最小值； (3)，求的最大值（用含的式子表示）. （注：） 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）求出、，代入可得答案； （2）求出的坐标，设，求出，由，得可得答案； （3）解法1：设，表示向量在上投影向量的模，设以为法向量的“平面”为，设与“平面”夹角为，由求出得可得答案； 解法2：由对任意恒成立，取，再由，得，可得答案. 【详解】（1）， ， 所以， 所以向量的夹角的余弦值为； （2） ， 设， 则有 由， 得， 故的最小值为；当且仅当时取等； （3）解法1：设， 表示向量在上投影向量的模. 下求该投影向量模的最大值， 设以为法向量的“平面”为， 因为，所以在“平面”内， 设与“平面”夹角为， 向量在上投影向量模的最大值为在“平面”投影， 故 ， ， 所以， 故的最大值为； 解法2：因为，所以对任意恒成立， 取， 由， 得， 当且仅当时取等号， 故的最大值为. 【点睛】关键点点睛：第三问关键点是设， 表示向量在上投影向量的模，转化为求该投影向量模的最大值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$