精品解析：湖北省新八校协作体2024-2025学年高三下学期2月联考数学试题

2025年湖北省“新八校”协作体高三2月联考 高三数学试卷 命题学校：宜昌一中 命题教师：曾凡兵 王健 裴伟 审题学校：龙泉中学 武汉三中 考试时间：2025年2月6日下午15：00-17：00 试卷满分：150分 注意事项： 1.答题前，先将自己的灶名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区城均无放. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合交集的运算可得. 【详解】因，， 故， 故选：C 2. 已知复数在复平面内所对应的点位于第一象限，且，则复数在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的乘方运算可得，即可求解. 【详解】,故， 设， 由于复数在复平面内所对应的点位于第一象限，故， ，故，因此在复平面内所对应的点位于第三象限， 故选：C 3. 函数，则对任意实数，下列结论正确的是（ ） A. 是偶函数，且在上单调递增 B. 是奇函数，且在上单调递增 C. 是奇函数，且在上单调递减 D. 是偶函数，且在上单调递减 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇偶函数的定义即可判定奇函数，根据指数函数的单调性即可求解单调性. 【详解】的定义域为，而，则， 故是奇函数， 由于，函数单调递增，故在上单调递增， 故选：B 4. 已知向量，且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，利用数量积的运算律可得，再利用向量垂直的坐标运算，可得，进而可得，，即可求解. 【详解】因为，得到，化简得，所以， 又，所以，得到， 所以，则，， 所以的面积为， 故选：A. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，利用余弦的和差角公式得到，再利用倍角公式，通过构角，得到，即可求解. 【详解】因为， 又，所以，得到， 又 ， 所以， 故选：A. 6. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，则该四棱锥的体积为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据线线垂直可得平面，进而根据面面垂直的性质可得平面，进而根据三角形的边角关系，结合锥体体积公式求解. 【详解】如图：取的中点，连接， 则且，平面， 故平面， 平面，故平面平面， 平面平面， 过作的垂线，垂足为，即,平面，故平面， 由题意可知， 由余弦定理可得 , 故， 所以四棱锥的高为1，则四棱锥的体积为 故选：B 7. 费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质.例如，点为双曲线为焦点）上一点，点处的切线平分.已知双曲线：为坐标原点，点处的切线为直线，过左焦点作直线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中点以及角平分线的性质可得，即可根据双曲线定义得，代入到双曲线方程可得，即可根据离心率公式求解. 【详解】如图，延长交的延长线于点, 由于是的角平分线上的一点，且, 所以点为的点，所以, 又为的中点，所以， 故， 故，即，将点代入可得，解得， 故离心率为， 故选：B 8. 已知函数的定义域为，且对任意，满足，且则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据累加法可得即可求解. 【详解】当时， 因为， 故 由累加法可得， 故，故AB错误， 由， 所以故，所以C错误,D正确， 故选：D 【点睛】关键点点睛：利用累加法可得. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，若将的图象向右平移个单位后，再把所得曲线上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. 的图象关于直线对称 D. 的图象与的图象在内有4个交点 【答案】BD 【解析】 【分析】根据函数图象的变换可得，即可代入验证求解ABC，作出两个函数的图象即可求解D. 【详解】的图象向右平移个单位后，可得， 进而可得，故A错误， 对于B，，故B正确， 对于C，，故不是的对称轴，故C错误， 对于D，分别作出与在内的图象，可知有4个交点，故D正确， 故选：BD 10. 函数叫自然指数函数，是一种常见的超越函数，它常与其它函数进行运算产生新的函数.已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数在上单调递减 B. 函数既有极大值，也有极小值 C. 方程有个不同的实数解 D. 在定义域内，恒有 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由题知定义域为，，利用导数与函数单调性间的关系，即可求解；对于B，利用极值的定义，即可求解；对于选项C，利用函数的单调性，得出函数图象，再数形结合，即可求解；对于D，构造函数，利用的图象关于点中心对称，即可求解. 【详解】易知的定义域为，， 对于选项A，由，得到，且，所以减区间为，，故选项A错误， 对于选项B，由，得到或， 当时，，当时，，当，，当时，， 所以的极大值为，极小值为，故选项B正确， 对于选项C，由选项B知，的增区间为，减区间为， 当时，，且时，，当从左边时，， 当从右边时，，且时，，当时，， 图象如图所示，由图知，只有一个零点，且， 令，由，得到，所以，令， 由图知，与有且仅有两个交点，所以选项C正确， 对于选项D，令，易知的图象关于点中心对称， 所以，即，得到，故选项D正确， 故选：BCD. 11. 二元一次方程：可以表示平面内所有的直线，二元二次方程可以表示平面内所有的二次曲线.下列对二元二次方程所表示曲线的性质描述正确有（ ） A. 曲线关于直线对称 B. 曲线上点的纵坐标的范围是 C. 存在，使与曲线相切 D. 过的直线与曲线交于两点，的最小值为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据换成，将换成，方程不变，即可判定A，配方，即可根据求解B，联立方程，根据方程的根即可求解C，根据对称性，联立方程求解交点，即可求解D. 【详解】对于A，将换成，将换成，方程不变，因此方程所表示的曲线关于直线对称，A正确， 对于B，， 故，故，故B正确， 对于C，联立，化简得， 即，故，该方程有唯一的实数根， 故曲线与直线有唯一的交点，因此无论为何值，与曲线均不相切，故C错误， 对于D，由选项A可知：曲线关于对称，故，可得, 此时，故的最小值为2，故D正确， 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：根据曲线关于对称，且在直线上，可知过过且与垂直的直线与曲线截的长度最小. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 现有5名志愿者被派往三个小区参加志愿者活动，每个志愿者只能选其中一个小区，小区安排1人，小区安排2人，小区安排2人.则不同的安排方案共有__________种.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理，结合排列组合即可求解. 【详解】首先从5名志愿者中选出1人去小区，共有种情况， 再从剩下的4名志愿者中选出2人去小区，共有种情况， 剩下的2个人安排到小区， 因此不同的安排方法共有种， 故答案为： 13. 已知直线与曲线相切，则直线的方程为：__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据直线过定点，进而根据单调性可知为切点，求导，即可根据点斜式求解方程,当不是切点时，根据，构造函数求解方程的根即可求解. 【详解】将变形为，故直线恒过点，又经过点， 若直线与相切于点， ，故， 所以直线的方程为，即， 若直线与不相切于点，设切点为，则 ，故， 故， 化简可得， 记， 则， 由于且， 在单调递增，故单调递增，且， 故，因此在单调递减， 由于，结合可知，当时，无实根， 故当不是切点时，无满足条件的切线方程， 综上可知：切线方程为 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据直线经过定点，根据切点是否为，结合求导求解. 14. 在平面直角坐标系内，已知，若的面积不超过，则满足条件的整点（横纵坐标均为整数）的个数为__________. 【答案】24 【解析】 【分析】根据点到直线的距离以及三角形的面积公式可得即可得，对分别取0，1，2，3，求解的取值，即可求解整点. 【详解】设，直线方程为，可知， 故,得 设，则为整数，则， 可得，故， 当时，点在直线上，此时不能构成三角形，故舍去， 当时，， 此时有4个整数点， 当时，， 此时有4个整数点， 当时，， 此时有4个整数点， 根据对称性可知：当时，也分别有4个整数点，故共有24个整点， 故答案为：24 【点睛】关键点点睛：根据,得可得则，即可代入求解整点. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在矩形中，点在线段上，且. （1）求； （2）若动点分别在线段上，且与面积之比为，试求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过作于，设，则，根据条件，利用正切的和角公式建立方程，即可求解； （2）设，根据条件，利用面积公式得到，再利用余弦定理及重要不等式，可得，即可求解. 【小问1详解】 过作于，设，易知， 则，由， 整理得到，解得或（舍），所以. 【小问2详解】 由（1）易知，，设， 又， 得到，在中，由余弦定理得到， 所以，当且仅当时取等号，故的最小值为. 16. 秋收冬藏，禳禳满家，神州大地，又是一个丰收年.年我国粮食年产量首次迈上万亿斤新台阶，实现高位增产.某地农科院为研究不同土壤条件对大豆产量的影响，在该地区选取了一批试验田种植大豆，现随机抽取了面积相等的块试验田，得到各块试验田的亩产量（单位：），并整理得下表： 亩产量 频数 现将亩产量不少于的试验田记为“优等田”. （1）从这块试验田中任选块田，求恰有块是“优等田”的概率； （2）以这块试验田的检验结果来估计该地区不同土壤条件对大豆产量的影响，若从该地区随机抽取块试验田，记“优等田”的块数为，求的分布列和期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用组合和古典概率公式，即可求解； （2）根据条件可知可能取值为，分别求出相应取值的概率，即可求出分布列；再利用期望的计算公式，即可求解. 【小问1详解】 由题知块试验田中，“优等田”有个， 所以从这块试验田中任选块田，恰有块是“优等田”的概率为. 【小问2详解】 由题意，估计每次抽取“优等田”的概率为，可能取值为， 又，， ，， 所以的分布列为 . 17. 已知抛物线的焦点到准线的距离为1，过轴下方的一动点作抛物线的两切线，切点分别为，且直线刚好与圆相切.设点的轨迹为曲线，过点的直线与曲线相交于两点. （1）求抛物线的方程； （2）求点的轨迹方程； （3）设曲线与轴交点为，点关于原点的对称点为，记直线的斜率分别为，证明：是定值. 【答案】（1） （2） （3）证明：由题意可知， 设直线的方程为，, 联立方程，化简可得， 则故， 由于直线与双曲线的下支相交于两点， 故，解得， ， 故为定值. 【解析】 【分析】（1）根据即可求解， （2）求导可得切线斜率，即可根据点斜式求解直线方程，进而可得方程为，根据相切即可求解， （3）联立直线与曲线方程可得韦达定理，进而根据两点斜率公式，代入化简即可求解. 【小问1详解】 由题意可得，故抛物线的方程为 【小问2详解】 设， 所以直线即 同理可得， 设则且 故在直线上， 即直线方程为， 由于直线与圆相切，故，化简可得， 故点的轨迹方程 【小问3详解】 略 18. 如图，在平面四边形中，为等腰直角三角形，为正三角形，，，现将沿翻折至，形成三棱锥，其中S为动点． （1）证明：； （2）若，三棱锥的各个顶点都在球O的球面上，求球心O到平面的距离； （3）求平面与平面夹角余弦值的最小值． 【答案】（1） 取的中点，连接， 因为，，且的中点为，所以， 又平面，故平面， 由于平面，故. （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据，，即可根据线线垂直证明平面，即可根据线面垂直的性质求解； （2）利用等体积法即可求解； （3）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可根据向量的夹角公式求解，利用换元法，即可根据基本不等式求解最值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，由则， 取的中点，连接 故到四点的距离相等，故为三棱锥外接球的球心， 因为，故， 设到平面的距离为，到平面的距离为， 由等体积法可得 而， 由于，故， 所以，从而， 故到平面的距离为. 【小问3详解】 以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 过点作平面的垂线，垂足为， 设为翻折过程中所旋转的角度，则， ， 故， ， 则， 设平面的法向量为，则 ， 取则， 设平面的法向量 ， ， 取则， 设平面与平面的夹角为， 故， ， 令，，故， 由于，故 当且仅当，即时取等号， 故平面与平面夹角余弦值的最小值为，此时. 19. 已知函数. （1）求在处的瞬时变化率； （2）若恒成立，求的值； （3）求证：. 【答案】（1）1 （2） （3）证明：由（2）可知， 所以 ， 先证,, 令，则，故在单调递增， 故，故，， 所以， 再证， 设， 则当时，单调递减， 当时，单调递增， 故当，故当且仅当时取等号， 故令，则故， 因此， 故， 综上可知： 【解析】 【分析】（1）求导，即可根据瞬时变化率的定义求解， （2）根据可知是的一个极大值点，由，可得，接下来利用导数求证对任意的恒成立即可， （3）构造函数以及求导得两个不等式和即可利用，累加求解. 【小问1详解】 则， 故在处的瞬时变化率为 【小问2详解】 设 由条件可知恒成立， 由于，且的图象在定义域内是连续不间断的， 所以是的一个极大值点，则， 又所以解得 下证当时，对任意的恒成立， 令则， 由， 故函数在单调递增，在单调递减， 所以，即，而， 所以当时，， 综上，若恒成立，则， 【小问3详解】 略 【点睛】结论点睛：常用的不等式：，，，，，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年湖北省“新八校”协作体高三2月联考 高三数学试卷 命题学校：宜昌一中 命题教师：曾凡兵 王健 裴伟 审题学校：龙泉中学 武汉三中 考试时间：2025年2月6日下午15：00-17：00 试卷满分：150分 注意事项： 1.答题前，先将自己的灶名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区城均无放. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数在复平面内所对应的点位于第一象限，且，则复数在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 函数，则对任意实数，下列结论正确的是（ ） A. 是偶函数，且在上单调递增 B. 是奇函数，且在上单调递增 C. 是奇函数，且在上单调递减 D. 是偶函数，且在上单调递减 4. 已知向量，且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，则该四棱锥的体积为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 7. 费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质.例如，点为双曲线为焦点）上一点，点处的切线平分.已知双曲线：为坐标原点，点处的切线为直线，过左焦点作直线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，且对任意，满足，且则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，若将的图象向右平移个单位后，再把所得曲线上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. 的图象关于直线对称 D. 的图象与的图象在内有4个交点 10. 函数叫自然指数函数，是一种常见的超越函数，它常与其它函数进行运算产生新的函数.已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数在上单调递减 B. 函数既有极大值，也有极小值 C. 方程有个不同的实数解 D. 在定义域内，恒有 11. 二元一次方程：可以表示平面内所有的直线，二元二次方程可以表示平面内所有的二次曲线.下列对二元二次方程所表示曲线的性质描述正确有（ ） A. 曲线关于直线对称 B. 曲线上点的纵坐标的范围是 C. 存在，使与曲线相切 D. 过的直线与曲线交于两点，的最小值为2 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 现有5名志愿者被派往三个小区参加志愿者活动，每个志愿者只能选其中一个小区，小区安排1人，小区安排2人，小区安排2人.则不同的安排方案共有__________种.（用数字作答） 13. 已知直线与曲线相切，则直线的方程为：__________. 14. 在平面直角坐标系内，已知，若的面积不超过，则满足条件的整点（横纵坐标均为整数）的个数为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在矩形中，点在线段上，且. （1）求； （2）若动点分别在线段上，且与面积之比为，试求的最小值. 16. 秋收冬藏，禳禳满家，神州大地，又是一个丰收年.年我国粮食年产量首次迈上万亿斤新台阶，实现高位增产.某地农科院为研究不同土壤条件对大豆产量的影响，在该地区选取了一批试验田种植大豆，现随机抽取了面积相等的块试验田，得到各块试验田的亩产量（单位：），并整理得下表： 亩产量 频数 现将亩产量不少于的试验田记为“优等田”. （1）从这块试验田中任选块田，求恰有块是“优等田”的概率； （2）以这块试验田的检验结果来估计该地区不同土壤条件对大豆产量的影响，若从该地区随机抽取块试验田，记“优等田”的块数为，求的分布列和期望. 17. 已知抛物线的焦点到准线的距离为1，过轴下方的一动点作抛物线的两切线，切点分别为，且直线刚好与圆相切.设点的轨迹为曲线，过点的直线与曲线相交于两点. （1）求抛物线的方程； （2）求点的轨迹方程； （3）设曲线与轴交点为，点关于原点的对称点为，记直线的斜率分别为，证明：是定值. 18. 如图，在平面四边形中，为等腰直角三角形，为正三角形，，，现将沿翻折至，形成三棱锥，其中S为动点． （1）证明：； （2）若，三棱锥的各个顶点都在球O的球面上，求球心O到平面的距离； （3）求平面与平面夹角余弦值的最小值． 19. 已知函数. （1）求在处的瞬时变化率； （2）若恒成立，求的值； （3）求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $