精品解析：湖北省武汉市青山区2024-2025学年八年级上学期期中数学试题

八年级数学试卷 2024.11 （请将答案写在答题卡上满分：120分时间：120分钟） 第Ⅰ卷（选择题，共30分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 下列各题有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑． 1. 下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 2. 安装空调一般会采用如图的方法固定，其根据的几何原理是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 两点之间线段最短 C. 三角形的稳定性 D. 垂线段最短 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形具有稳定性即可进行解答． 【详解】根据题意可得，图中的几何原理为：三角形具有稳定性． 3. 若三角形的两边长分别为4和9，则该三角形第三边的长可能是（ ） A. 7 B. 4 C. 13 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系“三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边”，熟练掌握三角形的三边关系是解题关键．根据三角形的三边关系求解即可得． 【详解】解：设这个三角形第三边的长为， ∵这个三角形的两边长分别为4和9， ∴，即， 观察四个选项可知，只有选项A符合， 故选：A． 4. 从多边形的一个顶点出发可引出7条对角线，则它是（ ） A. 七边形 B. 八边形 C. 九边形 D. 十边形 【答案】D 【解析】 【分析】根据从多边形的一个顶点可以作对角线的条数公式（n-3）求出边数即可得解． 【详解】解：设多边形有n条边， 则n-3=7，解得n=10． 故多边形的边数为10，即它是十边形． 故选D． 【点睛】本题主要考查了多边形的对角线，如果一个多边形有n条边，则经过此多边形的一个顶点所有的对角线有（n-3）条，经过此多边形的一个顶点的所有对角线把它分成（n-2）个三角形． 5. 如图，，，．则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等． 利用全等三角形的性质可得，再利用线段的和差关系计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 6. 如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D，若，，则的面积是（ ） A. 5 B. 7 C. 14 D. 28 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了作角平分线，角平分线的性质．熟练掌握作角平分线，角平分线的性质是解题的关键． 作于，由角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：作于E， 由尺规作图可知，为的平分线，又， ， ∴的面积． 故选：C． 7. 如图三角形纸片中，，，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，根据折叠的性质可得，，进而得到，求解即可，理清折叠前后重叠的线段相等是解本题关键． 【详解】解：由题意得，，， ，，， 的周长为7cm， 故选：B． 8. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点D．若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查对等腰三角形，含30度角的直角三角形，线段的垂直平分线等知识点，熟练掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键． 连接，根据等腰三角形的性质推出，，根据含角的直角三角形的性质得出，得到，即可求出答案． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∵的垂直平分线是， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 9. 如图，与的角平分线交于点P，，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形的外角性质，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键． 延长，交于点．先利用三角形的外角性质可得，再根据角平分线的定义可得，，然后根据三角形的内角和定理可得，据此即可得． 【详解】解：如图，延长，交于点． ∵是的外角，， ∴． ∵是的外角，， ， ， ， ∵的角平分线交于点， ， ，， ， 故选：B． 10. 如图，在中，，，，直线垂直平分线段，若点为边的中点，点为直线上一动点，则周长的最小值为（ ） A. 12 B. 13 C. 10 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】连接，，推出周长的最小值为，证明，再利用三角形的面积公式列方程求出即可解决问题． 【详解】解：连接，， 直线垂直平分线段， ， 点为边的中点，， ， 周长， 周长的最小值为， ，点为边的中点， ， ，， ， 解得， 周长的最小值为， 故选：A． 【点睛】本题考查轴对称最短路线问题，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，两点之间线段最短，三角形面积公式，能够推出周长的最小值为是解题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 下列各题不需要写出解答过程，请将结论直接填写在答题卡的指定位置． 11. 已知点和点关于x轴对称．则______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标性质，正确记忆关于坐标轴对称的坐标性质是解题关键．根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点关于x轴的对称点的坐标是，进而得出a，b的值即可． 【详解】解：∵点和点关于x轴对称， ∴，， 则． 故答案为：． 12. 若n边形的内角和与外角和相等，则_______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和与外角和，根据n边形的内角和为，外角和为，即可列出方程，求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得：， 故答案为：4． 13. 如图，已知点D在上，点E在上，，请你再补充一个条件，使．你补充的条件是_______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，添加条件是，根据全等三角形的判定定理推出即可． 【详解】解：， 理由是：∵在和中 ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 14. 已知等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的底角度数为______． 【答案】或##或 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，运用分类讨论思想，分已知角为顶角或底角两种情况求解；解题关键是考虑内角的两种可能性；易错点是忽略分类讨论导致漏解；根据等腰三角形性质，分角为顶角或底角两种情况，分别计算底角度数． 【详解】解：①若为顶角，则底角度数为 ②若为底角，则底角度数为 故答案为或． 15. 如图，在中，，过作于点为的角平分线，连接，过作交于点，交延长线于点．则下列四个结论，其中一定正确的是______．（填写正确序号） ①；②；③；④． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】①根据角平分线定义，再根据三角形内角和定理计算和，进而可对结论①进行判断； ②过点作交的延长线于，先证明得，再根据得，则，证明和全等得，则，然后根据得，则，由此可对结论②进行判断； ③过点作交的延长线于于于，先证明是的平分线得，再根据是的平分线得，则，进而得是的平分线，则，由此可求出，进而可对结论③进行判断； ④根据和全等得，则，再证明和全等得，由此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①∵在中，，为的角平分线， ∴， 在中，， 故结论①一定正确； ②过点作交的延长线于，如图1所示： 则， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故结论②不正确； ③过点作交的延长线于于于，如图2所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的平分线， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故结论③一定正确； ④∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故结论④一定正确， 综上所述：一定正确的结论是①③④． 故答案为：①③④． 【点睛】此题主要考查了角平分线定义、平行线分线段成比例、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，角平分线的性质是解决问题的关键，正确地作出辅助线是解决问题的难点． 16. 如图，在中，，，是射线上的一个动点，连接，将沿着翻折得到，当的三边与的三边有一组边垂直时，则______． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠中的角度问题，直角三角形的性质，垂直的定义，掌握折叠的性质和进行分类讨论是解题的关键． 分三种情况进行讨论，画出对应的图形，根据三角形内角和定理和折叠的性质求解即可． 【详解】解：如图，当时，, 由折叠性质，得, , ； 如图，当时， 由折叠性质，得， ∴； 如图，当时， 由折叠性质，得, ； 当时与时相同， 综上，的度数为或或， 故答案为：或或． 三、解答题（共8小题，共72分） 下列各题需要在答题卷的指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形． 17. 如图，，垂足为D，，．求的度数． 【答案】． 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，解答的关键是掌握三角形的内角和定理． 由垂直可得，利用三角形的内角和可求得，，从而由可求解． 【详解】解：， ， ，， ，， ，， ． 18. 如图，，，垂足分别为E，F，且，．求证：． 【答案】 证明：∵，， ∴， ∵ ∴，即： 在和中， ， ∴ ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定等知识，证明是解题的关键． 证明，得出，由平行线的判定定理即可得出结论． 【详解】略 19. 如图，在中，是边上一点，且，，求的度数． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 先利用等腰三角形的性质可得，再利用三角形的外角性质可得，然后利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形内角和定理进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， 是的一个外角， ， ， ， ，， ， 解得：． 20. 如图，在等边中，D为射线上一点，过D作交射线于点E，点F为边上一点，，过F作，垂足为点H． （1）求证：； （2）求证：H为中点． 【答案】（1） 证明：∵为等边三角形， ∴ ∵ ∴． ∴． ∴为等边三角形． ∴ ． ∵ ∴． ∵ ∴； （2） 证明：连接． 在和中 ∴ ∴． ∵， ∴． 即：H为中点． 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形判定与性质，等腰三角形的性质： （1）先证明为等边三角形，再根据以及线段和差证明即可； （2）先证明，则，再根据三线合一即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图，是由边长为1的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点，，仅用无刻度直尺在给定的网格中完成画图，画图的过程用虚线表示． （1）在上画点D，使得平分的面积； （2）在边上画点E，使得； （3）M为边上一点，在边上画点N，使得； （4）在平面内画点G，使得． 【答案】（1） 如图所示： 线段即为所求； （2） 如图所示：点E即为所求； （3） 如图所示：点N即为所求； （4） 如图所示：点G即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图﹣应用与设计作图，线段的垂直平分线，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）利用网格特征取的中点D，连接即可； （2）取格点Q，使，连接交于点E，点E即为所求（由，可得结论）； （3）利用对称性画出图形，连接交于点J，连接，延长交于点N，点N即为所求； （4）取格点H，使，，连接，延长交于点G，此时，可得，点G即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 理由：∵为的中点，， ∴， 由上的高为网格线，交点为， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 理由：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 22. 已知，在与中，，，． （1）如图1，若，于点M． ①求证： ②猜想与之间的数量关系，并证明； （2）如图2，求证：． 【答案】（1）①证明：如图1，过点作于， ，，， ， ， ，， ， ， ， ， ； ②解：，理由如下： 如图1，过点作于， 由①知：， ，， ， ， ，， ， ， ，， ， ； （2） 证明：延长至，使，连接， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的面积等知识，通过辅助线构造全等三角形是解答本题的关键． （1）①如图1，过点作于，先根据等量代换可得：，由等腰三角形三线合一的性质可得：，，则，最后由同角的余角可得结论； ②如图1，过点作于，根据证明，得，由等腰三角形三线合一的性质可得：； （2）延长至，使，连接，根据三角形的中线平分三角形的面积可得：，证明，则，从而可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 如图，O是内一点，，，． （1）已知，为等边三角形． ①如图1，若点C与点M重合，请补充条件：______°，可得结论：； ②如图2，若点C在边上，在①补充的条件下，结论是否仍成立？并说明理由； （2）如图3，请探究当与之间满足什么数量关系时，结论仍然成立，并说明理由． 【答案】（1）①120； ②成立，理由如下； 如图，连接，过作于点，过作于点，设与交于点，则， ∵是等边三角形， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ． （2）， 理由如下：如图，在上取点，使， ， ， 作于点于点， ， ， 在和中 ， ， ， 平分， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）①可以利用倒推的度数； ②要证结论成立，则证即可，过作于点，过作于点，根据8字型倒角得到，先证，再证即可； （2）根据①②思路构造辅助线，上取点，使，过点于点于点，先证，再证和全等，即可． 【小问1详解】 解：①延长到点， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 故答案为：； ② 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，角平分线的性质和判定，全等三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，且a，b满足． （1）直接写出的面积； （2）如图1，若点C为线段上一点，连接，作，且，连接．求的度数； （3）如图2，在（2）的条件下，连接，点，分别为，的中点，连接，，请探究线段与之间的关系，并证明你的结论． 【答案】（1）8； （2）； （3） ，，证明如下： 如图2，连接，，延长交于，连接，设与交于点， ，是的中点， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， 由（2）知：， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ，， ，， ， ，， ， ， ， ，， ， ∴， 是等腰直角三角形， ， ，． 【解析】 【分析】（1）根据非负数的性质可得，最后根据三角形的面积公式得出答案； （2）如图1，过点作轴于，证明，得，，再证明和是等腰直角三角形，即可得出答案； （3）如图2，连接，，延长交于，连接，设与交于点，证明和，最后得是等腰直角三角形，即可得出答案． 【小问1详解】 解：， ，， ， 点，点， ， 的面积； 【小问2详解】 解：如图1，过点作轴于， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， 即， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质和判定，坐标与图形的性质，直角三角形的性质，非负数的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学试卷 2024.11 （请将答案写在答题卡上满分：120分时间：120分钟） 第Ⅰ卷（选择题，共30分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 下列各题有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑． 1. 下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 安装空调一般会采用如图的方法固定，其根据的几何原理是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 两点之间线段最短 C. 三角形的稳定性 D. 垂线段最短 3. 若三角形的两边长分别为4和9，则该三角形第三边的长可能是（ ） A. 7 B. 4 C. 13 D. 5 4. 从多边形的一个顶点出发可引出7条对角线，则它是（ ） A. 七边形 B. 八边形 C. 九边形 D. 十边形 5. 如图，，，．则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D，若，，则的面积是（ ） A. 5 B. 7 C. 14 D. 28 7. 如图三角形纸片中，，，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点D．若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9. 如图，与的角平分线交于点P，，，则为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，，直线垂直平分线段，若点为边的中点，点为直线上一动点，则周长的最小值为（ ） A. 12 B. 13 C. 10 D. 14 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 下列各题不需要写出解答过程，请将结论直接填写在答题卡的指定位置． 11. 已知点和点关于x轴对称．则______． 12. 若n边形的内角和与外角和相等，则_______． 13. 如图，已知点D在上，点E在上，，请你再补充一个条件，使．你补充的条件是_______． 14. 已知等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的底角度数为______． 15. 如图，在中，，过作于点为的角平分线，连接，过作交于点，交延长线于点．则下列四个结论，其中一定正确的是______．（填写正确序号） ①；②；③；④． 16. 如图，在中，，，是射线上的一个动点，连接，将沿着翻折得到，当的三边与的三边有一组边垂直时，则______． 三、解答题（共8小题，共72分） 下列各题需要在答题卷的指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形． 17. 如图，，垂足为D，，．求的度数． 18. 如图，，，垂足分别为E，F，且，．求证：． 19. 如图，在中，是边上一点，且，，求的度数． 20. 如图，在等边中，D为射线上一点，过D作交射线于点E，点F为边上一点，，过F作，垂足为点H． （1）求证：； （2）求证：H为中点． 21. 如图，是由边长为1的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点，，仅用无刻度直尺在给定的网格中完成画图，画图的过程用虚线表示． （1）在上画点D，使得平分的面积； （2）在边上画点E，使得； （3）M为边上一点，在边上画点N，使得； （4）在平面内画点G，使得． 22. 已知，在与中，，，． （1）如图1，若，于点M． ①求证： ②猜想与之间的数量关系，并证明； （2）如图2，求证：． 23. 如图，O是内一点，，，． （1）已知，为等边三角形． ①如图1，若点C与点M重合，请补充条件：______°，可得结论：； ②如图2，若点C在边上，在①补充的条件下，结论是否仍成立？并说明理由； （2）如图3，请探究当与之间满足什么数量关系时，结论仍然成立，并说明理由． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，且a，b满足． （1）直接写出的面积； （2）如图1，若点C为线段上一点，连接，作，且，连接．求的度数； （3）如图2，在（2）的条件下，连接，点，分别为，的中点，连接，，请探究线段与之间的关系，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $