精品解析：重庆南岸区2024-2025学年 九年级上期期末数学质量检测题

2024—2025学年度上期九年级期末质量监测 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.试题卷上各题的答案用签字笔书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2.答题前认真阅读答题卡上的注意事项； 3.作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4.考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 的值是（ ） A. 1 B. C. D. 2. 如图所示的几何体，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线，直线分别交、、于点A、B、C，直线分别交、、于点D、E、F，若，，，则的长是（ ） A. B. C. D. 8 4. 在中，D，E分别是边，上的点，，如图所示，且相似比为k，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为3，则k的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 6. 一张标准对数视力表由一些形状相同但大小不一定相同的符号“E”组成的，我们可以借助平面直角坐标系中的位似变换来对符号“E”进行放大或缩小．如图，两个符号“E”在第一象限，且关于原点O位似．若点，点，点，则点D的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 一个不透明的盒子中装有若干红球，为了估计红球的数量，但又不能将球倒出来数，现放入5个黑球，所有的红球和黑球除颜色外其余均相同．每次充分混合后从中随机摸出一个球，记下颜色后放回．经过大量重复摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.25附近，则盒子中红球的个数约为（ ） A. 30 B. 25 C. 20 D. 15 8. 已知的图象如图，则和的图象为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在菱形中，，对角线、交于点O，将菱形绕点O逆时针旋转得到菱形，关于两个菱形重叠部分的八边形，下列描述错误的是（ ） A. 对于任意的，这个八边形的每条边都相等 B. 只有唯一的，使得这个八边形的每个内角都相等 C. 对于任意的，O点到八边形各边的距离都相等 D. 对于任意的，O点到八边形各顶点的距离都相等 10. 已知实数a，b，c，m，n，其中，满足，．则以下说法：①；②若a，b，c，均为奇数，则m，n不能都为整数；③关于x的一元二次方程的两根为，n．其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 拋物线的顶点坐标是________． 12. 若，则______． 13. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______． 14. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为_____． 15. 如图，正方形的对角线，相交于点O，点M是边上一点，连接，过点O作，交于点N，若正方形的边长为2，则四边形的面积是________． 16. 如图，在中，是边上的高，点E是的中点，若，，且，则的长是________． 17. 如图1所示，某乡村准备修建一条100m长的水渠．水渠的过水横截面是如图2所示的矩形．如水渠底面与侧面的修建造价为100元，，则修水渠的总价为________万元（用含t的代数式表示）；为了提高水渠的过水量，要使过水横截面的面积尽可能大，现有资金4万元，当过水横截面面积最大时，水渠的深度为________m． 18. 如图，，，，，反比例函数的图象与交于点，与交于点E．则m的值为________；P为反比例函数图象上一动点（P在D，E之间运动，不与D，E重合），过点P作，交y轴于M点，过点P作轴，交于点N，连接，当面积取得最大值时，点P的坐标________． 三、解答题：（本大题8个小题，19题8分；20－26题每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 为培养学生劳动习惯，提升学生劳动技能，某校开展了劳动教育实践周活动．九年级提供了四类活动：A．物品整理，B．环境美化，C．植物栽培，D．工具制作．要求每个学生必须参加且只参加其中一项活动．九年级1班学生参与四类活动情况统计，如图所示． （1）该班有15人参加A类活动，求参加C类活动的人数； （2）若该班参加活动的学生中，获得年级A类一等奖的有2名学生，获得年级D类一等奖的有2名学生．现从这4人中随机抽取2名参加学校劳动技能比赛，求抽到的两位同学恰好是1名A类和1名D类的概率． 21. 如图，在中，，平分，是的外角． （1）用尺规完成作图：作的角平分线，过点C作，垂足为E；（不写作法，保留作图痕迹） （2）小敏作完图后，发现四边形是矩形，请帮助她完成下列推理过程： ∵平分，平分， ∴，． ∴①________． 又∵，平分， ∴②________（三线合一）． ∴． 又∵， ∴③________． ∴四边形是矩形（三个角是直角的四边形是矩形）． （3）小敏在完成证明后进一步思考，得到结论：当等腰满足________时，矩形是正方形 22. 某水果基地种植了大量的脐橙，10月份是脐橙成熟的高峰期，该月脐橙产量达到了50吨，此后每个月脐橙的产量逐渐减少，到12月份时，脐橙的产量为32吨． （1）求该基地11，12两个月脐橙的平均减少率是多少？ （2）10月份，一水果批发商从该基地以4元的价格购进了脐橙，目前脐橙的市场零售价是5元．如果将这批脐橙放在冷库中冷藏起来，每个星期需要支付400元的冷藏费用，且每个星期脐橙会自然损坏，但是每个星期脐橙的市场零售价会上涨1元，若这批脐橙从冷库中提取出来后能一次性卖完，为了尽快清空库存，求这批脐橙冷藏几个星期后出售可以获得利润6960元？ 23. 如图1，正方形的边长为4，动点P从点C出发，沿路线向点A运动，设点P的运动路程是．点Q是射线上一动点，且，当点P到达终点A时，点Q停止运动，连接，．记的面积为，的面积为． （1）请分别写出，关于x的函数解析式，并注明x的取值范围； （2）在图2中画出，关于x的函数图像，并分别写出，的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出时，x的取值范围． 24. 如图，A，B两地的直线距离为，但因湖水相隔，不能直接到达．从A到B有两条路可走．线路1：从；线路2：从．从地图上可得到以下数据：点C位于A的正北方向，且在B的北偏西的方向；点D在A的东南方向，且位于B的南偏西方向．（参考数据：，，，，，，，．） （1）求的长度；（保留1位小数） （2）通过计算说明，线路1和线路2，那条线路更短． 25. 抛物线与轴交于，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，连接，点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作轴交于点M，过点M作轴，垂足为N．求的最大值，并求此时点P的坐标； （3）将抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，新拋物线与直线相交于点H，K（点H在点K的下方），若Q是新抛物线上一点，且满足．请写出满足条件的所有点Q的坐标，并写出其中一个点Q坐标的求解过程． 26. 在菱形中，，点是边上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． （1）如图1，，求的度数； （2）如图2，，用的度数（含的代数式表示）； （3）如图3，，，点是边上一动点，连接，若，是延长线上一点，且，连接，请直接写出的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度上期九年级期末质量监测 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.试题卷上各题的答案用签字笔书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2.答题前认真阅读答题卡上的注意事项； 3.作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4.考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 的值是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角锐角三角函数值，熟练掌握特殊角锐角三角函数值是解题的关键． 根据角的锐角三角函数值即可解答． 【详解】解：． 故选A． 2. 如图所示的几何体，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三视图的定义，从正面进行观察判断即可．本题考查简单几何体的三视图，考查空间想象能力，根据图示标注的方向判断是解题的关键． 【详解】解：由题意可得图中几何体的主视图是 故选C． 3. 如图，直线，直线分别交、、于点A、B、C，直线分别交、、于点D、E、F，若，，，则的长是（ ） A. B. C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，掌握三条平行线截两条直线、所得的对应线段成比例成为解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴，即：，解得：． 故选A． 4. 在中，D，E分别是边，上的点，，如图所示，且相似比为k，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，解题的关键是了解相似比的定义，难度不大．根据相似比的定义确定正确的选项即可． 【详解】解：∵，相似比为k， ∴， 故选：B． 5. 已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为3，则k的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】题目主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，根据题意得出，代入反比例函数求解即可 【详解】解：∵反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为3， ∴， ∴， ∴， 故选：A 6. 一张标准对数视力表由一些形状相同但大小不一定相同的符号“E”组成的，我们可以借助平面直角坐标系中的位似变换来对符号“E”进行放大或缩小．如图，两个符号“E”在第一象限，且关于原点O位似．若点，点，点，则点D的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．利用以原点为位似中心的对应点的坐标特征得到相似比为，然后把C点的横纵坐标都乘以得到其对应点D的坐标． 【详解】解：∵两个符号“E”在第一象限，且关于原点O位似， 而点，点， ∴相似比为， ∴点的对应点D的坐标是，即． 故选：C． 7. 一个不透明的盒子中装有若干红球，为了估计红球的数量，但又不能将球倒出来数，现放入5个黑球，所有的红球和黑球除颜色外其余均相同．每次充分混合后从中随机摸出一个球，记下颜色后放回．经过大量重复摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.25附近，则盒子中红球的个数约为（ ） A. 30 B. 25 C. 20 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，由经过大量重复摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.25附近，即可估计摸到黑球的概率，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：设红球的个数为x个， ∵经过大量重复摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.25附近， ∴摸到黑球的概率为0.25， ∴， 解得：， 经检验是原方程的根， ∴盒子中红球的个数约为15个． 故选：D． 8. 已知的图象如图，则和的图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象可以得到a＜0，b＞0，c＜0，由此可以判定y=ax+b经过一、二、四象限，双曲线在二、四象限． 【详解】根据二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象， 可得a＜0，b＞0，c＜0， ∴y=ax+b过一、二、四象限， 双曲线在二、四象限， ∴C是正确的． 故选C． 【点睛】此题考查一次函数，二次函数，反比例函数中系数及常数项与图象位置之间关系． 9. 如图，在菱形中，，对角线、交于点O，将菱形绕点O逆时针旋转得到菱形，关于两个菱形重叠部分的八边形，下列描述错误的是（ ） A. 对于任意的，这个八边形的每条边都相等 B. 只有唯一的，使得这个八边形的每个内角都相等 C. 对于任意的，O点到八边形各边的距离都相等 D. 对于任意的，O点到八边形各顶点的距离都相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、全等三角形的性质与判定、旋转的性质等知识点，掌握菱形的性质与判定是解题的关键． 如图：连接，根据菱形的性质可得，；根据旋转的性质可得点一定在对角线上，且，，再证明可得，同理可得可判定A选项；再说明当，八边形各内角相等，可判定B选项；根据角平分线的性质可判断C选项；当时，，可判定D选项． 【详解】解：如图：连接， ∵菱形，， ∴，， ∵将菱形绕点O逆时针旋转得到菱形， ∴点一定在对角线上，且，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可证：， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∴该八边形各边长都相等，即A选项正确，不符合题意； 当时，，即， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴当，八边形各内角相等，故选项B正确，不符合题意； 由以上可知：，根据角的平分线的性质定理，得点到该八边形各边所在直线的距离都相等，即C选项正确，不符合题意； 根据， ∴， ∴， ∴， ∴时，， ∴， ∴， ∴ 当时，，此时点O到该八边形各顶点的距离都相等，则D选项错误，符合题意． 故选：D． 10. 已知实数a，b，c，m，n，其中，满足，．则以下说法：①；②若a，b，c，均为奇数，则m，n不能都为整数；③关于x的一元二次方程的两根为，n．其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，因式分解的应用和整式的混合运算．①根据题意，可得，，将其代入原式中，再利用公式法与提公因式法进行因式分解，可得原式，根据a，m，n是实数，可知，即可得；②若m,n都为整数，其可能情况有：m，n都为奇数；m，n为整数，且其中至少有一个为偶数，分别进行论证讨论即可．③根据根与系数的关系，将变形得，进而可得结论． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ， ∵a，m，n是实数， ∴， ∴，即①正确； 若m，n都为整数，其可能情况有以下两种： 当m，n都为奇数时，则必为偶数， 又∵， ∴， ∵a为奇数， ∴必为偶数，这与b为奇数矛盾； 当m，n为整数，且其中至少有一个为偶数时，则必为偶数， 又∵， ∴， ∵a为奇数， ∴必为偶数，这与c为奇数矛盾； 综上所述，若a，b，c，均为奇数，则m，n不能都为整数．即②正确； ∵，， ∴，， ∴关于x的一元二次方程的两根为，n．即③正确． 故选：D． 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 拋物线的顶点坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，掌握根据二次函数的顶点式求顶点坐标是解题的关键． 根据顶点式的顶点坐标为求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 故答案为：． 12. 若，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查比例的计算，掌握知识点是解题的关键． 由已知比例关系，可推导出的值，然后代入所求表达式进行简化计算． 【详解】解：由，得 ，即． 则． 故答案为：4． 13. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据根的判别式的意义得到，解关于k的一元一次方程即可得到k的值． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根． ∴ ∴ 14. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，由题意得，，过作于点，交于点，利用已知得出，进而利用相似三角形的性质求出即可，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 【详解】由题意得：， ∴， 如图，过作于点，交于点， ∴，， ∴，即， ∴（）， 即小孔到的距离为， 故答案为：． 15. 如图，正方形的对角线，相交于点O，点M是边上一点，连接，过点O作，交于点N，若正方形的边长为2，则四边形的面积是________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据正方形的对角线，相交于点O，得到，，，，证明，得到，继而得到，解答即可． 本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵正方形的对角线，相交于点O， 正方形的边长为2， ∴，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 16. 如图，在中，是边上的高，点E是的中点，若，，且，则的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查正切的定义、勾股定理、等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 先根据高的定义以及勾股定理可得，再根据直角三角形的性质可得，由等边对等角可得，即，进而得到；然后运用勾股定理可得，进而完成解答． 【详解】解：∵在中，是边上的高， ∴， ∵，， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴，即，解得：， ∴， ∴． 故答案为：． 17. 如图1所示，某乡村准备修建一条100m长的水渠．水渠的过水横截面是如图2所示的矩形．如水渠底面与侧面的修建造价为100元，，则修水渠的总价为________万元（用含t的代数式表示）；为了提高水渠的过水量，要使过水横截面的面积尽可能大，现有资金4万元，当过水横截面面积最大时，水渠的深度为________m． 【答案】 ①. ②. 1 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与几何的综合，二次函数的性质，矩形的性质，列代数式，掌握二次函数的性质是解本题的关键．底面积和侧面积的总和即为修水渠的总价，设矩形的边，，矩形的面积为，把用表示出来，根据二次函数的性质求出当过水横截面面积最大时关系，最后求出即可求得深度． 【详解】解：依题意，如水渠底面与侧面的修建造价为100元，，则修水渠的总价为元万元， 设矩形的边，，矩形的面积为，依题意，得 ， ， 当时，有最大值， 要使过水横截面的面积尽可能大，现有资金4万元，当过水横截面面积最大时， ，即， 水渠的深度为， 故答案为： 18. 如图，，，，，反比例函数的图象与交于点，与交于点E．则m的值为________；P为反比例函数图象上一动点（P在D，E之间运动，不与D，E重合），过点P作，交y轴于M点，过点P作轴，交于点N，连接，当面积取得最大值时，点P的坐标________． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标，等腰直角三角形的性质，二次函数的最值，理解反比例函数图象上点的坐标满足反比例函数的表达式，熟练掌握待定系数法求函数的表达式，等腰直角三角形的性质，根据三角形的面积求出二次函数的表达式，并求出二次函数的最值是解决问题的关键．先求出点，进而得直线的表达式为：，再将点点，代入之中即可得出m的值；延长交y轴于点H，先求出点，设点，则，再求出直线的表达式为：，进而得点，根据轴，得点，点，则，，则面积，然后根据得当时，S为最大，由此可得点P的坐标． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴点， 设直线的表达式为：， 将点，点代入， 得：， 解得：，， ∴直线的表达式为：， ∵反比例函数的图象与交于点， ∴， 解得：， ∴点， ∴， ∴反比例函数的表达式为：， 延长交y轴于点H，如图所示： ∵直线与反比例的图象交于点E， ∴点， ∵P为反比例函数图象上一动点（P在D，E之间运动，不与D，E重合）， ∴设点，其中， 设直线的表达式为：， ∵， ∴， 将，点代入， 得：， 解得：， ∴直线的表达式为：， 当时， ∴点， ∵轴，点， ∴点，点， ∴，， ∴面积， ∵， ∴当时，S为最大，此时点P的坐标为． 故答案为：2；． 三、解答题：（本大题8个小题，19题8分；20－26题每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握公式法和因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）先用根的判别式判断根的情况，然后用求根公式求解即可； （2）先移项，然后运用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴． ∴． ∴，． 【小问2详解】 解：， ． ． ∴， ∴，． 20. 为培养学生劳动习惯，提升学生劳动技能，某校开展了劳动教育实践周活动．九年级提供了四类活动：A．物品整理，B．环境美化，C．植物栽培，D．工具制作．要求每个学生必须参加且只参加其中一项活动．九年级1班学生参与四类活动情况统计，如图所示． （1）该班有15人参加A类活动，求参加C类活动的人数； （2）若该班参加活动的学生中，获得年级A类一等奖的有2名学生，获得年级D类一等奖的有2名学生．现从这4人中随机抽取2名参加学校劳动技能比赛，求抽到的两位同学恰好是1名A类和1名D类的概率． 【答案】（1）人 （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、扇形统计图、概率公式，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法、概率公式是解答本题的关键． （1）用参加A类活动的人数除以扇形统计图中A的百分比可得九年级1班学生人数，再用九年级1班学生人数乘以扇形统计图中C的百分比可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及抽到的两位同学恰好是1名A类和1名D类的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：，（人）； 【小问2详解】 根据题意，将获得年级A类一等奖的有2名学生分别记为、，获得年级D类一等奖的有2名学生分别记为、， 可列表如下： 一共有12种情况，每种情况出现的可能性相同，其中满足条件的有8种情况． 所以，． 21. 如图，在中，，平分，是的外角． （1）用尺规完成作图：作的角平分线，过点C作，垂足为E；（不写作法，保留作图痕迹） （2）小敏作完图后，发现四边形是矩形，请帮助她完成下列推理过程： ∵平分，平分， ∴，． ∴①________． 又∵，平分， ∴②________（三线合一）． ∴． 又∵， ∴③________． ∴四边形是矩形（三个角是直角的四边形是矩形）． （3）小敏在完成证明后进一步思考，得到结论：当等腰满足________时，矩形是正方形 【答案】（1） 作图如下：      （2） ；；． （3）或或 【解析】 【分析】本题考查尺规作图—作垂线，作角平分线，矩形的判定，正方形的判定： （1）根据尺规作角平分线，做垂线的方法作图即可； （2）根据平角和角平分线的定义，三线合一，垂直的定义，进行作答即可； （3）根据有一组邻边相等的矩形是正方形，进行判断即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当或或时，矩形是正方形； 当时，则：， ∵四边形是矩形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴矩形是正方形． 22. 某水果基地种植了大量的脐橙，10月份是脐橙成熟的高峰期，该月脐橙产量达到了50吨，此后每个月脐橙的产量逐渐减少，到12月份时，脐橙的产量为32吨． （1）求该基地11，12两个月脐橙的平均减少率是多少？ （2）10月份，一水果批发商从该基地以4元的价格购进了脐橙，目前脐橙的市场零售价是5元．如果将这批脐橙放在冷库中冷藏起来，每个星期需要支付400元的冷藏费用，且每个星期脐橙会自然损坏，但是每个星期脐橙的市场零售价会上涨1元，若这批脐橙从冷库中提取出来后能一次性卖完，为了尽快清空库存，求这批脐橙冷藏几个星期后出售可以获得利润6960元？ 【答案】（1） （2）4个 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该基地11，12两个月脐橙的平均减少率是x，根据10月份是脐橙成熟的高峰期，该月脐橙产量达到了50吨，此后每个月脐橙的产量逐渐减少，到12月份时，脐橙的产量为32吨，据此列出一元二次方程求解并取符合题意的值即可； （2）设存放a个星期后出售，则脐橙会自然损坏千克，根据出售可以获得利润6960元，列出一元二次方程求解并取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设该基地11，12两个月脐橙的平均减少率是x，由题意可得∶ ． 解得：，（舍去）． 答：该基地11月，12月平均月减少率为． 【小问2详解】 解：设存放a个星期后出售，由题意可得： ． 解方程，得，（舍去）． 答：存放4个星期后出售能获得6960元的利润． 23. 如图1，正方形的边长为4，动点P从点C出发，沿路线向点A运动，设点P的运动路程是．点Q是射线上一动点，且，当点P到达终点A时，点Q停止运动，连接，．记的面积为，的面积为． （1）请分别写出，关于x的函数解析式，并注明x的取值范围； （2）在图2中画出，关于x的函数图像，并分别写出，的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出时，x的取值范围． 【答案】（1）， （2） 和的图象如图所示： 的性质有：当时，有最大值8； 的性质有：当时，随x的增大而减小． （3） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数，一次函数，正确理解题意是解题的关键： （1）当时，；当时，；，即可得出函数解析式； （2）根据函数解析式画出图像，再写出函数性质即可； （3）由函数图象即可得出答案． 【小问1详解】 解：（1）当时，； 当时，； ∴ ， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由函数图象知，当时，x的取值范围为：． 24. 如图，A，B两地的直线距离为，但因湖水相隔，不能直接到达．从A到B有两条路可走．线路1：从；线路2：从．从地图上可得到以下数据：点C位于A的正北方向，且在B的北偏西的方向；点D在A的东南方向，且位于B的南偏西方向．（参考数据：，，，，，，，．） （1）求的长度；（保留1位小数） （2）通过计算说明，线路1和线路2，那条线路更短． 【答案】（1） （2）线路2比线路1短， 由（1）可得，在中， ， 即． 在中，， 即． ， 即． 线路1：； 线路2：． ∵， ∴线路2更短． 故线路2比线路1短． 【解析】 【分析】（1）过点D作，垂足为E．解直角三角形即可． （2）解直角三角形后比较大小解答即可． 本题考查了解直角三角形，方向角，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 【小问1详解】 解：过点D作，垂足为E． ∴． ∵，， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴，． ∴． 故的长为． 【小问2详解】 略 25. 抛物线与轴交于，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，连接，点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作轴交于点M，过点M作轴，垂足为N．求的最大值，并求此时点P的坐标； （3）将抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，新拋物线与直线相交于点H，K（点H在点K的下方），若Q是新抛物线上一点，且满足．请写出满足条件的所有点Q的坐标，并写出其中一个点Q坐标的求解过程． 【答案】（1） （2）最大值，点P （3）满足条件的Q为或，见解析 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法将，代入，求解即可； （2）令，求得点，利用待定系数法求得直线的解析式为．令，则，．即可表达，结合二次函数的性质求得最大值和此时点P的坐标即可； （3）根据平移的性质求得新抛物线的解析式为．令点直线上的点在新抛物线上，求得点和点．进一步求得直线的解析式为．①当Q在直线上方时，利用与是同位角，求得点；②若Q在直线下方时，则过点H作x轴的平行线，过点Q作x轴的垂线，两线交于点R．根据时，，即可证明，今，则解得点Q即可． 【小问1详解】 解：将，代入， 得解方程组得， ∴抛物线的解析式是． 【小问2详解】 解：令，则有， 解得，． ∴． ∵， ∴直线的解析式为． 令，则，． 那么，． ∴． ∵， ∴有最大值． 当时，最大值为． 此时，点P的坐标为． 【小问3详解】 解：根据题意知抛物线向上和向右平移2个单位，则新抛物线的解析式为． 即． 令点直线上的点在新抛物线上，则有，解得，． ∵点H在K的下方， ∴，． ∵，， ∴直线的解析式为． ①当Q在直线上方时，过点H且与平行的直线，与新抛物线的交点为Q．与是同位角时，满足条件． 设与平行的直线的解析式为． ∵直线过点，则，解得， ∴过点H且与平行的直线的解析式为． 则直线与抛物线交点为或（舍去）． ∴． ②若Q在直线下方时，则过点H作x轴的平行线，过点Q作x轴的垂线，两线交于点R．如图， 则， 当时，， 此时， ∵， ∴． 令， ∵， ∴． 则，解得，． 所以或（舍去）． 综上所述：满足条件的Q为或． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，涉及待定系数法求函数解析式，利用二次函数的性质求最值，二次函数的平移，解一元一次方程组以及相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟悉二次函数的性质和分类讨论思想的应用． 26. 在菱形中，，点是边上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． （1）如图1，，求的度数； （2）如图2，，用的度数（含的代数式表示）； （3）如图3，，，点是边上一动点，连接，若，是延长线上一点，且，连接，请直接写出的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，菱形的性质，正方形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的形状，熟练掌握一线三等角全等模型，并会利用条件构造一线三等角全等模型是解题的关键． （1）过点作，交延长线于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的性质可得，由此即可得； （2）延长到点，使，连接，先根据菱形的性质、平行线的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，，然后根据等腰三角形的性质可得，由此即可得； （3）先由（2）知当时，，过点作于点，且使，连接，构造出，得出，，再得出，取中点，连接，，得出， ，由两点之间线段最短得，即可求解． 【小问1详解】 解：如图1，过点作，交延长线于点， ∵在菱形中，， ∴四边形是正方形，， ∴，， 由旋转的性质得：，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 解：如图2，延长到点，使，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 由旋转的性质得：，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由（2）知当时，， 如图，过点作于点，且使，连接， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图，取中点，连接，， ∵，， ∴， ∴， 由两点之间线段最短得，且当、、依次共线时，取得最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $