精品解析：上海市复旦大学附属中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷

复旦大学附属中学2024学年第一学期 高二年级数学期末考试试卷 考生注意： 1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟. 2.本试卷分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分. 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，请在答题纸相应编号的空格内直接写结果. 1. 半径为3的球的表面积为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由球的表面积公式即可求解. 【详解】由球的表面积公式可得，. 故答案为：. 2. 若，，且，则_____. 【答案】14 【解析】 【分析】由向量的数量积为0即可列方程求解. 【详解】因为，，且， 所以，解得. 故答案为：14. 3. 计算_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据无穷等比数列的求和公式计算. 【详解】根据等比数列的求和公式，， 当，于是. 故答案为： 4. 已知随机变量，且，则_____. 【答案】## 【解析】 【分析】根据正态曲线的对称性求解即可. 【详解】根据正态曲线的对称性，时， 若，则， 于是. 故答案为： 5. 某中学举行英语知识竞赛，其中7人的比赛成绩分别为：70，99，85，93，98，73，95，则这7人成绩的极差是_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据极差的概念，结合题中数据，即可求出结果. 【详解】极差是最大值与最小值的差，所以这7人成绩的极差是； 故答案为： 6. 如图，正方体中，点为中点，则直线与平面所成角的余弦值为______. 【答案】 【解析】 【分析】借助正方体的性质，根据线面角的定义作出所求的角，然后在直角三角形中求解余弦值即可. 【详解】因为平面平面， 所以直线与平面所成角即与平面所成角，连接， 由正方体的性质可知平面，故是与平面所成角， 设正方体的棱长为2， 在中，， 所以直线与平面所成角的余弦值为. 故答案为： 7. 已知正四棱锥的底面边长为1，侧棱长为1，则该正四棱锥的体积为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】记该正四棱锥为，连结、，交点记为，连结，根据题中条件，以及正棱锥的结构特征，求出底面积和高，即可得出体积. 【详解】记该正四棱锥为，连结、，交点记为，连结， 由正棱锥的结构特征可知：O为S在底面的射影，为正四棱锥为的高， 因为正四棱锥的底面边长为1，侧棱长为1，则， 则底面积，， 因此， 所以该正四棱锥的体积为. 故答案为： 8. 的展开式中，项的系数为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项特征即可求解. 【详解】由于的展开式通项为， 故的展开式中，含的项为 ， 故的系数为， 故答案为： 9. 一盒子里有编号的红球和编号的白球各一个，随机取出4个球排成一列，则相同颜色和相同编号均不相邻的排法有__________种. 【答案】12 【解析】 【分析】通过举例分析得到选取的球的颜色和编号的要求，从而得到有多少种选取的方式，再对其中一种选取结果进行排列，从而得到一种选取方式得到的排列数，由分步计算法则得到结果. 【详解】设编号为的红球为，编号为的白球为， 当同一个颜色的球取出个数为3个时，例如：，无论怎么排了均无法满足相同颜色不相邻，舍去. 所以取出的球中红色和白色的个数均为2个， 当选取的白球和红球编号为两组相同编号时，例如：时，当满足相同颜色不相邻时，无法满足相同编号不相邻，舍去. 所以取出的球结果一定为两个白球两个红球，且红球和白球只有一个编号相同，例如：， 所以排列情况如下：、、、、、. 即共有种取出方式， 排列例如：、，相同编号只能在最前和最后，一种选取方式共有种排列方式， 所以总的排列方式有种. 故答案为：12. 10. 若事件与事件是独立的，，，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式，即可结合对立事件的性质求解. 【详解】由于事件与事件是独立的，故事件与事件也相互独立， 故, 又，故， 进而可得， 故答案为： 11. 如图，圆锥中为顶点，底面直径，侧面积为，为的中点.设平面经过直线，则点到平面距离的最大值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据侧面积公式可得母线，即可根据余弦定理求解角和长度，根据等面积法可得到的距离,即可求解. 【详解】设母线，则圆锥的侧面积为，则， 故，则， 故, 设点到的距离为，则， 故， 故点到平面距离的最大值即为点到的距离， 故答案为： 12. 不断地抛掷一枚硬币，若连续出现2次正面向上，则甲获胜，游戏结束；若累计出现4次正面向上，且未出现连续2次正面向上，则乙获胜，游戏结束；若连续2次正面向上和累计4次正面向上同时发生了，则甲乙平局，游戏结束.在没有发生平局的条件下，乙获胜的概率为_____. 【答案】 【解析】 【分析】先假设抛掷硬币次，分别探求“乙获胜”与“平局”的概率表达式，通过先裂项求和后求极限的方法可得，，然后利用条件概率公式求解. 【详解】设事件“乙获胜”，“平局”，则“没有发生平局”， 记“正面向上”为“”；“反面向上”为“”. ①不断地抛掷一枚硬币，先求事件的概率. 假设抛掷硬币次， 则事件即抛掷最后两次依次为“”，前次中恰3次“”且互不相邻，其余次都为 “0”， 即从个“0”形成的空中选出3个插入个“1”，故共种方法， 由题意知，， 故若不断地抛掷一枚硬币，则， 设， 由， 设， 则，记， 所以 ， 因为，所以. 故“乙获胜”的概率； ②不断地抛掷一枚硬币，求事件即“平局”的概率. 假设抛掷硬币次， 则事件即最后三次依次为“”，前次中恰次“”且互不相邻，其余次都为“0”， 即从个“0”形成的空中选出个插入个“1”，故共种方法， 由题意知，， 故若不断地抛掷一枚硬币，则， 设， 由， 设， 则，记， 所以 ， 因为，所以. 故“平局”的概率； 由条件概率公式可得， 所以在没有发生平局的条件下，乙获胜的概率为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键有两点，一是准确“译事件”，如事件即最后两次为“”，前次中恰3次“”且互不相邻，其余次都为“0”；二是借助裂项求和法求解“多项式与等比数列积”型结构的数列求和问题. 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，每题有且只有一个正确选项，请在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑. 13. 在以下调查中，适合用普查的是（ ）. A. 调查某批次汽车的抗撞击能力 B. 调查一批LED灯的寿命 C. 调查某城市居民的食品消费结构 D. 调查一个班级学生的身高情况 【答案】D 【解析】 【分析】根据普查的概念判断即可； 【详解】A选项，每个批次生产的汽车的数量非常多，且调查汽车抗重击能力具有破坏性，不适合使用普查，应使用抽样调查； B选项，调查一批LED灯的寿命具有破坏性，不宜使用普查，应使用抽样调查； C选项，某城市居民数量非常多，不适合使用全面普查，应使用抽样调查； D选项，一个班级学生的身高情况，人数较少，适合用普查； 故选：D 14. 空间中有三条直线，，，在这三条直线中有对互相垂直的直线，则可能的取值有（ ）个. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】ABC 【解析】 【分析】借助正方体中的边关系，即可举例求解. 【详解】如图：在正方体中，两两垂直，若，则， 若，则， 若，则, 由于三条直线最多可得三组互相垂直，故不可能为4， 故选：ABC 15. 已知，其中，为正整数，则“是奇数”是“存在正整数使得”的（ ）条件. A. 充分必要 B. 充分非必要 C. 必要非充分 D. 既非充分又非必要 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项特征得，即可根据组合数的性质得，由充要条件的定义即可判断. 【详解】的展开式的通项为， 若存在正整数使得，则，故，即，由于是正整数且，故为奇数，必要性成立； 反之，若为奇数，设，则，即存在正整数使得，充分性成立. 因此“是奇数”是“存在正整数使得”的充要条件. 故选：A 16. 对于一个四棱锥，已知二面角、、、大小都相等，有下列两个命题：①底面可以是等腰梯形；②若底面是平行四边形，则是矩形.下列说法正确的是（ ）. A. ①②都是真命题 B. ①是真命题，②是假命题 C. ①是假命题，②是真命题 D. ①②都是假命题 【答案】A 【解析】 【分析】与正四棱锥对比建立联系，已知四棱锥可由正四棱锥截得，有次可判断①正确；与正四棱锥建立联系，利用面面平行的性质定理和判定定理可以得出②正确. 【详解】对于命题①：底面  可以是等腰梯形. 当的四个侧面是正四棱锥的四个侧面的一部分时，若底面的一边正好是正四棱锥的底面的一条边，底面是等腰梯形，因此，命题①为真. 对于命题②：若底面 ABCD 是平行四边形，则必为矩形. 由于各相邻侧面所成的二面角相等，所以存在一个相邻侧面所成二面角等于给定四棱锥的相邻侧面所成的二面角的正四棱锥，使得已知四棱锥的侧面分别平行于该正四棱锥的侧面，已知正四棱锥的底面所在的平面与已知四棱锥的各面的交线平行于它与正四棱锥的相应侧面所在平面的交线，由于已知四棱锥的底面为平行四边形，故截正四棱锥各个侧面所在平面的交线围成平行四边形，由正四棱锥性质，可得这个截面平行于正四棱锥的底面，因此为矩形，故已知四棱锥的底面为矩形，因此，命题②为真. 故选：A. 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤. 17. 已知，其中，为正整数. （1）若，求的值； （2）若，且，，依次成等差数列，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用赋值法即可求解， （2）根据展开式的通项特征，结合等差中项可列方程求解，即可求解. 【小问1详解】 时，， 令，则 【小问2详解】 的展开式的通项为， 故 根据，，依次成等差数列，得 故， 解得或（舍去）， 因此 18. 某汽车配件厂生产了一种塑胶配件，质检人员在这批配件中随机抽取了100个，将其质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如图所示的频率分布直方图（可用区间的中点值给区间内的每个数据赋值）. （1）求的值； （2）求这组数据的第75百分位数； （3）当配件的质量指标值不小于80分时，配件为“优秀品”，以频率估计概率.在这批产品中有放回地随机抽取3件产品，随机变量表示：抽得的产品为“优秀品”的个数，求的数学期望. 【答案】（1） （2）85 （3）1.2 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1求得， （2）根据上百分位数的定义分析求解； （3）根据题意分析可得，根据二项分布的期望公式即可求解. 【小问1详解】 由题知：，解得； 【小问2详解】 设x为样本数据第75百分位数， 由于数据位于的频率为， 而位于的频率为， 由于，故第75百分位数位于， 则：，解得， 故这组样本数据的第75百分位数为85． 【小问3详解】 设p表示在这批产品中随机抽取一件产品，所抽取的产品为优秀品的概率， 由题知：． 随机变量， 随机变量X的期望. 19. 、两人在玩一个商业模拟游戏.现在游戏进行到了最后一轮，暂时领先3分.接下来可以掷两颗骰子，如果两颗骰子的点数都是偶数，则“投资”失败，“投资”的分值记为0分，游戏结束；否则，可以进行“投资”，他可以选择其中一个点数为奇数的骰子，将其点数作为“投资”的分值.“投资”结束后，该游戏结束.、两人中分值较高者获胜，若分值相同，则两人打平. （1）求获胜的概率； （2）若在掷骰子之前可以对的“投资”行为进行干扰，他可以选择以下两种方式之一：①让的分值直接减1；②当掷出骰子后，将点数较大的骰子变为1点，另一个不变（如果掷出的两颗骰子点数相同，则将其中一个变为1点）.为了使自己获胜的概率更大，会选择哪种方式进行干扰?说明理由. 【答案】（1） （2） 应选择②，理由如下： 选择①： 掷两颗骰子，两颗骰子的点数都是偶数的概率为， 掷两颗骰子，两颗骰子的点数都是奇数且两个奇数均小于5的概率为， 掷两颗骰子，两颗骰子的点数是一个奇数一个偶数且奇数小于5的的概率为， 所以输的概率为； 所以获胜的概率； 选择②： 掷两颗骰子，两颗骰子的点数都是偶数的概率为， 掷两颗骰子，两颗骰子的点数都是奇数， 即改后输， 所以两颗骰子的点数都是奇数且改后输的概率为， 掷两颗骰子，两颗骰子的点数是一个奇数一个偶数时， 即改后输， 所以两颗骰子的点数是一个奇数一个偶数改后输的概率为， 所以输的概率为； 所以获胜的概率； 故为了使自己获胜的概率更大，会选择②方式进行干扰. 【解析】 【分析】（1）获胜的概率即为输的概率，求得得分小于3分的概率即可得结论； （2）选择①时，求得输的概率，选择②：求得输的概率，比较可得结论. 【小问1详解】 获胜的概率即为输的概率； 掷两颗骰子，掷第一颗骰子有6种点数，掷第二颗骰子有6种点数， 所以掷两颗骰子共有36种不同的结果； 两颗骰子的点数都是偶数的概率为， 掷两颗骰子，两颗骰子的点数都是奇数且两个奇数均为1的概率为， 掷两颗骰子，两颗骰子的点数是一个奇数一个偶数且奇数为1的概率为， 所以输的概率为； 所以获胜的概率； 【小问2详解】 略 20. 如图，在三棱台中，，，，为的中点. （1）求证：； （2）若平面平面，求直线与直线所成角的余弦值： （3）设二面角的大小为，直线与平面的所成角的大小为，求关于的函数表达式及其定义域，并求的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证明平面，根据线面垂直即可求解， （2）根据面面垂直的性质，建立空间直角坐标系，根据向量的夹角即可求解， （3）根据棱台的几何特征，可根据线面角以及二面角的几何法，结合三角形的边角关系可得，即可根据圆的性质，结合图形关系和斜率的关系即可求解. 【小问1详解】 过作，取中点为，连接, 由于，故四边形为等腰梯形， 故, 由于为等边三角形，故, 平面, 故平面, 平面,故 【小问2详解】 若平面平面，且两平面的交线为,, 平面， 故平面, 建立如图所示的空间直角坐标系， ,故, , 则， 故, 故 故直线与直线所成角的余弦值为 【小问3详解】 设到平面的距离为，则，且在底面的投影分别为， 由于,故为， 则为钝角时，此时在三角形的外部， ， ， 故， 当为锐角时，此时在三角形的内部， ， ， 故， 为直角时，也符合， 故， 设是（上半圆，不包括端点）上的任意一点， 则可看作是半圆上一点到的斜率， 根据图可知：当直线与半圆相切时，此时直线的斜率最小为, 因此到的斜率的取值为， 因此 【点睛】方法点睛：求二面角常用的方法： （1）几何法：二面角的大小常用它的平面角来度量，平面角的作法常见的有： ①定义法；②垂面法，注意利用等腰三角形的性质； （2）空间向量法：分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求二面角是锐角还是钝角. 21. 数列满足.设事件表示，事件表示.已知事件与是对立事件，且，，于是是一个随机变量. （1）直接写出的所有可能的取值； （2）若，求与； （3）若，求的最小值. 【答案】（1） （2）,, （3） 【解析】 【分析】（1）列举即可求解， （2）根据独立事件的概率乘法公式求解概率，即可列分布列，根据期望和方差的公式即可求解， （3）根据的形成过程，可知要使的最小的，则，，分别求解使得，，，，的最小的，即可比较求解. 【小问1详解】 ，则或， 当，则或，当，则或， 故的可能取值有 【小问2详解】 时，此时, 时，此时, 时，， 时，， 故的分布列为 1 0 故 , 【小问3详解】 由于， ， ， ， ， ， ， 要使的最小的，则， 由于求使的最小的，则数列的前4项分别为， 使得的最小的为7，则前7项分别为， 要使的最小的为9，则前9项分别为， 要使的最小的为11，则前11项分别为， 要使的最小的为13，则前13项分别为， 若，则需要的最小为， 要使的最小的为16，则前16项分别为， 若，则需要的最小为， 综上可知使得的最小的 【点睛】关键点点睛：使得的最小的，则尽可能的使用，等比数列增长比较快，根据，，列举求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 复旦大学附属中学2024学年第一学期 高二年级数学期末考试试卷 考生注意： 1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟. 2.本试卷分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分. 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，请在答题纸相应编号的空格内直接写结果. 1. 半径为3的球的表面积为_____. 2. 若，，且，则_____. 3. 计算_____. 4. 已知随机变量，且，则_____. 5. 某中学举行英语知识竞赛，其中7人的比赛成绩分别为：70，99，85，93，98，73，95，则这7人成绩的极差是_____. 6. 如图，正方体中，点为中点，则直线与平面所成角的余弦值为______. 7. 已知正四棱锥的底面边长为1，侧棱长为1，则该正四棱锥的体积为_____. 8. 的展开式中，项的系数为_____. 9. 一盒子里有编号的红球和编号的白球各一个，随机取出4个球排成一列，则相同颜色和相同编号均不相邻的排法有__________种. 10. 若事件与事件是独立的，，，则_____. 11. 如图，圆锥中为顶点，底面直径，侧面积为，为的中点.设平面经过直线，则点到平面距离的最大值为_____. 12. 不断地抛掷一枚硬币，若连续出现2次正面向上，则甲获胜，游戏结束；若累计出现4次正面向上，且未出现连续2次正面向上，则乙获胜，游戏结束；若连续2次正面向上和累计4次正面向上同时发生了，则甲乙平局，游戏结束.在没有发生平局的条件下，乙获胜的概率为_____. 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，每题有且只有一个正确选项，请在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑. 13. 在以下调查中，适合用普查的是（ ）. A. 调查某批次汽车的抗撞击能力 B. 调查一批LED灯的寿命 C. 调查某城市居民的食品消费结构 D. 调查一个班级学生的身高情况 14. 空间中有三条直线，，，在这三条直线中有对互相垂直的直线，则可能的取值有（ ）个. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 15. 已知，其中，为正整数，则“是奇数”是“存在正整数使得”的（ ）条件. A. 充分必要 B. 充分非必要 C. 必要非充分 D. 既非充分又非必要 16. 对于一个四棱锥，已知二面角、、、大小都相等，有下列两个命题：①底面可以是等腰梯形；②若底面是平行四边形，则是矩形.下列说法正确的是（ ）. A. ①②都是真命题 B. ①是真命题，②是假命题 C. ①是假命题，②是真命题 D. ①②都是假命题 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤. 17. 已知，其中，为正整数. （1）若，求的值； （2）若，且，，依次成等差数列，求的值. 18. 某汽车配件厂生产了一种塑胶配件，质检人员在这批配件中随机抽取了100个，将其质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如图所示的频率分布直方图（可用区间的中点值给区间内的每个数据赋值）. （1）求的值； （2）求这组数据的第75百分位数； （3）当配件的质量指标值不小于80分时，配件为“优秀品”，以频率估计概率.在这批产品中有放回地随机抽取3件产品，随机变量表示：抽得的产品为“优秀品”的个数，求的数学期望. 19. 、两人在玩一个商业模拟游戏.现在游戏进行到了最后一轮，暂时领先3分.接下来可以掷两颗骰子，如果两颗骰子的点数都是偶数，则“投资”失败，“投资”的分值记为0分，游戏结束；否则，可以进行“投资”，他可以选择其中一个点数为奇数的骰子，将其点数作为“投资”的分值.“投资”结束后，该游戏结束.、两人中分值较高者获胜，若分值相同，则两人打平. （1）求获胜的概率； （2）若在掷骰子之前可以对的“投资”行为进行干扰，他可以选择以下两种方式之一：①让的分值直接减1；②当掷出骰子后，将点数较大的骰子变为1点，另一个不变（如果掷出的两颗骰子点数相同，则将其中一个变为1点）.为了使自己获胜的概率更大，会选择哪种方式进行干扰?说明理由. 20. 如图，在三棱台中，，，，为的中点. （1）求证：； （2）若平面平面，求直线与直线所成角的余弦值： （3）设二面角的大小为，直线与平面的所成角的大小为，求关于的函数表达式及其定义域，并求的取值范围. 21. 数列满足.设事件表示，事件表示.已知事件与是对立事件，且，，于是是一个随机变量. （1）直接写出的所有可能的取值； （2）若，求与； （3）若，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $