广东省梅州市五华县2024-2025学年八年级上学期期末数学试卷

2024-2025学年广东省梅州市五华县八年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的． 1．（3分）下列各式中，正确的是（　　） A．±3 B．3 C．3 D．±±3 2．（3分）甲、乙两人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数均是9.2环，方差分别为：S甲2＝0.58，S乙2＝0.62，则成绩最稳定的是（　　） A．甲 B．乙 C．甲和乙一样 D．无法判定 3．（3分）下列二次根式中，不能与合并的是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）小明同学进行坐标关于对称轴对称的探索，先在平面直角坐标系中任取一点M（a，b），点M关于x轴的对称点为N，点N关于y轴的对称点为G，则G点坐标为（　　） A．（﹣a，b） B．（a，﹣b） C．（﹣a，﹣b） D．（a，b） 5．（3分）若关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＝5，则m的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 6．（3分）下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（　　） A．a＝1.5，b＝2，c＝2.5 B．a：b：c＝5：12：13 C．∠A+∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 7．（3分）下列命题中，属于真命题的是（　　） A．如果∠1＝∠2，那么∠1与∠2是对顶角 B．三角形的一个外角大于任何一个内角 C．两直线平行，同旁内角相等 D．等角的余角相等 8．（3分）如图，小明将一张长为20cm，宽为15cm的长方形纸（AE＞DE）剪去了一角，量得AB＝3cm，CD＝4cm，则剪去的直角三角形的斜边长为（　　） A．5cm B．12cm C．16cm D．20cm 9．（3分）如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于A，B两点，P是线段AB上任意一点（不包括端点），过P点分别作PD⊥x轴，PC⊥y轴，垂足分别为D，C，则四边形PDOC的周长是（　　） A．12 B． C．10 D．6 10．（3分）老师利用两块大小一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按照图①方式放置，再交换两木块儿的位置，按照图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（　　） A．77cm B．78cm C．79cm D．80cm 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分 11．（3分）平面直角坐标系中，若点P（2024﹣m，2024m）在x轴上，则m的值为 　 　． 12．（3分）小青坐在教室的第4列第3行，用（4，3）表示，小明坐在教室的第20列第24行应当表示为 　 　． 13．（3分）点（﹣1，y1）、（2，y2）是直线y＝5x+32024上的两点，则y1　 　y2（填“＞”或“＝”或“＜”）． 14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，现将△ABC沿BD进行翻折，使点A刚好落在BC上，则CD＝ 　 　． 15．（3分）如图，直线y＝kx（k≠0）与交于点A，交x轴、y轴分别于B，C两点．若S△ABO：S△ACO＝1：2，则方程组的解为 　 　． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16．（7分）解方程组． 17．（7分）如图，△ABC中，D是BC延长线上一点，满足CD＝AB，过点C作 CE∥AB且CE＝BC，连接DE并延长，分别交AC、AB于点F、G． （1）求证：△ABC≌△DCE； （2）若∠B＝60°，∠D＝22°，求∠AFG的度数． 18．（7分）如图，已知△ABC的三个顶点都是格点，△ABC与△A1B1C1关于x轴对称，A，B，C的对应点分别是A1，B1，C1． （1）在图中画出△A1B1C1； （2）填空：点C1的坐标是 　 　； （3）点D是y轴上一个动点，当AD+DB最小时，在图中标记此时点D的位置．（保留作图痕迹） 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19．（9分）在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝3千米，CH＝2.4千米，HB＝1.8千米． （1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？（即问：CH与AB是否垂直？）请通过计算加以说明； （2）求原来的路线AC的长． 20．（9分）某校组织慈善爱心捐款活动，图①是各年级捐款人数占总捐款人数的百分比，图②是对部分学生捐款金额的随机抽样调查． 根据以上信息，解答下列问题： （1）在随机抽取的样本中，捐款金额的中位数为 　 　，众数为 　 　； （2）求随机抽样调查的学生捐款金额的平均数； （3）已知该校九年级共有200人捐款，请你估计全校捐款的总金额为多少元？ 21．（9分）某商场计划购进A，B两种服装共100件，这两种服装的进价、售价如表所示： 价格类型 进价（元/件） 售价（元/件） A 30 50 B 50 75 （1）若商场预计用3400元进货，则这两种服装各购进多少件？ （2）若商场规定A种服装进货不少于50件，应该怎样进货才能使商场销售完这批货时获利最多？此时利润为多少元？ 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22．（13分）【发现问题】 如图①，小明同学在做光的折射实验时发现：平行于主光轴MN的光线AB和CD经过凹透镜的折射后，折射光线BE，DF的反向延长线交于主光轴MN上一点P． 【提出问题】 小明提出：∠BPD，∠ABP和∠CDP三个角之间存在着怎样的数量关系？ 【分析问题】 已知平行，可以利用平行线的性质，把∠BPD分成两部分进行研究． 【解决问题】 探究一：请你帮小明解决这个问题，并说明理由． 探究二：如图②，∠P，∠AMP，∠CNP的数量关系为 　 　；如图③，已知∠ABC＝25°，∠C＝60°，AE∥CD，则∠BAE＝ 　 　°（不需要写解答过程） 利用探究一得到的结论解决下列问题： 如图④，射线ME，NF分别平分∠BMP和∠CNP，ME交直线CD于点E，NF与∠AMP内部的一条射线MF交于点F，若∠P＝2∠F，求∠FME的度数． 23．（14分）如图（1），在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x+b交坐标轴于A，B两点，过点C（0，﹣3）作直线CD交AB于点E，交x轴于点D，且△AOB≌△COD，点E坐标（m，）． （1）点B的坐标为 　 　，线段OA的长为 　 　； （2）求直线CD的表达式及点E的坐标； （3）如图（2），点M是线段CE上一动点（不与点C，E重合），ON⊥OM，ON交AB于点N，连结MN． ①在点M移动过程中，线段OM与ON满足怎样的数量关系？并证明； ②求点M移动过程中△EMN面积的最大值． 2024-2025学年广东省梅州市五华县八年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B C C D D D A B 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的． 1．（3分）下列各式中，正确的是（　　） A．±3 B．3 C．3 D．±±3 【答案】D 【分析】根据算术平方根和平方根的定义进行计算即可． 【解答】解：A、3，故A错误； B、无意义，故B错误； C、3，故C错误； D、±±3，故D正确； 故选：D． 【点评】本题考查了算术平方根和平方根，掌握算术平方根和平方根的定义是解题的关键． 2．（3分）甲、乙两人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数均是9.2环，方差分别为：S甲2＝0.58，S乙2＝0.62，则成绩最稳定的是（　　） A．甲 B．乙 C．甲和乙一样 D．无法判定 【答案】B 【分析】根据方差的意义求解即可． 【解答】解：∵，，0.58＞0.52， ∴， ∴成绩最稳定的是乙． 故选：B． 【点评】本题主要考查了方差，算术平均数，熟练掌握一组数据的方差越大，数据越不稳定是解题的关键． 3．（3分）下列二次根式中，不能与合并的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先把每个二次根式化为最简二次根式，然后根据同类二次根式的定义判断即可． 【解答】解：A、，与是同类二次根式，能合并，故此选项不符合题意； B、，与不是同类二次根式，不能合并，故此选项符合题意； C、，与是同类二次根式，能合并，故此选项不符合题意； D、，与是同类二次根式，能合并，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了同类二次根式，二次根式的性质与化简，熟知同类二次根式的定义是解题的关键． 4．（3分）小明同学进行坐标关于对称轴对称的探索，先在平面直角坐标系中任取一点M（a，b），点M关于x轴的对称点为N，点N关于y轴的对称点为G，则G点坐标为（　　） A．（﹣a，b） B．（a，﹣b） C．（﹣a，﹣b） D．（a，b） 【答案】C 【分析】（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数； （2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．根据关于x轴对称的点的规律，关于y轴对称的点的规律，可得答案． 【解答】解：在平面直角坐标系中，点M（a，b），关于x轴的对称点坐标是N（a，﹣b）， N（a，﹣b）关于y轴对称的点的坐标为G（﹣a，﹣b）， 故选：C． 【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟记关于x轴、y轴对称的点的坐标的特点是解决问题的关键． 5．（3分）若关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＝5，则m的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】把已知方程组中的两个方程相减得到x﹣y＝m+3，再根据关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＝5，列出关于m的方程，解方程即可． 【解答】解：， ①﹣②得：x﹣y＝m+3， ∵关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＝5， ∴m+3＝5， 解得：m＝2， 故选：C． 【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握二元一次方程组解的定义． 6．（3分）下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（　　） A．a＝1.5，b＝2，c＝2.5 B．a：b：c＝5：12：13 C．∠A+∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 【答案】D 【分析】根据勾股定理的逆定理以及三角形的内角和为180度，即可判断出三角形的形状． 【解答】解：A、因为1.52+22＝2.52符合勾股定理的逆定理，故△ABC为直角三角形； B、因为a：b：c＝5：12：13，所以可设a＝5x，b＝12x，c＝13x，则（5x）2+（12x）2＝（13x）2，故△ABC为直角三角形； C、因为∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，则∠C＝90°，故△ABC为直角三角形； D、因为∠A：∠B：∠C＝3：4：5，所以设∠A＝3x，则∠B＝4x，∠C＝5x，故3x+4x+5x＝180°，解得x＝15°，3x＝15×3＝45°，4x＝15×4＝60°，5x＝15×5＝75°，故此三角形是锐角三角形． 故选：D． 【点评】此题考查了解直角三角形的判定，根据勾股定理的逆定理、三角形的内角和定理结合解方程是解题的关键． 7．（3分）下列命题中，属于真命题的是（　　） A．如果∠1＝∠2，那么∠1与∠2是对顶角 B．三角形的一个外角大于任何一个内角 C．两直线平行，同旁内角相等 D．等角的余角相等 【答案】D 【分析】利用对顶角的定义、三角形的外角的性质、平行线的性质及余角的性质分别判断后即可确定正确的选项． 【解答】解：A、如果∠1＝∠2，那么∠1与∠2是对顶角，错误，是假命题，不符合题意； B、三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角，故原命题错误，不符合题意； C、两直线平行，同旁内角互补，故原命题错误，不符合题意； D、等角的余角相等，正确，是真命题，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及性质，难度不大． 8．（3分）如图，小明将一张长为20cm，宽为15cm的长方形纸（AE＞DE）剪去了一角，量得AB＝3cm，CD＝4cm，则剪去的直角三角形的斜边长为（　　） A．5cm B．12cm C．16cm D．20cm 【答案】D 【分析】解答此题只要把原来的图形补全，构造出直角三角形解答． 【解答】解：延长AB、DC相交于F，则BFC构成直角三角形， 运用勾股定理得： BC2＝（15﹣3）2+（20﹣4）2＝122+162＝400， 所以BC＝20． 则剪去的直角三角形的斜边长为20cm． 故选：D． 【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，解答此题要延长AB、DC相交于F，构造直角三角形，用勾股定理进行计算． 9．（3分）如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于A，B两点，P是线段AB上任意一点（不包括端点），过P点分别作PD⊥x轴，PC⊥y轴，垂足分别为D，C，则四边形PDOC的周长是（　　） A．12 B． C．10 D．6 【答案】A 【分析】待定系数法求出直线解析式为y＝﹣x+6，设点P（m，n）（m＞0，n＞0），得到m+n＝6，继而得到四边形周长即可． 【解答】解：设一次函数解析式为y＝kx+b，由图象可知一次函数图象过（0，6），（6，0）， ，解得， ∴一次函数解析式为y＝﹣x+6， 设点P（m，n）（m＞0，n＞0）， 由解析式可知：m+n＝6， ∴四边形PDOC的周长是2（m+n）＝2×6＝12． 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键． 10．（3分）老师利用两块大小一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按照图①方式放置，再交换两木块儿的位置，按照图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（　　） A．77cm B．78cm C．79cm D．80cm 【答案】B 【分析】设桌子的高度是x cm，结合图形列出方程组，解方程组得到答案． 【解答】解：设桌子的高度是x cm，长方体木块的长是a cm，宽是b cm， 由题意得， 解得：x＝78， ∴桌子的高度是78cm， 故选：B． 【点评】本题考查的是二元一次方程组的应用，正确找出等量关系、列出方程组是解题的关键． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分 11．（3分）平面直角坐标系中，若点P（2024﹣m，2024m）在x轴上，则m的值为 　0　． 【答案】0． 【分析】根据点在x轴上的点的坐标特征即可得出答案． 【解答】解：∵点P（2024﹣m，2024m）在x轴上， ∴2024m＝0， ∴m＝0． 故答案为：0． 【点评】本题主要考查点的坐标，熟练掌握点的坐标特征是解题的关键． 12．（3分）小青坐在教室的第4列第3行，用（4，3）表示，小明坐在教室的第20列第24行应当表示为 　（20，24）　． 【答案】（20，24）． 【分析】根据小青坐在教室的第4列第3行，用（4，3）表示，可以表示出小明所在的位置． 【解答】解：∵小青坐在教室的第4列第3行，用（4，3）表示， ∴小明坐在教室的第20列第24行应当表示为（20，24）， 故答案为：（20，24）． 【点评】本题考查坐标确定位置，解答本题的关键是明确题意，表示出相应的有序数对． 13．（3分）点（﹣1，y1）、（2，y2）是直线y＝5x+32024上的两点，则y1　＜　y2（填“＞”或“＝”或“＜”）． 【答案】＜． 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征解答即可． 【解答】解：∵一次函数k＝5＞0， ∴y随x的增大而增大， ∵﹣1＜2， ∴y1＜y2． 故答案为：＜． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键． 14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，现将△ABC沿BD进行翻折，使点A刚好落在BC上，则CD＝ 　5　． 【答案】5． 【分析】设CD＝x，则AD＝8﹣x，先根据勾股定理计算出BC＝10，再根据折叠的性质得到∠BA′D＝∠A＝90°，DA′＝DA＝8﹣x，BA′＝BA＝6，所以CA′＝4，然后在Rt△CDA′中利用勾股定理得到（8﹣x）2+42＝x2，于是解方程可得CD的长． 【解答】解：设CD＝x，则AD＝8﹣x， ∵∠A＝90°，AB＝6，AC＝8， ∴BC10， ∵△ABC沿BD进行翻折，使点A刚好落在BC上， ∴∠BA′D＝∠A＝90°，DA′＝DA＝8﹣x，BA′＝BA＝6， ∴CA′＝BC﹣BA′＝10﹣6＝4， 在Rt△CDA′中，（8﹣x）2+42＝x2， 解得x＝5， 即CD的长为5． 故答案为：5． 【点评】本题考查了折叠的性质：解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数． 15．（3分）如图，直线y＝kx（k≠0）与交于点A，交x轴、y轴分别于B，C两点．若S△ABO：S△ACO＝1：2，则方程组的解为 　　． 【答案】． 【分析】方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．设点A坐标为（a，b），先求得B（，0），C（0，3），根据三角形的面积公式结合已知求得a＝﹣3b，则A（﹣3b，b），进而求得A（﹣3，1）即可． 【解答】解：设点A坐标为（a，b）， 在直线yx+3中， 当x＝0时，y＝3，则C（0，3）， 当y＝0时，x，则B（，0）， ∵S△ABO：S△ACO＝1：2， ∴， ∴a＝﹣3b，则A（﹣3b，b）， 将A（﹣3b，b）代入yx+3中，得，则A（﹣3，1）， ∴方程组的解为． 故答案为：． 【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）的关系，熟练掌握该知识点是关键． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16．（7分）解方程组． 【答案】见试题解答内容 【分析】方程组利用加减消元法求出解即可． 【解答】解：①+②×2得：7x＝70， 解得：x＝10， 把x＝10代入①得：y＝1， 则方程组的解为． 【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 17．（7分）如图，△ABC中，D是BC延长线上一点，满足CD＝AB，过点C作 CE∥AB且CE＝BC，连接DE并延长，分别交AC、AB于点F、G． （1）求证：△ABC≌△DCE； （2）若∠B＝60°，∠D＝22°，求∠AFG的度数． 【答案】（1）证明见解答内容； （2）76°． 【分析】（1）根据CE∥AB可得∠B＝∠DCE，由SAS定理可得结论； （2）利用全等三角形的性质定理可得∠ECD＝∠B＝60°，∠A＝∠D＝22°，由平行线的性质定理易得∠ACE＝∠A＝22°，由三角形的内角和定理和外角的性质可得结果． 【解答】（1）证明：∵CE∥AB， ∴∠B＝∠DCE， 在△ABC与△DCE中， ， ∴△ABC≌△DCE（SAS）； （2）解：∵△ABC≌△DCE，∠B＝60°，∠D＝22°， ∴∠ECD＝∠B＝60°，∠A＝∠D＝22°， ∵CE∥AB， ∴∠ACE＝∠A＝22°， ∵∠CED＝180°﹣∠D﹣∠ECD＝180°﹣22°﹣60°＝98°， ∴∠AFG＝∠DFC＝∠CED﹣∠ACE＝98°﹣22°＝76°． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定定理及性质定理，平行线的性质定理，外角的性质等，熟记定理是解答此题的关键． 18．（7分）如图，已知△ABC的三个顶点都是格点，△ABC与△A1B1C1关于x轴对称，A，B，C的对应点分别是A1，B1，C1． （1）在图中画出△A1B1C1； （2）填空：点C1的坐标是 　（3，1）　； （3）点D是y轴上一个动点，当AD+DB最小时，在图中标记此时点D的位置．（保留作图痕迹） 【答案】（1）见解析； （2）（3，1）； （3）见解析． 【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可； （2）根据点C1的位置写出坐标即可； （3）作点A关于y轴的对称点A′，连接BA′交y轴于点D，连接AD，点D即为所求． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求； （2）点C1的坐标是（3.1）． 故答案为：（3，1）； （3）如图，点D即为所求． 【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19．（9分）在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝3千米，CH＝2.4千米，HB＝1.8千米． （1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？（即问：CH与AB是否垂直？）请通过计算加以说明； （2）求原来的路线AC的长． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理解答即可； （2）根据勾股定理解答即可． 【解答】解：（1）是， 理由是：在△CHB中， ∵CH2+BH2＝（2.4）2+（1.8）2＝9 BC2＝9 ∴CH2+BH2＝BC2 ∴CH⊥AB， 所以CH是从村庄C到河边的最近路 （2）设AC＝x 在Rt△ACH中，由已知得AC＝x，AH＝x﹣1.8，CH＝2.4 由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2 ∴x2＝（x﹣1.8）2+（2.4）2 解这个方程，得x＝2.5， 答：原来的路线AC的长为2.5千米． 【点评】此题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理的逆定理和定理解答． 20．（9分）某校组织慈善爱心捐款活动，图①是各年级捐款人数占总捐款人数的百分比，图②是对部分学生捐款金额的随机抽样调查． 根据以上信息，解答下列问题： （1）在随机抽取的样本中，捐款金额的中位数为 　15　，众数为 　15　； （2）求随机抽样调查的学生捐款金额的平均数； （3）已知该校九年级共有200人捐款，请你估计全校捐款的总金额为多少元？ 【答案】（1）15，15； （2）14.5； （3）7250元． 【分析】（1）根据中位数、众数定义即可得出答案； （2）根据加权平均数的公式计算即可求解； （3）由图1知：九年级捐款人数占总捐款人数的百分比为40%，从而求出全校捐款人数，用这个捐款人数乘以捐款平均数即可求得答案． 【解答】解：（1）人数为4+8+16+12＝40（人）， 第20和第21个数分别为15，15， ∴中位数为15， ∵捐款15元的人数最多， ∴众数为15； 故答案为：15，15； （2）14.5（元）， 答：随机抽样调查的学生捐款金额的平均数为14.5元； （3）由图1知：九年级捐款人数占总捐款人数的百分比为1﹣28%﹣32%＝40%， ∵九年级共有200人捐款， ∴全校人数为200÷40%＝500（人）， ∴估计全校捐款的总金额为500×14.5＝7250（元）． 答：估计全校捐款的总金额为7250元． 【点评】本题考查条形统计图与扇形统计图、中位数、众数、平均数与样本估计总体，能够从不同的统计图中获取有用信息是解题关键． 21．（9分）某商场计划购进A，B两种服装共100件，这两种服装的进价、售价如表所示： 价格类型 进价（元/件） 售价（元/件） A 30 50 B 50 75 （1）若商场预计用3400元进货，则这两种服装各购进多少件？ （2）若商场规定A种服装进货不少于50件，应该怎样进货才能使商场销售完这批货时获利最多？此时利润为多少元？ 【答案】（1）A服装购进80件，B服装购进20件； （2）A服装购进50件，B服装购进50件才能使商场销售完这批货时获利最多，此时利润为2250元． 【分析】（1）根据A服装的总进价+B服装的总进价＝3400列方程求解即可； （2）设商场销售完这批货利润为y元，A服装购进x件，则y＝A服装的利润+B服装的利润，进而根据一次函数的比例系数及自变量的取值范围求得怎样进货才能使商场销售完这批货时获利最多以及此时利润． 【解答】解：（1）A服装购进x件，则B服装购进（100﹣x）件， 30x+50（100﹣x）＝3400， 30x+5000﹣50x＝3400， x＝80， ∴100﹣x＝20， 答：A服装购进80件，B服装购进20件； （2）设商场销售完这批货利润为y元，A服装购进x件， y＝（50﹣30）x+（75﹣50）（100﹣x） ＝20x﹣25x+2500 ＝﹣5x+2500， ∵﹣5＜0， ∴y随x的增大而减小， ∵x≥50， ∴x＝50时，y最大，y最大＝2250， ∴100﹣x＝50． 答：A服装购进50件，B服装购进50件才能使商场销售完这批货时获利最多，此时利润为2250元． 【点评】本题考查一次函数的应用．根据题意得到能解决问题的相等关系是解决本题的关键． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22．（13分）【发现问题】 如图①，小明同学在做光的折射实验时发现：平行于主光轴MN的光线AB和CD经过凹透镜的折射后，折射光线BE，DF的反向延长线交于主光轴MN上一点P． 【提出问题】 小明提出：∠BPD，∠ABP和∠CDP三个角之间存在着怎样的数量关系？ 【分析问题】 已知平行，可以利用平行线的性质，把∠BPD分成两部分进行研究． 【解决问题】 探究一：请你帮小明解决这个问题，并说明理由． 探究二：如图②，∠P，∠AMP，∠CNP的数量关系为 　∠AMP＝∠P+∠CNP　；如图③，已知∠ABC＝25°，∠C＝60°，AE∥CD，则∠BAE＝ 　145　°（不需要写解答过程） 利用探究一得到的结论解决下列问题： 如图④，射线ME，NF分别平分∠BMP和∠CNP，ME交直线CD于点E，NF与∠AMP内部的一条射线MF交于点F，若∠P＝2∠F，求∠FME的度数． 【答案】探究一：∠BPD＝∠ABP+∠CDP，理由见解析； 探究二：∠AMP＝∠P+∠CNP，145，90°． 【分析】探究一：由平行线的性质推出∠BPN＝∠ABP，∠DPN＝∠CDP，得到∠BPN+∠DPN＝∠ABP+∠CDP，即可解决问题； 探究二：如图②，由平行线的性质推出∠MKP＝∠CNP，由三角形外角的性质即可得到∠AMP＝∠P+∠CNP； 如图③，由平行线的性质推出∠ALC＝∠C＝60°，求出∠ALB＝180°﹣∠ALC＝120°，由三角形外角的性质得到∠BAE＝∠B+∠ALB＝145°； 如图④，由探究一的结论得到∠P＝∠AMF+∠PMF+∠CNF+∠PNF，∠F＝∠AMF+∠CNF，而∠P＝2∠F，推出∠PMF∠AMP，又∠PME∠PMB，得到∠FME∠AMB＝90°． 【解答】解：探究一：∠BPD＝∠ABP+∠CDP，理由如下： 如图①， ∵AB∥MN∥CD， ∴∠BPN＝∠ABP，∠DPN＝∠CDP， ∴∠BPN+∠DPN＝∠ABP+∠CDP， ∴∠BPD＝∠ABP+∠CDP． 探究二：如图②， ∠AMP＝∠P+∠CNP，理由如下： ∵AB∥CD， ∴∠MKP＝∠CNP， ∵∠AMP＝∠P+∠MKP， ∴∠AMP＝∠P+∠CNP． 如图③，延长EA交BC于L， ∵AE∥CD， ∴∠ALC＝∠C＝60°， ∴∠ALB＝180°﹣∠ALC＝120°， ∴∠BAE＝∠B+∠ALB＝25°+120°＝145°． 故答案为：∠AMP＝∠P+∠CNP，145． ∵射线ME，NF分别平分∠BMP和∠CNP， ∴∠PME∠PMB，∠CNF＝∠PNF， 如图④， 由探究一的结论得：∠P＝∠AMF+∠PMF+∠CNF+∠PNF，∠F＝∠AMF+∠CNF， ∵∠P＝2∠F， ∴∠AMF+∠PMF+∠CNF+∠PNF＝2∠AMF+2∠CNF， ∵∠CNF＝∠PNF， ∴∠AMF+∠PMF＝2∠AMF， ∴∠PMF＝∠AMF∠AMP， ∴∠PMF+∠PME（∠AMP+∠PMB）， ∴∠FME∠AMB180°＝90°． 【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠BPD＝∠ABP+∠CDP，由此结论来解决问题． 23．（14分）如图（1），在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x+b交坐标轴于A，B两点，过点C（0，﹣3）作直线CD交AB于点E，交x轴于点D，且△AOB≌△COD，点E坐标（m，）． （1）点B的坐标为 　（0，9）　，线段OA的长为 　3　； （2）求直线CD的表达式及点E的坐标； （3）如图（2），点M是线段CE上一动点（不与点C，E重合），ON⊥OM，ON交AB于点N，连结MN． ①在点M移动过程中，线段OM与ON满足怎样的数量关系？并证明； ②求点M移动过程中△EMN面积的最大值． 【答案】（1）3，（0，9）； （2）直线CD解析式为yx﹣3；E（，）； （3）①证明见解答过程； ②△EMN面积的最大值为． 【分析】（1）由△AOB≌△COD，C（0，﹣3），可得A（3，0），OA＝3，把A（3，0）代入y＝﹣3x+b得b＝9，故直线AB为y＝﹣3x+9，可得B（0，9）； （2）求出E（，），再用待定系数法可得直线CD解析式为yx﹣3； （3）①证明△BON≌△DOM（ASA）可得OM＝ON； ②设ME＝x，求出BE，DE，得DM＝DE+MEx，故NE＝BE﹣BN（x）x，证明∠BEC＝90°，知S△EMNME•NEx•（x）（x）2，根据二次函数性质可得答案． 【解答】解：（1）∵△AOB≌△COD，C（0，﹣3）， ∴OA＝OC＝3， ∴A（3，0）， 把A（3，0）代入y＝﹣3x+b得： 0＝﹣9+b， 解得b＝9， ∴直线AB为y＝﹣3x+9， 令x＝0得y＝9， ∴B（0，9）； 故答案为：3，（0，9）； （2）把（m，）代入y＝﹣3x+9得： 3m+9， 解得m， ∴E（，）， 设直线CD解析式为y＝kx+b'，把C（0，﹣3），E（，）代入得： ， 解得， ∴直线CD解析式为yx﹣3； （3）①OM＝ON，证明如下： ∵△AOB≌△COD， ∴∠OBN＝∠ODM，OB＝OD， ∵ON⊥OM， ∴∠BON＝90°﹣∠NOA＝∠DOM， ∴△BON≌△DOM（ASA）， ∴OM＝ON； ②如图： 设ME＝x， ∵OB＝OD＝9， ∴D（9，0）， ∵B（0，9），E（，）， ∴BE，DE， ∴DM＝DE+MEx， 由①知△BON≌△DOM（ASA）， ∴BN＝DMx， ∴NE＝BE﹣BN（x）x， ∵∠ABO＝∠CDO，∠CDO+∠OCD＝90°， ∴∠ABO+∠OCD＝90°， ∴∠BEC＝90°， ∴S△EMNME•NEx•（x）（x）2， ∵0， ∴当x时，S△EMN取最大值， ∴△EMN面积的最大值为． 【点评】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，全等三角形判定与性质，二次函数最值等，解题的关键是用含x的代数式表示相关线段的长度． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$