第六章二元一次方程组 单元复习 2024-2025学年冀教版（2024）七年级数学下册

第六章 二元一次方程组 一、选择题： 1.下列方程是二元一次方程的是(    ) A. B. C. D. 2.已知方程组，则的值为(    ) A. B. C. D. 3.若方程组的解与相等．则的值等于(    ) A. B. C. D. 4.已知二元一次方程组的解是，则表示的方程可能是(    ) A. B. C. D. 5.在解二元一次方程组时，用消去未知数后，得到的方程是(    ) A. B. C. D. 6.方程组的解，满足是的倍多，则的值为(    ) A. B. C. D. 7.已知一个长方形，若它的长增加，宽减少，则面积保持不变；若它的长减少，宽增加，则面积仍保持不变．这个长方形的面积为(    ) A. B. C. D. 8.关于、的方程组的解为，则的平方根是(    ) A. B. C. D. 9.用如图中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图的竖式和横式的两种无盖纸盒现在仓库里有张正方形纸板和张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则的值可能是(    ) A. B. C. D. 10.如图，用四个长和宽分别为，的长方形拼成面积是的大正方形，中间围成的小正方形的面积是，(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 二、填空题： 11.方程组的解为          ． 12.二元一次方程组的解为          ． 13.孙子算经中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳五尺；屈绳量之，不足二尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余尺；将绳子对折再量木条，木条剩余尺，问木条长多少尺？”如果设木条长尺，绳子长尺，可列方程组为_______________． 14.已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为__________． 15.满足方程：的正整数有序数对个数为          ． 16.如图是某次校园足球比赛积分榜的部分数据，请探索其中的计分规则，算出队的积分为           17.若方程组的解是，则方程组的解是______． 18.若方程是关于，的二元一次方程，则______． 三、解答题： 19. 选择适当的方法解下列方程组． ； ． 20. 在等式中，当时，；当时，． 求，的值； 当时，求的值． 21. 对于二元一次方程的任意一个解，给出如下定义：若，则称为方程的“和谐值”；若，则称或为方程的“和谐值”，此时的“和谐值”又称为“和谐平衡值”；若，则称为方程的“和谐值”． 当时，此方程的“和谐值”是______，二元一次方程的“和谐平衡值”是______； 若二元一次方程的“和谐值”为，写出所有满足条件的方程的解； 当时，探究方程是否有最小“和谐值”，若有，求出最小“和谐值”，若没有，请说明理由． 22. 已知方程组的解也是关于，的方程的一个解，求的值． 23. 阅读材料并回答下列问题： 当，都是实数，且满足，即为“明德点”． 例如：，令，得，，所以是“明德点”： ，令，得，，所以不是“明德点”． 和是“明德点”的是____； 是“明德点”，求的值； 若关于，的二元一次方程组的解是“明德点”，求的值． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：、该方程中含有个未知数，不是二元一次方程，故本选项错误； B、该方程的最高次数是，属于二元二次方程，故本选项错误； C、该方程中知含有一个未知数，属于一元二次方程，故本选项错误； D、该方程符合二元一次方程的定义，故本选项正确； 故选：． 根据二元一次方程的定义作出判断即可． 本题考查了二元一次方程的定义．二元一次方程必须符合以下三个条件：方程中只含有个未知数；含未知数项的最高次数为一次；方程是整式方程． 2.【答案】  【解析】【分析】两式相加即可求出答案． 【详解】两式相加得：， 故选A． 本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法，本题属于基础题型． 3.【答案】  【解析】【分析】 本题的实质是解三元一次方程组，用加减法或代入法来解答． 理解清楚题意，运用三元一次方程组的知识，解出的数值． 【解答】 解：根据题意得： 把代入解得：，， ， 代入得：， 解得：． 故选C． 4.【答案】  【解析】解：二元一次方程组的解是， ， ， ， ，，，； 故表示的方程可能是； 故选：． 根据方程组的解使方程组中的每一个方程都成立，求出的值，再将方程组的解分别代入各个选项中，进行判断即可． 本题考查二元一次方程组的解，理解方程组的解是本题的关键． 5.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查的是加减消元法解二元一次方程组的有关知识，将两个方程相减求解即可． 【解答】 解： 得 6.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查二元一次方程组的解法，二元一次方程组的解． 将，得以消去参数由是的倍多，得然后，可用代入消元法求得、，便可代入求得值． 【解答】 解：将记作式，记作式． ，得． ． 又是的倍多， ． ． ． ． ． 7.【答案】  【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系．可利用面积相等列方程组，求出，的值，进而求出长方形的面积． 【详解】解：设这个长方形的长为，宽为，由题意，得， 解得 ， 故选D． 8.【答案】  【解析】解：把代入中得，， 解得， 把代入中得，， 解得， ， 的平方根是， 的平方根是， 故选：． 把分别代入方程组中的每一个方程，即可求出，的值，从而求出的平方根． 本题考查的是二元一次方程组的解和平方根，解题时将方程组的解代入原方程组中，求出，的值是解题的关键． 9.【答案】  【解析】解：设做竖式和横式的两种无盖纸盒分别为个，个，根据题意得， 两式相加得，， 、都是正整数， 是的倍数， 、、、四个数中只有是的倍数， 的值可能是． 故选：． 设做竖式和横式的两种无盖纸盒分别为个，个，然后根据所需长方形纸板和正方形纸板的张数列出方程组，再根据、的系数表示出并判断为的倍数，然后选择答案即可． 本题考查了二元一次方程组的应用，根据系数的特点，观察出所需两种纸板的张数的和正好是的倍数是解题的关键，也是解题的突破口． 10.【答案】  【解析】解：根据大正方形的面积求得该正方形的边长是，则， 若，则根据小正方形的面积可以求得该正方形的边长是，则， 解得，，则，故选项A、D错误； 若，则根据小正方形的面积可以求得该正方形的边长是，则， 解得，，，故选项B错误；故选项C正确． 故选：． 能够根据大正方形和小正方形的面积分别求得正方形的边长，再根据其边长分别列方程，求出，的值，即可做出判断． 本题考查了二元一次方程组的应用．此题关键是能够结合图形和图形的面积公式正确分析，运用排除法进行选择． 11.【答案】  【解析】【分析】 先用加减消元法求出的值，再用代入消元法求出的值即可． 【解答】 解： 得，， 解得，把代入得，， 解得， 故此方程组的解为． 故答案为：． 12.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了解二元一次方程组，解二元一次方程组的基本思路是消元，将二元方程转化为一元方程是解题的关键． 根据代入消元法求解即可得出答案． 【解答】 解：， 由得：， 将代入得：， 解得：， 将代入得：， 原方程组的解为． 故答案为：． 13.【答案】  【解析】【分析】用一根绳子去量一根木条，绳子剩余尺可知：绳子比木条长尺得：；绳子对折再量木条，木条剩余尺可知：绳子对折后比木条短尺得：；从而可得答案． 【详解】解：由题意可得方程组为： 故答案为： 本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键． 14.【答案】  【解析】【分析】根据原方程组得：，得出，根据，得出，求出的值即可． 【详解】解： 得：， 即， ， ， 解得：， 故答案为：． 本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程的方法，得出． 15.【答案】  【解析】本题主要考查了非一次不定方程的知识点，解答本题的关键是求出的取值范围．化简方程，根据题意得出，，分别代值求解即可； 【详解】解：不定方程， ， ， 由题意可知， 当时，， 当时，， 当时，不是整数， 当时，， 当时，不是整数， 当时，不是整数， 当时，不是整数， 当时，． 故方程：的正整数有序数对为：，，，，共个． 故答案为：． 16.【答案】  17.【答案】  【解析】解：， ， 整理得， 方程组的解是， ， 解得． 故答案为：． 将所求方程组整理成，由方程组的解是，得到，据此求解即可． 本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解等知识，解题的关键是理解二元一次方程组解的定义． 18.【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查了二元一次方程的定义，关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：首先是整式方程．方程中共含有两个未知数．所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．根据二元一次方程的定义“含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是，像这样的方程叫做二元一次方程”可得，，再解即可． 【解答】 解：方程是关于，的二元一次方程， ，， ，， 则． 故答案为：． 19.【答案】解：， 由，得， 将代入，得， 解得， 将代入，得， 故原方程组的解为； 将原方程组整理，得， ，得， 把代入，得， 故原方程组的解为．  【解析】方程组利用代入消元法求解即可； 方程组整理后，利用加减消元法求解即可． 本题考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法和代入消元法是解答本题的关键． 20.【答案】解：根据题意可得：， 解得：，； 因为，， 所以， 所以当时，， 解得：．  【解析】把已知的数据代入等式可得关于、的方程组，解方程组即可； 把代入的等式中求解即可． 本题考查了二元一次方程组的解法，正确理解题意、得出关于、的方程组是解题的关键． 21.【答案】  或  【解析】解：由题意，当时，即， ． ． ． 当时，此方程的“和谐值”是； 由题意，当二元一次方程存在“和谐平衡值”时，， ． ． 当时，， ． ． 此时二元一次方程的“和谐平衡值”是． 当时，， ，． ． 此时二元一次方程的“和谐平衡值”是． 综上，二元一次方程的“和谐平衡值”是或． 故答案为：；或． 由题意，当时，即，解得， 又， 是方程的“和谐值”，符合题意；此时方程的解为． 当时，即，解得， 又， 是方程的“和谐值”，符合题意；此时方程的解为． 当时，即，解得， 又， 是方程的“和谐值”，不符合题意； 当，即，解得， 又， 是方程的“和谐值”，不符合题意． 综上所述，所有满足条件的方程的解为，． 当时， ． ， ，． ，， 又， ． 当时，，即， 此时方程的“和谐值”为． 当时，，即， 此时方程的“和谐值”为，此时． 方程最小“和谐值”为． 依据题意，当时，即，可得，从而，进而可以判断得解；当二元一次方程存在“和谐平衡值”时，，即，则，从而分两种情形分析计算可以得解； 依据题意，结合二元一次方程的“和谐值”为，可分、、和四种情况讨论分析，进而计算可以得解； 依据题意，当时，可得，再结合，可得，，及，从而分和进行分析判断可以得解． 本题主要考查了二元一次方程的解、绝对值，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 22.【答案】解：方程组， 把代入得：， 解得：， 把，代入中， 解得：， 把，代入方程得，， 解得：．  【解析】此题考查了解二元一次方程组，以及二元一次方程的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．求出方程组的解得到与的值，代入方程计算即可求出的值． 23.【答案】解：； 根据题意可得：， 解得， ， ，解得， 方程组的解为， 点是“明德点”， ， 解得， ， ，解得， 的值是．  【解析】【分析】 本题考查新定义，解二元一次方程组有关知识． 根据“明德点”的定义分别判断即可； 直接利用“明德点”的定义得出的值再求出点的坐标进而得出答案； 直接利用“明德点”的定义得出的值进而得出答案． 【解答】 解： 令 解得： ，则不是“明德点； ， 令 解得： ，则是“明德点． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$