精品解析：北京市第八中学2024-2025学年高一上学期期末数学试题

2024－2025学年度第一学期期末练习题 年级：高一科目：数学 考试时间120分钟，满分150分 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1. 已知集合，则= A. B. C. D. 2. 若命题，都有，则为（ ） A ，都有； B ，使得； C. ，都有； D. ，使得； 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 某赛季甲、乙两名篮球运动员5场比赛得分的茎叶图如图所示，已知甲得分的极差为32，乙得分的平均值为24，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. 乙得分的中位数为26 D. 乙得分的方差小于甲得分的方差 5. 函数的定义域为，函数的值域为，则“”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知正数，满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 在同一个坐标系中，函数的部分图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 已知中，分别为边中点，且，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知是平面内两两互不相等的向量，满足，且（其中，则的最大值是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） 11. 已知向量．若与共线，则________. 12. 若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是_____． 13. 已知事件相互独立，的对立事件为，若，则同时发生的概率为______，两个事件至少有一个发生的概率为______. 14. 已知函数，若，则实数的取值范围______. 15. 设函数 ①若，则的最小值为 ； ②若恰有2个零点，则实数的取值范围是 ． 三、解答题（共6题，满分85分） 16. 如图，在平行四边形中，对角线相交于点，设. （1）以为基底表示和； （2）将平行四边形放到平面直角坐标系中，若点，且与共线，求实数的值. 17. 甲乙两人独立的掷一枚质地均匀的骰子，骰子向上的点数可能是中的某一个数，设甲掷出的点数为，乙掷出的点数为，求： （1）求为奇数的概率； （2）求的概率； （3）若甲乙两人各掷出骰子5次，的值依次为：；的值依次为：1，3，4，6，5；试比较两组数据的均值和方差的大小（直接写出结论，不必写过程） 18. 某公司为了解用户对其产品的满意程度，从A地区随机抽取了400名用户，从B地区随机抽取了100名用户，请用户根据满意程度对该公司产品评分.该公司将收集到的数据按照［20，40），［40，60），［60，80），［80，100］分组，绘制成评分频率分布直方图如下： （1）为了更进一步了解A地区用户不满意原因，将A地区抽取的400名用户作为一个总体，按照评分再用分层抽样的方法抽取40人进行面对面交流，那么应从评分在内的用户中抽取几人？ （2）从B地区随机抽取两名用户，且这两名用户评分独立，以频率估计概率，求这两名用户的评分恰好一个大于60分，另一个小于60分的概率； （3）根据频率分布直方图，假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计A地区抽取的400名用户对该公司产品的评分的平均值为，地区抽取的100名用户对该公司产品的评分的平均值为，以及两个地区抽取的500名用户对该公司产品的评分的平均值为，试比较和的大小.（结论不要求证明） 19. 已知函数的图象关于原点对称，其中a为常数． （1）求a的值； （2）当时，恒成立，求实数k取值范围． 20. 已知函数（）在区间上有最大值4和最小值1.设. （1）求，的值； （2）若不等式在上有解，求实数的取值范围. 21. 在平面直角坐标系中，为坐标原点．对任意的点，定义．任取点，，记，，若此时成立，则称点，相关． （1）分别判断下面各组中两点是否相关，并说明理由； ①，；②，． （2）给定，，点集． （）求集合中与点相关的点的个数； （）若，且对于任意的，，点，相关，求中元素个数的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度第一学期期末练习题 年级：高一科目：数学 考试时间120分钟，满分150分 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1. 已知集合，则= A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题． 【详解】由题意得，，则 ．故选C． 【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分． 2. 若命题，都有，则为（ ） A ，都有； B. ，使得； C. ，都有； D. ，使得； 【答案】D 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定直接判断即可. 【详解】命题，都有是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以为：，使得. 故选：D 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数的性质比较大小. 【详解】依题意，， 所以. 故选：A 4. 某赛季甲、乙两名篮球运动员5场比赛得分的茎叶图如图所示，已知甲得分的极差为32，乙得分的平均值为24，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. 乙得分的中位数为26 D. 乙得分的方差小于甲得分的方差 【答案】B 【解析】 【分析】由甲得分的极差求出判断A；由乙得分的平均值求出判断B；将乙得分数据从小到大排列求得中位数判断C；由数据的集中程度判断D. 【详解】对于A，甲得分的极差为，最小值为，最大值为，即，A正确； 对于B，乙得分的平均值为，，解得，即，B错误； 对于C，乙得分为，，，，，中位数为，C正确； 对于D，乙数据分布相对甲数据集中，则乙得分的方差小于甲得分的方差，D正确. 故选：B 5. 函数的定义域为，函数的值域为，则“”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数定义域及值域化简集合，再利用充分条件、必要条件的定义判断得解. 【详解】函数中，，即，解得，即， 函数的值域，集合是集合的真子集， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 6. 已知正数，满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据，展开根据基本不等式求解即可. 【详解】由题意， ，当且仅当，即时取等号. 故选：B 7. 在同一个坐标系中，函数的部分图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数、对数函数和幂函数的图象与性质，结合排除法即可求解. 【详解】因为在同一坐标系中， 所以的单调性一定相反，且图象均不过原点，故排除AD； 在BC选项中，过原点的图象为幂函数的图象， 由图象可知，所以单调递减，单调递增，故排除B， 故选：C. 8. 已知中，分别为边的中点，且，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算求解即得. 【详解】在中，分别为边的中点， 由，得，即，则， 而，所以. 故选：C 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，利用作差法结合的单调性即可得到答案. 【详解】设，则为增函数，因为 所以， 所以，所以. ， 当时，，此时，有 当时，，此时，有，所以C、D错误. 故选：B. 【点晴】本题主要考查函数与方程的综合应用，涉及到构造函数，利用函数的单调性比较大小，是一道中档题. 10. 已知是平面内两两互不相等的向量，满足，且（其中，则的最大值是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件不妨设，，，这样由模的几何意义可得满足的点所在曲线，满足的点所在曲线，两曲线的公共点即为所求，由此可得结论． 【详解】根据条件不妨设，，， ，当，表示圆心为原点，半径为1的圆； ，表示圆心为原点，半径为2的圆，如图这两个圆用实线表示； 当，表示圆心为，半径为1的圆； ，表示圆心为，半径为2的圆，如图这两个圆用虚线表示， 由条件可知点既要在实线曲线上，又要在虚线曲线上，由图象可知，共有6个交点，即是最大值是6． 故选：B. 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） 11. 已知向量．若与共线，则________. 【答案】1 【解析】 【分析】先由坐标计算出，再利用向量共线的坐标表示求解即可. 【详解】由题意可得， 因为与共线，所以. 故答案为：1. 12. 若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的性质，然后判断函数的单调性，利用分类讨论思想进行求解即可． 【详解】解：因为定义在的奇函数在单调递减，且， 所以在上单调递减，且，如下图为大致图象： 所以当或时，；当或时，， 由得或，解得或， 所以的取值范围是． 故答案为：. 13. 已知事件相互独立，的对立事件为，若，则同时发生的概率为______，两个事件至少有一个发生的概率为______. 【答案】 ① ②. 【解析】 【分析】根据独立事件和对立事件概率公式，先求出，再分别计算、同时发生的概率以及、至少有一个发生的概率. 【详解】已知，可得. 因为事件、相互独立，，已知，，所以. 根据公式， ，，，则. 故答案为：；. 14. 已知函数，若，则实数的取值范围______. 【答案】或 【解析】 【分析】求出函数的单调区间及单调性，再利用单调性解不等式. 【详解】函数的定义域为，函数在上都递增， 因此函数在上单调递增，由， 则，解得或， 所以实数的取值范围是或. 故答案为：或 15. 设函数 ①若，则的最小值为 ； ②若恰有2个零点，则实数取值范围是 ． 【答案】(1)-1，(2)或. 【解析】 【详解】①时，，函数在上为增函数且，函数在为减函数，在为增函数，当时，取得最小值为-1； （2）①若函数在时与轴有一个交点，则， ，则，函数与轴有一个交点，所以； ②若函数与轴有无交点，则函数与轴有两个交点，当时与轴有无交点，在与轴有无交点，不合题意；当当时与轴有无交点，与轴有两个交点，和，由于，两交点横坐标均满足；综上所述的取值范围或. 考点：本题考点为函数的有关性质，涉及函数图象、函数的最值，函数的零点、分类讨论思想解题.利用函数图象研究函数的单调性，求出函数的最值，涉计参数问题，针对参数进行分类讨论. 三、解答题（共6题，满分85分） 16. 如图，在平行四边形中，对角线相交于点，设. （1）以为基底表示和； （2）将平行四边形放到平面直角坐标系中，若点，且与共线，求实数的值. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用向量线性运算，结合几何图形求得结果. （2）利用向量坐标表示及共线向量的坐标表示列式求解. 【小问1详解】 在中，对角线相交于点，则； 由，得. 【小问2详解】 由，得， 由与共线，得，所以. 17. 甲乙两人独立的掷一枚质地均匀的骰子，骰子向上的点数可能是中的某一个数，设甲掷出的点数为，乙掷出的点数为，求： （1）求为奇数的概率； （2）求的概率； （3）若甲乙两人各掷出骰子5次，的值依次为：；的值依次为：1，3，4，6，5；试比较两组数据的均值和方差的大小（直接写出结论，不必写过程） 【答案】（1）； （2）； （3），方差相等. 【解析】 【分析】（1）利用古典概率直接求出概率. （2）利用列举法及古典概率求出概率. （3）求出平均数与方差，进而比较大小. 【小问1详解】 甲掷出的点数共有6个不同结果，其中为奇数的结果有3个， 所以为奇数的概率为. 小问2详解】 甲乙掷出的结果有：， ， ，36个， 其中的事件含有，6个， 所以的概率为. 【小问3详解】 ，，因此； 值的方差， 值的方差， 所以值的方差与值的方差相等. 18. 某公司为了解用户对其产品的满意程度，从A地区随机抽取了400名用户，从B地区随机抽取了100名用户，请用户根据满意程度对该公司产品评分.该公司将收集到的数据按照［20，40），［40，60），［60，80），［80，100］分组，绘制成评分频率分布直方图如下： （1）为了更进一步了解A地区用户的不满意原因，将A地区抽取的400名用户作为一个总体，按照评分再用分层抽样的方法抽取40人进行面对面交流，那么应从评分在内的用户中抽取几人？ （2）从B地区随机抽取两名用户，且这两名用户评分独立，以频率估计概率，求这两名用户的评分恰好一个大于60分，另一个小于60分的概率； （3）根据频率分布直方图，假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计A地区抽取的400名用户对该公司产品的评分的平均值为，地区抽取的100名用户对该公司产品的评分的平均值为，以及两个地区抽取的500名用户对该公司产品的评分的平均值为，试比较和的大小.（结论不要求证明） 【答案】（1）4 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图及分层抽样的概念求解； （2）利用频率分布直方图求概率，再结合独立事件概率乘积公式计算求解； （3）利用频率分布直方图，结合平均数的公式求解. 【小问1详解】 由频率分布直方图及分层抽样的概念得： 应从评分在内的用户中抽取的人数为：； 【小问2详解】 由频率分布直方图得： B地区用户对该公司产品的评分小于60分的概率为：， B地区用户对该公司产品的评分大于60分的概率为：， 设这两名用户的评分恰好一个大于60分，另一个小于60分为事件A， 则； 【小问3详解】 ， ， 所以 ，， 则. 19. 已知函数的图象关于原点对称，其中a为常数． （1）求a的值； （2）当时，恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据得到方程，求出，检验，舍去，时满足要求； （2）变形得到，根据函数单调性求出的最大值，从而得到. 【小问1详解】 函数的图象关于原点对称， 则函数为奇函数，有， 即，解得， 当时，，不满足真数大于0，不满足题意， 当时，满足要求， 故； 【小问2详解】 由，得，即， 令，易知在上单调递减， 则的最大值为．又当时，恒成立， 即在恒成立，所以． 20. 已知函数（）在区间上有最大值4和最小值1.设. （1）求，的值； （2）若不等式在上有解，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求函数的对称轴，利用二次函数的性质判断函数在区间上的单调性，利用最值求参数a和b； （2）将原不等式转化为求函数的最值. 【小问1详解】 的对称轴为，因为， 所以在区间上的单调递增， 所以，， 解得，. 【小问2详解】 ，， 因为不等式在上有解，令， 则在上有解，代入得，即， 令，则在上有解， 因为在处取得最大值1，所以，实数的取值范围. 【点睛】（1）判断二次函数的对称轴，进而判断单调性，求最值； （2）换元，分参，将原不等式转化为求函数的最值. 21. 在平面直角坐标系中，为坐标原点．对任意的点，定义．任取点，，记，，若此时成立，则称点，相关． （1）分别判断下面各组中两点是否相关，并说明理由； ①，；②，． （2）给定，，点集． （）求集合中与点相关的点的个数； （）若，且对于任意的，，点，相关，求中元素个数的最大值． 【答案】（1）①相关；②不相关.（2）（）个（）. 【解析】 【分析】（1）根据所给定义，代入不等式化简变形可得对应坐标满足的关系，即可判断所给两个点的坐标是否符合定义要求. （2）（）根据所给点集，依次判断在四个象限内满足的点个数，坐标轴上及原点的个数，即可求得集合中与点相关的点的个数；（）由（1）可知相关点满足，利用分类讨论证明，即可求得中元素个数的最大值． 【详解】若点，相关，则，，而， 不妨设， 则由定义可知， 化简变形可得， （1）对于①，；对应坐标取绝对值，代入可知成立，因此相关； ②对应坐标取绝对值，代入可知，因此不相关. （2）（）在第一象限内，，可知且，有个点；同理可知，在第二象限、第三象限、第四象限也各有个点. 在轴正半轴上，点满足条件；在轴负半轴上，点满足条件； 在轴正半轴上，点满足条件；在轴负半轴上，点满足条件； 原点满足条件； 因此集合中共有个点与点相关. （）若两个不同的点，相关，其中，，，， 可知. 下面证明. 若，则，成立； 若，则， 若，则，亦成立. 由于， 因此最多有个点两两相关，其中最多有个点在第一象限；最少有1个点在坐标轴正半轴上，一个点为原点. 因此中元素个数的最大值为. 【点睛】本题考查了集合中新定义的应用，对题意的理解与分析能力的要求较高，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $