专题07 实数运算的综合（压轴题常考题型专练）2024-2025学年人教版（2024）数学七年级下册

专题07 实数运算的综合 （压轴题常考题型专练） 【知识考点 实数】 【题型梳理】 【题型1】 利用平方根、立方根的定义解方程 【题型2】 实数的混合运算 【题型3】 算术平方根的整数部分和小数部分 【题型4】 实数中的综合 【题型1】 利用平方根、立方根的定义解方程 1．（2023-2024七年级下·云南曲靖·期末）方程中的x值等于 ． 【答案】或3 【分析】先对原方程变形，然后运用平方根的定义即可解答． 【解答】解： 或 或3． 故答案为或3． 【点评】本题主要考查了利用平方根的定义解方程，掌握平方根的定义是解答本题的关键． 2．（2023-2024七年级下·贵州黔南·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）先将方程整理为，再利用平方根解方程即可得； （2）先将方程整理为，再利用平方根解方程即可得． 【解答】（1）， ， ， 或； （2）， ， ， 或， 或． 【点评】本题考查了利用平方根解方程，熟练掌握平方根的性质是解题关键． 3.（2023-2024七年级·江苏盐城·期末）解方程 【答案】 【分析】先将原式通过移项、系数化为1进行变形，再直接开立方运算即可； 【解答】 【点评】本题考查了立方根解方程，解题的关键是注意任何数都有立方根． 4.（2023-2024七年级下·黑龙江七台河·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据求平方根的方法解方程即可； （2）根据求立方根的方法解方程即可． 【解答】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 【点评】本题主要考查了求平方根和求立方根的方法解方程，熟知求平方根和求立方根的方法是解题的关键． 5.（2023-2024七年级下·山东菏泽·期末）已知的算术平方根是，，求，的值． 【答案】或 【分析】首先利用平方根的概念解出x，然后再根据算术平方根的定义，得出，进而得出，最后把的值代入并计算，即可得出结果． 【解答】解：， ， ， ∴或， 又∵的算术平方根是4， ∴， ∴整理，得， ∴当时，， 当时，， ∴，的值为或． 【点评】本题考查了用平方根的概念解方程、算术平方根定义，解本题的关键在正确运用平方根求方程的解．算术平方根：一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数就为的算术平方根；平方根：一般地，如果一个数的平方等于，那么这个数就叫做的平方根． 【题型2】 实数的混合运算 6．（2023-2024七年级下·贵州黔西·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答； （2）先化简各式，然后再进行计算即可解答． 【解答】（1）解： ； （2）解： ． 【点评】本题考查了实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 7．（2023-2024七年级下·宁夏固原·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)7 (2) 【分析】（1）根据含乘方的有理数四则混合运算法则计算即可； （2）根据实数的混合运算法则计算即可． 【解答】（1）解：， ， ， ， ． （2）解：， ， ． 【点评】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算、实数的混合运算等知识点，灵活运用相关运算法则是解答本题的关键． 8．（2023-2024七年级下·河南驻马店·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简绝对值，计算立方根，算术平方根，再计算加减即可得到答案； （2）先计算绝对值，立方根，算术平方根，−1的偶次方，再计算加减即可得到答案. 【解答】（1）原式 （2）原式 【点评】本题考查实数的混合运算，掌握算术平方根、立方根的定义是解题的关键． 9．（2023-2024七年级下·湖北襄阳·期中）计算下列各题． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先计算算术平方根、立方根，再计算实数的加减即可； （2）先化简绝对值、计算算术平方根、立方根，再计算实数的加减即可； （3）先计算算术平方根、立方根，再计算实数的加减即可． 【解答】（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ． 【点评】本题考查了算术平方根与立方根、实数的混合运算、化简绝对值，熟练掌握各运算法则是解题的关键． 10．（2023-2024七年级·浙江·期中）计算 (1) (2)； (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2)10 (3) (4) (5)4 (6) 【分析】（1）根据有理数加法法则解答； （2）先计算乘除法，再计算加减法； （3）根据乘法分配律计算； （4）利用乘法分配律计算； （5）先计算算术平方根及立方根，再计算加减法； （6）先计算乘方，绝对值，化简立方根及算术平方根，再计算加减法． 【解答】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 【点评】此题考查了实数的混合运算，正确掌握实数的混合运算法则及运算顺序是解题的关键． 【题型3】 算术平方根的整数部分和小数部分 11．（2024七年级上·浙江绍兴·期末）实数的整数部分为，小数部分为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了实数的估算，熟练掌握其整数及小数部分的求法是解题的关键． 利用算术平方根的估算可知，，即，，由此即可求得结果． 【解答】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 12．（2023-2024七年级·浙江杭州·期中）已知a是的整数部分，b是的小数部分，则的平方根是（   ） A．3 B．±3 C．5 D．±5 【答案】D． 【分析】本题考查估算无理数大小，平方根，代数式求值．先通过估算无理数求得到a、b值，再代入求出代数式值，然后根据平方根定义求解即可． 【解答】解：∵ ∴ ∵a是的整数部分，b是的小数部分 ∴， ∴ ∴的平方根 故选：D． 13.（2023-2024七年级·河北保定·期中）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用表示的小数部分，事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．已知：，其中是整数，且， ， ． 【答案】 【分析】根据，，且，是整数，可以确定出和的值． 【解答】解：，，且，是整数， ，， 故答案为：，． 【点评】本题考查了无理数的估算，确定无理数的整数部分是解答本题的关键． 14．（2023-2024七年级下·全国·课时练习）阅读下列文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为．请解答： (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)已知的小数部分为a，的小数部分为b，计算a＋b的值； (3)已知（x是整数，且0＜y＜1），（m是实数），求的平方根． 【答案】(1)3， (2) (3)±2 【解答】（1）3   （2）∵，∴． ∴的整数部分为4，小数部分为． ∵，∴． ∴的整数部分为2，小数部分． ∴． （3）∵，其中x是整数，且0＜y＜1，， ∴x＝14，． ∵， ∴m－1≥0，1－m≥0， ∴m只能为1．∴． ∴． ∴的平方根为±2． 15．（2022-2023七年级下·山东济宁·期中）我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题： （1）的小数部分是________，的小数部分是________． （2）若a是的整数部分，b是的小数部分，求的平方根． （3）若，其中x是整数，且，求的值． 【答案】见解析 【分析】（1）确定的整数部分，即可确定它的小数部分；确定的整数部分，即可确定的整数部分，从而确定的小数部分； （2）确定的整数部分，即知a的值，同理可确定的整数部分，从而求得它的小数部分，即b的值，则可以求得代数式+1的值，从而求得其平方根； （3）由得即，从而得x=9，y=，将x、y的值代入原式即可求解． 【解答】（1）解：∵， ∴的整数部分为3， ∴的小数部分为， ∵， ∴， ∴即， ∴的整数部分为1， ∴的小数部分为， 故答案为：，； （2）解：∵，a是的整数部分， ∴a=9， ∵， ∴的整数部分为1， ∵b是的小数部分， ∴， ∴ ∵9的平方根等于， ∴的平方根等于； （3）解：∵， ∴即， ∵，其中x是整数，且， ∴x=9，y=， ∴． 【题型4】 实数中的综合 16．（2022-2023七年级下·安徽亳州·阶段练习）若与是同一个数的平方根，则的值是（   ）． A． B．或1 C．1 D． 【答案】B. 【分析】分两种情况讨论：当与相等，当与互为相反数，再建立方程求解即可. 【解答】解：∵与是同一个数的平方根， 当与相等时，则， 解得：， 当与互为相反数时， ∴， 解得：； 综上：或； 故选B. 17．（2024八年级上·河北保定·期末）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法： ①当输出值y为3时，输入值x为3或9； ②当输入值x为16时，输出值y为； ③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入后能够输出y． ④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值．其中错误的是（   ） A．①② B．②④ C．①④ D．①③ 【答案】D 【分析】本题主要考查了无理数的定义，算术平方根，根据运算规则即可求解． 【解答】解：①x的值不唯一．或或81等，故①说法错误； ②输入值x为16时，，即，故②说法正确； ③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y，如输入，算术平方根式是，输出的y值为，故③说法错误； ④当时，始终输不出y值．因为1的算术平方根是1，一定是有理数，故④原说法正确． 其中错误的是①③． 故选：D． 18．（2024七年级上·山东淄博·期末）设表示最接近x的整数（，n为整数），则（   ） A．32 B．46 C．64 D．65 【答案】D 【分析】本题考查对题干的理解和对二次根式的估算，根据、、、的取值，判断最接近x的整数为多少，最后将这些数相加即可． 【解答】解：，即有2个1； ，即有4个2； ，即有6个3； ，即有8个4； 则剩余1个数为5． 故． 故选：D． 19．（2022-2023七年级·浙江温州·期中）若，其中a，b均为整数，则 ． 【答案】4或2或0． 【分析】先根据绝对值和算术平方根的非负性分三种情况进行讨论得出a，b的值，再代入进行计算即可求解 【解答】解：∵，其中a，b均为整数， 又∵， ①当，时， ∴， ∴ ②当，时， ∴或， ∴或 ③当，时， ∴或， ∴或 故答案为：4或2或0． 20.（2023-2024七年级·辽宁大连·期末）已知的平方是4，的算术平方根是4，的立方根是8 (1)求，，的值； (2)求的值 【答案】(1)或；； (2)或 【分析】本题考查了乘方、算术平方根、立方根，解题的关键是熟练掌握乘方、算术平方根、立方根的性质，从而完成求解． （1）结合题意，根据乘方、算术平方根、立方根的性质计算，即可得到答案； （2）结合（1）的结论，根据有理数混合运算以及算术平方根的性质计算，即可得到答案． 【解答】（1）∵的平方是4， ∴，   ∴或； ∵的算术平方根是4， ∴， ∴； ∵的立方根是8， ∴， ∴ （2）， 当时，原式， 当时，原式． 21．（2022-2023八年级·河南开封·阶段练习）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为． （1）求的值； （2）在数轴上另有、两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求线段的中点与点之间的距离． 【答案】见解析 【分析】（1）利用数轴两点间的距离公式计算即可； （2）利用非负数的性质，得到，的值，代入求值即可． 【解答】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴ ； （2）解：∵与互为相反数， ∴， ∴， ∴，， ∴点、点所表示的数是一对相反数，即线段的中点为原点， ∴线段中点（即原点）与点之间的距离为． 22．（2023-2024八年级·山东·专题练习）如图，数轴上A点表示的数是，P是数轴上一动点． （1）在数轴上，把点A向左平移4个单位长度得到点B，求点B表示的数； （2）若点C表示的数是B所表示数的相反数，求点C表示的数； （3）若点P从点A向点B以每秒3个单位长度向B运动，到达点B后又向A运动，到达A后再向B运动，如此往复运动问当点P运动2022秒时，点P与点C的位置有什么关系？请说明理由． 【答案】见解析 【分析】本题考查了实数与数轴，实数的大小比较，实数的加减运算，数形结合是解题的关键． （1）根据数轴上两点距离即可求解； （2）根据相反数的定义即可求解； （3）根据题意，得出P运动2022秒时，P在A点左侧个单位长度，即P表示的数为，进而判断所表示的数的大小，进而即可求解． 【解答】（1）解：∵数轴上A点表示的数是，把A点向左平移4个单位长度得到B点， ∴B点表示的数为； （2）解：∵点表示的数是B所表示数的相反数， ∴点表示的数为； （3）解：， ∴P运动2022秒时，P在A点左侧2个单位长度，即P表示的数为， 因为表示的数是， ∴， ∵， ∴，即． ∴P在C点的左侧． 23．（2022-2023七年级下·安徽六安·阶段练习）由无理数的定义可知无理数与有理数不可能相等，若m，n为有理数，为无理数，且，则，． （1）如果，其中a，b为有理数，求的平方根； （2）如果，其中a，b为有理数且是p的平方根，求p的值． 【答案】见解析 【分析】（1）根据已知可得，，从而可得，，然后代入式子中进行计算即可解答； （2）根据已知易得，从而可得，进而可得，然后利用平方根的意义，进行计算即可解答． 【解答】（1）解：，其中，为有理数， ，， ，， ， 的平方根是； （2）， ， ， ，为有理数， ， 解得：， ，为有理数且是的平方根， ， 的值为． 24．（2023-2024七年级下·安徽淮北·阶段练习）请认真阅读下面的材料，再解答问题． 依照平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根；若，则叫的四次方根． （1）依照上面的材料，请你给出五次方根的定义； （2）81的四次方根为______；的五次方根为______； （3）若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是______； （4）求的值：． 【答案】见解析 【分析】（1）根据题意，进行作答即可； （2）进行开方运算即可； （3）根据定义，进行计算即可； （4）利用四次方根解方程即可． 【解答】（1）解：五次方根的定义：若，则叫的五次方根； （2）解：； 故答案为：； （3）解：∵是一个数的四次方， ∴， ∴； ∴若有意义，则的取值范围是； ∵中是一个数的五次方， ∴为任意实数． 故答案为：，为任意实数； （4）解：， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或． 25．（2023-2024八年级·广东河源·阶段练习）根据下表回答下列问题： 17 18 （1）的算术平方根是 ，的平方根是 ； （2） ；（保留一位小数） （3） ， ； （4）若介于17．6与17．7之间，则满足条件的整数n有 个； （5）若这个数的整数部分为m，求的值． 【答案】见解析 【分析】（1）可得，，由算术平方根和平方根的定义即可求解； （2）可得，由，，即可求解； （3）开二次方时，被开方数的小数点每向右或左移动两位时，结果小数点每向右或左移动一位；据此即可求解； （4）可得，从而可求，即可求解； （5）由可求，代值计算即可求解． 【解答】（1）解：由表格得 ， ， 的算术平方根是， ， 的平方根为， 故答案：，． （2）解：， ，， ， 故答案：． （3）解：开二次方时，被开方数的小数点每向右或左移动两位时，结果小数点每向右或左移动一位；， ， ， ； 故答案：，． （4）解： 介于17．6与17．7之间， ， ， 可取、、、， 整数n有个， 故答案：． （5）解：，， 的整数部分是， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 实数运算的综合 （压轴题常考题型专练） 【知识考点 实数】 【题型梳理】 【题型1】 利用平方根、立方根的定义解方程 【题型2】 实数的混合运算 【题型3】 算术平方根的整数部分和小数部分 【题型4】 实数中的综合 【题型1】 利用平方根、立方根的定义解方程 1．（2023-2024七年级下·云南曲靖·期末）方程中的x值等于 ． 2．（2023-2024七年级下·贵州黔南·期中）解方程： (1)； (2)． 3.（2023-2024七年级·江苏盐城·期末）解方程 4.（2023-2024七年级下·黑龙江七台河·期中）解方程： (1)； (2)． 5.（2023-2024七年级下·山东菏泽·期末）已知的算术平方根是，，求，的值． 【题型2】 实数的混合运算 6．（2023-2024七年级下·贵州黔西·期末）计算： (1)； (2)． 7．（2023-2024七年级下·宁夏固原·期末）计算： (1)； (2)． 8．（2023-2024七年级下·河南驻马店·期末）计算： (1)； (2)． 9．（2023-2024七年级下·湖北襄阳·期中）计算下列各题． (1)； (2)； (3)． 10．（2023-2024七年级·浙江·期中）计算 (1) (2)； (3) (4) (5) (6) 【题型3】 算术平方根的整数部分和小数部分 11．（2024七年级上·浙江绍兴·期末）实数的整数部分为，小数部分为，则（   ） A． B． C． D． 12．（2023-2024七年级·浙江杭州·期中）已知a是的整数部分，b是的小数部分，则的平方根是（   ） A．3 B．±3 C．5 D．±5 13.（2023-2024七年级·河北保定·期中）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用表示的小数部分，事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．已知：，其中是整数，且， ， ． 14．（2023-2024七年级下·全国·课时练习）阅读下列文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为．请解答： (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)已知的小数部分为a，的小数部分为b，计算a＋b的值； (3)已知（x是整数，且0＜y＜1），（m是实数），求的平方根． 15．（2022-2023七年级下·山东济宁·期中）我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题： （1）的小数部分是________，的小数部分是________． （2）若a是的整数部分，b是的小数部分，求的平方根． （3）若，其中x是整数，且，求的值． 【题型4】 实数中的综合 16．（2022-2023七年级下·安徽亳州·阶段练习）若与是同一个数的平方根，则的值是（   ）． A． B．或1 C．1 D． 17．（2024八年级上·河北保定·期末）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法： ①当输出值y为3时，输入值x为3或9； ②当输入值x为16时，输出值y为； ③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入后能够输出y． ④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值．其中错误的是（   ） A．①② B．②④ C．①④ D．①③ 18．（2024七年级上·山东淄博·期末）设表示最接近x的整数（，n为整数），则（   ） A．32 B．46 C．64 D．65 19．（2022-2023七年级·浙江温州·期中）若，其中a，b均为整数，则 ． 20.（2023-2024七年级·辽宁大连·期末）已知的平方是4，的算术平方根是4，的立方根是8 (1)求，，的值； (2)求的值 21．（2022-2023八年级·河南开封·阶段练习）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为． （1）求的值； （2）在数轴上另有、两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求线段的中点与点之间的距离． 22．（2023-2024八年级·山东·专题练习）如图，数轴上A点表示的数是，P是数轴上一动点． （1）在数轴上，把点A向左平移4个单位长度得到点B，求点B表示的数； （2）若点C表示的数是B所表示数的相反数，求点C表示的数； （3）若点P从点A向点B以每秒3个单位长度向B运动，到达点B后又向A运动，到达A后再向B运动，如此往复运动问当点P运动2022秒时，点P与点C的位置有什么关系？请说明理由． 23．（2022-2023七年级下·安徽六安·阶段练习）由无理数的定义可知无理数与有理数不可能相等，若m，n为有理数，为无理数，且，则，． （1）如果，其中a，b为有理数，求的平方根； （2）如果，其中a，b为有理数且是p的平方根，求p的值． 24．（2023-2024七年级下·安徽淮北·阶段练习）请认真阅读下面的材料，再解答问题． 依照平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根；若，则叫的四次方根． （1）依照上面的材料，请你给出五次方根的定义； （2）81的四次方根为______；的五次方根为______； （3）若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是______； （4）求的值：． 25．（2023-2024八年级·广东河源·阶段练习）根据下表回答下列问题： 17 18 （1）的算术平方根是 ，的平方根是 ； （2） ；（保留一位小数） （3） ， ； （4）若介于17．6与17．7之间，则满足条件的整数n有 个； （5）若这个数的整数部分为m，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$