第3课 平行线-2024-2025学年七年级数学下册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（浙教版）

第3课 平行线 ( 目标导航 ) 学习目标 1.进一步认识平行线的概念. 2.用符号表示两条直线互相平行. 3. 会用三角尺和直尺过直线外一点画这条直线的平行线. 4.了解过直线外一点有且仅有一条直线与这条直线平行. ( 知识精讲 ) 知识点01 平行线 1.平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线 2.平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线 3.平行线的传递性：平行同一直线的两直线平行 ( 能力拓展 )考点01 平行线 【典例1】在同一个平面内，直线a、b相交于点P，a∥c，b与c的位置关系是（　　） A．平行 B．相交 C．重合 D．平行或相交 【思路点拨】根据过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线得出即可． 【解析】解：∵在同一个平面内，直线a、b相交于点P，a∥c， ∴b与c的位置关系是相交， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线，相交线的应用，能根据定理进行判断是解此题的关键，注意：过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线． 【即学即练1】如图，在同一平面内，经过直线a外一点O的4条直线中，与直线a相交的直线至少有（　　） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 【思路点拨】根据经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行得出即可． 【解析】解：根据经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，得出如果有和直线a平行的，只能是一条， 即与直线a相交的直线至少有3条， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行公理及推论，注意：经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．同一平面内不重合的两条直线的位置关系有（　　） A．相交、垂直 B．相交、平行 C．垂直、平行 D．相交、垂直、平行 【思路点拨】根据同一平面内的直线有相交与平行两种位置关系即可解答． 【解析】解：同一平面内的两直线只有相交与平行两种位置关系． 故选：B． 【点睛】本题考查了直线的位置关系，垂直是相交的特殊情况，这也是同学们容易出错的地方． 2．若直线a，b，c，d有下列关系，则推理正确的是（　　） A．∵a∥b，b∥c，∴c∥d B．∵a∥c，b∥d，∴c∥d C．∵a∥b，a∥c，∴b∥c D．∵a∥b，c∥d，∴a∥c 【思路点拨】根据平行公理及推论，逐一判断即可解答． 【解析】解：A、∵a∥b，b∥c，∴c∥a，故A不符合题意； B、∵a∥c，b∥d，∴c与d不一定平行，故B不符合题意； C、∵a∥b，a∥c，∴b∥c，故C符合题意； D、∵a∥b，c∥d，∴a与c不一定平行，故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查里平行公理及推论，熟练掌握平行于同一条直线的两条直线平行是解题的关键． 3．下列说法：①等角的余角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③相等的角是对顶角；④同位角相等．正确的共有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【思路点拨】根据余角的定义对①进行判断；根据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行对②进行判断；根据对顶角的定义对③进行判断；根据平行线的性质对④进行判断． 【解析】解：等角的余角相等，所以①为真命题；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以②为假命题；相等的角不一定为对顶角，所以③为假命题；两直线平行，同位角相等，所以④为假命题． 故选：D． 【点睛】本题考查了余角的性质、平行公理、对顶角的定义以及同位角的定义，熟练掌握这些性质是解题的关键． 4．如图，在平面内过点O作已知直线a的平行线和垂线，可作的条数分别是m条和n条，则m+n的值为（　　） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 【思路点拨】根据平行线公理解答即可． 【解析】解：∵在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，以及在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，可知m＝1，n＝1， ∴m+n＝2， 故选：C． 【点睛】本题考查平行公理，关键掌握在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 5．下列说法正确的是（　　） A．同一个平面内，不相交的两条线段是平行线 B．同一个平面内，两条直线不相交就重合 C．同一个平面内，没有公共点的两条直线是平行线 D．不相交的两条直线是平行线 【思路点拨】根据平行线的定义选择． 【解析】解：A、应该是不相交的两条直线，故错误； B、还有平行的情况，故错误； C、正确； D、应该是在同一平面内，故错误． 故选：C． 【点睛】此题主要考查平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线． 6．下列四边形中，AB不平行于CD的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】A是平行四边形，B是梯形，C是正方形．D是一般的四边形，AB不平行于CD． 【解析】解：因为A、B、C都是特殊的四边形，正确； 故选：D． 【点睛】本题考查常见的几种特殊四边形的边的关系． 7．直线AB与CD平行可记作：　AB∥CD　． 【思路点拨】根据平行符号的表示方法解答即可． 【解析】解：直线AB与CD平行可记作：AB∥CD． 故答案为：AB∥CD． 【点睛】本题考查的是平行线，解题的关键是掌握平行符号的表示方法． 8．如图，MC∥AB，NC∥AB，则点M，C，N在同一条直线上，理由是　经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行　． 【思路点拨】直接利用平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，得出即可． 【解析】解：∵MC∥AB，NC∥AB，∴点M，C，N在同一条直线上， 理由是：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 故答案为：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 【点睛】此题主要考查了平行公理，熟练掌握平行公理是解题关键． 9．如图，AB∥CD，过点E画EF∥AB，则EF与CD的位置关系是　EF∥CD　，理由是　平行于同一直线的两直线互相平行　． 【思路点拨】根据平行公理解答． 【解析】解：EF与CD的位置关系是EF∥CD， 理由是：平行于同一直线的两直线互相平行． 故答案为：EF∥CD；平行于同一直线的两直线互相平行． 【点睛】本题考查了平行公理，是基础题，熟记公理是解题的关键． 10．如图，已知长方体ABCD﹣EFGH． （1）图中与棱AB平行的棱有哪些？ （2）图中与棱AD平行的棱有哪些？ （3）连接AC，EG，问AC与EG是否平行？ 【思路点拨】（1）根据平行线的定义即可判断； （2）根据平行线的定义即可判断； （3）根据平行线的定义即可判断． 【解析】解：（1）与棱AB平行的棱有：CD、HG、EF； （2）与棱AD平行的棱有：BC、GF、EH； （3）平行，理由如下：符合两直线平行的条件：①在同一平面内，②无交点． 【点睛】本题考查平行线的定义，解题关键是掌握平行线的定义． 11．读下列语句，并画出图形． 点P是直线AB外一点，直线CD经过点P，且与直线AB平行，直线EF也经过点P且与直线AB垂直． 【思路点拨】先画直线AB和点P，过P作AB的平行线CD，过P作直线EF⊥AB，即可得出答案． 【解析】解：如图所示： ． 【点睛】本题考查了平行线，垂线的应用，主要考查学生的理解能力和动手操作能力，用了数形结合思想． 题组B 能力提升练 12．下列说法中，正确的个数为（　　） （1）过一点有无数条直线与已知直线平行 （2）如果a∥b，a∥c，那么b∥c （3）如果两线段不相交，那么它们就平行 （4）如果两直线不相交，那么它们就平行 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】根据平行线的定义、公理及推论判断． 【解析】解：（1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故错误； （2）根据平行公理的推论，正确； （3）线段的长度是有限的，不相交也不一定平行，故错误； （4）应该是“在同一平面内”，故错误． 正确的只有一个，故选A． 【点睛】掌握平行线的定义、公理及推论，并具有一定的判断能力，举反例也是一种方法． 13．下列说法中正确的是（　　） A．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．从直线外一点到已知直线引垂线，点和垂足之间的垂线段叫做这个点到这条直线的距离 D．如果直线a与b相交，b与c相交，那么a与c相交 【思路点拨】根据平行公理，垂线的性质，点到直线的距离以及相交线的概念分别判断即可． 【解析】解：A、平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故错误，不合题意； B、平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故正确，符合题意； C、从直线外一点到已知直线引垂线，点和垂足之间的垂线段的长度叫做这个点到这条直线的距离，故错误，不合题意； D、如果直线a与b相交，b与c相交，那么a与c不一定相交，有可能平行，故错误，不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了平行公理，垂线的性质，点到直线的距离以及相交线，熟练掌握相关基本知识方能正确选择． 14．如图，直线a，点B，点C． （1）过点B画直线a的平行线，能画几条？ （2）过点C画直线a的平行线，它与过点B的平行线平行吗？ 【思路点拨】根据平行公理及推论进行解答． 【解析】解：（1）如图，过直线a外的一点画直线a的平行线，有且只有一条直线与直线a平行； （2）过点C画直线a的平行线，它与过点B的平行线平行．理由如下： 如图，∵b∥a，c∥a， ∴c∥b． 【点睛】本题考查了平行公理及推论． 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行（平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思）； 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 15．如图所示，在∠AOB内有一点P． （1）过P画l1∥OA； （2）过P画l2∥OB； （3）用量角器量一量l1与l2相交的角与∠O的大小有怎样关系？ 【思路点拨】用两个三角板，根据同位角相等，两直线平行来画平行线，然后用量角器量一量l1与l2相交的角与∠O的关系为：相等或互补． 【解析】解：（1）（2）如图所示， （3）l1与l2夹角有两个：∠1，∠2；∠1＝∠O，∠2+∠O＝180°，所以l1和l2的夹角与∠O相等或互补． 【点睛】注意∠2与∠O是互补关系，容易漏掉． 题组C 培优拔尖练 16．在下列4个判断中： ①在同一平面内，不相交也不重合的两条线段一定平行；②在同一平面内，不相交也不重合的两条直线一定平行；③在同一平面内，不平行也不重合的两条线段一定相交；④在同一平面内，不平行也不重合的两条直线一定相交．正确判断的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【思路点拨】根据平面内两条直线的三种位置关系：平行或相交或重合进行判断． 【解析】解：在同一平面内，不相交也不重合的两条直线一定平行，故①错误，②正确； 在同一平面内，不平行也不重合的两条直线一定相交故，③错误，④正确． 故正确判断的个数是2． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线和相交的定义． 同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交或重合，对于这一知识的理解过程中要注意： ①前提是在同一平面内；②对于线段或射线来说，指的是它们所在的直线． 17．按要求完成作图，并回答问题；如图在△ABC中： （1）过点A画BC的垂线，垂足为E； （2）画∠ABC的平分线，交AC于F； （3）过E画AB的平行线，交AC于点G； （4）过点C画AB所在的直线的垂线段，垂足为H． 【思路点拨】（1）借用量角器，测出∠AEC＝90°即可； （2）利用角平分线的作法作出∠ABC的平分线； （3）利用平行线的性质：同位角相等，作图； （4）借用量角器，测出∠AHC＝90°即可． 【解析】解：（1）作法利用量角器测得∠AEC＝90°，AE即为所求； （2）作法： ①以点B为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交∠ABC两边于点M，N． ②分别以点M，N为圆心，以大于MN的长度为半径画弧，两弧交于点P ③作射线BP，则射线BP为角ABC的角平分线； ④射线BP交AC于点F； （3）作法：用量角器测得∠ABC＝∠GEC，EG即为所求； （4）作法：利用量角器测得∠BHC＝90°，CH即为所求． 【点睛】本题主要考查了平行线、垂线及角平分线的画法．在解答此题时，用到的作图工具有圆规、量角器及直尺． 18．平面上有7条不同的直线，如果其中任何三条直线都不共点． （1）请画出满足上述条件的一个图形，并数出图形中各直线之间的交点个数； （2）请再画出各直线之间的交点个数不同的图形（至少两个）； （3）你能否画出各直线之间的交点个数为n的图形，其中n分别为6，21，15？ （4）请尽可能多地画出各直线之间的交点个数不同的图形，从中你能发现什么规律？ 【思路点拨】从平行线的角度考虑，先考虑六条直线都平行，再考虑五条、四条，三条，二条直线平行，都不平行作出草图即可看出． 从画出的图形中归纳规律即可得到答案． 【解析】解：（1）如图1所示；交点共有6个， （2）如图2，3． （3）当n＝6时，必须有6条直线平行，都与一条直线相交．如图4， 当n＝21时，必须使7条直线中的每2条直线都相交（即无任何两条直线平行）如图5， 当n＝15时，如图6， （4）当我们给出较多答案时，从较多的图形中，可以总结出以下规律： ①当7条直线都相互平行时，交点个数是0，这时交点最少， ②当7条直线每两条均相交时，交点个数为21，这是交点最多． 【点睛】此题主要考查了平行线与相交线，关键是根据一定的规律画出图形，再再根据图形归纳规律． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3课 平行线 ( 目标导航 ) 学习目标 1.进一步认识平行线的概念. 2.用符号表示两条直线互相平行. 3. 会用三角尺和直尺过直线外一点画这条直线的平行线. 4.了解过直线外一点有且仅有一条直线与这条直线平行. ( 知识精讲 ) 知识点01 平行线 1.平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线 2.平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线 3.平行线的传递性：平行同一直线的两直线平行 ( 能力拓展 )考点01 平行线 【典例1】在同一个平面内，直线a、b相交于点P，a∥c，b与c的位置关系是（　　） A．平行 B．相交 C．重合 D．平行或相交 【即学即练1】如图，在同一平面内，经过直线a外一点O的4条直线中，与直线a相交的直线至少有（　　） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．同一平面内不重合的两条直线的位置关系有（　　） A．相交、垂直 B．相交、平行 C．垂直、平行 D．相交、垂直、平行 2．若直线a，b，c，d有下列关系，则推理正确的是（　　） A．∵a∥b，b∥c，∴c∥d B．∵a∥c，b∥d，∴c∥d C．∵a∥b，a∥c，∴b∥c D．∵a∥b，c∥d，∴a∥c 3．下列说法：①等角的余角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③相等的角是对顶角；④同位角相等．正确的共有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．如图，在平面内过点O作已知直线a的平行线和垂线，可作的条数分别是m条和n条，则m+n的值为（　　） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 5．下列说法正确的是（　　） A．同一个平面内，不相交的两条线段是平行线 B．同一个平面内，两条直线不相交就重合 C．同一个平面内，没有公共点的两条直线是平行线 D．不相交的两条直线是平行线 6．下列四边形中，AB不平行于CD的是（　　） A． B． C． D． 7．直线AB与CD平行可记作：　 　． 8．如图，MC∥AB，NC∥AB，则点M，C，N在同一条直线上，理由是　 　． 9．如图，AB∥CD，过点E画EF∥AB，则EF与CD的位置关系是　 　，理由是　 ． 10．如图，已知长方体ABCD﹣EFGH． （1）图中与棱AB平行的棱有哪些？ （2）图中与棱AD平行的棱有哪些？ （3）连接AC，EG，问AC与EG是否平行？ 11．读下列语句，并画出图形． 点P是直线AB外一点，直线CD经过点P，且与直线AB平行，直线EF也经过点P且与直线AB垂直． 题组B 能力提升练 12．下列说法中，正确的个数为（　　） （1）过一点有无数条直线与已知直线平行 （2）如果a∥b，a∥c，那么b∥c （3）如果两线段不相交，那么它们就平行 （4）如果两直线不相交，那么它们就平行 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 13．下列说法中正确的是（　　） A．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．从直线外一点到已知直线引垂线，点和垂足之间的垂线段叫做这个点到这条直线的距离 D．如果直线a与b相交，b与c相交，那么a与c相交 14．如图，直线a，点B，点C． （1）过点B画直线a的平行线，能画几条？ （2）过点C画直线a的平行线，它与过点B的平行线平行吗？ 15．如图所示，在∠AOB内有一点P． （1）过P画l1∥OA； （2）过P画l2∥OB； （3）用量角器量一量l1与l2相交的角与∠O的大小有怎样关系？ 题组C 培优拔尖练 16．在下列4个判断中： ①在同一平面内，不相交也不重合的两条线段一定平行；②在同一平面内，不相交也不重合的两条直线一定平行；③在同一平面内，不平行也不重合的两条线段一定相交；④在同一平面内，不平行也不重合的两条直线一定相交．正确判断的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 17．按要求完成作图，并回答问题；如图在△ABC中： （1）过点A画BC的垂线，垂足为E； （2）画∠ABC的平分线，交AC于F； （3）过E画AB的平行线，交AC于点G； （4）过点C画AB所在的直线的垂线段，垂足为H． 18．平面上有7条不同的直线，如果其中任何三条直线都不共点． （1）请画出满足上述条件的一个图形，并数出图形中各直线之间的交点个数； （2）请再画出各直线之间的交点个数不同的图形（至少两个）； （3）你能否画出各直线之间的交点个数为n的图形，其中n分别为6，21，15？ （4）请尽可能多地画出各直线之间的交点个数不同的图形，从中你能发现什么规律？ 学科网（北京）股份有限公司 $$