第05讲 平行线的性质（3个知识点+10类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（浙教版2024）

第05讲 平行线的性质 （3个知识点+10类热点题型讲练+习题巩固） 课程标准 学习目标 ①两直线平行同位角相等； ②两直线平行内错角相等； ③两直线平行同旁内角互补； ④平行线的判定与性质综合； 1.掌握两直线平行同位角相等； 2.掌握两直线平行内错角相等； 3.掌握两直线平行同旁内角互补； 4、掌握平行线的判定与性质综合； 知识点：平行线性质1 性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 简单说成：两直线平行，同位角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等） 知识点：平行线性质2 性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 简单说成：两直线平行，内错角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等） 知识点：平行线性质3 性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简单说成：两直线平行，同旁内角互补。 几何语言：∵a∥b ∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补） 【即学即练1】 1．如图，直尺一边与量角器的零刻度线平行，已知的读数为，设与交于点，则的度数等于( ) A． B． C． D． 【即学即练2】 2．如图，，EF分别截于点E，F，连结，则下列结论错误的是(   ) AI A． B． C． D． 【即学即练3】 3．已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置，其中、两点分别落在直线，上，若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【即学即练4】 4．如图，，的直角顶点C在直线b上，若，，则等于（   ）    A． B． C． D． 题型01 两直线平行同位角相等 1．如图，直线，被直线所截，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，直线，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．如图，，点B在直线b上，且，若，则 ． 4．如图，杯子内液体表面与杯子下底部平行，光线从液体中射向空气时发生折射，光线变成，点G在射线上．已知，，则的度数是 ． 5．如图，在中，点在上，且于点，于点，与相交于点． (1)若，求的度数； (2)若平分，求证：． 题型02 两直线平行内错角相等6．如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中，则等于（   ） A． B． C． D． 7．小亮绘制的潜望镜原理示意图如图，两个平面镜的镜面与平行，入射光线与出射光线平行，，．若入射光线与镜面的夹角，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．如图，已知，，则 ． 9．如图1，杆秤是中国最古老也是现今人们仍然在使用的衡量工具，它利用杠杆原理来称物体的质量，由木制的带有秤星的秤杆、金属秤砣、提绳等组成．如图2，是杆秤的示意图，，，经测量发现，则的度数是 度． 10．【阅读•领会】在几何图形学习过程中，为了帮助解题，可在原图的基础上添加直线或线段，比如要证明直线、是否平行，可添加“第三条直线”（即图1中的截线），把判断两条直线的位置关系转化为判断两个角的数量关系．我们称直线为“辅助线”． 【实践•体悟】如图2，已知，．求证：． (1)小明同学想到通过连接，作出平行线的截线，请你帮他完成下列证明过程： 证明：连接． 因为（已知）， 所以______（内错角相等，两直线平行） 所以______（两直线平行，内错角相等） 因为（已知）， 所以____________（等式性质）， 所以____________（等量代换）， 所以（______）． (2)请你试用其他方法进行推理，并书写证明过程． 题型03 两直线平行同旁内角互补 11．如图，直线，直线与直线、分别相交于A、两点，于点A，交直线于点．如果，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 12．如图，，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 13．左图是某小区大门的道闸栏杆示意图，右图是抽象出的工作模型，立柱于点A，且，若，则的度数为 ． 14．一块标准三角板与一根标准直尺的摆放位置如图所示，直角顶点B在直尺的边上，若，则 ．    15．（1）某电动伸缩遮阳帘形状如图1所示，已知，小明观察分析该图形得出图中、、之间存在如下数量关系：，他的证明思路如下，请将他的证明过程补充完整． 已知： 求证： 证明：过点作直线，使 ∵， ∴ （ ） ∵ ∴（ ） ∵ ∴（两直线平行，内错角相等） ∵ ∴ （ ） （2）请同学们体会上面辅助线的作用，用类似的方法解决如下问题： 已知：如图2，，试探究、和之间的数量关系，并说明理由． 题型04 根据平行线的性质探究角的关系 16．正安县誉为“吉他之都，音乐之城”．吉他是一种弹拨乐器，通常有六条弦．弦与品柱相交，品柱与品柱互相平行（如图①），其部分截图如图②所示，，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 17．如图是一种消防应急地面疏散指示标志，若，，则下列选项中，一定正确的是（　　） A． B． C． D． 18．如图所示，已知，E在上，点G在上，，如果，如果用含的代数式表示，那么 ． 19．如图，，思考解决下列问题： （1） ； （2）试探究 ． 20．（1）如图，，．判定的数量关系，并说明理由． （2）如图，，平分，判定的位置关系，并说明理由． （写出主要步骤的推理依据） 题型05 根据平行线的性质求角的度数 21．如图，烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，光线从液体中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 22．如图，自行车的尾部通常会安装一种塑料制成的反光镜，夜间骑车时，在车灯照射下，能把光线按原来方向返回（即），根据光的反射可知，其原理如图2所示，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 23．如图，，平分，平分，且比大，则的度数为 度． 24．实践小组利用激光笔和平面镜演示平行光的反射实验．如图，一组平行光线a，b，c经过平面镜反射后得到一组互相平行的反射光线．若，则的度数为 ． 25．【问题提出】如图①，和的边与互相平行，边与交于点E．若，，求的度数． 【问题解决】请你完成下面的求解过程． 解：如图②，过点E作． ∴（ ）． ∵， ∴， ∵， ∴（ ）． ∴（ ）． ∵， ∴． ∴（ ）． 【迁移应用】如图③，D、E分别是边、上的点，在直线的右侧作的平行线分别交边、于点F、G．P是线段上一点，连接、．若，，求的度数． 题型06 平行线的性质在生活中的应用 26．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射.由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 27．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么这两次拐弯的角度可能是（     ） A．第一次向左拐，第二次向左拐 B．第一次向右拐，第二次向右拐 C．第一次向右拐，第二次向左拐 D．第一次向左拐，第二次向右拐 28．如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角，则反射光线与平面镜夹角的度数为 29．如图，一个弯形管道的拐角，若工人师傅准备在点处对管道进行加工拐弯，要保证拐弯的部分与平行，则加工后拐角的度数是 度．    30．图1是光伏发电场景，其示意图如图2，为吸热塔，在地平线上的点C，D处各安装定日镜（介绍见图3）．绕各中心点（A，B）旋转镜面，使过中心点的太阳光线经镜面反射后到达吸热器点O处．A、B处于同一水平高度，已知反射光线与水平线的夹角是，镜面与立杆的夹角，则太阳光线与水平面夹角 ；若反射光线与水平线的夹角是时，则 ． 题型07 根据平行线判定与性质求角度 31．如图，若，，，则（　　） A． B． C． D． 32．如图，是某运动员在一次山地自行车越野赛中经过的路线，已知第一次的拐角，第三次的拐角，若第三次拐弯后的道路恰好与第一次拐弯前的道路平行，则第二次的拐角的度数为（   ） A． B． C． D． 33．如图，，点、为这两条平行线之间的两个点，连接、、，，设，，，则、、之间的数量关系为 ． 34．为方便市民绿色出行，某市推出了共享单车服务，如图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其平面示意图，其中，都与地面l平行，，，当 时，． 35．已知：如图，、是直线上两点，，平分，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 题型08 根据平行线判定与性质证明 36． 如图，已知四边形，点 E 是射线上一点，连接交线段于点F，  若， ． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，平分， 求的大小． 37．在学习完《相交线和平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动：探究平行线的“等角转化”功能． (1)问题情景：如图1，已知． ①问题初探：求证：； ②拓展探究：试问与之间满足怎样的数量关系？并说明理由． (2)迁移应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，求的度数．（直接写出答案） 38．已知，E、F分别为，上一点，P，H分别在，上，，． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，过点P作，交于点M，作的平分线交于点N，求的度数． 39．如图，在中，是高，点，，分别在，，上，且，． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，平分，求的度数． 40．已知如图， ①由图（1）易得、、的关系_______（直接写结论）； ②由图（2）试猜想、、的关系并说明理由； [延伸拓展] 利用上面（1）（2）得出的结论完成下题 ③已知，，，．若，则______°． 题型09 求平行线间的距离 41．如图，若直线，表示平行线m与n之间的距离为线段（    ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 42．直线、、是三条平行直线．已知与的距离为5厘米，与的距离为2厘米，求与的距离为（   ） A．2厘米 B．3厘米 C．7厘米 D．3厘米或7厘米 43．已知直线a，b，c在同一平面内，且，a与b之间的距离为，b与c之间的距离为，则a与c之间的距离是（　　） A． B． C．或 D．以上都不对 44．已知直线，，在同一平面内，且，与之间的距离为，与之间的距离为，则与之间的距离是 ． 45．如图，，已知直角三角形中，B，C在直线a上，A在直线b上，，，，则点A到直线a的距离为 ．    题型10 利用平行线间距离解决问题 46．如图，两平行线间有一个三角形和一个平行四边形，它们的底分别为a和b．当（    ）时，三角形的面积大于平行四边形的面积． A． B． C． D． 47．如图所示，平行四边形中，厘米，厘米，边上的高是厘米．是和的平行线，图中阴影部分的面积是（     ）平方厘米． A． B． C． D． 48．如图，已知直线，点、、在直线上，点、、在直线上，，若的面积为5，则的面积为（    ） A．2 B．4 C．5 D．10 49．如图， ， 的面积等于， ， ，则的面积是 . 50．在梯形中，， 连接、， 已知梯形的面积为16，的面积为12，那么的面积 ． 1．如图，，，则，与之间的关系是（   ） A． B． C． D． 2．如图，直线，分别与直线交于点，，把一块含角的三角板按如图所示的位置摆放．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．如图1，是我国具有自主知识产权、用于探索宇宙的单口径球面射电望远镜“中国天眼”．如图2，是“中国天眼”接收来自宇宙的电磁波的原理图，其中为竖直方向的馈源（反射面），入射波经过三次反射后沿水平射出，且，已知入射波与法线的夹角，则（    ） A． B． C． D． 4．如图，已知，点B在上，点C在上，点A在上方，，点E在的反向延长线上，且，设，则为度数用含的式子一定可以表示为（    ） A． B． C． D． 5．如果两个角的两边分别平行，而其中一个角的比另一个角少，那么这两个角的度数是（   ） A．和 B．、或、 C．都是 D．、或、 6．如图，点分别在直线上，且，若在同一平面内存在一点O，使，则 ． 7．如图，直线，，，，，则的度数为 ． 8．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，在A，B，C三处经过三次拐弯，此时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行（即），若，，则的度数是 ． 9．如图，，平分，，，将以每秒的速度绕着点顺时针旋转，旋转到边落到射线上停止，若的边与或平行时，则旋转的时间可以是 秒．    10．如图，，点B在上，点F在上，连接，平分，平分交于点H，．给出下面四个结论： ①； ②平分； ③； ④． 上述结论中，正确结论的序号有 ． 11．如图，已知，射线交于点，交于点，从点引一条射线，且． 求证：． 12．已知：如图，与相交于点F，点D在上，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 13．生活情境·山路 “公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公路连接了山里与外面的世界，数学活动课上，老师把山路抽象成图2的样子，并提出了一个问题： 在图2中，，，，，求的度数． 14．（1）如图①，，则________； 如图②，，则________，请你说明理由； （2）如图③，，则________； （3）利用上述结论解决问题：如图④，，和的平分线相交于点F，，求的度数． 15．如图1，为直线上一点，过点在直线的上方作射线，使．将一块直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方，其中，． (1)将图1中的三角板绕点顺时针旋转至图2，使一边在的内部，且恰好平分，求的度数； (2)将图1中的三角板绕点按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第______s时，边恰好与射线平行；第______时，直线恰好平分锐角； (3)将图1中的三角板绕点顺时针旋转至图3，使在的内部，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 平行线的性质 （3个知识点+10类热点题型讲练+习题巩固） 课程标准 学习目标 ①两直线平行同位角相等； ②两直线平行内错角相等； ③两直线平行同旁内角互补； ④平行线的判定与性质综合； 1.掌握两直线平行同位角相等； 2.掌握两直线平行内错角相等； 3.掌握两直线平行同旁内角互补； 4、掌握平行线的判定与性质综合； 知识点：平行线性质1 性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 简单说成：两直线平行，同位角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等） 知识点：平行线性质2 性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 简单说成：两直线平行，内错角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等） 知识点：平行线性质3 性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简单说成：两直线平行，同旁内角互补。 几何语言：∵a∥b ∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补） 【即学即练1】 1．如图，直尺一边与量角器的零刻度线平行，已知的读数为，设与交于点，则的度数等于( ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线性质和邻补角定义，根据平行线性质结合，推出，再结合邻补角即可解题． 【详解】解：如图， ， ， ． 故选：B． 【即学即练2】 2．如图，，EF分别截于点E，F，连结，则下列结论错误的是(   ) AI A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质．利用平行线的性质对各项进行分析即可． 【详解】， ， ， ，故A结论正确，不符合题意； ， ， ，故C结论正确，不符合题意； ， ，， ， ，故D结论正确，不符合题意； 无法求得，故B结论错误，符合题意． 故选：B． 【即学即练3】 3．已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置，其中、两点分别落在直线，上，若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平行线的性质可知，，计算求解即可 【详解】解：直线， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质．熟练掌握“两直线平行，内错角相等”是解题的关键． 【即学即练4】 4．如图，，的直角顶点C在直线b上，若，，则等于（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作，由三角形内角和可求出，再根据平行得到内错角相等，即可求出答案． 【详解】解：过点作， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， 故选C． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算． 题型01 两直线平行同位角相等 1．如图，直线，被直线所截，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，由邻补角的性质求出，由平行线的性质推出．解题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 2．如图，直线，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是：两直线平行，同位角相等．利用平角的定义求出，再利用平行线的性质可得出结果． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 3．如图，，点B在直线b上，且，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平角的定义求得的度数，再根据平行线的性质即可求得的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， 故答案为：． 4．如图，杯子内液体表面与杯子下底部平行，光线从液体中射向空气时发生折射，光线变成，点G在射线上．已知，，则的度数是 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查了平行线的性质，先利用平行线的性质可得，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 5．如图，在中，点在上，且于点，于点，与相交于点． (1)若，求的度数； (2)若平分，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查平行线的判定和性质： （1）根据垂直于同一条直线的两直线平行，结合两直线平行，同旁内角互补，进行求解即可； （2）根据平行线的性质，结合角平分线平分角，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 题型02 两直线平行内错角相等 6．如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质，根据两直线平行内错角相等可得结论． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 7．小亮绘制的潜望镜原理示意图如图，两个平面镜的镜面与平行，入射光线与出射光线平行，，．若入射光线与镜面的夹角，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质．熟记两直线平行，内错角相等是解答本题的关键． 由，可求出，由可得． 【详解】∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 8．如图，已知，，则 ． 【答案】/25度 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．过点E作，根据两直线平行，同位角相等得出，，进而求解即可． 【详解】过点E作，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 9．如图1，杆秤是中国最古老也是现今人们仍然在使用的衡量工具，它利用杠杆原理来称物体的质量，由木制的带有秤星的秤杆、金属秤砣、提绳等组成．如图2，是杆秤的示意图，，，经测量发现，则的度数是 度． 【答案】74 【分析】本题考查邻补角的定义，平行公理的推论，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．先根据邻补角的定义求出，再根据平行公理的推论得出，最后平行线的性质得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∵，， ∴ ∴ 故答案为：74． 10．【阅读•领会】在几何图形学习过程中，为了帮助解题，可在原图的基础上添加直线或线段，比如要证明直线、是否平行，可添加“第三条直线”（即图1中的截线），把判断两条直线的位置关系转化为判断两个角的数量关系．我们称直线为“辅助线”． 【实践•体悟】如图2，已知，．求证：． (1)小明同学想到通过连接，作出平行线的截线，请你帮他完成下列证明过程： 证明：连接． 因为（已知）， 所以______（内错角相等，两直线平行） 所以______（两直线平行，内错角相等） 因为（已知）， 所以____________（等式性质）， 所以____________（等量代换）， 所以（______）． (2)请你试用其他方法进行推理，并书写证明过程． 【答案】(1)，内错角相等，两直线平行； (2)证明见解析过程． 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、相交线及平行线，熟知平行线的判定与性质是解题的关键． （1）根据题意，将小明的证明过程补充完整即可． （2）延长交直线于点M，再利用平行线的判定与性质进行证明即可． 【详解】（1）证明：连接， 因为（已知）， 所以（内错角相等，两直线平行）， 所以（两直线平行，内错角相等）， 因为（已知）， 所以（等式性质）， 所以（等量代换）， 所以（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：，内错角相等，两直线平行． （2）解：延长交直线于点M， ， ， ． ， ， ． 题型03 两直线平行同旁内角互补 11．如图，直线，直线与直线、分别相交于A、两点，于点A，交直线于点．如果，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补，此题难度不大． 先根据平行线的性质求出的度数，再根据垂直的定义和余角的性质求出的度数． 【详解】解：如图： 直线， ， 于点，， ， 故选：A． 12．如图，，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质．熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 如图，记的交点为，由，可得，由，可得，计算求解即可． 【详解】解：如图，记的交点为， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 13．左图是某小区大门的道闸栏杆示意图，右图是抽象出的工作模型，立柱于点A，且，若，则的度数为 ． 【答案】/130度 【分析】此题考查平行公理推论：平行于同一直线的两条直线互相平行，平行线的性质．过点B作，根据平行线的性质得到，根据求出，由此得到答案． 【详解】解：如图，过点B作， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14．一块标准三角板与一根标准直尺的摆放位置如图所示，直角顶点B在直尺的边上，若，则 ．    【答案】 【分析】首先根据对顶角相等和平行线的性质得到，然后利用平角的概念和平行线的性质求解即可． 【详解】∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题重点考查了平行线的性质，直角板的性质，掌握直角板的性质是解题关键． 15．（1）某电动伸缩遮阳帘形状如图1所示，已知，小明观察分析该图形得出图中、、之间存在如下数量关系：，他的证明思路如下，请将他的证明过程补充完整． 已知： 求证： 证明：过点作直线，使 ∵， ∴ （ ） ∵ ∴（ ） ∵ ∴（两直线平行，内错角相等） ∵ ∴ （ ） （2）请同学们体会上面辅助线的作用，用类似的方法解决如下问题： 已知：如图2，，试探究、和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）完整的证明过程见解析；（2），证明过程见解析． 【分析】本题考查了平行公理的推论、平行线的性质，熟知平行线的辅助线作法是解题的关键． （1）根据平行公理的推论及平行线的性质进行填空与判断理由； （2）过点C作的平行线，然后仿照（1）的证法思路即可． 【详解】（1）已知： 求证： 证明：过点作直线，使 ∵， ∴（平行于同一条直线的两直线平行） ∵ ∴（两直线平行，内错角相等） ∵ ∴（两直线平行，内错角相等） ∵ ∴（等量代换） （2）过点C作，如图． ∴，① ∴， ∴， ∴，即② 将②代入①，得 即 ∴与之和，减去等于． 题型04 根据平行线的性质探究角的关系 16．正安县誉为“吉他之都，音乐之城”．吉他是一种弹拨乐器，通常有六条弦．弦与品柱相交，品柱与品柱互相平行（如图①），其部分截图如图②所示，，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质，关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等． 根据由平行线的性质，逐项判定即可． 【详解】解：A、由推出和的对顶角互补，得到和互补，和不一定相等，故此选项不符合题意； B、由两直线平行，同旁内角互补，邻补角的性质推出和互补，和不一定相等，故此选项不符合题意； C、和不是同旁内角，由不能判定，故此选项不符合题意； D、由两直线平行，同旁内角互补，邻补角的性质推出，故此选项符合题意． 故选：D． 17．如图是一种消防应急地面疏散指示标志，若，，则下列选项中，一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据平行线的性质得到，，进而求解即可． 【详解】∵ ∴ ∵ ∴ ∴． 故选：B． 18．如图所示，已知，E在上，点G在上，，如果，如果用含的代数式表示，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，过F作，推出得到，推出，得到． 【详解】解：过F作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 19．如图，，思考解决下列问题： （1） ； （2）试探究 ． 【答案】 【分析】本题主要考查学生归纳总结找规律的能力，利用平行线的性质的解答本题的关键， 分别过E、F…作直线平行于，利用平行线的性质即可求出的值；再根据规律，归纳总结得到． 【详解】解：当有2个角时，根据两直线平行同旁内角互补，得出， 当有3个角时，过点E作直线平行于，同理可得， 当有4个角时，分别过点E、F作直线平行于， 同理可得， 根据规律，可得当有m个角时，． 故答案为：，． 20．（1）如图，，．判定的数量关系，并说明理由． （2）如图，，平分，判定的位置关系，并说明理由． （写出主要步骤的推理依据） 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析 【分析】本题考查平行线的性质和判定： （1）根据平行线的性质，推出，，结合已知条件，推出即可； （2）根据角平分线的定义，结合已知条件推出，即可得出结论． 【详解】（1） （两直线平行，内错角相等） （两直线平行，同位角相等） ； （2）证明：平分 （角的平分线定义） （内错角相等，两直线平行） 题型05 根据平行线的性质求角的度数 21．如图，烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，光线从液体中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质．先利用平行线的性质可得，然后利用平角定义进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 22．如图，自行车的尾部通常会安装一种塑料制成的反光镜，夜间骑车时，在车灯照射下，能把光线按原来方向返回（即），根据光的反射可知，其原理如图2所示，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平角的定义．由平角的定义求出，由平行线的性质推出，求出，即可得到的度数． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 23．如图，，平分，平分，且比大，则的度数为 度． 【答案】113 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义等知识点，作，可得；进而得，，；结合可推出 ，即可求解． 【详解】解：作，，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ， ∴， ， ∴ ∵平分，平分， ∴， 由①得：， ∴， ∵比大， ∴， 解得：． 故答案为：． 24．实践小组利用激光笔和平面镜演示平行光的反射实验．如图，一组平行光线a，b，c经过平面镜反射后得到一组互相平行的反射光线．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，结合图形，根据平行线的性质及等式的性质求解即可； 【详解】如图： 依题意： ， 故答案为： 25．【问题提出】如图①，和的边与互相平行，边与交于点E．若，，求的度数． 【问题解决】请你完成下面的求解过程． 解：如图②，过点E作． ∴（ ）． ∵， ∴， ∵， ∴（ ）． ∴（ ）． ∵， ∴． ∴（ ）． 【迁移应用】如图③，D、E分别是边、上的点，在直线的右侧作的平行线分别交边、于点F、G．P是线段上一点，连接、．若，，求的度数． 【答案】[问题解决]见解析；[迁移应用] 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平行公理的应用，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握平行线的性质． [问题解决]根据两直线平行，同旁内角互补得出，即可求出的度数，再根据平行公理的推论得出，即可推出，从而求出的度数，再根据即可得解； [迁移应用]如图③，过点P作交于点Q，根据两直线平行，内错角相等得出，再根据平行公理的推论得出，于是得出，再根据即可得解． 【详解】解：[问题解决] 如图②，过点E作， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∵， ∴． ∵， ∴（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 ）， ∴， ∵， ∴． ∴； [迁移应用]如图③，过点P作作交于点Q， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型06 平行线的性质在生活中的应用 26．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射.由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，根据“两直线平行，同旁内角互补”和“两直线平行，同位角相等”即可得到结论． 【详解】解：水面和杯底互相平行， ， ∵， ． 水中的两条光线平行， ． 故选：B． 27．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么这两次拐弯的角度可能是（     ） A．第一次向左拐，第二次向左拐 B．第一次向右拐，第二次向右拐 C．第一次向右拐，第二次向左拐 D．第一次向左拐，第二次向右拐 【答案】D 【分析】此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等．根据两条直线平行的性质：两条直线平行，同位角相等．再根据题意得：两次拐的方向不相同，但角度相等． 【详解】解：如图，第一次拐的角是，第二次拐的角是，由于平行前进，也可以得到． 故选：D 28．如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角，则反射光线与平面镜夹角的度数为 【答案】/50度 【分析】本题考查平行线的性质，由平行线的性质推出，由反射定律得到，因此． 【详解】解：∵入射光线是平行光线， ∴， 由反射定律得：， ∴． 故答案为：． 29．如图，一个弯形管道的拐角，若工人师傅准备在点处对管道进行加工拐弯，要保证拐弯的部分与平行，则加工后拐角的度数是 度．    【答案】60°或120° 【分析】本题主要考查了平行线的性质，分两种情况：当点在点的左侧时，当点在点的右侧时，分别画出图形求出结果即可． 【详解】解：当点在点的左侧时，如图所示：   ，， ； 当点在点的右侧时，如图所示：   ，， ； 综上分析可知：的度数为：或． 故答案为：或． 30．图1是光伏发电场景，其示意图如图2，为吸热塔，在地平线上的点C，D处各安装定日镜（介绍见图3）．绕各中心点（A，B）旋转镜面，使过中心点的太阳光线经镜面反射后到达吸热器点O处．A、B处于同一水平高度，已知反射光线与水平线的夹角是，镜面与立杆的夹角，则太阳光线与水平面夹角 ；若反射光线与水平线的夹角是时，则 ． 【答案】 53 【分析】本题考查了平行线的性质以及垂线的定义，根据题意的新定义内容，作出法线，结合已知角，得出，再利用角的运算，得出，结合光线是平行的，得出，结合已知角以及角的和差关系列式代入数值，进行计算，即可作答． 【详解】解：如图：分别作出两个定日镜的法线： ∵反射光线与水平线的夹角是，镜面与立杆的夹角 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵光线是平行的 ∴ ∵反射光线与水平线的夹角是时 ∴ ∵ ∴ 则 ∵ ∴ 故答案为：，53 题型07 根据平行线判定与性质求角度 31．如图，若，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，先过P点作，再得，则，．结合，则，即可作答 【详解】解：如图，过P点作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． 故选：D． 32．如图，是某运动员在一次山地自行车越野赛中经过的路线，已知第一次的拐角，第三次的拐角，若第三次拐弯后的道路恰好与第一次拐弯前的道路平行，则第二次的拐角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的知识，解题的关键是熟练掌握平行线的性质；过点作直线，根据两直线平行内错角相等的性质，得；再根据两直线平行同旁内角互补的性质，得，从而完成求解． 【详解】如图，过点作直线， ∴． ∵，且， ∴， ∴， ∴ 故选：A． 33．如图，，点、为这两条平行线之间的两个点，连接、、，，设，，，则、、之间的数量关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质得到角的关系是解题的关键． 如图所示，过点分别作，得到，，，由，，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点分别作， ∴， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， 故答案为： ． 34．为方便市民绿色出行，某市推出了共享单车服务，如图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其平面示意图，其中，都与地面l平行，，，当 时，． 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先根据两直线平行，同旁内角互补求得，再根据内错角相等，两直线平行可得结论． 【详解】解：∵，都与地面l平行， ∴， ∴， 即， ∴， 当时，， 故答案为：． 35．已知：如图，、是直线上两点，，平分，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了平行线的判定和性质；熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）由邻补角可得，结合题意可得，再由同位角相等两直线平行证得结论； （2）结合（1）由两直线平行同旁内角互补求得，再由角平分线求得，最后由两直线平行内错角相等可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， ∴； （2）解：，， ， 平分， ， ∵， ． 题型08 根据平行线判定与性质证明 36． 如图，已知四边形，点 E 是射线上一点，连接交线段于点F，  若， ． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，平分， 求的大小． 【答案】(1)，理由见详解 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，邻补角互补，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合邻补角互补相等，则，因为，所以，即可作答． （2），平分，所以，因为，则．即可作答． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵ ． ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴． 37．在学习完《相交线和平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动：探究平行线的“等角转化”功能． (1)问题情景：如图1，已知． ①问题初探：求证：； ②拓展探究：试问与之间满足怎样的数量关系？并说明理由． (2)迁移应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，求的度数．（直接写出答案） 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】本题考查了平行线的性质与判定； （1）①根据同旁内角互补两直线平行，即可得，根据平行线的性质可得，结合已知条件得出，根据内错角相等两直线平行，即可得证； ②过点作，根据两直线平行内错角相等得出，，进而即可求解； （2）根据题意以及平行线的性质得出，，即可求解． 【详解】（1）①证明：∵， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴； ②，理由如下， 如图所示，过点作 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）解：如图所示，的顶点分别为， 依题意，，作， ∴ ∴， ∴． 38．已知，E、F分别为，上一点，P，H分别在，上，，． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，过点P作，交于点M，作的平分线交于点N，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质可得，，再由得，即可得证； （2）设，则，得出，再由求出值即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴平分． （2）设， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 39．如图，在中，是高，点，，分别在，，上，且，． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，平分，求的度数． 【答案】(1)；理由见解析 (2) 【分析】本题考查了垂直的定义、平行线的判定和性质以及三角形的内角和定理等知识，熟练掌握平行线的判定和性质是关键． （1）根据平行线的性质和判定解答即可； （2）先求出的度数，即为，根据角平分线的定义可得，再根据平行线的性质即得答案． 【详解】（1）解：；理由是： ∵是高，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 40．已知如图， ①由图（1）易得、、的关系_______（直接写结论）； ②由图（2）试猜想、、的关系并说明理由； [延伸拓展] 利用上面（1）（2）得出的结论完成下题 ③已知，，，．若，则______°． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）85 【分析】本题考查了平行线的性质，通过平行线的性质推出各角之间的关系，解题关键在于作出相应的辅助线． ①如图（1），过点作，根据平行线的判定及性质：两直线平行，内错角相等，即可得出答案； ②如图（2），过点作，根据平行线的判定及性质：两直线平行，同旁内角互补，即可得出答案； ③根据题意得：，，由②结合得：，再由②的结论即可求解． 【详解】解：①如图（1）所示：过点作， ∵，， ∴， ，， ， ； ②如图（2）所示：过点作， ∵，， ∴， ，， ； ∴； ③∵，， ，， ∵，由②得， ∵， ∴， ∴， ∵，由①得， ∴． 故答案为：85． 题型09 求平行线间的距离 41．如图，若直线，表示平行线m与n之间的距离为线段（    ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 【答案】B 【分析】平行线的距离：从平行线中的一条直线上任取一点，该点到另一条直线的距离，即为两平行线间的距离．本题考查了平行线的距离的定义，熟练掌握平行线的距离的定义是解题的关键． 【详解】解：结合图形信息，∵， ∴， ∴可以表示平行线m与n之间的距离， 故选：B． 42．直线、、是三条平行直线．已知与的距离为5厘米，与的距离为2厘米，求与的距离为（   ） A．2厘米 B．3厘米 C．7厘米 D．3厘米或7厘米 【答案】D 【分析】本题考查了两平行线间的距离的求法．得出、、这三条平行直线的不同位置关系是解决此题的关键． 分两种情况：①当直线在直线与之间时，②当直线在直线与之间时，分别求解即可； 【详解】解：分两种情况：①当直线在直线与之间时，如图． 与的距离为厘米； ②当直线在直线与之间时，如图． 与的距离为厘米． 故选：D． 43．已知直线a，b，c在同一平面内，且，a与b之间的距离为，b与c之间的距离为，则a与c之间的距离是（　　） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线之间距离的关系，掌握平行线的性质，图形结合分析是解题的关键．根据题意，图形结合，分类讨论，结合平行线之间距离的计算方法即可求解． 【详解】解：如图①，a与c之间的距离为； 如图②，a与c之间的距离为． ∴a与c之间的距离为或． 故选：C． 44．已知直线，，在同一平面内，且，与之间的距离为，与之间的距离为，则与之间的距离是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了平行线之间的距离，分两种情况，由平行线之间的距离的定义，即可求解． 【详解】解：如图1，直线c在a、b外时， ∵a与b的距离为，b与c的距离为， ∴a与c的距离为， 如图2，直线c在直线a、b之间时， ∵a与b的距离为，b与c的距离为， ∴a与c的距离为， 综上所述，a与c的距离为或， 故答案为：或 45．如图，，已知直角三角形中，B，C在直线a上，A在直线b上，，，，则点A到直线a的距离为 ．    【答案】 【分析】设点A到直线a的距离为h，根据，即可求解． 【详解】解：设点A到直线a的距离为h， ∵直角三角形中，，，， ∴， 即， 解得：． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了点到直线的距离，根据题意得到是解题的关键． 题型10 利用平行线间距离解决问题 46．如图，两平行线间有一个三角形和一个平行四边形，它们的底分别为a和b．当（    ）时，三角形的面积大于平行四边形的面积． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形和平行四边形的面积公式，平行线间的距离，是解答此题的关键．根据三角形的面积底高，平行四边形的面积底高，解答此题即可． 【详解】解：设两平行线间的距离为， ∵三角形的面积大于平行四边形的面积 ∴， ∴， 当时，三角形的面积大于平行四边形的面积． 故选：D． 47．如图所示，平行四边形中，厘米，厘米，边上的高是厘米．是和的平行线，图中阴影部分的面积是（     ）平方厘米． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线间的距离，平行四边形的性质，根据图形可知推出图中阴影部分的面积平行四边形的面积的一半即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，四边形、四边形都是平行四边形， 设平行四边形边，平行四边形的边边上的高分别为，， 则图中阴影部分的面积， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴图中阴影部分的面积， ∵厘米， ∴图中阴影部分的面积（平方厘米）， 故选：． 48．如图，已知直线，点、、在直线上，点、、在直线上，，若的面积为5，则的面积为（    ） A．2 B．4 C．5 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了平行线间的距离和三角形的面积．与是等底等高的两个三角形，它们的面积相等． 【详解】解：直线，点、、在直线上， 点到直线的距离与点到直线的距离相等． 又， 与是等底等高的两个三角形， ， 故选：C． 49．如图， ， 的面积等于， ， ，则的面积是 . 【答案】 【分析】此题考查了平行线间的距离和三角形面积求法，过作于点，过作于点，根据平行线间的距离相等得出，最后由等底等高的三角形面积相等即可，解题的关键是熟练掌握平行线间的距离和等底等高的三角形面积相等． 【详解】如图，过作于点，过作于点， ∵， ∴， ∴，， ∵的面积等于，， ， ∴， ∴， 故答案为：． 50．在梯形中，， 连接、， 已知梯形的面积为16，的面积为12，那么的面积 ． 【答案】4 【分析】本题考查了平行线间的距离处处相等，先根据题意得出的面积，即可求解． 【详解】解：∵梯形的面积为16，的面积为12， ∴的面积， ∵， ∴点B到的距离等于点C到的距离， ∴的面积的面积， 故答案为：4． 1．如图，，，则，与之间的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，添加平行线是解题的关键．过点E作，过点F作，根据平行线的性质可求得，，，所以，再证明，即可代入得到答案． 【详解】过点E作，过点F作， ， ，， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 2．如图，直线，分别与直线交于点，，把一块含角的三角板按如图所示的位置摆放．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质以及平角的定义，理解并掌握平行线的性质是解题的关键． 如下图，根据平行线的性质可得，由题意知，再根据平角的定义即可求解． 【详解】解：如图， ， ， 由题意知， ， 故选：B． 3．如图1，是我国具有自主知识产权、用于探索宇宙的单口径球面射电望远镜“中国天眼”．如图2，是“中国天眼”接收来自宇宙的电磁波的原理图，其中为竖直方向的馈源（反射面），入射波经过三次反射后沿水平射出，且，已知入射波与法线的夹角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，过点作，可得，根据题意得到，再由平行线的性质得到，得出答案，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：过点作，为法线，如图： ∵， ∴， ∴， ∴为法线， ∴， ∵为法线，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 4．如图，已知，点B在上，点C在上，点A在上方，，点E在的反向延长线上，且，设，则为度数用含的式子一定可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，正确添加辅助线是解决本题的关键．过点A作，过点E作，则，由题意可设，，则，，，，因此，，，则． 【详解】解：过点A作，过点E作， ∵， ∴， ∵， ∴设，， ∵， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴. 故选：B． 5．如果两个角的两边分别平行，而其中一个角的比另一个角少，那么这两个角的度数是（   ） A．和 B．、或、 C．都是 D．、或、 【答案】B 【分析】此题考查了角度计算，平行线的性质，一元一次方程的解法．解题的关键是掌握如果两个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补及方程思想的应用； 首先由两个角的两边分别平行，可得这两个角相等或互补．然后设其中一角为，由其中一个角的比另一个角少，得另一个角为，然后分别从两个角相等与互补去分析，即可求得答案． 【详解】解：设其中一角为， ∵其中一个角的比另一个角少， ∴另一个角为， ∵两个角的两边分别平行， ∴这两个角相等或互补． ①若这两个角相等，如下图，    则， 解得：， ∴这两个角的度数是和； ②若这两个角互补， 如下图，    则， 解得：， ∴这两个角的度数是和． ∴这两个角的度数是、或、． 故选：B． 6．如图，点分别在直线上，且，若在同一平面内存在一点O，使，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是作平行线，利用平行线的性质以及角的和差关系进行计算．分两种情况：点O在和之间，点在上方，过O作，依据平行线的性质，即可得到的度数． 【详解】解：分两种情况： 当点O在和之间时， 过点O作，如图①，则， ； 当点O在上方时， 过点O作，如答图②，则 ．           图①                     图② 7．如图，直线，，，，，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，分别过点分别作的平行线，，设交于点，根据平行线的性质可得，进而求得，根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，分别过点分别作的平行线，，设交于点， ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：． 8．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，在A，B，C三处经过三次拐弯，此时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行（即），若，，则的度数是 ． 【答案】/116度 【分析】本题考查了平行公理推论、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．过点作，先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行公理推论可得，根据平行线的性质求解即可得． 【详解】解：如图，过点作， ∴， ∵， ∴， 由题意可知，， ∴， ∴， 故答案为：． 9．如图，，平分，，，将以每秒的速度绕着点顺时针旋转，旋转到边落到射线上停止，若的边与或平行时，则旋转的时间可以是 秒．    【答案】2或8或11 【分析】本题主要考查了平行线的性质，分类思想，先分别求出，，再利用垂直的定义以及角平分线的定义求出，再分类讨论，当时，当时，当时，根据内错角相等求出旋转的角度，再根据旋转的角度除以旋转的速度即可求出对应的时间． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 当时，如下图：   ， ∵，平分， ∴， ∴此时， 此时旋转了， 则旋转的时间为：（秒）； 当时，如下图： ， 此时旋转了， 则旋转的时间为：（秒）； 当时，如下图：    此时， 此时旋转了， 则旋转的时间为：（秒）， 综上，满足条件的旋转时间可以是2秒或8秒或11秒． 故答案为：2或8或11． 10．如图，，点B在上，点F在上，连接，平分，平分交于点H，．给出下面四个结论： ①； ②平分； ③； ④． 上述结论中，正确结论的序号有 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查平行线的判定和性质、角平分线的定义等知识点，弄清楚图形中角度之间的关系是解题的关键． 根据平行线的判定和性质以及图形中角度之间的关系逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∴平分；故②正确； ∵，，但不一定成立， ∴不一定成立，即③错误； ∵， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即；故④正确． 故答案为①②④． 11．如图，已知，射线交于点，交于点，从点引一条射线，且． 求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和判定及其应用．先证明，得出，根据平行线的性质得出，根据，得出，即可得出结论． 【详解】证明：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 12．已知：如图，与相交于点F，点D在上，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由，证明，得，因为，故，即可作答． （2）因为，所以，则，即可作答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， 13．生活情境·山路 “公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公路连接了山里与外面的世界，数学活动课上，老师把山路抽象成图2的样子，并提出了一个问题： 在图2中，，，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行的判定及性质；过点向左作，过点向右作，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，，由角的和差得，即可求解；掌握平行的判定及性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过点向左作，过点向右作， 则， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 14．（1）如图①，，则________； 如图②，，则________，请你说明理由； （2）如图③，，则________； （3）利用上述结论解决问题：如图④，，和的平分线相交于点F，，求的度数． 【答案】（1），，见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，平行公理的应用，角平分线的定义； （1）直接由两直线平行，同旁内角互补可得图①答案；如图，过点作，证明，再利用平行线的性质可得图②的答案； （2）如图，过点作，证明，再结合（1）的结论可得答案； （3）过作．证明，可得．求解，再结合角平分线的定义可得答案． 【详解】解：（1）  ，理由如下： 理由：∵， ∴． 如图，过点作． ， ， ， ． （2）如图，过点作． ， ， ∴， 结合（1）的结论可得：， ∴； （3）如图，过作． ， ， ． ， ． 平分，平分， ， 15．如图1，为直线上一点，过点在直线的上方作射线，使．将一块直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方，其中，． (1)将图1中的三角板绕点顺时针旋转至图2，使一边在的内部，且恰好平分，求的度数； (2)将图1中的三角板绕点按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第______s时，边恰好与射线平行；第______时，直线恰好平分锐角； (3)将图1中的三角板绕点顺时针旋转至图3，使在的内部，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)9或27，12或30； (3)，见解析． 【分析】本题考查了旋转的性质，角平分线的定义，平行线的性质， （1）根据邻补角的定义求出，再根据角平分线的定义求出，然后根据解答即可； （2）分别分情况根据平行线的性质和旋转的性质求出旋转角，然后除以旋转速度即可得解； （3）用和表示出，然后列出方程整理即可得解； 读懂题目信息并熟练掌握各性质是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， 又， ， ； （2）解：， ，， 当在直线上时，，此时旋转角为或， 每秒顺时针旋转， 时间为或， 当直线恰好平分锐角时，旋转角为或， ∵每秒顺时针旋转， ∴时间为或， 故答案为：9或27；或； （3）解：，理由如下： ∵在的内部， ∴，， ∴， ∴． 1 / 56 学科网（北京）股份有限公司 $$